10.6: Ejercicios

1. Una bola se extrae aleatoriamente de un frasco que contiene 6 bolas rojas, 2 bolas blancas y 5 bolas amarillas. Encuentra la probabilidad del evento dado.

a. Se dibuja una bola roja

b. Se dibuja una bola blanca

2. Supongamos que escribes cada letra del alfabeto en una hoja de papel diferente y pones los resbalones en un sombrero. Cuál es la probabilidad de sacar un trozo de papel del sombrero al azar y obtener:

a. Una consonante

b. Una vocal

3. A un grupo de personas se le preguntó si habían pasado un semáforo en rojo en el último año. 150 respondieron “sí”, y 185 respondieron “no”. Encuentra la probabilidad de que si una persona es elegida al azar, haya pasado un semáforo en rojo en el último año.

4. En una encuesta, 205 personas indicaron que prefieren los gatos, 160 indicaron que prefieren los puntos, y 40 indicaron que no disfrutan de ninguna mascota. Encuentra la probabilidad de que si una persona es elegida al azar, prefiera a los gatos.

5. Calcular la probabilidad de lanzar un dado de seis lados (con lados numerados del 1 al 6) y obtener un 5.

6. Calcular la probabilidad de tirar un dado de seis lados y obtener un 7.

7. Al dar una prueba a un grupo de alumnos, a continuación se resumen las calificaciones y el género. Si un estudiante fue elegido al azar, encuentre la probabilidad de que el estudiante sea femenino.

	A	B	C	Total
Macho	8	18	13	39
Hembra	10	4	12	26
Total	18	22	25	65

8. En la siguiente tabla se muestra el número de tarjetas de crédito propiedad de un grupo de individuos. Si una persona fue elegida al azar, encuentra la probabilidad de que la persona no tuviera tarjetas de crédito.

	Cero	Uno	Dos o más	Total
Macho	9	5	19	33
Hembra	18	10	20	48
Total	27	15	39	81

9. Calcula la probabilidad de lanzar un dado de seis lados y obtener un número par.

10. Calcula la probabilidad de lanzar un dado de seis lados y obtener un número menor que 3.

11. Si eliges una carta al azar de una baraja estándar de cartas, ¿cuál es la probabilidad de que sea un Rey?

12. Si eliges una carta al azar de una baraja estándar de cartas, ¿cuál es la probabilidad de que sea un Diamante?

13. Calcula la probabilidad de rodar un dado de 12 lados y obtener un número que no sea 8.

14. Si eliges una carta al azar de una baraja estándar de cartas, ¿cuál es la probabilidad de que no sea el As de Espadas?

15. Refiriéndose a la tabla de calificaciones de la pregunta #7, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar NO gane una C?

16. Refiriéndose a la tabla de tarjetas de crédito de la pregunta #8, ¿cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga al menos una tarjeta de crédito?

17. Un troquel de seis lados se enrolla dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de mostrar un 6 en ambos rollos?

18. Una moneda justa es volteada dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de mostrar cabezas en ambos volteretas?

19. Un dado se enrolla dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de mostrar un 5 en la primera tirada y un número par en la segunda tirada?

20. Supongamos que el 21% de las personas poseen perros. Si eliges a dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas tengan un perro?

21. Supongamos que un frasco contiene 17 canicas rojas y 32 canicas azules. Si alcanzas en el frasco y sacas 2 canicas al azar, encuentra la probabilidad de que ambas sean rojas.

22. Supongamos que escribes cada letra del alfabeto en una hoja de papel diferente y pones los resbalones en un sombrero. Si sacas dos resbalones al azar, encuentra la probabilidad de que ambos sean vocales.

23. Bert y Ernie tienen cada uno una baraja estándar bien barajada de 52 cartas. Cada uno de ellos saca una carta de su propio mazo. Compute la probabilidad de que:

a. Bert y Ernie ambos dibujan un As.

b. Bert dibuja un As pero Ernie no.

c. ni Bert ni Ernie dibujan un As.

d. Bert y Ernie dibujan un corazón.

e. Bert recibe una tarjeta que no es un Jack y Ernie saca una carta que no es un corazón.

