4.4: Dividir fracciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Supongamos que tienes cuatro pizzas y cada una de las pizzas se ha cortado en ocho rebanadas iguales. Por lo tanto, cada rebanada de pizza representa 1/8 de una pizza entera.

Ahora para la pregunta: ¿Cuántos octavos hay en cuatro? Esta es una declaración de división. Para saber cuántos octavos hay en 4, divide 4 por 1/8. Es decir,
Número de octavos en cuatro = 4 ÷18.
Por otro lado, para encontrar el número de uno-ocho en cuatro, Figura demuestra4.4.1 claramente que esto equivale a preguntar cuántas rebanadas de pizza hay en cuatro pizzas. Dado que hay 8 rebanadas por pizza y cuatro pizzas,
Número de rebanadas de pizza = 4 · 8.
La conclusión es el hecho de que 4 ÷ (1/8) equivale a 4 · 8. Es decir,
4÷1/8=4⋅8=32.
Por lo tanto, concluimos que hay 32 octavos en 4.
Reciprocales
El número 1 sigue siendo la identidad multiplicativa para las fracciones.
Propiedad de Identidad Multiplicativa
Deja que a/b sea cualquier fracción. Entonces,
ab⋅1=ab and 1⋅ab=ab.
El número 1 se llama la identidad multiplicativa porque el número idéntico se devuelve cuando se multiplica por 1.
A continuación, si invertimos 3/4, es decir, si volteamos 3/4 boca abajo, obtenemos 4/3. Tenga en cuenta lo que sucede cuando multiplicamos 3/4 por 4/3.
Al número 4/3 se le llama el inverso multiplicativo o recíproco de 3/4. El producto de los recíprocos es siempre 1.
Propiedad inversa multiplicativa
Deja que a/b sea cualquier fracción. El número b/a se llama el inverso multiplicativo o recíproco de a/b. El producto de los reciprocales es 1.
ab⋅ba=1
Nota: Para encontrar el inverso multiplicativo (recíproco) de un número, simplemente invierta el número (darle la vuelta).
Por ejemplo, el número 1/8 es el inverso multiplicativo (recíproco) de 8 porque
8⋅18=1.
Tenga en cuenta que 8 se puede considerar como 8/1. Invertir este número (darle la vuelta) para encontrar su multiplicativo inverso (recíproco) 1/8.
Ejemplo4.4.1
Encuentra las inversas multiplicativas (recíprocas) de: (a) 2/3, (b) −3/5, y (c) −12.
Solución
a) Porque
23⋅32=1,
el inverso multiplicativo (recíproco) de 2/3 es 3/2.
b) Porque
−35⋅(−53)=1,
el inverso multiplicativo (recíproco) de −3/5 es −5/3. Nuevamente, tenga en cuenta que simplemente invertimos el número −3/5 para obtener su recíproco −5/3.
c) Porque
−12⋅(−112)=1,
el inverso multiplicativo (recíproco) de −12 es −1/12. Nuevamente, tenga en cuenta que simplemente invertimos el número −12 (entendido como igual a −12/1) para obtener su recíproco −1/12.
Ejercicio4.4.1
Encuentra los recíprocos de: (a) −3/7 y (b) 15
- Contestar
-
(a) −7/3, (b) 1/15
División
Recordemos que calculamos el número de una octava en cuatro haciendo este cálculo:
4÷18=4·8=32.
Observe cómo invertimos el divisor (segundo número), luego cambiamos la división a multiplicación. Esto motiva la siguiente definición de división.
Definición de División
Si a/b y c/d son fracciones, entonces
ab÷cd=ab⋅dc.
Es decir, invertimos el divisor (segundo número) y cambiamos la división a multiplicación. Nota: Nos gusta usar la frase “invertir y multiplicar” como ayuda de memoria para esta definición.
Ejemplo4.4.2
Divide 1/2 por 3/5.
Solución
Para dividir 1/2 por 3/5, invierte el divisor (segundo número), luego multiplica.
12÷35=12⋅53 Invert the divisor (second number).=56 Multiply.
Ejercicio4.4.2
Dividir:
23÷103
- Contestar
-
1/5
Ejemplo4.4.3
Simplifica las siguientes expresiones: (a) 3 ÷23 y (b)45 ÷ 5.
Solución
En cada caso, invierte el divisor (segundo número), luego multiplica.
a) Obsérvese que 3 se entiende como 3/1.
3÷23=31⋅32 Invert the divisor (second number).=92 Multiply numerators; multiply denominators.
b) Obsérvese que 5 se entiende como 5/1.
45÷5=45⋅15 Invert the divisor (second number).=425 Multiply numerators; multiply denominators.
Ejercicio4.4.3
Dividir:
157÷5
Contestar
-
37
Después de invertir, es posible que deba factorial y cancelar, como aprendimos a hacer en la Sección 4.2.
Ejemplo4.4.4
Divida −6/35 por 33/55.
Solución
Invertir, multiplicar, faccionar y cancelar factores comunes.
−635÷3355=−635⋅5533 Invert the divisor (second number).=−6⋅5535⋅33 Multiply numerators; multiply denominators.=−(2⋅3)⋅(5⋅11)(5⋅7)⋅(3⋅11) Factor numerators and denominators.=−2⋅3⋅5⋅115⋅7⋅3⋅11 Cancel common factors.=−27 Remaining factors.
