2.5: Orden de Operaciones

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Para mayor comodidad, repetimos las “Reglas que orientan el orden de operaciones” introducido por primera vez en la Sección 1.5.

Reglas que guían el orden de operaciones

Al evaluar expresiones, proceda en el siguiente orden.

Evalúe primero las expresiones contenidas en los símbolos de agrupación. Si los símbolos de agrupación están anidados, evalúe primero la expresión en el par más interno de símbolos de agrupación.
Evaluar todos los exponentes que aparecen en la expresión.
Realizar todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparezcan en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.
Realizar todas las sumas y restaciones en el orden en que aparezcan en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.

Veamos una serie de ejemplos que requieren el uso de estas reglas.

Ejemplo 1

Simplificar: (a) (−3) ² y (b) −3 ²

Solución

Recordemos que para cualquier entero a, tenemos (−1) a = − a. Debido a que la negación equivale a multiplicar por −1, el “Orden de Operaciones de las Reglas” requiere que abordemos los símbolos y exponentes de agrupación antes de la negación.

a) Debido a los símbolos de agrupación, negamos primero, luego cuadrado. Es decir,

\[ \begin{aligned} (−3)^2 = (−3)(−3) \\ & = 9. \end{aligned}\nonumber \]

b) No hay símbolos de agrupación en este ejemplo. Así, debemos cuadrar primero, luego negar. Es decir,

\[ \begin{aligned} −3^2 = −(3 \cdot 3) \\ = −9. \end{aligned}\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar: −2 ².

Responder: −4

Ejemplo 2

Simplificar: −2 − 3 (5 − 7).

Solución

Agrupar símbolos primero, luego multiplicar, luego restar.

\[ \begin{aligned} -2-3(5-7)=-2-3(-2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Perform subtraction within parentheses.}} \\ =2 -2-(-6) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 3(-2)=-6.} \\ = -2+6 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ =4 \end{aligned}\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar: −3 − 2 (6 − 8).

Responder: 1

Ejemplo 3

Simplificar: −2 (2 − 4) ² − 3 (3 − 5) ³.

Solución

Agrupar primero los símbolos, luego multiplicar y restar, en ese orden.

\[ \begin{aligned} -2(2-4)^2 -3(3-5)^3 = -2(-2)^2 -3(-2)^3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Perform subtraction within parentheses first.} \\ =2 (4) -3(-8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Exponents are next.}} \\ =-8-(-24) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiplications are next.}} \\ =-8+24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ =16 \end{aligned}\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar: −2 (5 − 6) ³ − 3 (5 − 7) ²

Responder: -10

Ejemplo 4

Simplificar: −24 ÷ 8 (−3).

Solución

La división no tiene preferencia sobre la multiplicación, o viceversa. Las divisiones y multiplicaciones deben realizarse en el orden en que ocurran, moviéndose de izquierda a derecha.

\[ \begin{aligned} -24 \div 8(-3) = -3(-3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Division first: } -24 \div 8 = -3.} \\ =9 \end{aligned}\nonumber \]

Ten en cuenta que si multiplicas primero, lo que sería incorrecto, obtendrías una respuesta completamente diferente.

Ejercicio

Simplificar: −48 ÷ 6 (−2).

Responder: 16

Ejemplo 5

Simplificar: (−2) (−3) (−2) ³.

Solución

Exponentes primero, luego multiplicación en el orden en que ocurre, moviéndose de izquierda a derecha.

\[ \begin{aligned} (-2)(-3)(-2)^3 = (-2)(-3)(-8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Exponent first: } (-2)^3 = -8.} \\ =6(-8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply from left to right: } (-2)(-3) = 6.} \\ =-48 \end{aligned}\nonumber \]

¡Lo intentas!

Simplificar: (−4) (−2) ² (−1) ³.

Responder: 16

Evaluar fracciones

Si hay una barra de fracciones, evalúe el numerador y el denominador por separado de acuerdo con el “Orden de Operaciones Rector de Reglas”, luego realice la división en el paso final.

