9.4: El Teorema Binomial

En esta sección, pretendemos probar el célebre Teorema Binomial. En pocas palabras, el Teorema Binomial es una fórmula para la expansión de cantidades\((a+b)^n\) para números naturales\(n\). En Álgebra Primaria e Intermedia, deberías haber visto instancias específicas de la fórmula, a saber

\[\begin{array}{rclr} (a+b)^1 & = & a + b & \\ (a+b)^2 & = & a^2 + 2ab + b^2 & \\ (a+b)^3 & = & a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 & \\ \end{array}\nonumber\]

Si quisiéramos la expansión para\((a+b)^4\) escribiríamos\((a+b)^4 = (a+b)(a+b)^3\) y usaríamos la fórmula que tenemos\((a+b)^3\) para obtener\((a+b)^4 = (a+b) \left( a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 \right) = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\). Generalizando esto un poco, vemos que si tenemos una fórmula para\((a+b)^{k}\), podemos obtener una fórmula para\((a+b)^{k+1}\) reescribiendo esta última como\((a+b)^{k+1} = (a+b)(a+b)^{k}\). Claramente esto significa que la Inducción Matemática juega un papel importante en la prueba del Teorema Binomial. ¹ Antes de que podamos exponer el teorema necesitamos revisar la secuencia de factoriales que se introdujeron en el Ejemplo 9.1.1 número 6 en la Sección 9.1.

Definiciones 9.3. Factoriales

Para un número entero\(n\), factorial, denotado\(n!\), es el término\(f_{0}=1, f_{n}=n \cdot f_{n-1}, n \geq 1\).

Recordemos este medio\(0! = 1\) y\(n! = n(n-1)!\) para\(n \geq 1\). Usando la definición recursiva, obtenemos:\(1! = 1 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1\),\(2! = 2 \cdot 1! = 2 \cdot 1 = 2\),\(3! = 3 \cdot 2! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) y\(4! = 4 \cdot 3! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\). Informalmente,\(n! = n\cdot(n -1)\cdot(n -2) \cdots 2 \cdot 1\) con\(0! = 1\) como nuestro 'caso base'. Nuestro primer ejemplo nos familiariza con algunos de los cálculos básicos que involucran factoriales.

Ejemplo 9.4.1

1. Simplifica las siguientes expresiones.
   1. \(\dfrac{3! \, 2!}{0!}\)
   2. \(\dfrac{7!}{5!}\)
   3. \(\dfrac{1000!}{998! \, 2!}\)
   4. \(\dfrac{(k+2)!}{(k-1)!}\),\(k \geq 1\)
2. Demostrar\(n! > 3^n\) para todos\(n \geq 7\).

Solución

1. Tenemos en mente el mantra, “¡En caso de duda, escríbelo!” ya que simplificamos lo siguiente.
   1. Hemos sido programados para reaccionar con alarma ante la presencia de a\(0\) en el denominador, pero en este caso\(0! = 1\), así la fracción se define después de todo. En cuanto al numerador,\(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) y\(2! = 2 \cdot 1 = 2\), así tenemos\(\frac{3! \, 2!}{0!} = \frac{(6)(2)}{1} = 12\).
   2. Tenemos\(7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040\) tiempo\(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\). Dividiendo, obtenemos\(\frac{7!}{5!} = \frac{5040}{120} = 42\). Si bien esto es correcto, observamos que podríamos habernos ahorrado algo de tiempo si hubiéramos procedido de la siguiente manera

      \[\dfrac{7!}{5!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}}{\cancel{5} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}} = 7 \cdot 6 = 42\nonumber\]

      De hecho, si queremos explotar plenamente la naturaleza recursiva del factorial, podemos escribir

      \[\dfrac{7!}{5!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!}} = 42\nonumber\]

   3. Teniendo en cuenta la lección que aprendimos del problema anterior, tenemos

      \[\dfrac{1000!}{998! \, 2!} = \dfrac{1000 \cdot 999 \cdot 998!}{998! \cdot 2!} = \dfrac{1000 \cdot 999 \cdot \cancel{998!}}{\cancel{998!} \cdot 2!} = \dfrac{999000}{2} = 499500\nonumber\]

