4.5: Sumando y restando fracciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Paul y Tony ordenan una pizza que ha sido cortada en ocho rebanadas iguales. Así, cada rebanada es 1/8 de la pizza entera. Paul come dos rebanadas (sombreadas en gris claro en la Figura4.5.1), o 2/8 de toda la pizza. Tony come tres rebanadas (sombreadas en rojo claro (o un tono más oscuro de gris en impresión en blanco y negro) en la Figura4.5.1), o 3/8 de toda la pizza.

Debe quedar claro que juntos Paul y Tony comen cinco rebanadas, o 5/8 de toda la pizza. Esto refleja el hecho de que
28+38=58.
Esto demuestra cómo sumar dos fracciones con un denominador común (mismo). Conservar el denominador común y sumar los numeradores. Es decir,
28+38=2+38 Keep denominator; add numerators.=58 Simplify numerator.
Sumando Fracciones con Denominadores Comunes
Dejar a/c y b/c sean dos fracciones con un denominador común (mismo). Su suma se define como
ac+bc=a+bc
Es decir, para sumar dos fracciones que tengan denominadores comunes, mantener el denominador común y sumar sus numeradores.
Una regla similar se mantiene para la resta.
Restar fracciones con denominadores comunes
Dejar a/c y b/c sean dos fracciones con un denominador común (mismo). Su diferencia se define como
ac−bc=a−bc.
Es decir, restar dos fracciones que tienen denominadores comunes, mantener el denominador común y restar sus numeradores.
Ejemplo4.5.1
Encuentra la suma de 4/9 y 3/9.
Solución
Conservar el denominador común y sumar los numeradores.
49+39=4+39 Keep denominator; add numerators.=79 Simplify numerator.
Ejercicio4.5.1
Agregar:
18+28
- Contestar
-
3/8
Ejemplo4.5.2
Restar 5/16 de 13/16.
Solución
Mantener el denominador común y restar los numeradores.
1316−516=13−516 Keep denominator; subtract numerators.=816 Simplify numerator.
Por supuesto, como aprendimos en la Sección 4.1, siempre debemos reducir nuestra respuesta final a los términos más bajos. Una forma de lograrlo en este caso es dividir el numerador y el denominador por 8, el mayor divisor común de 8 y 16.
=8÷816÷8 Divide numerator and denominator by 8.=12 Simplify numerator and denominator.
Ejercicio4.5.2
Restar:
1112−712
- Contestar
-
1/3
Ejemplo4.5.3
Simplificar:
3x−(−7x).
Solución
Ambas fracciones comparten un denominador común.
3x−(−7x)=3x+7x Add the opposite.=3+7x Keep denominator, add numerators.=10x Simplify.
Sumando fracciones con diferentes denominadores
Considera la suma
49+16.
No podemos sumar estas fracciones porque no tienen un denominador común. Entonces, ¿qué hacer?
Goles
Para sumar dos fracciones con diferentes denominadores, necesitamos:
- Encuentra un denominador común para las fracciones dadas.
- Hacer fracciones con el denominador común que sean equivalentes a las fracciones originales.
Si logramos los dos ítems en el “Objetivo”, podremos encontrar la suma de las fracciones dadas.
Entonces, ¿cómo empezar? Necesitamos encontrar un denominador común, pero no cualquier denominador común. Vamos a estar de acuerdo en que queremos mantener los números lo más pequeños posible y encontrar un mínimo denominador común.
Definición: Mínimo denominador común
El mínimo denominador común (LCD) para un conjunto de fracciones es el número más pequeño divisible por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas.
Consideremos nuevamente la suma que deseamos encontrar:
49+16.
Los denominadores son 9 y 6. Deseamos encontrar un mínimo denominador común, el número más pequeño que sea divisible tanto por 9 como por 6. Se me vienen a la mente varios candidatos: 36, 54 y 72 son todos divisibles por 9 y 6, por mencionar algunos. Pero el número más pequeño que es divisible tanto por 9 como por 6 es 18. Este es el mínimo denominador común para 9 y 6.
Pasamos ahora al segundo ítem en “Gol”. Necesitamos hacer fracciones que tengan 18 como denominador que sean equivalentes a 4/9 y 1/6. En el caso de 4/9, si multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 2, obtenemos
49=4⋅29⋅2 Multiply numerator and denominator by 2.=818. Simplify numerator and denominator.
En el caso de 1/6, si multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 3, obtenemos
16=1⋅36⋅3 Multiply numerator and denominator by 3.=318. Simplify numerator and denominator.
Normalmente, organizaremos nuestro trabajo de la siguiente manera.
