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4.3: Multiplicar fracciones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Considere la imagen en la Figura 4.5, donde las líneas verticales dividen la región rectangular en tres piezas iguales. Si sombreamos una de las tres piezas iguales, el área sombreada representa 1/3 de toda la región rectangular.

Screen Shot 2019-08-30 a las 9.47.42 AM.png
Figura 4.5: La región sombreada es 1/3 de toda la región.

Nos gustaría visualizar tomando 1/2 de 1/3. Para ello, dibujamos una línea horizontal adicional que divide la región sombreada por la mitad horizontalmente. Esto se muestra en la Figura 4.6. La región sombreada que representaba 1/3 ahora se divide en dos regiones rectangulares más pequeñas, una de las cuales está sombreada con un color diferente. Esta región representa 1/2 de 1/3.

Screen Shot 2019-08-30 a las 9.47.49 AM.png
Figura 4.6: Sombreado 1/2 de 1/3.

A continuación, extender la línea horizontal todo el ancho de la región rectangular, como se muestra en la Figura 4.7.

Screen Shot 2019-08-30 a las 9.47.55 AM.png
Figura 4.7: Sombreado 1/2 de 1/3.

Tenga en cuenta que dibujar la línea horizontal, junto con las tres líneas verticales originales, ha logrado dividir la región rectangular completa en seis piezas más pequeñas pero iguales, solo una de las cuales (la que representa 1/2 de 1/3) está sombreada en un nuevo color. De ahí que esta pieza recién sombreada representa 1/6 de toda la región. La conclusión de nuestro argumento visual es el hecho de que 1/2 de 1/3 equivale a 1/6. En símbolos,

1213=16.

Ejemplo 1

Crea un argumento visual que muestre que 1/3 de 2/5 es 2/15.

Solución

Primero, divida una región rectangular en cinco piezas iguales y sombree dos de ellas. Esto representa la fracción 2/5.

Screen Shot 2019-08-30 a las 9.50.36 AM.png

A continuación, dibuje dos líneas horizontales que dividen la región sombreada en tres piezas iguales y sombrean 1 de las tres piezas iguales. Esto representa tomar 1/3 de 2/5.

Screen Shot 2019-08-30 a las 9.50.43 AM.png

A continuación, extiende las líneas horizontales todo el ancho de la región y devuelve la línea vertical original desde la primera imagen.

Screen Shot 2019-08-30 a las 9.50.51 AM.png

Obsérvese que las tres líneas horizontales, aunadas a las cinco líneas verticales originales, han logrado dividir toda la región en 15 piezas más pequeñas pero iguales, de las cuales sólo dos (las que representan 1/3 de 2/5) están sombreadas en el nuevo color. De ahí que esta pieza recién sombreada representa 2/15 de toda la región. La conclusión de este argumento visual es el hecho de que 1/3 de 2/5 equivale a 2/15. En símbolos,

1325=215.

Ejercicio

Crea un argumento visual que muestre que 1/2 de 1/4 es 1/8.

Contestar

Diagrama:

Screen Shot 2019-08-30 a las 9.53.06 AM.png

Regla de multiplicación

En la Figura 4.7, vimos que 1/2 de 1/3 equivale a 1/6. Observe lo que sucede cuando multiplicamos los numeradores y multiplicamos los denominadores de las fracciones 1/2 y 1/3.

1213=1123  Multiply numerators; multiply denominators.=16  Simplify numerators and denominators.

¡Obtenemos 1/6!

¿Podría ser esto una coincidencia o suerte? Intentemos eso nuevamente con las fracciones del Ejemplo 1, donde vimos que 1/3 de 2/5 equivale a 2/15. Nuevamente, multiplicar los numeradores y denominadores de 1/3 y 2/5.

1325=1235  Multiply numerators; multiply denominators.=215  Simplify numerators and denominators.

De nuevo, ¡obtenemos 2/15!

Estos dos ejemplos motivan la siguiente definición.