24. Bert tiene una baraja estándar bien barajada de 52 cartas, de la que saca una carta; Ernie tiene un dado de 12 caras, que rueda al mismo tiempo que Bert saca una carta. Compute la probabilidad de que:

a. Bert consigue un Jack y Ernie rueda un cinco.

b. Bert obtiene un corazón y Ernie rueda un número menor que seis.

c. Bert recibe una tarjeta facial (Jack, Queen o King) y Ernie rueda un número par.

d. Bert recibe una tarjeta roja y Ernie rueda un quince.

e. Bert recibe una tarjeta que no es un Jack y Ernie rueda un número que no es doce.

25. Calcula la probabilidad de sacar un Rey de una baraja de cartas y luego dibujar una Reina.

26. Calcula la probabilidad de sacar dos espadas de una baraja de cartas.

27. Una clase de matemáticas consta de 25 estudiantes, 14 mujeres y 11 varones. Dos estudiantes son seleccionados al azar para participar en un experimento de probabilidad. Compute la probabilidad de que

a. se selecciona un macho, luego una hembra.

b. se selecciona una hembra, luego un macho.

c. se seleccionan dos machos.

d. se seleccionan dos hembras.

e. no se seleccionan machos.

28. Una clase de matemáticas consta de 25 estudiantes, 14 mujeres y 11 varones. Tres estudiantes son seleccionados al azar para participar en un experimento de probabilidad. Compute la probabilidad de que

a. se selecciona un macho, luego dos hembras.

b. se selecciona una hembra, luego dos machos.

c. se seleccionan dos hembras, luego una macho.

d. se seleccionan tres machos.

e. se seleccionan tres hembras.

29. Al dar una prueba a un grupo de alumnos, a continuación se resumen las calificaciones y el género. Si un estudiante fue elegido al azar, encuentre la probabilidad de que el estudiante sea femenino y haya obtenido una A.

	A	B	C	Total
Macho	8	18	13	39
Hembra	10	4	12	26
Total	18	22	25	65

30. En la siguiente tabla se muestra el número de tarjetas de crédito propiedad de un grupo de individuos. Si una persona fue elegida al azar, encuentra la probabilidad de que la persona sea varón y tuviera dos o más tarjetas de crédito.

	Cero	Uno	Dos o más	Total
Macho	9	5	19	33
Hembra	18	10	20	48
Total	27	15	39	81

31. Un frasco contiene 6 canicas rojas numeradas del 1 al 6 y 8 canicas azules numeradas del 1 al 8. Una canica se dibuja al azar de la jarra. Encuentra la probabilidad de que el mármol sea rojo o imparable.

32. Un frasco contiene 4 canicas rojas numeradas del 1 al 4 y 10 canicas azules numeradas del 1 al 10. Una canica se dibuja al azar de la jarra. Encuentra la probabilidad de que el mármol sea azul o incluso numerado.

33. Refiriéndose a la tabla de #29, encuentra la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea femenino o gane una B.

34. Refiriéndose a la tabla de #30, encuentra la probabilidad de que una persona elegida al azar sea masculina o no tenga tarjetas de crédito.

35. Calcula la probabilidad de sacar al Rey de Corazones o a una Reina de una baraja de cartas.

36. Calcula la probabilidad de sacar un Rey o un corazón de una baraja de cartas.

37. Un frasco contiene 5 canicas rojas numeradas del 1 al 5 y 8 canicas azules numeradas del 1 al 8. Una canica se dibuja al azar de la jarra. Encuentra la probabilidad de que el mármol sea

a. par dado que el mármol es rojo.

b. Rojo dado que el mármol es par.

38. Un frasco contiene 4 canicas rojas numeradas del 1 al 4 y 8 canicas azules numeradas del 1 al 8. Una canica se dibuja al azar de la jarra. Encuentra la probabilidad de que el mármol sea

a. impares dado que el mármol es azul.

b. Azul dado que la canica es de numeración impares.