4+16=4⋅29⋅2+1⋅36⋅3 Equivalent fractions with LCD = 18.=818+318 Simplify numerators and denominators.=8+318 Keep common denominator; add numerators.=1118 Simplify numerator.
Resumimos el procedimiento.
Sumando o restando fracciones con diferentes denominadores
- Encuentra el LCD, el número más pequeño divisible por todos los denominadores de las fracciones dadas.
- Crea fracciones usando la LCD como denominador que sean equivalentes a las fracciones originales.
- Sumar o restar las fracciones equivalentes resultantes. Simplificar, incluida la reducción de la respuesta final a los términos más bajos.
Ejemplo4.5.4
Simplificar:35−23.
Solución
El número más pequeño divisible por 5 y 3 es 15.
35−23=3⋅35⋅3−2⋅53⋅5 Equivalent fractions with LCD = 15.=915−1015 Simplify numerators and denominators.=9−1015 Keep LCD; subtract numerators.=−115 Simplify numerator.
Si bien esta respuesta es perfectamente aceptable, negativa dividida por positiva nos da una respuesta negativa, por lo que también podríamos escribir
=−115.
Ejercicio4.5.4
Resta:
34−75
- Contestar
-
-13/20
Ejemplo4.5.5
Simplificar:−14−56.
Solución
El número más pequeño divisible por 4 y 6 es 12.
−14−56=−1⋅34⋅3−5⋅26⋅2 Equivalent fractions with LCD =12.=−312−1012 Simplify numerators and denominators.=−3−1012 Keep LCD; subtract numerators.=−1312 Simplify numerator.
Ejercicio4.5.5
Restar:−38−112
- Contestar
-
-11/24
Ejemplo4.5.6
Simplificar:5x+34.
Solución
El número más pequeño divisible tanto por 4 como por x es 4x.
5x+34=5⋅4x⋅4+3⋅x4⋅x Equivalent fractions with LCD = 4x.==204x+3x4x Simplify numerators and denominators.=20+3x4x Keep LCD; add numerators.
Ejercicio4.5.6
Agregar:
5z+23
- Contestar
-
15+2z3z
Ejemplo4.5.7
Simplificar:23−x5.
Solución
El número más pequeño divisible por 3 y 5 es 15.
23−x5=2⋅53⋅5−x⋅35⋅3 Equivalent fractions with LCD = 15.=1015−3x15 Simplify numerators and denominators.=10−3x15 Keep LCD; subtract numerators.
Múltiple menos común
Primero definimos el múltiplo de un número.
Definición: Multiples
Los múltiplos de un número d son 1 d, 2 d, 3 d, 4 d, etc. es decir, los múltiplos de d son los números nd, donde n es un número natural.
Por ejemplo, los múltiplos de 8 son 1 · 8, 2 · 8, 3 · 8, 4 · 8, etc., o equivalentemente, 8, 16, 24, 32, etc.
Definición: Mínimo Común Múltiple
El múltiplo menos común (LCM) de un conjunto de números es el número más pequeño que es un múltiplo de cada número del conjunto dado. El procedimiento para encontrar un MCM sigue:
- Enumere todos los múltiplos de cada número en el conjunto de números dado.
- Enumere los múltiplos que tienen en común.
- Escoge el menor de los múltiplos que tienen en común.
Ejemplo4.5.7
Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de 12 y 16.
Solución
Enumere los múltiplos de 12 y 16.
Multiplos de 12:12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,...
Multiplos de 16:16, 32, 48, 64, 80, 96, 112,...
Elige los múltiplos comunes.
Multiplos Comunes: 48, 96,...
El LCM es el menor de los múltiplos comunes.
MCM (12,16) = 48
Ejercicio4.5.7
Encuentra el mínimo denominador común de 6 y 9.
- Contestar
-
18
Observación Importante
El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Por ejemplo, supongamos que su problema es 5/12 + 5/16. El LCD es el número más pequeño divisible tanto por 12 como por 16. Ese número es 48, que también es el LCM de 12 y 16. Por lo tanto, el procedimiento para encontrar el LCM también se puede utilizar para encontrar la pantalla LCD.
Múltiple menos común mediante factorización principal
También puedes encontrar el LCM usando factorización prima.
Factorización de LCM por Prime
Para encontrar un LCM para un conjunto de números, siga este procedimiento:
- Anote la factorización prima para cada número en forma compacta usando exponentes.
- El LCM se encuentra anotando cada factor que aparece en el paso 1 a la potencia más alta de ese factor que aparece.
Ejemplo4.5.8
Usa la factorización de primos para encontrar el mínimo común múltiplo encuentra el mínimo común denominador de 18 y 24. (LCM) de 12 y 16.
