1.4: Factorización Prime
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En el enunciado 3 · 4 = 12, el número 12 se llama el producto, mientras que 3 y 4 se denominan factores.
Ejemplo 1
Encuentra todos los factores número entero de 18.
Solución
Necesitamos encontrar todos los pares de números enteros cuyo producto sea igual a 18. Me vienen a la mente los siguientes pares.
1 · 18 = 18 y 2 · 9 = 18 y 3 · 6 = 18.
De ahí que los factores de 18 son (en orden) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
Ejercicio
Encuentra todos los factores número entero de 21.
- Contestar
-
1, 3, 7 y 21
Divisibilidad
En el Ejemplo 1, vimos 3 · 6 = 18, haciendo 3 y 6 factores de 18. Debido a que la división es la inversa de la multiplicación, es decir, la división por un número deshace la multiplicación de ese número, esto proporciona inmediatamente
18 ÷ 6 = 3 y 18 ÷ 3=6.
Es decir, 18 es divisible por 3 y 18 es divisible por 6. Cuando decimos que 18 es divisible por 3, queremos decir que cuando 18 se divide por 3, hay un resto cero.
Divisible
Que a y b sean números enteros. Entonces a es divisible por b si y solo si el resto es cero cuando a se divide por b. En este caso, decimos que “b es un divisor de a”.
Ejemplo 2
Encuentra todos los divisores de número entero de 18.
Solución
En el Ejemplo 1, vimos que 3 · 6 = 18. Por lo tanto, 18 es divisible tanto por 3 como por 6 (18 ÷ 3 = 6 y 18 ÷ 6 = 3). De ahí que cuando 18 se divide por 3 o 6, el resto es cero. Por lo tanto, 3 y 6 son divisores de 18. Tomando nota de los demás productos del Ejemplo 1, la lista completa de divisores de 18 es 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
Ejercicio
Encuentra todos los divisores de números enteros de 21.
- Contestar
-
1, 3, 7 y 21.
El Ejemplo 1 y el Ejemplo 2 muestran que cuando se trabaja con números enteros, las palabras factor y divisor son intercambiables.
Factores y divisores
Si c = a · b, entonces a y b se denominan factores de c. Tanto a como b también se denominan divisores de c.
Pruebas de Divisibilidad
Hay una serie de pruebas de divisibilidad muy útiles.
Divisible por 2. Si un número entero termina en 0, 2, 4, 6 u 8, entonces el número se llama número par y es divisible por 2. Ejemplos de números pares son 238 y 1,246 (238 ÷ 2 = 119 y 1, 246 ÷ 2 = 623). Un número que no es par se llama número impar. Ejemplos de números impares son 113 y 2,339.
Divisible por 3. Si la suma de los dígitos de un número entero es divisible por 3, entonces el número en sí es divisible por 3. Un ejemplo es 141. La suma de los dígitos es 1 + 4 + 1 = 6, que es divisible por 3. Por lo tanto, 141 también es divisible por 3 (141 ÷ 3 = 47).
Divisible por 4. Si el número representado por los dos últimos dígitos de un número entero es divisible por 4, entonces el número en sí es divisible por 4. Un ejemplo es 11,524. Los dos últimos dígitos representan 24, que es divisible por 4 (24 ÷ 4 = 6). Por lo tanto, 11.524 es divisible por 4 (11, 524 ÷ 4=2, 881).
Divisible por 5. Si un número entero termina en un cero o un 5, entonces el número es divisible por 5. Ejemplos son 715 y 120 (715÷5 = 143 y 120÷5 = 24).
Divisible por 6. Si un número entero es divisible por 2 y por 3, entonces es divisible por 6. Un ejemplo es 738. Primero, 738 es par y divisible por 2. Segundo, 7+3+8=18, que es divisible por 3. De ahí que 738 es divisible por 3. Debido a que 738 es divisible por 2 y 3, es divisible por 6 (738 ÷ 6 = 123).
Divisible por 8. Si el número representado por los tres últimos dígitos de un número entero es divisible por 8, entonces el número en sí es divisible por 8. Un ejemplo es 73,024. Los últimos tres dígitos representan el número 24, que es divisible por 8 (24÷8 = 3). Así, 73.024 también es divisible por 8 (73, 024÷8 = 9, 128).
