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4.6: Multiplicar y dividir fracciones mixtas

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Comenzamos con definiciones de fracciones propias e impropias.

Fracciones propias e impropias

Una fracción propia es una fracción cuyo numerador es menor que su denominador. Una fracción impropia es una fracción cuyo numerador es mayor que su denominador.

Por ejemplo,

23, 2339, and 119127

son todos ejemplos de fracciones propias. Por otra parte,

43, 317123, and 233101

son todos ejemplos de fracciones impropias.

Una fracción mixta 1 es parte número entero, fracción parcial.

Fracciones Mixtas

El número

534

se llama fracción mixta. Se define como

534=5+34.

En la fracción mixta534, el 5 es la parte del número entero y el 3/4 es la parte fraccionaria.

Cambio de fracciones mixtas a fracciones impropias

Tenemos todas las herramientas necesarias para cambiar una fracción mixta en una fracción impropia. Comenzamos con un ejemplo.

Ejemplo 1

Cambiar la fracción mixta478 en una fracción impropia.

Solución

Empleamos la definición de una fracción mixta, hacemos una fracción equivalente para la parte del número entero, luego agregamos.

478=4+78  By definition.=488+78  Equivalent fraction with LCD = 8.=48+78  Add numerators over common denominator.=398  Simplify the numerator.

Así,478 es igual a 39/8.

Ejercicio

Cambiar534 a una fracción impropia.

Contestar

23/4

Existe una técnica rápida que puedes usar para cambiar una fracción mixta en una fracción impropia.

Manera Rápida de Cambiar una Fracción Mixta a una Fracción Inapropiada

Para cambiar una fracción mixta a una fracción impropia, multiplique la parte del número entero por el denominador, agregue el numerador, luego coloque el resultado sobre el denominador.

Así, para cambiar rápidamente478 a una fracción impropia, multiplicar el número entero 4 por el denominador 8, sumar el numerador 7, luego colocar el resultado sobre el denominador. En símbolos, esto se vería así:

478=48+78.

Así es precisamente como se ve el tercer paso del Ejemplo 1; simplemente estamos eliminando gran parte del trabajo.

Ejemplo 2

Cambiar423 a una fracción impropia.

Solución

Toma423, multiplica la parte del número entero por el denominador, suma el numerador, luego pon el resultado sobre el denominador.

423=43+23

Así, el resultado es

423=143.

Ejercicio

Cambiar\boldsymbol{7 \frac{3{8}} a una fracción impropia.

Contestar

59/8

Es muy fácil hacer el paso intermedio en el Ejemplo 2 mentalmente, permitiéndote saltarte el paso intermedio e ir directamente de la fracción mixta a la fracción impropia sin anotar ni un solo poco de trabajo.

Ejemplo 3

Sin anotar ningún trabajo, utilizar la aritmética mental para cambiar235 a una fracción impropia.

Solución

Para cambiar235 a una fracción impropia, ignore el signo menos, proceda como antes, luego prefija el signo menos a la fracción impropia resultante. Entonces, multiplica 5 veces 2 y suma 3. Ponga el resultado 13 sobre el denominador 5, luego prefija la fracción impropia resultante con un signo menos. Es decir,

235=135.

Ejercicio

Cambiar3512 a una fracción impropia.

Contestar

−41/12

Cambio de fracciones impropias a fracciones mixtas

El primer paso para cambiar la fracción impropia 27/5 por una fracción mixta es escribir la fracción impropia como suma.

275=255+25

Simplificando la ecuación 4.1, obtenemos

275=5+25=525

Comentario. No se puede simplemente elegir cualquier suma. La suma utilizada en la ecuación 4.1 se construye de manera que la primera fracción sea igual a un número entero y la segunda fracción sea propia. Cualquier otra suma no logrará producir la fracción mixta correcta. Por ejemplo, la suma

275=235+45

es inútil, porque 23/5 no es un número entero. Asimismo, la suma

275=205+75

no es bueno. A pesar de que 20/5 = 4 es un número entero, la segunda fracción 7/5 sigue siendo impropia.

Ejemplo 4

Cambiar 25/9 a una fracción mixta.

Solución

Romper 25/9 en la suma correspondiente.

259=189+79=2+79=279

Ejercicio

Cambiar 25/7 a una fracción mixta.

Contestar

347.

Comentar. Está surgiendo un patrón. • En el caso de 27/5, tenga en cuenta que 27 dividido por 5 es igual a 5 con un resto de 2. Compare esto con el resultado de la fracción mixta: 27/5=5 2 5. • En el caso del Ejemplo 4, nótese que 25 dividido por 9 es 2 con un resto de 7. Compárelo con el resultado de la fracción mixta: 25/9=2 7 9. Estas observaciones motivan la siguiente técnica.

Manera Rápida de Cambiar una Fracción Inapropiada a una Fracción Mixta

Para cambiar una fracción impropia a una fracción mixta, divida el numerador por el denominador. El cociente será la parte numérica entera de la fracción mixta. Si colocas el resto sobre el denominador, esta será la parte fraccionaria de la fracción mixta.

Ejemplo 5

Cambiar 37/8 a una fracción mixta.

Solución

37 dividido por 8 es 4, con un resto de 5. Es decir:

Screen Shot 2019-09-03 a las 9.24.33 PM.png

El cociente se convierte en la parte del número entero y ponemos el resto sobre el divisor. Por lo tanto,

378=458.

