Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

4.5: Sumando y restando fracciones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Paul y Tony ordenan una pizza que ha sido cortada en ocho rebanadas iguales. Así, cada rebanada es 1/8 de la pizza entera. Paul come dos rebanadas (sombreadas en gris claro en la Figura4.5.1), o 2/8 de toda la pizza. Tony come tres rebanadas (sombreadas en rojo claro (o un tono más oscuro de gris en impresión en blanco y negro) en la Figura4.5.1), o 3/8 de toda la pizza.

Screen Shot 2019-08-30 at 4.09.40 PM.png
Figura4.5.1: Paul se come dos rebanadas (2/8) y Tony se come tres rebanadas (3/8).

Debe quedar claro que juntos Paul y Tony comen cinco rebanadas, o 5/8 de toda la pizza. Esto refleja el hecho de que

28+38=58.

Esto demuestra cómo sumar dos fracciones con un denominador común (mismo). Conservar el denominador común y sumar los numeradores. Es decir,

28+38=2+38  Keep denominator; add numerators.=58  Simplify numerator.

Sumando Fracciones con Denominadores Comunes

Dejar a/c y b/c sean dos fracciones con un denominador común (mismo). Su suma se define como

ac+bc=a+bc

Es decir, para sumar dos fracciones que tengan denominadores comunes, mantener el denominador común y sumar sus numeradores.

Una regla similar se mantiene para la resta.

Restar fracciones con denominadores comunes

Dejar a/c y b/c sean dos fracciones con un denominador común (mismo). Su diferencia se define como

acbc=abc.

Es decir, restar dos fracciones que tienen denominadores comunes, mantener el denominador común y restar sus numeradores.

Ejemplo4.5.1

Encuentra la suma de 4/9 y 3/9.

Solución

Conservar el denominador común y sumar los numeradores.

49+39=4+39  Keep denominator; add numerators.=79  Simplify numerator.

Ejercicio4.5.1

Agregar:

18+28

Contestar

3/8

Ejemplo4.5.2

Restar 5/16 de 13/16.

Solución

Mantener el denominador común y restar los numeradores.

1316516=13516  Keep denominator; subtract numerators.=816  Simplify numerator.

Por supuesto, como aprendimos en la Sección 4.1, siempre debemos reducir nuestra respuesta final a los términos más bajos. Una forma de lograrlo en este caso es dividir el numerador y el denominador por 8, el mayor divisor común de 8 y 16.

=8÷816÷8  Divide numerator and denominator by 8.=12  Simplify numerator and denominator.

Ejercicio4.5.2

Restar:

1112712

Contestar

1/3

Ejemplo4.5.3

Simplificar:

3x(7x).

Solución

Ambas fracciones comparten un denominador común.

3x(7x)=3x+7x  Add the opposite.=3+7x  Keep denominator, add numerators.=10x  Simplify.

Sumando fracciones con diferentes denominadores

Considera la suma

49+16.

No podemos sumar estas fracciones porque no tienen un denominador común. Entonces, ¿qué hacer?

Goles

Para sumar dos fracciones con diferentes denominadores, necesitamos:

  1. Encuentra un denominador común para las fracciones dadas.
  2. Hacer fracciones con el denominador común que sean equivalentes a las fracciones originales.

Si logramos los dos ítems en el “Objetivo”, podremos encontrar la suma de las fracciones dadas.

Entonces, ¿cómo empezar? Necesitamos encontrar un denominador común, pero no cualquier denominador común. Vamos a estar de acuerdo en que queremos mantener los números lo más pequeños posible y encontrar un mínimo denominador común.

Definición: Mínimo denominador común

El mínimo denominador común (LCD) para un conjunto de fracciones es el número más pequeño divisible por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas.

Consideremos nuevamente la suma que deseamos encontrar:

49+16.

Los denominadores son 9 y 6. Deseamos encontrar un mínimo denominador común, el número más pequeño que sea divisible tanto por 9 como por 6. Se me vienen a la mente varios candidatos: 36, 54 y 72 son todos divisibles por 9 y 6, por mencionar algunos. Pero el número más pequeño que es divisible tanto por 9 como por 6 es 18. Este es el mínimo denominador común para 9 y 6.

Pasamos ahora al segundo ítem en “Gol”. Necesitamos hacer fracciones que tengan 18 como denominador que sean equivalentes a 4/9 y 1/6. En el caso de 4/9, si multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 2, obtenemos

49=4292  Multiply numerator and denominator by 2.=818.  Simplify numerator and denominator.