Ejemplo 6

Simplificar:

\[ \frac{-5-5(2-4)^3}{-22 - 3(-5)}\nonumber \]

Solución

Evalúa el numerador y el denominador por separado, luego divide.

\[ \begin{aligned} \frac{-5-5(2-4)^3}{-22-3(-5)} = \frac{-5-5(-2)^3}{-22-(-15)} ~ & \begin{array}{l} \textcolor{red}{ \text{ Numerator: parentheses first.}} \\ \textcolor{red}{ \text{ Denominator: multiply } 3(-5)=-15.} \end{array} \\ = \frac{-5-5(-8)}{-22+15} ~ & \begin{array}{l} \textcolor{red}{ \text{ Numerator: exponent } (-2)^3 = -8.} \\ \textcolor{red}{ \text{ Denominator: add the opposite.}} \end{array} \\ = \frac{-5-(-40)}{-7} & \begin{array}{l} \textcolor{red}{ \text{ Numerator: multiply } 5(-8) = -40.} \\ \textcolor{red}{ \text{ Denominator: add } -22 + 15 = -7.} \end{array} \\ = \frac{-5+40}{-7} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Numerator: add the opposite.}} \\ = \frac{35}{-7} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Numerator: } -5 + 40 = 35.} \\ = -5 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 35/-7 = -5.} \end{aligned}\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar:

\[ \frac{6-2(-6)}{-2-(-2)^2}\nonumber \]

Responder: -3

Valor Absoluto

Valor absoluto calcula la magnitud del vector asociado a un entero, que es igual a la distancia entre el número y el origen (cero) en la recta numérica. Así, por ejemplo, |4| = 4 y | − 5| = 5.

Pero las barras de valores absolutos también actúan como símbolos de agrupación, y de acuerdo con las “Reglas que guían el orden de operaciones”, primero se debe evaluar la expresión dentro de un par de símbolos de agrupación.

Ejemplo 7

Simplificar: (a) − (−3) y (b) −| − 3|.

Solución

Existe una gran diferencia entre los símbolos de agrupación simples y el valor absoluto.

a) Este es un caso de − (− a) = a. Así, − (−3) = 3.

b) Este caso es muy diferente. El valor absoluto de −3 es 3, y luego el negativo de eso es −3. En símbolos,

−| − 3| = −3

Ejercicio

Simplificar: −|−8|.

Responder: −8

Ejemplo 8

Simplificar: −3 − 2|5 − 7|.

Solución

Evalúe primero la expresión dentro de las barras de valor absoluto. Después multiplicar, después restar.

\[ \begin{aligned} -3-2|5-7|=-3-2|-2| ~ & \end{aligned}\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar: −2 − 4|6 − 8|.

Responder: −10

Ejercicios

En los Ejercicios 1-40, calcule el valor exacto de la expresión dada.

1. \(7 - \frac{-14}{2}\)

2. \(-2 - \frac{-16}{4}\)

3. \(-7 - \frac{-18}{9}\)

4. \(-6 - \frac{-7}{7}\)

5. −54

6. −33

7. 9 − 1 (−7)

8. 85 − 8 (9)

9. −63

10. −35

11. 3 + 9 (4)

12. 6 + 7 (−1)

13. 10 − 72 ÷ 6 · 3+8

14. 8 − 120 ÷ 5 · 6+7

15. \(6 + \frac{14}{2}\)

16. \(16 + \frac{8}{2}\)

17. −34

18. −22

19. 3 − 24 ÷ 4 · 3+4

20. 4 − 40 ÷ 5 · 4+9

21. 64 ÷ 4 · 4

22. 18 ÷ 6 · 1

23. −2 − 3 (−5)

24. 64 − 7 (7)

25. 15 ÷ 1 · 3

26. 30 ÷ 3 · 5

27. 8 + 12 ÷ 6 · 1 − 5

28. 9 + 16 ÷ 2 · 4 − 9

29. 32 ÷ 4 · 4

30. 72 ÷ 4 · 6

31. \(-11 + \frac{16}{16}\)

32. \(4 + \frac{-20}{4}\)

33. −52

34. −43

35. 10 + 12 (−5)

36. 4 + 12 (4)

37. 2+6 ÷ 1 · 6 − 1

38. 1 + 12 ÷ 2 · 2 − 6

39. 40 ÷ 5 · 4

40. 30 ÷ 6 · 5

En los Ejercicios 41-80, simplificar la expresión dada.