39. Calcular la probabilidad de voltear una moneda y sacar cabezas, dado que el anterior flip era colas.

40. Encuentra la probabilidad de rodar un “1” en un dado justo, dado que los últimos 3 rollos fueron todos unos.

41. Supongamos que una clase de matemáticas contiene 25 estudiantes, 14 mujeres (tres de las cuales hablan francés) y 11 varones (dos de los cuales hablan francés). Calcular la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar hable francés, dado que el estudiante es femenino.

42. Supongamos que una clase de matemáticas contiene 25 estudiantes, 14 mujeres (tres de las cuales hablan francés) y 11 varones (dos de los cuales hablan francés). Calcular la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea masculino, dado que el estudiante habla francés.

43. Cierto virus infecta a una de cada 400 personas. Una prueba utilizada para detectar el virus en una persona es positiva 90% de las veces si la persona tiene el virus y 10% de las veces si la persona no tiene el virus. Que A sea el evento “la persona está infectada” y B sea el evento “la persona da positivo”.

a. encontrar la probabilidad de que una persona tenga el virus dado que ha dado positivo en la prueba, es decir, encontrar\(P(A | B)\).

b. encontrar la probabilidad de que una persona no tenga el virus dado que da negativo, es decir, encontrar\(P(\text{not } A | \text{not } B)\).

44. Cierto virus infecta a una de cada 2000 personas. Una prueba utilizada para detectar el virus en una persona es positiva 96% de las veces si la persona tiene el virus y 4% de las veces si la persona no tiene el virus. Que A sea el evento “la persona está infectada” y B sea el evento “la persona da positivo”.

a. encontrar la probabilidad de que una persona tenga el virus dado que ha dado positivo en la prueba, es decir, encontrar\(P(A | B)\).

b. encontrar la probabilidad de que una persona no tenga el virus dado que da negativo, es decir, encontrar\(P(\text{not } A | \text{not } B)\).

45. Cierta enfermedad tiene una tasa de incidencia de 0.3%. Si la tasa de falsos negativos es de 6% y la tasa de falsos positivos es de 4%, compute la probabilidad de que una persona que da positivo realmente tenga la enfermedad.

46. Cierta enfermedad tiene una tasa de incidencia de 0.1%. Si la tasa de falsos negativos es de 8% y la tasa de falsos positivos es de 3%, compute la probabilidad de que una persona que da positivo realmente tenga la enfermedad.

47. Un cierto grupo de mujeres libres de síntomas entre 40 y 50 años son seleccionadas aleatoriamente para participar en el tamizaje mamográfico. La tasa de incidencia de cáncer de mama entre estas mujeres es de 0.8%. La tasa de falsos negativos para la mamografía es del 10%. La tasa de falsos positivos es de 7%. Si los resultados de una mamografía para una mujer en particular son positivos (lo que indica que tiene cáncer de mama), ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga cáncer de mama?

48. Alrededor de 0.01% de los hombres sin comportamiento de riesgo conocido están infectados con el VIH. La tasa de falsos negativos para la prueba estándar de VIH 0.01% y la tasa de falsos positivos también es 0.01%. Si un hombre seleccionado al azar sin comportamiento de riesgo conocido da positivo por VIH, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté infectado con el VIH?

49. Un niño posee 2 pares de pantalones, 3 camisas, 8 corbatas y 2 chaquetas. ¿Cuántos atuendos diferentes puede llevar a la escuela si debe usar uno de cada artículo?

50. En un restaurante puedes elegir entre 3 aperitivos, 8 platos principales y 2 postres. ¿Cuántas comidas diferentes de tres platos puedes tener?