   4. Este problema continúa con el tema que hemos visto en los dos problemas anteriores. Primero notamos que ya que\(k+2\) es mayor que\(k-1\),\((k+2)!\) contiene todos los factores de\((k-1)!\) y como resultado podemos obtener el\((k-1)!\) para cancelar desde el denominador. Para ver esto, comenzamos por escribir\((k+2)!\) comenzando con\((k+2)\) y multiplicándolo por los números que le preceden hasta llegar a\((k-1)\):\((k+2)! = (k+2)(k+1)(k)(k-1)!\). Como resultado, tenemos

      \[\dfrac{(k+2)!}{(k-1)!} = \dfrac{(k+2)(k+1)(k)(k-1)!}{(k-1)!} = \dfrac{(k+2)(k+1)(k) \cancel{(k-1)!}}{\cancel{(k-1)!}} = k(k+1)(k+2)\nonumber\]

      La estipulación\(k \geq 1\) está ahí para asegurar que se definan todas las factoriales involucradas.

2. Procedemos por inducción y dejamos\(P(n)\) ser la desigualdad\(n! > 3^n\). El caso base aquí es\(n=7\) y vemos que\(7! = 5040\) es más grande que\(3^7 = 2187\), así\(P(7)\) es cierto. A continuación, asumimos que eso\(P(k)\) es cierto, es decir, asumimos\(k! > 3^k\) e intentamos mostrar los\(P(k+1)\) siguientes. Usando las propiedades del factorial, tenemos\((k+1)! = (k+1) k!\) y desde entonces\(k! > 3^k\), tenemos\((k+1)! > (k+1) 3^{k}\). Ya que\(k \geq 7\),\(k+1 \geq 8\), entonces\((k+1) 3^{k} \geq 8 \cdot 3^{k} > 3 \cdot 3^{k} = 3^{k+1}\). Armando todo esto, tenemos\((k+1)! = (k+1) k! > (k+1)3^{k} > 3^{k+1}\) qué espectáculos\(P(k+1)\) es cierto. Por el Principio de Inducción Matemática, tenemos\(n! > 3^{n}\) para todos\(n \geq 7\).

De todos los animales matemáticos que hemos discutido en el texto, las factoriales crecen más rápidamente. En el problema 2 del Ejemplo 9.4.1, probamos que\(n!\) adelanta\(3^{n}\) al\(n=7\). 'adelantados' puede ser una palabra demasiado educada, ya que trounces\(n!\) a fondo\(3^n\) para\(n \geq 7\), como demostrará cualquier conjunto razonable de datos. Se puede demostrar que para cualquier número real\(x > 0\), no sólo se\(n!\) adelanta eventualmente\(x^n\), sino la proporción\(\frac{x^n}{n!} \rightarrow 0\) como\(n \rightarrow \infty\). ²

Las aplicaciones de las factoriales en la naturaleza a menudo implican arreglos de conteo. Por ejemplo, si tienes cincuenta canciones en tu reproductor mp3 y deseas organizar estas canciones en una lista de reproducción en la que importe el orden de las canciones, resulta que existen\(50!\) diferentes listas de reproducción posibles. Si deseas seleccionar solo diez de las canciones para crear una lista de reproducción, entonces hay\(\frac{50!}{40!}\) tales listas de reproducción. Si, por otro lado, solo quieres seleccionar diez archivos de canciones de los cincuenta para ponerlos en una tarjeta de memoria flash para que ahora el orden ya no importe, hay\(\frac{50!}{40! 10!}\) formas de lograrlo. ³ Si bien algunas de estas ideas se exploran en los Ejercicios, los autores te animan a tomar cursos como Matemáticas Finitas, Matemáticas Discretas y Estadística. Aquí presentamos estos conceptos porque así es como los factoriales se abren paso en el Teorema Binomial, como indica nuestra siguiente definición.

Definición 9.5. Coeficientes binomiales

Dado dos números enteros\(n\) y\(j\) con\(n \geq j\), el coeficiente binomial\(\displaystyle \binom{n}{j}\) (leer,\(n\) elegir\(j\)) es el número entero dado por

\[\binom{n}{j} = \dfrac{n!}{j! (n-j)!}\nonumber\]

En breve se justificará el nombre 'coeficiente binomial'. Por ahora, podemos interpretar físicamente\(\binom{n}{j}\) como el número de formas de seleccionar\(j\) elementos de los\(n\) elementos donde el orden de los artículos seleccionados no es importante. Por ejemplo, supongamos que ganaste dos boletos gratis para una proyección especial del último éxito de taquilla de Hollywood y tienes cinco buenos amigos a cada uno de los cuales les encantaría acompañarte al cine. Hay\(\binom{5}{2}\) formas de elegir quién va contigo. Aplicando la Definición 9.5, obtenemos

\[\binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2! (5-2)!} = \dfrac{5!}{2! 3!} = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10\nonumber\]

Por lo que hay\(10\) diferentes formas de distribuir esos dos boletos entre cinco amigos. (Algunos lo verán como\(10\) formas de decidir qué tres amigos tienen que quedarse en casa). Se anima al lector a verificar esto tomando realmente el tiempo para enumerar todas las posibilidades.