Definición: Regla de multiplicación

Para encontrar el producto de las fracciones a/b y c/d, multiplique sus numeradores y denominadores. En símbolos,

abcd=acbd

Ejemplo 2

Multiplica 1/5 y 7/9.

Solución

Multiplicar numeradores y multiplicar denominadores.

1579=1759  Multiply numerators; multiply denominators.=745  Simplify numerators and denominators.

Ejercicio

Multiplicar:

1325

Contestar

Multiplicar:615

Ejemplo 3

Encuentra el producto de −2/3 y 7/9.

Solución

Las reglas habituales de los signos se aplican a los productos. A diferencia de los signos arrojan un resultado negativo.

2379=2739 Multiply numerators; multiply denominators.=1427  Simplify numerators and denominators.

No se requiere que muestres físicamente el paso medio. Si quieres hacerlo mentalmente, entonces simplemente puedes escribir

2379=1427.

Ejercicio

Multiplicar:

3527

Contestar

635

Multiplicar y reducir

Después de multiplicar dos fracciones, asegúrate de que tu respuesta se reduzca a los términos más bajos (ver Sección 4.1).

Ejemplo 4

Multiplicar 3/4 veces 8/9.

Solución

Después de multiplicar, divide el numerador y el denominador por el mayor divisor común del numerador y denominador.

3489=3849  Multiply numerators and denominators.=2436  Simplify numerator and denominator.=24÷1236÷12  Divide numerator and denominator by GCD.=23  Simplify numerator and denominator.

Alternativamente, después de multiplicar, puede factorizar tanto el numerador como el denominador, luego cancelar los factores comunes.

3489=2436  Multiply numerators and denominators.=22232233  Prime factor numerator and denominator.==22232233  Cancel common factors.=23 

Ejercicio

Multiplicar:

37149

Contestar

23

Ejemplo 5

Multiplica −7x/2 y 5/ (14x 2).

Solución

Después de multiplicar, factor primo tanto numerador como denominador, luego cancelar factores comunes. Tenga en cuenta que a diferencia de los signos produce un producto negativo.

7x2514x2=35x28x2  Multiply numerators and denominators.=57x227xx  Prime factor numerator and denominator.=57x227xx  Cancel common factors.=54x

Ejercicio

Multiplicar:

3x2621x3

Contestar

37x2

Multiplicar y cancelar o cancelar y multiplicar

Cuando se trabaja con números más grandes, se vuelve un poco más difícil de multiplicar, factorizar y cancelar. Considera el siguiente argumento.

1830356=630180  Multiply numerators; multiply denominators.=2335722335  Prime factor numerators and denominators.=2335722335  Cancel common factors.=72  Remaining factors.

Hay una serie de dificultades con este enfoque. Primero, hay que multiplicar números grandes, y en segundo lugar, hay que factorizar los resultados aún mayores.

Una posible alternativa es no molestarse en multiplicar numeradores y denominadores, dejándolos en forma factorizada.

1830356=1835306  Multiply numerators; multiply denominators.

Encontrar la factorización principal de estos factores más pequeños es más fácil.

=(233)(57)(235)(23)  Prime factor.

Ahora podemos cancelar factores comunes. Ya no se necesitan paréntesis en el numerador y denominador porque ambos contienen un producto de factores primos, por lo que el orden y la agrupación no importan.

=2335723523  Cancel common factors.=72  Remaining factors.

Otro enfoque es factorizar numeradores y denominadores en su lugar, cancelar factores comunes, luego multiplicar.

1830356=2332355723  Factor numerators and denominators.=23332355723  Cancel common factors.=72  Remaining factors.

Tenga en cuenta que esto arroja exactamente el mismo resultado, 7/2.

Regla de Cancelación

Al multiplicar fracciones, cancele los factores comunes de acuerdo con la siguiente regla: “Cancelar un factor en un numerador por un factor idéntico en un denominador”.

Ejemplo 6

Encuentre el producto de 14/15 y 30/140.

Solución

Multiplicar numeradores y multiplicar denominadores. Factor primo, cancelar factores comunes, luego multiplicar.

