4.3: Tablas de la Verdad
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Debido a que las declaraciones booleanas complejas pueden llegar a ser difíciles de pensar, podemos crear una tabla de verdad para hacer un seguimiento de qué valores de verdad para las declaraciones simples hacen que la declaración compleja sea verdadera y falsa.
Una tabla que muestra cuál es el valor de verdad resultante de una declaración compleja para todos los posibles valores de verdad para las declaraciones simples.
Supongamos que estás escogiendo un sofá nuevo, y tu compañero dice “consigue un seccional o algo con una chaise”.
Solución
Se trata de una declaración compleja hecha de dos condiciones más simples: “es un seccional”, y “tiene un chaise”. Para simplificar, usemos S para designar “es un seccional”, y C para designar “tiene un chaise”. La condición S es verdadera si el sofá es seccional.
Una tabla de verdad para esto se vería así:
| S | C | S o C |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
En la tabla, T se usa para true, y F para false. En la primera fila, si\(S\) es verdadero y también\(C\) es cierto, entonces la compleja declaración “\(S\)o\(C\)” es verdadera. Este sería un seccional que también cuenta con una chaise, que cumple con nuestro deseo.
Recuerda también eso o en lógica no es exclusivo; si el sofá tiene ambas características, sí cumple con la condición.
Para resumir aún más nuestra notación, vamos a introducir algunos símbolos que se usan comúnmente para y, o, y no.
El símbolo\(⋀\) se utiliza para y: A y B está anotado\(A ⋀ B\).
El símbolo\(⋁\) se utiliza para o: A o B está anotado\(A ⋁ B\)
El símbolo ~ se usa para no: no A está anotado ~\(A\)
Se pueden recordar los dos primeros símbolos relacionándolos con las formas para la unión y la intersección. \(A ⋀ B\)serían los elementos que existen en ambos conjuntos, en\(A ⋂ B\). De igual manera,\(A ⋁ B\) serían los elementos que existen en cualquiera de los dos conjuntos, en\(A ⋃ B\).
En el ejemplo anterior, la tabla de la verdad en realidad solo estaba resumiendo lo que ya sabemos sobre cómo funciona la declaración o. A continuación se muestran las tablas de verdad para las declaraciones básicas y, o, y no.
| A | B | A B |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
| A | B | A B |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
| A | ~A |
| T | F |
| F | T |
Las tablas de verdad realmente se vuelven útiles a la hora de analizar declaraciones booleanas más complejas.
Crear una tabla de verdad para la declaración\(A ⋀\) ~\((B ⋁ C)\).
Solución
Ayuda a trabajar de adentro hacia afuera al crear tablas de verdad, y crear tablas para operaciones intermedias. Comenzamos enumerando todas las posibles combinaciones de valores de verdad para\(A\),\(B\), y\(C\). Observe cómo la primera columna contiene 4 Ts seguidas de 4 Fs, la segunda columna contiene 2 Ts, 2 Fs, luego se repite y la última columna alterna. Este patrón asegura que todas las combinaciones sean consideradas. Junto con esos valores iniciales, enumeraremos los valores de verdad para la expresión más interna,\(B ⋁ C\).
| A | B | C | B C |
| T | T | T | T |
| T | T | F | T |
| T | F | T | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | T | F | T |
| F | F | T | T |
| F | F | F | F |
A continuación, podemos encontrar la negación de\(B ⋁ C\), trabajando fuera de la\(B ⋁ C\) columna que acabamos de crear.
| A | B | C | B C | ~ (B C) |
| T | T | T | T | F |
| T | T | F | T | F |
| T | F | T | T | F |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | T | F |
| F | T | F | T | F |
| F | F | T | T | F |
| F | F | F | F | T |
Finalmente, encontramos los valores de\(A\) y ~\((B ⋁ C)\)
| A | B | C | B C | ~ (B C) | A ~ (B C) |
| T | T | T | T | F | F |
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | T | F | F |
| T | F | F | F | T | T |
| F | T | T | T | F | F |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | F | F |
| F | F | F | F | T | F |
Resulta que esta expresión compleja sólo es verdadera en un caso: si A es verdadero, B es falso, y C es falso.
Crear una tabla de verdad para esta declaración: (~\(A ⋀ B) ⋁\) ~\(B\)
Cuando discutimos las condiciones antes, discutimos el tipo en el que tomamos una acción basada en el valor de la condición. Ahora vamos a hablar de una versión más general de un condicional, a veces llamado implicación.