Ahora declaramos anf probar un teorema que es crucial para la prueba del Teorema Binomial.

Teorema 9.3.

Para números naturales\(n\) y\(j\) con\(n \geq j\),

\[\binom{n}{j-1} + \binom{n}{j} = \binom{n+1}{j}\nonumber\nonumber\]

La prueba del Teorema 9.3 es puramente computacional y utiliza la definición de coeficientes binomiales, la propiedad recursiva de factoriales y denominadores comunes.

\[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\binom{n}{j-1} + \binom{n}{j}} & = & \dfrac{n!}{(j-1)! (n-(j-1))!} + \dfrac{n!}{j! (n-j)!} \\[15pt] & = & \dfrac{n!}{(j-1)! (n-j+1)!} + \dfrac{n!}{j! (n-j)!} \\[15pt] & = & \dfrac{n!}{(j-1)! (n-j+1)(n-j)!} + \dfrac{n!}{j(j-1)! (n-j)!} \\[15pt] & = & \dfrac{n! \, j}{j(j-1)! (n-j+1)(n-j)!} + \dfrac{n! (n-j+1)}{j(j-1)! (n-j+1)(n-j)!} \\[15pt] & = & \dfrac{n! \, j}{j! (n-j+1)!} + \dfrac{n! (n-j+1)}{j! (n-j+1)!} \\[15pt] & = & \dfrac{n! \, j + n! (n-j+1)}{j! (n-j+1)!} \\[15pt] & = & \dfrac{n!\left( j + (n-j+1)\right)}{j! (n-j+1)!} \\[15pt] & = & \dfrac{(n+1) n!}{j! (n+1-j))!} \\[15pt] & = & \dfrac{(n+1)!} {j! ((n+1)-j))!} \\[15pt] & = & \displaystyle{\binom{n+1}{j}} \, \checkmark \\ \end{array}\nonumber\]

Ahora estamos en condiciones de afirmar y probar el Teorema Binomial donde vemos que los coeficientes binomiales son justamente eso - coeficientes en la expansión binomial.

Teorema 9.4. Teorema binomial

Para números reales distintos de cero\(a\) y\(b\),

\[(a+b)^{n} =\displaystyle{\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} a^{n-j} b^{j}}\nonumber\]

para todos los números naturales\(n\).

Para tener una idea de lo que dice este teorema y cómo realmente no es tan difícil de recordar como puede aparecer primero, consideremos el caso específico de\(n=4\). Según el teorema, tenemos

\[\begin{array}{rcl} (a+b)^{4} & = & \displaystyle{\sum_{j=0}^{4} \binom{4}{j} a^{4-j} b^{j}} \\[15pt] & = & \displaystyle{\binom{4}{0}a^{4-0}b^{0} + \binom{4}{1}a^{4-1}b^{1} + \binom{4}{2}a^{4-2}b^{2} + \binom{4}{3}a^{4-3}b^{3} + \binom{4}{4}a^{4-4}b^{4}} \\[15pt] & = & \displaystyle{\binom{4}{0}a^{4} + \binom{4}{1}a^{3}b + \binom{4}{2}a^{2}b^{2} + \binom{4}{3}ab^{3} + \binom{4}{4}b^{4}} \\ \end{array}\nonumber\]