41. −11 + | − 1 − (−6) ² |

42. 13 + | − 21 − (−4) ² |

43. |0 (−4) | − 4 (−4)

44. |10 (−3) | − 3 (−1)

45. (2 + 3 · 4) − 8

46. (11 + 5 · 2) − 10

47. (8 − 1 · 12) + 4

48. (9 − 6 · 1) + 3

49. (6 + 10 · 4) − 6

50. (8 + 7 · 6) − 12

51. 10 + (6 − 4) ³ − 3

52. 5 + (12 − 7) ² − 6

53. (6 − 8) ² − (4 − 7) ³

54. (3 − 8) ² − (4 − 9) ³

55. |0 (−10) | + 4 (−4)

56. |12 (−5) | + 7 (−5)

57. |8 (−1) | − 8 (−7)

58. |6 (−11) | − 7 (−1)

59. 3 + (3 − 8) ² − 7

60. 9 + (8 − 3) ³ − 6

61. (4 − 2) ² − (7 − 2) ³

62. (1 − 4) ² − (3 − 6) ³

63. 8 −|− 25 − (−4) ² |

64. 20 −|− 22 − 4 ² |

65. −4 − |30 − (−5) ² |

66. −8 −|− 11 − (−6) ² |

67. (8 − 7) ² − (2 − 6) ³

68. (2 − 7) ² − (4 − 7) ³

69. 4 − (3 − 6) ³ + 4

70. 6 − (7 − 8) ³ + 2

71. −3 + | − 22 − 5 ² |

72. 12 + |23 − (−6) ² |

73. (3 − 4 · 1) + 6

74. (12 − 1 · 6) + 4

75. 1 − (1 − 5) ² + 11

76. 9 − (3 − 1) ³ + 10

77. (2 − 6) ² − (8 − 6) ³

78. (2 − 7) ² − (2 − 4) ³

79. |9 (−3) | + 12 (−2)

80. |0 (−3) | + 9 (−7)

En los Ejercicios 81-104, simplificar la expresión dada.

81. \( \frac{4(-10) -5}{-9}\)

82. \( \frac{-4 \cdot 6 - (-8)}{-4}\)

83. \(\frac{10^2 - 4^2}{2 \cdot 6 - 10}\)

84. \(\frac{3^2 - 9^2}{2 \cdot 7 - 5}\)

85. \( \frac{3^2 + 6^2}{5 - 1 \cdot 8}\)

86. \( \frac{10^2 + 4^2}{1 - 6 \cdot 5}\)

87. \( \frac{-8-4}{7 - 13}\)

88. \( \frac{13-1}{8-4}\)

89. \( \frac{2^2 + 6^2}{11 - 4 \cdot 4}\)

90. \( \frac{7^2 + 3^2}{10 - 8 \cdot 1}\)

91. \(\frac{1^2 - 5^2}{9 \cdot 1 - 5}\)

92. \( \frac{5^2 - 7^2}{2 \cdot 2 - 12}\)

93. \( \frac{4^2 - 8^2}{6 \cdot 3 - 2}\)

94. \( \frac{7^2 - 6^2}{6 \cdot 3 - 5}\)

95. \( \frac{10^2 + 2^2}{10-2 \cdot 7}\)

96. \( \frac{2^2 + 10^2}{10 - 2 \cdot 7}\)

97. \( \frac{16-(-2)}{19-1}\)

98. \( \frac{-8-20}{-15-(-17}\)

99. \( \frac{15 -(-15)}{13-(-17)}\)

100. \( \frac{7-(-9)}{-1-1}\)

101. \( \frac{4 \cdot 5 - (-19)}{3}\)

102. \( \frac{10 \cdot 7 - (-11)}{-3}\)

103. \( \frac{-6 \cdot 9 -(-4)}{2}\)

104. \( \frac{-6 \cdot 2 - 10}{-11}\)

RESPUESTAS

1. 14

3. −5

5. −625

7. 16

9. −216

11. 39

13. −18

15. 13

17. −81

19. −11

21. 64

23. 13

25. 45

27. 5

29. 32

31. −10

33. −25

35. −50

37. 37

39. 32

41. 26

43. 16

45. 6

47. 0

49. 40

51. 15

53. 31

55. −16

57. 64

59. 21

61. −121

63. −33

65. −9

67. 65

69. 35

71. 44

73. 5

75. −4

77. 8

79. 3

81. 5

83. 42

85. −15

87. 2

89. −8

91. −6

93. −3

95. −8

97. 1

99. 1

101. 13

103. −25

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