En el caso de 1/6, si multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 3, obtenemos

16=1363  Multiply numerator and denominator by 3.=318.  Simplify numerator and denominator.

Normalmente, organizaremos nuestro trabajo de la siguiente manera.

4+16=4292+1363  Equivalent fractions with LCD = 18.=818+318  Simplify numerators and denominators.=8+318  Keep common denominator; add numerators.=1118  Simplify numerator.

Resumimos el procedimiento.

Sumando o restando fracciones con diferentes denominadores

  1. Encuentra el LCD, el número más pequeño divisible por todos los denominadores de las fracciones dadas.
  2. Crea fracciones usando la LCD como denominador que sean equivalentes a las fracciones originales.
  3. Sumar o restar las fracciones equivalentes resultantes. Simplificar, incluida la reducción de la respuesta final a los términos más bajos.

Ejemplo4.5.4

Simplificar:3523.

Solución

El número más pequeño divisible por 5 y 3 es 15.

3523=33532535  Equivalent fractions with LCD = 15.=9151015  Simplify numerators and denominators.=91015  Keep LCD; subtract numerators.=115  Simplify numerator.

Si bien esta respuesta es perfectamente aceptable, negativa dividida por positiva nos da una respuesta negativa, por lo que también podríamos escribir

=115.

Ejercicio4.5.4

Resta:

3475

Contestar

-13/20

Ejemplo4.5.5

Simplificar:1456.

Solución

El número más pequeño divisible por 4 y 6 es 12.

1456=13435262  Equivalent fractions with LCD =12.=3121012  Simplify numerators and denominators.=31012  Keep LCD; subtract numerators.=1312  Simplify numerator.

Ejercicio4.5.5

Restar:38112

Contestar

-11/24

Ejemplo4.5.6

Simplificar:5x+34.

Solución

El número más pequeño divisible tanto por 4 como por x es 4x.

5x+34=54x4+3x4x  Equivalent fractions with LCD = 4x.==204x+3x4x  Simplify numerators and denominators.=20+3x4x  Keep LCD; add numerators.

Ejercicio4.5.6

Agregar:

5z+23

Contestar

15+2z3z

Ejemplo4.5.7

Simplificar:23x5.

Solución

El número más pequeño divisible por 3 y 5 es 15.

23x5=2535x353  Equivalent fractions with LCD = 15.=10153x15  Simplify numerators and denominators.=103x15  Keep LCD; subtract numerators.

Múltiple menos común

Primero definimos el múltiplo de un número.

Definición: Multiples

Los múltiplos de un número d son 1 d, 2 d, 3 d, 4 d, etc. es decir, los múltiplos de d son los números nd, donde n es un número natural.

Por ejemplo, los múltiplos de 8 son 1 · 8, 2 · 8, 3 · 8, 4 · 8, etc., o equivalentemente, 8, 16, 24, 32, etc.

Definición: Mínimo Común Múltiple

El múltiplo menos común (LCM) de un conjunto de números es el número más pequeño que es un múltiplo de cada número del conjunto dado. El procedimiento para encontrar un MCM sigue:

  1. Enumere todos los múltiplos de cada número en el conjunto de números dado.
  2. Enumere los múltiplos que tienen en común.
  3. Escoge el menor de los múltiplos que tienen en común.

Ejemplo4.5.7

Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de 12 y 16.

Solución

Enumere los múltiplos de 12 y 16.

Multiplos de 12:12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,...

Multiplos de 16:16, 32, 48, 64, 80, 96, 112,...

Elige los múltiplos comunes.

Multiplos Comunes: 48, 96,...

El LCM es el menor de los múltiplos comunes.

MCM (12,16) = 48

Ejercicio4.5.7

Encuentra el mínimo denominador común de 6 y 9.

Contestar

18

Observación Importante

El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Por ejemplo, supongamos que su problema es 5/12 + 5/16. El LCD es el número más pequeño divisible tanto por 12 como por 16. Ese número es 48, que también es el LCM de 12 y 16. Por lo tanto, el procedimiento para encontrar el LCM también se puede utilizar para encontrar la pantalla LCD.

Múltiple menos común mediante factorización principal

También puedes encontrar el LCM usando factorización prima.

Factorización de LCM por Prime

Para encontrar un LCM para un conjunto de números, siga este procedimiento:

  1. Anote la factorización prima para cada número en forma compacta usando exponentes.
  2. El LCM se encuentra anotando cada factor que aparece en el paso 1 a la potencia más alta de ese factor que aparece.