Renunciamos a la simplificación de los coeficientes para anotar el patrón en la expansión. Primero señalar que en cada término, el total de los exponentes es el\(4\) que coincidió con el exponente del binomio\((a+b)^{4}\). El exponente encendido\(a\) comienza en\(4\) y disminuye en uno a medida que pasamos de un término a otro mientras que el exponente encendido\(b\) comienza en\(0\) y aumenta en uno cada vez. También tenga en cuenta que los propios coeficientes binomiales tienen un patrón. El número superior,\(4\), coincide con el exponente en el binomio\((a+b)^4\) mientras que el número inferior cambia de término a término y coincide con el exponente de\(b\) en ese término. Esto no es coincidencia y corresponde al tipo de conteo que discutimos anteriormente. Si pensamos en obtener\((a+b)^4\) multiplicando\((a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\), nuestra respuesta es la suma de todos los productos posibles con exactamente cuatro factores - algunos\(a\), algunos\(b\). Si queremos contar, por ejemplo, el número de formas en las que obtenemos\(1\) factor de\(b\) un total de factores\(4\) posibles, obligando así a que\(3\) los factores restantes sean\(a\), la respuesta es\(\binom{4}{1}\). De ahí que el término\(\binom{4}{1}a^{3}b\) esté en la expansión. Los demás términos que aparecen abarcan los casos restantes. Si bien esta discusión da una indicación de por qué el teorema es cierto, una prueba formal requiere de Inducción Matemática. ⁴

Para probar el Teorema Binomial, dejamos\(P(n)\) ser la fórmula de expansión dada en el enunciado del teorema y notamos que\(P(1)\) es cierto ya que

\[\begin{array}{rcl} (a+b)^{1} & \stackrel{?}{=} & \displaystyle{\sum_{j=0}^{1} \binom{1}{j} a^{1-j} b^{j}} \\[15pt] a+b & \stackrel{?}{=} & \displaystyle{\binom{1}{0}a^{1-0}b^{0} + \binom{1}{1}a^{1-1}b^{1}} \\[15pt] a+b & = & a + b \, \checkmark \\ \end{array}\nonumber\]

Ahora asumimos que eso\(P(k)\) es cierto. Es decir, suponemos que podemos expandirnos\((a+b)^k\) usando la fórmula dada en el Teorema 9.4 e intentar demostrar que eso\(P(k+1)\) es cierto.

\[\begin{array}{rcl} (a+b)^{k+1} & = & (a+b)(a+b)^{k} \\[15pt] & = & (a+b) \displaystyle{\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j}} \\[15pt] & = & a \displaystyle{\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j}} + b \displaystyle{\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j}} \\[15pt] & = & \displaystyle{\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k+1-j} b^{j}} + \displaystyle{\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j+1}} \\[15pt] \end{array}\nonumber\]

Nuestro objetivo es combinar la mayor cantidad posible de términos dentro de las dos sumatorias. Como el contador\(j\) en la primera suma va de\(0\) a través\(k\), obtenemos términos que involucran\(a^{k+1}\),\(a^{k}b\),\(a^{k-1}b^2\),...,\(ab^{k}\). En la segunda suma, obtenemos términos que involucran\(a^{k}b\),\(a^{k-1}b^{2}\),...,\(ab^{k}\),\(b^{k+1}\). Es decir, aparte del primer término en la primera suma y el último término en la segunda suma, tenemos términos comunes a ambas sumas. Nuestro siguiente movimiento es 'patear' los términos que no podemos combinar y reescribir las sumas para que podamos combinarlas. Para ello, observamos

\[\displaystyle{\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k+1-j} b^{j} = a^{k+1}+ \sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j} a^{k+1-j} b^{j}}\nonumber\]

y

\[\displaystyle{\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j+1} = \sum_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j+1} + b^{k+1}}\nonumber\]

para que

\[(a+b)^{k+1} = \displaystyle{a^{k+1} + \sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j} a^{k+1-j} b^{j} + \sum_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j+1} + b^{k+1}}\nonumber\]

Ahora deseamos escribir

\[\displaystyle{\sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j} a^{k+1-j} b^{j} + \sum_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j+1}}\nonumber\]

como una sola suma. La arruga es que comienza con la primera suma\(j=1\), mientras que la segunda comienza con\(j=0\). A pesar de que las sumas producen términos con los mismos poderes de\(a\) y\(b\), lo hacen para diferentes valores de\(j\). Para resolver esto, necesitamos desplazar el índice en la segunda suma para que el índice\(j\) comience en\(j=1\) lugar de\(j=0\) y hagamos uso del Teorema 9.1 en el proceso.

\[\begin{array}{rcl} \displaystyle{ \sum_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j+1}} & = & \displaystyle{\sum_{j=0+1}^{k-1+1} \binom{k}{j-1} a^{k-(j-1)} b^{(j-1)+1}} \\[15pt] & = & \displaystyle{\sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j-1} a^{k+1-j} b^{j}} \\[15pt] \end{array}\nonumber\]