Solución
Factor primo 12 y 16.
12=2⋅2⋅316=2⋅2⋅2⋅2
Escribe las factorizaciones principales en forma compacta usando exponentes.
12=22⋅3116=24
Para encontrar el LCM, anote cada factor que aparezca a la mayor potencia de ese factor que aparece. Los factores que aparecen son 2 y 3. El poder más alto de 2 que aparece es 2 4. El poder más alto de 3 que aparece es 3 1.
LCM=24⋅31 Keep highest power of each factor.
Ahora ampliamos esta última expresión para obtener nuestro LCM.
=16⋅3 Expand: 24=16 and 31=3.=48. Multiply.
Tenga en cuenta que esta respuesta es idéntica a la LCM que se encuentra en el Ejemplo 8 que se encontró al enumerar múltiplos y elegir el múltiplo más pequeño en común.
Ejercicio4.5.8
Usa la factorización prima para encontrar el mínimo denominador común de 18 y 24.
- Contestar
-
72
Ejemplo4.5.10
Simplificar:528+1142.
Solución
Factorizar los denominadores en forma compacta usando exponentes.
28 = 2 · 2 · 7=2 2 · 7
42 = 2 · 3 · 7=2 1 · 3 1 · 7 1
Para encontrar la pantalla LCD, anote cada factor que aparezca a la mayor potencia de ese factor que aparece. Los factores que aparecen son 2, 3 y 7. El poder más alto de 2 que aparece es 2 2. El poder más alto de 3 que aparece es 3 1. El poder más alto de 7 que aparece es 7 1.
LCM=22⋅31⋅71 Keep highest power of each factor.=4⋅3⋅7 Expand: 22=4, 31=3, 71=7.=84 Multiply.
Crea fracciones equivalentes con la nueva pantalla LCD, luego agrega.
528+1142=5⋅328⋅3+11⋅242⋅2 Equivalent fractions with LCD = 84.=1584+2284 Simplify numerators and denominators.=3784 Keep LCD; add numerators.
Ejercicio4.5.10
Simplificar:524+536
- Contestar
-
25/72
Ejemplo4.5.11
Simplificar:−1124−118.
Solución
Factorizar los denominadores en forma compacta usando exponentes.
24 = 2 · 2 · 2 · 3=2 3 · 3 1
18 = 2 · 3 · 3=2 1 · 3 2
Para encontrar la pantalla LCD, anote cada factor que aparezca a la mayor potencia de ese factor que aparece. Los factores que aparecen son 2 y 3. El poder más alto de 2 que aparece es 2 3. El poder más alto de 3 que aparece es 3 2.
LCM=23⋅32 Keep highest power of each factor.=8⋅9 Expand: 23=8 and 32=9.=72. Multiply.
Crea fracciones equivalentes con la nueva LCD, luego resta.
−1124−118=−11⋅324⋅3−1⋅418⋅4 Equivalent fractions with LCD = 72.=−3372−472 Simplify numerators and denominators.=−33−472 Keep LCD; subtract numerators.=−3772 Simplify numerator.
Por supuesto, negativo dividido por positivo arroja una respuesta negativa, por lo que también podemos escribir nuestra respuesta en la forma
−1124−118=−3772.
Ejercicio4.5.11
Simplificar:−524−1136
- Contestar
-
−37/72
Comparando Fracciones
La forma más sencilla de comparar fracciones es crear fracciones equivalentes.
Ejemplo4.5.12
Organice las fracciones −1/2 y −4/5 en una recta numérica, luego compárelas usando el símbolo de desigualdad apropiado.
Solución
El mínimo denominador común para 2 y 5 es el número 10. Primero, hacer fracciones equivalentes con una LCD igual a 10.
−12=−1⋅52⋅5=−510−45=−4⋅25⋅2=−810
Para trazar décimas, subdivida el intervalo entre −1 y 0 en diez incrementos iguales.
Porque −4/5 se encuentra a la izquierda de −1/2, tenemos que −4/5 es menor que −1/2, entonces escribimos
−45<−12.
Ejercicio4.5.12
Compara −3/8 y −1/2.
- Contestar
-
−12<−38
Ejercicios
En los Ejercicios 1-10, enumere los múltiplos los números dados, luego enumere los múltiplos comunes. Seleccione el LCM de la lista de múltiplos comunes.
1. 9 y 15
2. 15 y 20
3. 20 y 8
4. 15 y 6
5. 16 y 20
6. 6 y 10
7. 20 y 12
8. 12 y 8
9. 10 y 6
10. 10 y 12
En los Ejercicios 11-20, para los números dados, calcular el LCM usando factorización prima.