141530140=143015140  Multiply numerators; multiply denominators.=(27)(235)(35)(2257)  Prime factor numerators and denominators.=2723535cdot2257  Cancel common factors.=15  Multiply.

Nota: Todo en el numerador cancela porque has dividido el numerador por sí mismo. De ahí que la respuesta tenga un 1 en su numerador.

Ejercicio

Multiplicar:

6357036

Contestar

13

Cuando todo se cancela

Cuando todos los factores en el numerador cancelan, esto significa que estás dividiendo el numerador por sí mismo. De ahí que te quedes con un 1 en el numerador. La misma regla se aplica al denominador. Si todo en el denominador se cancela, te quedas con un 1 en el denominador.

Ejemplo 7

Simplifica el producto:\ (-\ frac {6x} {55y}\ cdot\ left (-\ frac {110y^2} {105x^2}\ right). \ nonumber\]

Solución

El producto de dos negativos es positivo.

6x55y(110y2105x2)=6x55y110y2105x2  Like signs gives a positive.

Numeradores y denominadores de factores primos, luego cancelan los factores comunes.

=23x511y2511yy357xx  Prime factor numerators & denominators.=23x511y2511yy357xx  Cancel common factors.=22y57x  Remaining factors.=4y35x  Multiply numerators; multiply denominators.

Ejercicio

Simplificar:

6x15b(35b210a2)

Contestar

21b5a

Paralelogramos

En esta sección, vamos a aprender a encontrar el área de un paralelogramo. Comencemos con la definición de un paralelogramo. Recordemos que un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Un paralelogramo es un tipo muy especial de cuadrilátero.

Paralelogramo

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Screen Shot 2019-08-30 a las 11.10.40 AM.png

Al lado sobre el que descansa el paralelogramo se le llama su base (etiquetada b en la figura) y la distancia desde su base hasta el lado opuesto se llama su altura (etiquetada h en la figura). Tenga en cuenta que la altitud es perpendicular a la base (se encuentra con la base en un ángulo de 90◦).

La Figura 4.8 muestra un rectángulo que tiene longitud b y ancho h. Por lo tanto, el área del rectángulo en la Figura 4.8 es A = bh, la cual se encuentra tomando el producto del largo y ancho. Tome un par de tijeras y corte un triángulo desde el extremo derecho del rectángulo como se muestra en la Figura 4.9 (a), luego pegue el triángulo cortado al extremo izquierdo como se muestra en la Figura 4.9 (b). El resultado, visto en la Figura 4.9 (b), es un paralelogramo que tiene base b y altura h.

Debido a que no hemos tirado ningún material al crear el paralelogramo del rectángulo, el paralelogramo tiene la misma área que el rectángulo original. Es decir, el área del paralelogramo es A = bh.

Screen Shot 2019-08-30 a las 11.12.48 AM.png
Figura 4.8: El área del rectángulo es A = bh.
Screen Shot 2019-08-30 a las 11.13.27 AM.png
Figura 4.9: Creación de un paralelogramo a partir de un rectángulo.

Área de un paralelogramo

Un paralelogramo que tiene base b y altura h tiene área A = bh. Es decir, para encontrar el área de un paralelogramo, tomar el producto de su base y altura.

Ejemplo 8

Encuentra el área del paralelogramo que se muestra a continuación.

Screen Shot 2019-08-30 a las 11.15.04 AM.png

Solución

El área del paralelogramo es igual al producto de su base y altura. Es decir,

A=bh  Area formula for a parallelogram.=(6 ft)(53 ft)  Substitute: 6 ft for b, 5/3 ft for h.=303 ft2.  Multiply numerators and denominators.=10 ft2.  Divide.

Así, el área del paralelogramo es de 10 pies cuadrados.

Ejercicio

La base de un paralelogramo mide 14 pulgadas. La altura es de 8/7 de pulgada. ¿Cuál es el área del paralelogramo?

Contestar

16 pulgadas cuadradas

Triángulos

Volvamos nuestra atención a aprender a encontrar el área de un triángulo.

Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados. Se forma trazando tres puntos y conectándolos con tres segmentos de línea. A cada uno de los tres puntos se le llama vértice del triángulo y a cada uno de los tres segmentos de línea se le llama lado del triángulo.

Screen Shot 2019-08-30 a las 11.19.46 AM.png

El lado sobre el que descansa el triángulo se llama su base, y la distancia entre su base y vértice opuesto se llama su altura de altitud. La altitud siempre es perpendicular a la base; es decir, forma un ángulo de 90◦ con la base.

Se ve fácilmente que un triángulo tiene la mitad del área de un paralelogramo.

Screen Shot 2019-08-30 a las 11.19.51 AM.png

El paralelogramo tiene área A = bh. Por lo tanto, el triángulo tiene la mitad de esa área. Es decir, el área del triángulo es A = (1/2) bh.

Área de un Triángulo

Un triángulo que tiene base b y altura h tiene área A = (1/2) bh. Es decir, para encontrar el área de un triángulo, tomar la mitad del producto de la base y la altura.

Ejemplo 9

Encuentra el área del triángulo que se muestra a continuación.

Screen Shot 2019-08-30 a las 11.23.40 AM.png

Solución

Para encontrar el área del triángulo, toma la mitad del producto de la base y la altura.

A=12bh  Area of a triangle formula.=12(13 cm)(6 cm)  Substitute: 13 cm for b, 6 cm for h.=78 cm22  Multiply numerators; multiply denominators.=39 cm2.  Simplify.

Por lo tanto, el área del triángulo es de 39 centímetros cuadrados.

Ejercicio

La base de un triángulo mide 15 metros. La altura es de 12 metros. ¿Cuál es el área del triángulo?

Contestar

90 metros cuadrados

Identificar la Base y Altitud

A veces puede ser un poco difícil determinar la base y la altitud (altura) de un triángulo. Por ejemplo, considere el triángulo en la Figura 4.10 (a). Digamos que elegimos el borde inferior del triángulo como base y denotamos su longitud con la variable b, como se muestra en la Figura 4.10 (a).

Screen Shot 2019-08-30 a las 11.28.19 AM.png
Figura 4.10: Identificar la base y altitud (altura) de un triángulo.

La altitud (altura) del triángulo se define como la distancia entre la base del triángulo y su vértice opuesto. Para identificar esta altitud, primero debemos extender la base, como se ve en la extensión discontinua en la Figura 4.10 (b), luego dejar caer una línea discontinua perpendicular desde el vértice opuesto a la base extendida, también mostrada en la Figura 4.10 (b). Esta perpendicular es la altitud (altura) del triángulo y denotamos su longitud por h.

Pero podemos ir más allá. Cualquiera de los tres lados de un triángulo puede ser designado como la base del triángulo. Supongamos que, como se muestra en la Figura 4.11 (a), identificamos un lado diferente como la base, con longitud denotada por la variable b.

La altitud a esta nueva base será un segmento desde el vértice opuesto, perpendicular a la base. Su longitud en la Figura 4.11 (b) se denota por h.

De igual manera, hay un tercer lado del triángulo que también podría usarse como base. La altitud a este tercer lado se encuentra al caer una perpendicular desde el vértice del triángulo directamente opuesto a esta base. Esto también requeriría extender la base. Dejamos esto a nuestros lectores para que lo exploren.

Screen Shot 2019-08-30 a las 11.30.30 AM.png
Figura 4.11: Identificar la base y altitud (altura) de un triángulo.

Punto Clave

Cualquiera de los tres lados de un triángulo puede ser utilizado como base. La altitud se dibuja dejando caer una perpendicular desde el vértice opuesto a la base elegida. Esto a veces requiere que extendamos la base. Independientemente del lado que usemos para la base, la fórmula A = bh /2 producirá el mismo resultado de área.