Las implicaciones son oraciones condicionales lógicas que afirman que un enunciado\(p\), denominado antecedente, implica una consecuencia\(q\).
Las implicaciones se escriben comúnmente como\(p → q\)
Las implicaciones son similares a las declaraciones condicionales que vimos anteriormente; p\(→\) q normalmente se escribe como “si p entonces q”, o “p por lo tanto q”. La diferencia entre implicaciones y condicionales es que los condicionales que discutimos anteriormente sugieren una acción —si la condición es cierta, entonces tomamos alguna acción como resultado. Las implicaciones son afirmaciones lógicas que sugieren que la consecuencia debe seguir lógicamente si el antecedente es verdadero.
El enunciado inglés “Si está lloviendo, entonces hay nubes es el cielo” es una implicación lógica. Es un argumento válido porque si el antecedente “está lloviendo” es cierto, entonces la consecuencia “hay nubes en el cielo” también debe ser cierta.
Observe que el comunicado no nos dice nada de qué esperar si no está lloviendo. Si el antecedente es falso, entonces la implicación se vuelve irrelevante.
Un amigo te dice que “si subes esa foto a Facebook, perderás tu trabajo”. Hay cuatro posibles resultados:
- Subes la foto y te quedas con tu trabajo
- Subes la foto y pierdes tu trabajo
- No subes la foto y te quedas con tu trabajo
- No subes la foto y pierdes tu trabajo
Solo hay un caso posible en el que tu amigo estaba mintiendo: la primera opción donde subes la foto y te quedas con tu trabajo. En los dos últimos casos, tu amigo no dijo nada sobre lo que pasaría si no subiste la foto, por lo que no puedes concluir que su declaración no es válida, aunque no subieras la foto y aun así perdiste tu trabajo.
En la lógica tradicional, una implicación se considera válida (verdadera) siempre y cuando no haya casos en los que el antecedente sea verdadero y la consecuencia sea falsa. Es importante tener en cuenta que la lógica simbólica no puede captar todas las complejidades del idioma inglés.
| p | q | p → q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Construir una tabla de verdad para la declaración\((m ⋀\) ~\(p) → r\)
Solución
Comenzamos construyendo una tabla de verdad para el antecedente.
| m | p | ~p | m ~p |
| T | T | F | F |
| T | F | T | T |
| F | T | F | F |
| F | F | T | F |
Ahora podemos construir la tabla de la verdad para la implicación
| m | p | ~p | m ~p | r | (m ~p) → r |
| T | T | F | F | T | T |
| T | F | T | T | T | T |
| F | T | F | F | T | T |
| F | F | T | F | T | T |
| T | T | F | F | F | T |
| T | F | T | T | F | F |
| F | T | F | F | F | T |
| F | F | T | F | F | T |
En este caso, cuando\(m\) es verdadero,\(p\) es falso, y\(r\) es falso, entonces el antecedente\(m ⋀\) ~\(p\) será verdadero pero la consecuencia falsa, resultando en una implicación inválida; cada otro caso da una implicación válida.
Para cualquier implicación, hay tres declaraciones relacionadas, la inversa, la inversa y la contrapositiva.
La implicación original es “si p entonces q” p → q
Lo contrario es: “si q entonces p” q → p
El inverso es “si no p entonces no q” ~ p → ~ q
El contrapositivo es “si no q entonces no p” ~ q → ~ p
Consideremos de nuevo la implicación válida “Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo”.
Lo contrario sería “Si hay nubes en el cielo, está lloviendo”. Esto ciertamente no siempre es cierto.
El inverso sería “Si no está lloviendo, entonces no hay nubes en el cielo”. De igual manera, esto no siempre es cierto.
El contrapositivo sería “Si no hay nubes en el cielo, entonces no está lloviendo”. Esta declaración es válida, y equivale a la implicación original.
Mirando las tablas de verdad, podemos ver que el condicional original y el contrapositivo son lógicamente equivalentes, y que lo contrario y lo inverso son lógicamente equivalentes.
| Implicación | Converse | Inversa | Contrapositivo | ||||||
| p | q | p → q | q → p | ~ p → ~ q | ~ q → ~ p | ||||
| T | T | T | T | T | T | ||||
| T | F | F | T | T | F | ||||
| F | T | T | F | F | T | ||||
| F | F | T | T | T | T | ||||
Una declaración condicional y su contrapositivo son lógicamente equivalentes.
El inverso y el inverso de una declaración son lógicamente equivalentes.