Divisible por 9. Si la suma de los dígitos de un número entero es divisible por 9, entonces el número en sí es divisible por 9. Un ejemplo es 117. La suma de los dígitos es 1 + 1 + 7 = 9, que es divisible por 9. De ahí que 117 es divisible por 9 (117 ÷ 9 = 13).
Números primos
Comenzamos con la definición de un número primo.
Número Primo
Un número entero (distinto de 1) es un número primo si sus únicos factores (divisores) son 1 y en sí mismo. De manera equivalente, un número es primo si y sólo si tiene exactamente dos factores (divisores).
Ejemplo 3
¿Cuáles de los números enteros 12, 13, 21 y 37 son números primos?
Solución
- Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. De ahí que 12 no sea un número primo.
- Los divisores de 13 son 1 y 13. Debido a que sus únicos divisores son 1 y en sí mismo, 13 es un número primo.
- Los divisores de 21 son 1, 3, 7 y 21. De ahí que 21 no es un número primo.
- Los divisores de 37 son 1 y 37. Debido a que sus únicos divisores son 1 y en sí mismo, 37 es un número primo.
Ejercicio
¿Cuáles de los números enteros 15, 23, 51 y 59 son números primos?
- Contestar
-
23 y 59
Ejemplo 4
Enumere todos los números primos menores a 20.
Solución
Los números primos menores a 20 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19.
¡Lo intentas!
Enumere todos los números primos menores a 100.
Números compuestos
Si un número entero no es un número primo, entonces se llama número compuesto.
Ejemplo 5
¿Es el número entero 1.179 primo o compuesto?
Solución
Obsérvese que 1 + 1 + 7 + 9 = 18, que es divisible tanto por 3 como por 9. De ahí que 3 y 9 sean ambos divisores de 1,179. Por lo tanto, 1,179 es un número compuesto.
Ejercicio
¿Es el número entero 2.571 primo o compuesto?
- Contestar
-
Composite
Árboles de factor
Ahora aprenderemos a expresar un número compuesto como un producto único de números primos. El dispositivo más popular para lograr este objetivo es el árbol de factores.
Ejemplo 6
Express 24 como producto de factores primos.
Solución
Utilizamos un árbol factorial para descomponer 24 en un producto de primos.
En cada nivel del árbol, divida el número actual en un producto de dos factores. El proceso se completa cuando todas las “hojas en círculo” en la parte inferior del árbol son números primos. Arreglando los factores en las “hojas en círculo” en orden,
24 = 2 · 2 · 2 · 3.
La respuesta final no depende de las elecciones de productos que se hagan en cada nivel del árbol. Aquí hay otro enfoque.
La respuesta final se encuentra al incluir todos los factores de las “hojas en círculo” al final de cada rama del árbol, lo que arroja el mismo resultado, a saber 24 = 2 · 2 · 2 · 3.
Enfoque Alternativo
Algunos favorecen dividir repetidamente por 2 hasta que el resultado ya no sea divisible por 2. Entonces intenta dividir repetidamente por el siguiente primo hasta que el resultado ya no sea divisible por ese primo. El proceso termina cuando el último cociente resultante es igual al número 1.
La primera columna revela la factorización prima; es decir, 24 = 2 · 2 · 2 · 3.
Ejercicio
Express 36 como producto de factores primos.
- Contestar
-
2 · 2 · 3 · 3.
El hecho de que el enfoque alternativo en el Ejemplo 6 arrojó el mismo resultado es significativo.
Teorema de Factorización Único
Cada número entero puede ser factorizado de manera única como un producto de primos.
Este resultado garantiza que si los factores primos se ordenan de menor a mayor, todos obtendrán el mismo resultado al dividir un número en un producto de factores primos.
Exponentes
Comenzamos con la definición de una expresión exponencial.
Exponentes
La expresión a m se define como
\( a^{m}=\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text { times }}\)
El número a se llama la base de la expresión exponencial y el número m se llama exponente. El exponente m nos dice repetir la base a como factor m veces.
Ejemplo 7
Evaluar 2 5, 2 3, y 5 2.
Solución
- En el caso de 2 5, tenemos
2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
= 32.
- En el caso de 3 3, tenemos
3 3 = 3 · 3 · 3
= 27.