Ejercicios

1. Crear un diagrama, como el que se muestra en la Figura 4.7, para mostrar que 1/3 de 1/3 es 1/9.

2. Crear un diagrama, como el que se muestra en la Figura 4.7, para mostrar que 1/2 de 1/4 es 1/8.

3. Crear un diagrama, como el que se muestra en la Figura 4.7, para mostrar que 1/3 de 1/4 es 1/12.

4. Crear un diagrama, como el que se muestra en la Figura 4.7, para mostrar que 2/3 de 1/3 es 2/9.


En Ejercicios 1-28, multiplica las fracciones, y simplifica tu resultado.

5. 2142219

6. 419218

7. 20111722

8. 9267

9. 2181415

10. 171834

11. 511720

12. 522019

13. 81316

14. 12759

15. 21598

16. 211218

17. 171234

18. 7131021

19. 623910

20. 121152

21. 2324617

22. 492119

23. 24752

24. 202312

25. 12811

26. 1118203

27. 2413718

28. 212045


En los Ejercicios 29-40, multiplica las fracciones, y simplifica tu resultado.

29. 12y31329y6

30. 8x3365x5

31. 11y32465y5

32. 11y182117y6

33. 8x2211819x

34. 2y411718y

35. 13x615916x2

36. 22x6151716x3

37. 6y35207y6

38. 21y583y2

39. 3y342312y

40. 16y6152113y4


En los Ejercicios 41-56, multiplica las fracciones, y simplifica tu resultado.

41. 13y620x42x7y2

42. 8y313x67x210y2

43. 23y421x7x64y2

44. 2x69y4y520x

45. 11y612x62x47y2

46. 16x313y411y218x

47. x621y37y49x5

48. 3y35x14x515y2

49. 19y218x10x37y3

50. 20x9y3y64x3

51. 4y35x510x21y4

52. 11y214x422x21y3

53. 16x21y27y35x2

54. 4y5x10x37y6

55. 17x33y612y27x4

56. 6x411y313y28x5


En los Ejercicios 57-62, encuentra el área del paralelogramo que tiene la base y altitud dadas.

57. base = 8 cm, altitud = 7 cm

58. base = 2 cm, altitud = 11 cm

59. base = 6 cm, altitud = 13 cm

60. base = 2 cm, altitud = 6 cm

61. base = 18 cm, altitud = 14 cm

62. base = 20 cm, altitud = 2 cm


En Ejercicios 63-68, encuentra el área del triángulo que se muestra en la figura. (Nota: Las figuras no están dibujadas a escala.)

63.

Screen Shot 2019-08-30 a las 2.00.34 PM.png

64.

Screen Shot 2019-08-30 a las 2.00.42 PM.png

65.

Screen Shot 2019-08-30 a las 2.00.49 PM.png

66.

Screen Shot 2019-08-30 a las 2.00.57 PM.png

67.

Screen Shot 2019-08-30 en 2.01.03 PM.png

68.

Screen Shot 2019-08-30 en 2.01.08 PM.png


69. Peso en la Luna. En la luna, solo pesarías 1/6 de lo que pesas en la tierra. Si pesas 138 libras en la tierra, ¿cuál sería tu peso en la luna?


RESPUESTAS

1. Esto demuestra que 1/3 de 1/3 es 1/9.

Screen Shot 2019-08-30 at 1.51.28 PM.png

3. Esto demuestra que 1/3 de 1/4 es 1/12.

Screen Shot 2019-08-30 at 1.51.35 PM.png

5. 23138

7. 170121

9. 4920

11. 744

13. 439

15. 320

17. 1716

19. 27115

21. 2368

23. 607

25. 411

27. 2839

29. 839y3

31. 1120y2

33. 48x133

35. 39x480

37. 247y3

39. 23y216

41. 13y470x3

43. 23y2x512

45. 11y442x2

47. xy27

49. 95x263y

51. 821yx4

53. 16y15x

55. 687xy4

57. 56 cm 2

59. 78 cm 2

61. 252 cm 2

63. 63 ft 2

65. 30 en 2

67. 10 cm 2

69. 23 libras


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