51. Cuántas palabras de tres letras se pueden hacer a partir de 4 letras FGHI si

a. se permite la repetición de letras

b. no se permite la repetición de letras

52. ¿Cuántas palabras de cuatro letras se pueden hacer a partir de 6 letras AEBWDP si

a. se permite la repetición de letras

b. no se permite la repetición de letras

53. Todas las placas en un estado particular cuentan con tres letras seguidas de tres dígitos (por ejemplo, ABC 123). ¿Cuántos números de matrícula diferentes están disponibles para el Departamento de Vehículos Motorizados del estado?

54. Una contraseña de computadora debe tener ocho caracteres de longitud. ¿Cuántas contraseñas son posibles si solo se permiten las 26 letras del alfabeto?

55. Un pianista planea tocar 4 piezas en un recital. ¿De cuántas maneras puede organizar estas piezas en el programa?

56. ¿De cuántas formas se pueden otorgar los premios primero, segundo y tercero en un concurso con 210 concursantes?

57. Siete velocistas olímpicos son elegibles para competir en la carrera de relevos de 4 x 100 m para el equipo olímpico de Estados Unidos. ¿Cuántos equipos de relevos de cuatro personas se pueden seleccionar de entre los siete atletas?

58. Un usuario de computadora ha descargado 25 canciones usando un programa de intercambio de archivos en línea y quiere crear un CD-R con diez canciones para usar en su reproductor de CD portátil. Si el orden en que las canciones se coloquen en el CD-R es importante para él, ¿cuántos CD-Rs diferentes podría hacer a partir de las 25 canciones disponibles para él?

59. En la música occidental, una octava se divide en 12 tonos. Para la película Encuentros cercanos del tercer tipo, el director Steven Spielberg pidió al compositor John Williams que escribiera un tema de cinco notas, que los extraterrestres usarían para comunicarse con la gente en la Tierra. Sin tener en cuenta los cambios de ritmo y octava, ¿cuántos temas de cinco notas son posibles si no se repite ninguna nota?

60. A principios del siglo XX, los defensores de la Segunda Escuela Vienesa de composición musical (entre ellos Arnold Schönberg, Anton Webern y Alban Berg) idearon la técnica de doce tonos, que utilizó una fila de tonos compuesta por los 12 tonos de la escala cromática en cualquier orden, pero sin tonos repetidos en la fila. Sin tener en cuenta los cambios de ritmo y octava, ¿cuántas filas de tonos son posibles?

61. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 4 coberturas para pizza de entre 12 coberturas disponibles?

62. En un baby shower asisten 17 invitados y 5 de ellos son seleccionados al azar para recibir un premio de puerta. Si los 5 premios son idénticos, ¿de cuántas formas se pueden otorgar los premios?

63. En el juego de lotería 6/50, un jugador elige seis números del 1 al 50. ¿Cuántas opciones diferentes tiene el jugador si el orden no importa?

64. En un juego diario de lotería, un jugador elige tres números del 0 al 9. ¿Cuántas opciones diferentes tiene el jugador si el orden no importa?

65. Un grupo de jurados consta de 27 personas. ¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir 11 personas para servir en un jurado y elegir a una persona adicional para que sirva como capataz del jurado?

66. El Comité Senatorial de Comercio, Ciencia y Transporte de los Estados Unidos está integrado por 23 miembros, 12 republicanos y 11 demócratas. El Subcomité de Transporte de Superficie y Marina Mercante está integrado por 8 republicanos y 7 demócratas. ¿De cuántas formas pueden elegirse de la Comisión a los miembros del Subcomité?

67. Eres dueño de 16 CDs. Desea organizar al azar 5 de ellos en un rack de CD. ¿Cuál es la probabilidad de que el rack termine en orden alfabético?

68. Un grupo de jurados consta de 27 personas, 14 hombres y 13 mujeres. Calcula la probabilidad de que un jurado seleccionado al azar de 12 personas sea todo masculino.

69. En un juego de lotería, un jugador elige seis números del 1 al 48. Si 5 de los 6 números coinciden con los sorteados, el jugador gana el segundo premio. ¿Cuál es la probabilidad de ganar este premio?