Ahora podemos combinar nuestras dos sumas usando el Teorema 9.1 y simplificar usando el Teorema 9.3

\[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j} a^{k+1-j} b^{j} + \sum_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j} a^{k-j} b^{j+1}} & = & \displaystyle{\sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j} a^{k+1-j} b^{j} + \sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j-1} a^{k+1-j} b^{j}} \\[15pt] & = & \displaystyle{\sum_{j=1}^{k} \left[ \binom{k}{j} + \binom{k}{j-1} \right] a^{k+1-j} b^{j} } \\[15pt] & = & \displaystyle{\sum_{j=1}^{k} \binom{k+1}{j} a^{k+1-j} b^{j} } \\ \end{array}\nonumber\]

Usando esto y el hecho de que\(\binom{k+1}{0} = 1\) y\(\binom{k+1}{k+1} = 1\), obtenemos

\[\begin{array}{rcl} (a+b)^{k+1} & = & a^{k+1} + \displaystyle{\sum_{j=1}^{k} \binom{k+1}{j} a^{k+1-j} b^{j} } + b^{k+1} \\[15pt] & = & \displaystyle{ \binom{k+1}{0} a^{k+1} b^{0} + \sum_{j=1}^{k} \binom{k+1}{j} a^{k+1-j} b^{j} + \binom{k+1}{k+1} a^{0} b^{k+1}} \\[15pt] & = & \displaystyle{ \sum_{j=0}^{k+1} \binom{k+1}{j} a^{(k+1)-j} b^{j}} \\[15pt] \end{array}\nonumber\]

lo que demuestra que eso\(P(k+1)\) es cierto. De ahí que por inducción, hemos establecido que el Teorema Binomial es válido para todos los números naturales\(n\).

Ejemplo 9.4.2

Usa el Teorema Binomial para encontrar lo siguiente.

1. \((x-2)^4\)
2. \(2.1^{3}\)
3. El término que contiene\(x^3\) en la expansión\((2x+y)^{5}\)

Solución

1. Ya que\((x-2)^4 = (x+(-2))^4\), identificamos\(a = x\),\(b = -2\)\(n=4\) y obtenemos

   \[\begin{array}{rcl} (x-2)^4\! &\hspace{-.1in} = & \hspace{-.1in}\displaystyle{\sum_{j=0}^{4} \binom{4}{j} x^{4-j} (-2)^{j}} \\[15pt] & \hspace{-.1in} = & \hspace{-.1in}\displaystyle{\binom{4}{0} x^{4-0} (-2)^{0} \!+\! \binom{4}{1} x^{4-1} (-2)^{1} \!+\! \binom{4}{2} x^{4-2} (-2)^{2} \!+\! \binom{4}{3} x^{4-3} (-2)^{3} \!+\! \binom{4}{4} x^{4-4} (-2)^{4}} \\[15pt] &\hspace{-.1in} = & \hspace{-.1in}x^4 -8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 \\ \end{array}\nonumber\]

2. Al principio este problema parece fuera de lugar, pero podemos escribir\(2.1^{3} = (2 + 0.1)^3\). Identificando\(a =2\)\(n=3\),\(b = 0.1 = \frac{1}{10}\) y, obtenemos

   \[\begin{array}{rcl} \left(2+\dfrac{1}{10} \right)^3 & = & \displaystyle{\sum_{j=0}^{3} \binom{3}{j} 2^{3-j} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{j}} \\[15pt] & = & \displaystyle{\binom{3}{0} 2^{3-0} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{0} + \binom{3}{1} 2^{3-1} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{1} + \binom{3}{2} 2^{3-2} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{2} + \binom{3}{3} 2^{3-3} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{3}} \\[15pt] & = & 8 + \dfrac{12}{10} + \dfrac{6}{100} + \dfrac{1}{1000} \\[15pt] & = & 8 + 1.2 + 0.06 + 0.001 \\ & = & 9.261 \\ \end{array}\nonumber\]

3. Identificando\(a = 2x\),\(b = y\) y\(n=5\), el Teorema Binomial da

   \[(2x+y)^{5} = \displaystyle{\sum_{j=0}^{5} \binom{5}{j} (2x)^{5-j} y^{j}}\nonumber\]

   Ya que nos preocupa sólo el término que contiene\(x^3\), no hay necesidad de ampliar la suma total. Los exponentes en cada término deben sumar\(5\) y si el exponente encendido\(x\) es\(3\), el exponente encendido\(y\) debe ser\(2\). Desplumando el término\(j=2\), obtenemos

   \[\displaystyle{\binom{5}{2} (2x)^{5-2} y^{2}} = 10 (2x)^3y^2 = 80x^3y^2\nonumber\]