- En el caso de 5 2, tenemos
5 2 = 5 · 5
= 25.
Ejercicio
Evaluar: 3 5.
- Contestar
-
243.
Ejemplo 8
Exprese la solución al Ejemplo 6 en forma compacta usando exponentes.
Solución
En el Ejemplo 6, se determinó la factorización prima de 24.
24 = 2 · 2 · 2 · 3
Porque 2 · 2 · 2=23, podemos escribir esto de manera más compacta.
24 = 2 3 · 3
Ejercicio
Factor primo 54.
- Contestar
-
2 · 3 · 3 · 3
Ejemplo 9
Evaluar la expresión 2 3 · 3 2 · 5 2.
Solución
Primero eleva cada factor al exponente dado, luego realiza la multiplicación en orden (de izquierda a derecha).
2 3 · 3 2 · 5 2 = 8 · 9 · 25
= 72 · 25
= 1800
Ejercicio
Evaluar: 3 3 · 5 2.
- Contestar
-
675
Aplicación
Un cuadrado es un rectángulo con cuatro lados iguales.
Área de un cuadrado
Representemos la longitud de cada lado de un cuadrado.
Debido a que un cuadrado es también un rectángulo, podemos encontrar el área del cuadrado multiplicando su longitud y anchura. Sin embargo, en este caso, tanto la longitud como la anchura son iguales a s, por lo que A = (s) (s) = s 2. Por lo tanto, la fórmula para el área de un cuadrado es
A = s 2.
Ejemplo 10
El borde de un cuadrado es de 13 centímetros. Encuentra el área de un cuadrado.
Solución
Sustituir s = 13 cm en la fórmula de área.
A = s 2
= (13 cm) 2
= (13 cm) (13 cm)
= 169 cm 2
De ahí que el área del cuadrado sea de 169 cm 2; es decir, 169 centímetros cuadrados.
Ejercicio
El borde de una plaza es de 15 metros. Encuentra el área de un cuadrado.
- Contestar
-
225 metros cuadrados
Ejercicios
En Ejercicios 1-12, encuentra todos los divisores del número dado.
1. 30
2. 19
3. 83
4. 51
5. 91
6. 49
7. 75
8. 67
9. 64
10. 87
11. 14
12. 89
En Ejercicios 13-20, ¿cuál de los siguientes números no es divisible por 2?
13. 117, 120, 342, 230
14. 310, 157, 462, 160
15. 30, 22, 16, 13
16. 382, 570, 193, 196
17. 105, 206, 108, 306
18. 60, 26, 23, 42
19. 84, 34, 31, 58
20. 66, 122, 180, 63
En Ejercicios 21-28, ¿cuál de los siguientes números no es divisible por 3?
21. 561, 364, 846, 564
22. 711, 850, 633, 717
23. 186, 804, 315, 550
24. 783, 909, 504, 895
25. 789, 820, 414, 663
26. 325, 501, 945, 381
27. 600, 150, 330, 493
28. 396, 181, 351, 606
En Ejercicios 29-36, ¿cuál de los siguientes números no es divisible por 4?
29. 3797, 7648, 9944, 4048
30. 1012, 9928, 7177, 1592
31. 9336, 9701, 4184, 2460
32. 2716, 1685, 2260, 9788
33. 9816, 7517, 8332, 7408
34. 1788, 8157, 7368, 4900
35. 1916, 1244, 7312, 7033
36. 7740, 5844, 2545, 9368
En Ejercicios 37-44, ¿cuál de los siguientes números no es divisible por 5?
37. 8920, 4120, 5285, 9896
38. 3525, 7040, 2185, 2442
39. 8758, 3005, 8915, 3695
40. 3340, 1540, 2485, 2543
41. 2363, 5235, 4145, 4240
42. 9030, 8000, 5445, 1238
43. 1269, 5550, 4065, 5165
44. 7871, 9595, 3745, 4480
En Ejercicios 45-52, ¿cuál de los siguientes números no es divisible por 6?
45. 328, 372, 990, 528
46. 720, 288, 148, 966
47. 744, 174, 924, 538
48. 858, 964, 930, 330
49. 586, 234, 636, 474
50. 618, 372, 262, 558
51. 702, 168, 678, 658
52. 780, 336, 742, 312
En Ejercicios 53-60, ¿cuál de los siguientes números no es divisible por 8?