Tenga en cuenta que a diferencia de los signos producen una respuesta negativa.
Ejercicio4.4.4
Dividir:
615÷(−4235)
- Contestar
-
-1/3
Por supuesto, también puedes optar por facturar numeradores y denominadores en su lugar, luego cancelar factores comunes.
Ejemplo4.4.5
Dividir−6/x por−12/x2.
Solución
Invertir, faccionar numeradores y denominadores, cancelar factores comunes, luego multiplicar.
−6x÷(−12x2)=−6x⋅(−x212) Invert second number.=−2⋅3x⋅−x⋅x2⋅2⋅3 Factor numerators and denominators.=−2⋅3x⋅−x⋅x2⋅2⋅3 Cancel common factors.=x2 Multiply.
Tenga en cuenta que los signos similares producen una respuesta positiva.
Ejercicio4.4.5
Dividir:
−12a÷(−15a3)
- Contestar
-
−4a25
Ejercicios
En los Ejercicios 1-16, encuentra el recíproco del número dado.
1. −16/5
2. −3/20
3. −17
4. −16
5. 15/16
6. 7/9
7. 30
8. 28
9. −46
10. −50
11. −9/19
12. −4/7
13. 3/17
14. 3/5
15. 11
16. 48
En los Ejercicios 17-32, determinar qué propiedad de multiplicación es representada por la identidad dada.
17. 29⋅92=1
18. 1219⋅1912=1
19. −1912⋅1=−1912
20. −198⋅1=−198
21. −6⋅(−16)=1
22. −19⋅(−119)=1
23. −1611⋅1=−1611
24. −76⋅1=−76
25. −41⋅(−14)=1
26. −910⋅(−109)=1
27. 81⋅1=81
28. 1315⋅1=1315
29. 14⋅114=1
30. 4⋅14=1
31. 138⋅1=138
32. 113⋅1=113
En Ejercicios 33-56, divide las fracciones, y simplifica tu resultado.
33. 823÷−611
34. −1021÷−65
35. 1819÷−1623
36. 1310÷1718
37. 421÷−65
38. 29÷−1219
39. −19÷83
40. 12÷−158
41. −2111÷310
42. 724÷−232
43. −127÷23
44. −916÷67
45. 219÷2423
46. 73÷−1021
47. −95÷−2419
48. 1417÷−2221
49. 1811÷149
50. 56÷2019
51. 1318÷49
52. −32÷−712
53. 112÷−2110
54. −92÷−1322
55. 310÷125
56. −227÷−1817
En Ejercicios 57-68, divide las fracciones, y simplifica tu resultado.
57. 2017÷5
58. 218÷7
59. −7÷2120
60. −3÷1217
61. 821÷2
62. −34÷(−6)
63. 8÷−1017
64. −6÷2021
65. −8÷185
66. 6÷−218
67. 34÷(−9)
68. 29÷(−8)
En Ejercicios 69-80, divide las fracciones, y simplifica tu resultado.
69. 11x212÷8x43
70. −4x23÷11x66
71. 17y9÷10y63
72. −5y12÷−3y52
73. −22x413÷12x11
74. −9y64÷24y513
75. −3x410÷−4x5
76. 18y411÷4y27
77. −15y214÷−10y513
78. 3x20÷2x35
79. −15x513÷20x219
80. 18y67÷14y49
En Ejercicios 81-96, divide las fracciones, y simplifica tu resultado.
81. 11y414x2÷−9y27x3
82. −5x212y3÷−22x21y5
83. 10x43y4÷7x524y2
84. 20x311y5÷5x56y3
85. 22y421x5÷−5y26x4
86. −7y58x6÷21y5x5
87. −22x421y3÷−17x33y4
88. −7y44x÷−15y22x4
89. −16y23x3÷2y611x5
90. −20x21y2÷−22x5y6
91. −x12y4÷−23x316y3
92. 20x217y3÷8x315y
93. y24x÷−9y58x3
94. −10y413x2÷−5y66x3
95. −18x613y4÷3xy2
96. 20x49y6÷14x217y4
RESPUESTAS
1. −516
3. −117
5. 1615
7. 130
9. −146
11. −199
13. 173
15. 111
17. propiedad inversa multiplicativa
19. propiedad de identidad multiplicativa
21. propiedad inversa multiplicativa
23. propiedad de identidad multiplicativa
25. propiedad inversa multiplicativa
27. propiedad de identidad multiplicativa
29. propiedad inversa multiplicativa
31. identidad multiplicativa propiedad
33. −4469
35. −207152
37. −1063
39. −124
41. −7011
43. −187
45. 23228
47. 5740
49. 8177
51. 138
53. −5521
55. 18
57. 417
59. −203
61. 421
63. −685
65. −209
67. −112
69. 1132x2
71. 1730y5
73. −121x378
75. 3x38
77. 3928y3
79. −57x352
81. −11y2x18
83. 807xy2
85. −44y235x
87. 22xy119
89. −88x23y4
91. 469x2y
93. −2x29y3
95. −6x513y2