70. En un juego de lotería, un jugador elige seis números del 1 al 48. Si 4 de los 6 números coinciden con los sorteados, el jugador gana el tercer premio. ¿Cuál es la probabilidad de ganar este premio?

71. Calcula la probabilidad de que se te reparte una mano de póquer de 5 cartas que contenga todos los corazones.

72. Calcula la probabilidad de que se te reparte una mano de póquer de 5 cartas que contenga cuatro ases.

73. Una bolsa contiene 3 canicas doradas, 6 canicas plateadas y 28 canicas negras. Alguien se ofrece a jugar a este juego: Usted selecciona al azar en mármol de la bolsa. Si es oro, ganas $3. Si es plata, ganas $2. Si es negro, pierdes $1. ¿Cuál es tu valor esperado si juegas a este juego?

74. Un amigo concibe un juego que se juega rodando una sola matriz de seis caras una vez. Si rotas un 6, él te paga $3; si rotas un 5, él no te paga nada; si rotas un número menor que 5, le pagas $1. Calcula el valor esperado para este juego. ¿Deberías jugar a este juego?

75. En un juego de lotería, un jugador elige seis números del 1 al 23. Si el jugador coincide con los seis números, gana 30,000 dólares. De lo contrario, pierden $1. Encuentra el valor esperado de este juego.

76. Un juego se juega escogiendo dos cartas de una baraja. Si tienen el mismo valor, entonces ganas $5, de lo contrario pierdes $1. ¿Cuál es el valor esperado de este juego?

77. Una compañía estima que 0.7% de sus productos fallarán después del periodo de garantía original pero dentro de los 2 años siguientes a la compra, con un costo de reemplazo de $350. Si ofrecen una garantía extendida de 2 años por 48 dólares, ¿cuál es el valor esperado de la compañía de cada garantía vendida?

78. Una compañía de seguros estima que la probabilidad de un sismo en el próximo año sea de 0.0013. El daño promedio que produce un sismo se estima en 60 mil dólares. Si la compañía ofrece un seguro sísmico por $100, ¿cuál es su valor esperado de la póliza?

Exploración

Algunas de estas preguntas fueron adaptadas a partir de acertijos en mindyourdecisions.com.

79. Un pequeño colegio ha sido acusado de sesgo de género en sus admisiones a programas de posgrado.

a. de 500 hombres que solicitaron, 255 fueron aceptados. De 700 mujeres que solicitaron, 240 fueron aceptadas. Encuentra la tasa de aceptación para cada género. ¿Esto sugiere sesgo?

b. Luego, el colegio analizó cada uno de los dos departamentos con programas de posgrado, y encontró los datos a continuación. Calcular la tasa de aceptación dentro de cada departamento por género. ¿Esto sugiere sesgo?

Departamento	Hombres		Mujeres
	Aplicado	Admitido	Aplicado	Admitido
Dpto. A	400	240	100	90
Dpto B	100	15	600	150

c. Mirando nuestros resultados de las Partes a y b, ¿qué puede concluir? ¿Hay sesgo de género en las admisiones de esta universidad? Si es así, ¿en qué dirección?

80. Una apuesta por “negro” en la Ruleta tiene probabilidad\(\dfrac{18}{38}\) de ganar. Si ganas, duplica tu dinero. Puedes apostar en cualquier lugar de $1 a $100 en cada giro.

a. supongamos que tienes $10, y vas a jugar hasta que te vayas a la quiebra o tengas $20. ¿Cuál es tu mejor estrategia para jugar?

b. Supongamos que tienes $10, y vas a jugar hasta que te vayas a la quiebra o tengas $30. ¿Cuál es tu mejor estrategia para jugar?

81. Tu amigo propone un juego: Tiras una moneda. Si son cabezas, ganas $1. Si se trata de colas, pierdes $1. No obstante, le preocupa que la moneda pueda no ser una moneda justa. ¿Cómo podrías cambiar el juego para que el juego sea justo, sin reemplazar la moneda?