53. 1792, 8216, 2640, 5418
54. 2168, 2826, 1104, 2816
55. 8506, 3208, 9016, 2208
56. 2626, 5016, 1392, 1736
57. 4712, 3192, 2594, 7640
58. 9050, 9808, 8408, 7280
59. 9808, 1232, 7850, 7912
60. 3312, 1736, 9338, 3912
En Ejercicios 61-68, ¿cuál de los siguientes números no es divisible por 9?
61. 477, 297, 216, 991
62. 153, 981, 909, 919
63. 153, 234, 937, 675
64. 343, 756, 927, 891
65. 216, 783, 594, 928
66. 504, 279, 307, 432
67. 423, 801, 676, 936
68. 396, 684, 567, 388
En los Ejercicios 69-80, identifique el número dado como primo, compuesto, o ninguno.
69. 19
70. 95
71. 41
72. 88
73. 27
74. 61
75. 91
76. 72
77. 21
78. 65
79. 23
80. 36
En Ejercicios 81-98, encuentra la factorización prima del número natural.
81. 224
82. 320
83. 108
84. 96
85. 243
86. 324
87. 160
88. 252
89. 32
90. 128
91. 360
92. 72
93. 144
94. 64
95. 48
96. 200
97. 216
98. 392
En Ejercicios 99-110, computa el valor exacto de la expresión exponencial dada.
99. 5 2 · 4 1
100. 2 3 · 4 1
101. 0 1
102. 1 3
103. 3 3 · 0 2
104. 3 3 · 2 2
105. 4 1
106. 5 2
107. 4 3
108. 4 2
109. 3 3 · 1 2
110. 5 2 · 2 3
En Ejercicios 111-114, encuentra el área de la plaza con el lado dado.
111. 28 pulgadas
112. 31 pulgadas
113. 22 pulgadas
114. 13 pulgadas
Crea árboles de factores para cada número en Ejercicios 115-122. Escribe la factorización prima para cada número en forma compacta, usando exponentes.
115. 12
116. 18
117. 105
118. 70
119. 56
120. 56
121. 72
122. 270
123. Tamiz de Eratóstenes. Este ejercicio introduce el Tamiz de Eratóstenes, un antiguo algoritmo para encontrar los primos menores que un cierto número n, creado por primera vez por el matemático griego Eratóstenes. Considera la cuadrícula de números enteros del 2 al 100.
Para encontrar los primos menores a 100, proceda de la siguiente manera.
i) Tachar todos los múltiplos de 2 (4, 6, 8, etc.)
ii) El siguiente número de la lista que no ha sido tachado es un número primo.
iii) Tachar de la lista todos los múltiplos del número que identificaste en el paso (ii).
iv) Repita los pasos (ii) y (iii) hasta que ya no pueda golpear más múltiplos.
v) Todos los números sin marcar de la lista son primos.
RESPUESTAS
1. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
3. 1, 83
5. 1, 7, 13, 91
7. 1, 3, 5, 15, 25, 75
9. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
11. 1, 2, 7, 14
13. 117
15. 13
17. 105
19. 31
21. 364
23. 550
25. 820
27. 493
29. 3797
31. 9701
33. 7517
35. 7033
37. 9896
39. 8758
41. 2363
43. 1269
45. 328
47. 538
49. 586
51. 658
53. 5418
55. 8506
57. 2594
59. 7850
61. 991
63. 937
65. 928
67. 676
69. prime
71. prime
73. compuesto
75. compuesto
77. compuesto
79. primo
81. 2 · 2 · 2 · 2 · 7
83. 2 · 2 · 3 · 3 · 3
85. 3 · 3 · 3 · 3 · 3
87. 2 · 2 · 2 · 2 · 5
89. 2 · 2 · 2 · 2 · 2
91. 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
93. 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3
95. 2 · 2 · 2 · 2 · 3
97. 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3
99. 100
101. 0
103. 0
105. 4
107. 64
109. 27
111. 784 en 2
113. 484 en 2
115. 12 = 22 · 3
117. 105 = 3 · 5 · 7
119. 56 = 23 · 7
121. 72 = 23 · 32
123. Los números no tachados son primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97