11. 54 y 12
12. 108 y 24
13. 18 y 24
14. 36 y 54
15. 72 y 108
16. 108 y 72
17. 36 y 24
18. 18 y 12
19. 12 y 18
20. 12 y 54
En los Ejercicios 21-32, suma o resta las fracciones, como se indica, y simplifica tu resultado.
21. 712−112
22. 37−57
23. 19+19
24. 17+37
25. 15−45
26. 35−25
27. 37−47
28. 67−27
29. 411+911
30. 1011+411
31. 311+411
32. 37+27
En los Ejercicios 33-56, suma o resta las fracciones, como se indica, y simplifica tu resultado.
33. 16−18
34. 79−23
35. 15+23
36. 79+23
37. 23+58
38. 37+59
39. 47−59
40. 35−78
41. 23−38
42. \boldsymbol{\frac{2}{5} − \frac{1}{8}
43. 67−16
44. 12−14
45. 16+23
46. 49+78
47. 79+18
48. 16+17
49. 13+17
50. 56+14
51. 12−27
52. 13−18
53. 56−45
54. 12−19
55. 13+18
56. 16+79
En los Ejercicios 57-68, sumar o restar las fracciones, como se indica, usando primero la factorización de primos para encontrar el mínimo denominador común.
57. 736+1154
58. 754+724
59. 718−512
60. 554−712
61. 736+754
62. 572+5108
63. 724−536
64. 1154+772
65. 1112+518
66. 1124+11108
67. 1154−524
68. 754−524
En los Ejercicios 69-80, suma o resta las fracciones, como se indica, y simplifica tu resultado.
69. −37+(−37)
70. −59+(−19)
71. 79−(−19)
72. 89−(−49)
73. 79+(−29)
74. 23+(−13)
75. −35−45
76. −79−19
77. −78+18
78. −23+\(13
79. −13−(−23)
80. −78−(−58)
En los Ejercicios 81-104, suma o resta las fracciones, como se indica, y simplifica tu resultado.
81. −27+\ frac {4} {5}\)
82. −14+27
83. −14−(−49)
84. \boldsymbol{\frac{−3}{4} −left( \frac{−1}{8} \right)}
85. −27+34
86. −13+58
87. −49−13
88. −56−13
89. −57−(−15)
90. −67−(−18)
91. 19+(−13)
92. 18+(−12)
93. 23+(−19)
94. 34+(−23)
95. −12+(−67)
96. −45+(−12)
97. −12+(−34)
98. −35+(−12)
99. −14−12
100. −89−23
101. 58−(−34)
102. 34−(−38)
103. 18−(−13)
104. 12−(−49)
En Ejercicios 105-120, suma o resta las fracciones, como se indica, y escribe tu respuesta es términos más bajos.
105. 12+3q5
106. 47−b3
107. 49−3a4
108. 49−b2
109. 2s+13
110. 2s+37
111. 13−7b
112. 12−9s
113. 4b7+23
114. 2a5+58
115. 23−9t
116. 47−1y
117. 9s+78
118. 6t−19
119. 7b8−59
120. 3p4−18
En los Ejercicios 121-132, determinar cuál de las dos afirmaciones dadas es verdadera.
121. −23<−87o−23>−87
122. −17<−89o−17>−89
123. 67<73o67>73
124. 12<27o12>27
125. −94<−23o\ frac {− 9} {4} >\ frac {−2} {3}\)
126. −37<−92o−37>−92
127. 57<59o\ frac {5} {7} >\ frac {5} {9}\)
128. 12<13o12>13
129. −72<−15o−72>−15
130. −34<−59o−34>−59
131. 59<65o59>65
132. 32<79o32>79
RESPUESTAS
1. 45
3. 40
5. 80
7. 60
9. 30
11. 108
13. 72
15. 216
17. 72
19. 36
21. 12
23. 29
25. −35
27. −17
29. 1311
31. 711
33. 124
35. 1315
37. 3124
39. 163
41. 724
43. 2942
45. 56
47. 6572
49. 1021
51. 314
53. 130
55. 1124
57. 43108
59. −136
61. 35108
63. 1172
65. 4336
67. −1216
69. −67
71. 89
73. 59
75. −75
77. −34
79. 13
81. 1835
83. 736
85. 1328
87. −79
89. −1835
91. −29
93. 59
95. −1914
97. −54
99. −34
101. 118
103. 1124
105. 5+6q10
107. 16−27a36
109. 6+s3s
111. b−213b
113. 12b+1421
115. 2t−273t
117. 72+7s8s
119. 63b−4072
121. −23>\(−87
123. 67<73
125. −94<−23
127. 57>59
129. −72<−15
131. 59<65