82. Cincuenta personas están en fila. La primera persona en la fila en tener un cumpleaños emparejando a alguien frente a ellos ganará un premio. Por supuesto, esto significa que la primera persona en la línea no tiene ninguna posibilidad de ganar. ¿Qué persona tiene la mayor probabilidad de ganar?

83. Tres personas ponen sus nombres en un sombrero, luego cada una dibuja un nombre, como parte de un intercambio de regalos aleatorizado. ¿Cuál es la probabilidad de que nadie dibuje su propio nombre? ¿Y con cuatro personas?

84. ¿Cuántas “palabras” diferentes se pueden formar usando todas las letras de cada una de las siguientes palabras exactamente una vez?

a. “ALICE”

b. “MANZANA”

85. ¿Cuántas “palabras” diferentes se pueden formar usando todas las letras de cada una de las siguientes palabras exactamente una vez?

a. “TRUMPS”

b. “TEETER”

86. El problema de Monty Hall lleva el nombre del presentador del programa de juegos Let's make a Deal. En este juego, habría tres puertas, detrás de una de las cuales había un premio. Al concursante se le pidió que eligiera una de las puertas. Monty Hall abriría entonces una de las otras puertas para mostrar que allí no había premio. Luego se le preguntó al concursante si querían quedarse con su puerta original, o cambiar a la otra puerta sin abrir. ¿Es mejor quedarse o cambiar, o importa?

87. Supongamos que tiene dos monedas, donde una es una moneda justa, y la otra moneda sube de cabeza el 70% del tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que tengas la moneda justa dada cada uno de los siguientes resultados de una serie de volteretas?

a. 5 cabezas y 0 colas

b. 8 cabezas y 3 colas

c. 10 cabezas y 10 colas

d. 3 Cabezas y 8 Colas

88. Supongamos que tiene seis monedas, donde cinco son monedas justas, y una moneda sube de cabeza el 80% del tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que tengas una moneda justa dado cada uno de los siguientes resultados de una serie de volteretas?

a. 5 cabezas y 0 colas

b. 8 cabezas y 3 colas

c. 10 cabezas y 10 colas

d. 3 Cabezas y 8 Colas

89. En este problema, exploraremos probabilidades a partir de una serie de eventos.

a. Si volteas 20 monedas, ¿cuántas esperarías que te salgan “cabezas”, en promedio? ¿Esperarías que cada volteo de 20 monedas surgiera exactamente esa cantidad de cabezas?

b. Si voltearas 20 monedas, ¿qué considerarías un resultado “habitual”? ¿Un resultado “inusual”?

c. Voltear 20 monedas (o una moneda 20 veces) y registrar cuántas aparecen “cabezas”. Repita este experimento 9 veces más. Recoger los datos de toda la clase.

d. Al voltear 20 monedas, ¿cuál es la probabilidad teórica de voltear 20 cabezas?

e. Con base en los datos experimentales de la clase, ¿cuál parece ser la probabilidad de voltear 10 cabezas de 20 monedas?

f. La fórmula\(_nC_xp^x(1-p)^{n-x}\) calculará la probabilidad de un evento con probabilidad\(p\) que ocurra\(x\) tiempos fuera de\(n\), como voltear\(x\) cabezas de\(n\) monedas donde está la probabilidad de cabezas\(p = \dfrac{1}{2}\). Usa esto para calcular la probabilidad teórica de voltear 10 cabezas de 20 monedas.

g. Si voltearas 20 monedas, con base en los datos experimentales de la clase, ¿qué rango de valores considerarías un resultado “habitual”? ¿Cuál es la probabilidad combinada de estos resultados? ¿Qué considerarías un resultado “inusual”? ¿Cuál es la probabilidad combinada de estos resultados?

h. Consideraremos ahora una simplificación de un caso de la década de los sesenta. En la zona, alrededor del 26% de la población elegible para jurado era negra. En la causa judicial, había 100 hombres en el panel del jurado, de los cuales 8 eran negros. ¿Esto proporciona evidencia de sesgo racial en la selección del jurado?