Ejemplo4.5.8

Usa la factorización de primos para encontrar el mínimo común múltiplo encuentra el mínimo común denominador de 18 y 24. (LCM) de 12 y 16.

Solución

Factor primo 12 y 16.

12=22316=2222

Escribe las factorizaciones principales en forma compacta usando exponentes.

12=223116=24

Para encontrar el LCM, anote cada factor que aparezca a la mayor potencia de ese factor que aparece. Los factores que aparecen son 2 y 3. El poder más alto de 2 que aparece es 2 4. El poder más alto de 3 que aparece es 3 1.

LCM=2431  Keep highest power of each factor.

Ahora ampliamos esta última expresión para obtener nuestro LCM.

=163  Expand: 24=16 and 31=3.=48.  Multiply.

Tenga en cuenta que esta respuesta es idéntica a la LCM que se encuentra en el Ejemplo 8 que se encontró al enumerar múltiplos y elegir el múltiplo más pequeño en común.

Ejercicio4.5.8

Usa la factorización prima para encontrar el mínimo denominador común de 18 y 24.

Contestar

72

Ejemplo4.5.10

Simplificar:528+1142.

Solución

Factorizar los denominadores en forma compacta usando exponentes.

28 = 2 · 2 · 7=2 2 · 7

42 = 2 · 3 · 7=2 1 · 3 1 · 7 1

Para encontrar la pantalla LCD, anote cada factor que aparezca a la mayor potencia de ese factor que aparece. Los factores que aparecen son 2, 3 y 7. El poder más alto de 2 que aparece es 2 2. El poder más alto de 3 que aparece es 3 1. El poder más alto de 7 que aparece es 7 1.

LCM=223171  Keep highest power of each factor.=437  Expand: 22=4, 31=3, 71=7.=84  Multiply.

Crea fracciones equivalentes con la nueva pantalla LCD, luego agrega.

528+1142=53283+112422  Equivalent fractions with LCD = 84.=1584+2284  Simplify numerators and denominators.=3784  Keep LCD; add numerators.

Ejercicio4.5.10

Simplificar:524+536

Contestar

25/72

Ejemplo4.5.11

Simplificar:1124118.

Solución

Factorizar los denominadores en forma compacta usando exponentes.

24 = 2 · 2 · 2 · 3=2 3 · 3 1

18 = 2 · 3 · 3=2 1 · 3 2

Para encontrar la pantalla LCD, anote cada factor que aparezca a la mayor potencia de ese factor que aparece. Los factores que aparecen son 2 y 3. El poder más alto de 2 que aparece es 2 3. El poder más alto de 3 que aparece es 3 2.

LCM=2332  Keep highest power of each factor.=89  Expand: 23=8 and 32=9.=72.  Multiply.

Crea fracciones equivalentes con la nueva LCD, luego resta.

1124118=11324314184  Equivalent fractions with LCD = 72.=3372472  Simplify numerators and denominators.=33472  Keep LCD; subtract numerators.=3772  Simplify numerator.

Por supuesto, negativo dividido por positivo arroja una respuesta negativa, por lo que también podemos escribir nuestra respuesta en la forma

1124118=3772.

Ejercicio4.5.11

Simplificar:5241136

Contestar

−37/72

Comparando Fracciones

La forma más sencilla de comparar fracciones es crear fracciones equivalentes.

Ejemplo4.5.12

Organice las fracciones −1/2 y −4/5 en una recta numérica, luego compárelas usando el símbolo de desigualdad apropiado.

Solución

El mínimo denominador común para 2 y 5 es el número 10. Primero, hacer fracciones equivalentes con una LCD igual a 10.

12=1525=51045=4252=810

Para trazar décimas, subdivida el intervalo entre −1 y 0 en diez incrementos iguales.

Screen Shot 2019-08-30 a las 9.06.17 PM.png

Porque −4/5 se encuentra a la izquierda de −1/2, tenemos que −4/5 es menor que −1/2, entonces escribimos

45<12.

Ejercicio4.5.12

Compara −3/8 y −1/2.

Contestar

12<38

Ejercicios

En los Ejercicios 1-10, enumere los múltiplos los números dados, luego enumere los múltiplos comunes. Seleccione el LCM de la lista de múltiplos comunes.

1. 9 y 15

2. 15 y 20

3. 20 y 8

4. 15 y 6

5. 16 y 20

6. 6 y 10

7. 20 y 12

8. 12 y 8

9. 10 y 6

10. 10 y 12


En los Ejercicios 11-20, para los números dados, calcular el LCM usando factorización prima.