Nota: Puedes verificar tu resultado con la “Manera Rápida de Cambiar una Fracción Mixta a una Fracción Inadecuada”. 8 veces 4 más 5 es 37. Pon esto sobre 8 para obtener 37/8.

Ejercicio

Cambiar 38/9 a una fracción mixta.

Contestar

429

Ejemplo 6

Cambiar −43/5 a una fracción mixta.

Solución

Ignorar el signo menos y proceder de la misma manera que en el Ejemplo 5. 43 dividido por 5 es 8, con un resto de 3.

Screen Shot 2019-09-03 at 9.27.31 PM.png

El cociente es la parte del número entero, luego ponemos el resto sobre el divisor. Por último, prefijo el signo menos.

435=835

Multiplicar y dividir fracciones mixtas

Tienes todas las herramientas necesarias para multiplicar y dividir fracciones mixtas. Primero, cambia las fracciones mixtas a fracciones impropias, luego multiplica o divide como hiciste en las secciones anteriores.

1 Una fracción mixta a veces se denomina número mixto.

Ejemplo 7

Simplificar:2112245.

Solución

Cambiar a fracciones impropias, factorizar, cancelar y simplificar.

2112245=2512145  Change to improper fractions.=2514125  Multiply numerators; multiply denominators. Unlike signs; product is negative.=(55)(27)223)(5)  Prime factor.=55272235  Cancel common factors.=356  Multiply numerators and denominators.

Esta es una respuesta perfectamente buena, pero si quieres una respuesta de fracción mixta, 35 dividido por 6 es 5, con un resto de 5. Por lo tanto,

2112245=556.

Ejercicio4.6.1

Simplificar:

334225

Contestar

−9

Ejemplo 8

Simplificar:

445÷535.

Solución

Cambiar a fracciones impropias, invertir y multiplicar, factorizar, cancelar y simplificar.

445÷535=245÷285  Change to improper fractions.=245528  Invert and multiply.=222355227  Prime factor.=222335227  Cancel common factors.=67  Multiply numerators and denominators.

Ejercicio

Simplificar:

249323

Contestar

−2/3

Ejercicios

En los Ejercicios 1-12, convertir la fracción mixta en una fracción impropia.

1. 213

2. 1811

3. 1119

4. 115

5. 137

6. 1317

7. 119

8. 1511

9. 112

10. 158

11. 113

12. 157


En Ejercicios 13-24, convertir la fracción impropia en una fracción mixta.

13. 137

14. 179

15. 135

16. 103

17. 165

18. 1613

19. 98

20. 165

21. 65

22. 1710

23. 32

24. 74


En Ejercicios 25-48, multiplica los números y expresa tu respuesta como una fracción mixta.

25. 117212

26. 118116

27. 4116

28. 17104

29. (1112)(334)

30. (312)(313)

31. 7121113

32. 2141511

33. (1213)(423)

34. (1114)(225)

35. (137)(334)

36. (145)(334)

37. 9(1215)

38. 4(256)

39. (218)(6)

40. (9)(316)

41. (412)(225)

42. (137)(334)

43. (216)4

44. (6)(119)

45. (1415)(212)

46. (115)(159)

47. (212)(1711)

48. (1711)(1712)


En los Ejercicios 49-72, divide las fracciones mixtas y expresa tu respuesta como una fracción mixta.

49. 8÷229

50. 423÷4

51. (312)÷(1116)

52. (125)÷(1115)

53. 612÷1712

54. 512÷1910

55. (4)÷(159)

56. (423)÷4

57. (523)÷(216)

58. (212)÷(229)

59. (612)÷(414)

60. (116)÷(118)

61. (6)÷(1311)

62. (623)÷(6)

63. (423)÷(4)

64. (623)÷(6)

65. (134)÷(1112)

66. (247)÷(115)

67. (523)÷119

68. 123÷129

69. (712)÷(225)

70. (513)÷(256)

71. (323)÷(119)

72. (812)÷(134)


73. Lotes Pequeños. ¿Cuántos lotes de cuarto de acre se pueden hacer con612 acres de tierra?

74. Campo Grande. Se formó un campo a partir de lotes de1712 medio acre. ¿Cuántos acres fue el campo resultante?

75. Joyería. Para hacer algunas joyas, se cortó una barra de plata de412 pulgadas de largo en trozos de112 pulgada de largo. ¿Cuántas piezas se hicieron?

76. Muffins. Esta receta hará 6 magdalenas: 1 taza de leche,123 tazas de harina, 2 huevos, 1/2 cucharadita de sal,112 cucharaditas de polvo de hornear. Escribe la receta de seis docenas de magdalenas.


RESPUESTAS

1. 73

3. 2019

5. 107

7. 109

9. 32

11. 43

13. 167

15. 235

17. 315

19. 118

21. 115

23. 112

25. 267

27. 423

29. 4116

31. 8113

33. 5513

35. 5514

37. 1015

39. 1234

41. 1045

43. 823

45. 316

47. 4111

49. 335

51. 3517

53. 4219

55. 247

57. 2813

59. 1917

61. 457

63. 116

65. 1813

67. 5110

69. 318

71. 3310

73. 26 lotes de cuarto de acre

75. 54 piezas


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