11. 54 y 12

12. 108 y 24

13. 18 y 24

14. 36 y 54

15. 72 y 108

16. 108 y 72

17. 36 y 24

18. 18 y 12

19. 12 y 18

20. 12 y 54


En los Ejercicios 21-32, suma o resta las fracciones, como se indica, y simplifica tu resultado.

21. 712112

22. 3757

23. 19+19

24. 17+37

25. 1545

26. 3525

27. 3747

28. 6727

29. 411+911

30. 1011+411

31. 311+411

32. 37+27


En los Ejercicios 33-56, suma o resta las fracciones, como se indica, y simplifica tu resultado.

33. 1618

34. 7923

35. 15+23

36. 79+23

37. 23+58

38. 37+59

39. 4759

40. 3578

41. 2338

42. \boldsymbol{\frac{2}{5} − \frac{1}{8}

43. 6716

44. 1214

45. 16+23

46. 49+78

47. 79+18

48. 16+17

49. 13+17

50. 56+14

51. 1227

52. 1318

53. 5645

54. 1219

55. 13+18

56. 16+79


En los Ejercicios 57-68, sumar o restar las fracciones, como se indica, usando primero la factorización de primos para encontrar el mínimo denominador común.

57. 736+1154

58. 754+724

59. 718512

60. 554712

61. 736+754

62. 572+5108

63. 724536

64. 1154+772

65. 1112+518

66. 1124+11108

67. 1154524

68. 754524


En los Ejercicios 69-80, suma o resta las fracciones, como se indica, y simplifica tu resultado.

69. 37+(37)

70. 59+(19)

71. 79(19)

72. 89(49)

73. 79+(29)

74. 23+(13)

75. 3545

76. 7919

77. 78+18

78. 23+\(13

79. 13(23)

80. 78(58)


En los Ejercicios 81-104, suma o resta las fracciones, como se indica, y simplifica tu resultado.

81. 27+\ frac {4} {5}\)

82. 14+27

83. 14(49)

84. \boldsymbol{\frac{−3}{4} −left( \frac{−1}{8} \right)}

85. 27+34

86. 13+58

87. 4913

88. 5613

89. 57(15)

90. 67(18)

91. 19+(13)

92. 18+(12)

93. 23+(19)

94. 34+(23)

95. 12+(67)

96. 45+(12)

97. 12+(34)

98. 35+(12)

99. 1412

100. 8923

101. 58(34)

102. 34(38)

103. 18(13)

104. 12(49)


En Ejercicios 105-120, suma o resta las fracciones, como se indica, y escribe tu respuesta es términos más bajos.

105. 12+3q5

106. 47b3

107. 493a4

108. 49b2

109. 2s+13

110. 2s+37

111. 137b

112. 129s

113. 4b7+23

114. 2a5+58

115. 239t

116. 471y

117. 9s+78

118. 6t19

119. 7b859

120. 3p418


En los Ejercicios 121-132, determinar cuál de las dos afirmaciones dadas es verdadera.

121. 23<87o23>87

122. 17<89o17>89

123. 67<73o67>73

124. 12<27o12>27

125. 94<23o\ frac {− 9} {4} >\ frac {−2} {3}\)

126. 37<92o37>92

127. 57<59o\ frac {5} {7} >\ frac {5} {9}\)

128. 12<13o12>13

129. 72<15o72>15

130. 34<59o34>59

131. 59<65o59>65

132. 32<79o32>79


RESPUESTAS

1. 45

3. 40

5. 80

7. 60

9. 30

11. 108

13. 72

15. 216

17. 72

19. 36

21. 12

23. 29

25. 35

27. 17

29. 1311

31. 711

33. 124

35. 1315

37. 3124

39. 163

41. 724

43. 2942

45. 56

47. 6572

49. 1021

51. 314

53. 130

55. 1124

57. 43108

59. 136

61. 35108

63. 1172

65. 4336

67. 1216

69. 67

71. 89

73. 59

75. 75

77. 34

79. 13

81. 1835

83. 736

85. 1328

87. 79

89. 1835

91. 29

93. 59

95. 1914

97. 54

99. 34

101. 118

103. 1124

105. 5+6q10

107. 1627a36

109. 6+s3s

111. b213b

113. 12b+1421

115. 2t273t

117. 72+7s8s

119. 63b4072

121. 23>\(87

123. 67<73

125. 94<23

127. 57>59

129. 72<15

131. 59<65


This page titled 4.5: Sumando y restando fracciones is shared under a CC BY-NC-SA license and was authored, remixed, and/or curated by David Arnold.

Support Center

How can we help?