Cerramos esta sección con el Triángulo de Pascal, nombrado en honor al matemático Blaise Pascal. El Triángulo de Pascal se obtiene disponiendo los coeficientes binomiales en la forma triangular a continuación.

\[\begin{array}{ccccccccc} & & & & \displaystyle{\binom{0}{0}} & & & & \\[4pt] & & & \displaystyle{\binom{1}{0}} & & \displaystyle{\binom{1}{1}} & & &\\[4pt] & & & & \searrow \, \swarrow & & & & \\[4pt] & & \displaystyle{\binom{2}{0}} & & \displaystyle{\binom{2}{1}} & & \displaystyle{\binom{2}{2}} & &\\[4pt] & & & \searrow \, \swarrow & & \searrow \, \swarrow & & & \\[4pt] & \displaystyle{\binom{3}{0}} & & \displaystyle{\binom{3}{1}} & & \displaystyle{\binom{3}{2}} & & \displaystyle{\binom{3}{3}} & \\[4pt] & & \searrow \, \swarrow & & \searrow \, \swarrow & & \searrow \, \swarrow & & \\[4pt] \displaystyle{\binom{4}{0}} & & \displaystyle{\binom{4}{1}} & & \displaystyle{\binom{4}{2}} & & \displaystyle{\binom{4}{3}} & & \displaystyle{\binom{4}{4}} \\[4pt] & & & & \vdots & & & & \\ \end{array}\nonumber\]

Desde\(\binom{n}{0} = 1\) y\(\binom{n}{n} = 1\) para todos los números enteros\(n\), obtenemos que cada fila del Triángulo de Pascal comienza y termina con\(1\). Para generar los números en medio de las filas (a partir de la tercera fila), aprovechamos la relación aditiva expresada en el Teorema 9.3. Por ejemplo,\(\binom{1}{0} + \binom{1}{1} = \binom{2}{1}\),\(\binom{2}{0} + \binom{2}{1} = \binom{3}{1}\) y así sucesivamente. Esta relación está indicada por las flechas en la matriz anterior. Con estos dos hechos en la mano, podemos generar rápidamente el Triángulo de Pascal. Empezamos con las dos primeras filas,\(1\) y\(1 \quad 1\). A partir de ese momento, cada fila sucesiva comienza y termina con\(1\) y los números del medio se generan usando el Teorema 9.3. A continuación intentamos demostrar este proceso de construcción para generar las primeras cinco filas del Triángulo de Pascal.

\[\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 1 & & &\\ & & & & \searrow \, \swarrow & & & & \\ & & \fbox{1} & & \underline{1+1} & & \fbox{1} & &\\ \end{array} & \xrightarrow{\hspace{.5in}} & \begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 1 & & &\\ & & 1 & & 2 & &1 & &\\ \end{array} \\ && \\ \begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 1 & & &\\ & & 1 & & 2 & &1 & &\\ & & & \searrow \, \swarrow & & \searrow \, \swarrow & & & \\ & \fbox{1} & & \underline{1+2} & & \underline{2+1} & & \fbox{1} & \\ \end{array} & \xrightarrow{\hspace{.5in}} & \begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 1 & & &\\ & & 1 & & 2 & &1 & &\\ & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & \\ \end{array} \\ && \\ \begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 1 & & &\\ & & 1 & & 2 & &1 & &\\ & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & \\ & & \searrow \, \swarrow & & \searrow \, \swarrow & & \searrow \, \swarrow & & \\ \fbox{1} & & \underline{1+3} & & \underline{3+3} & & \underline{3+1} & & \fbox{1} \\ \end{array} & \xrightarrow{\hspace{.5in}} & \begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 1 & & &\\ & & 1 & & 2 & &1 & &\\ & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & \\ 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 \\ \end{array} \\ \end{array}\nonumber\]

Para ver cómo podemos usar el Triángulo de Pascal para agilizar el Teorema Binomial, supongamos que deseamos expandirnos\((3x-y)^{4}\). Los coeficientes que necesitamos son\(\binom{4}{j}\) para\(j = 0, 1, 2, 3, 4\) y son los números que forman la quinta fila del Triángulo de Pascal. Ya que sabemos que el exponente de\(3x\) en el primer término es\(4\) y luego disminuye en uno a medida que vamos de izquierda a derecha mientras que el exponente de\(-y\) inicia en\(0\) en el primer término y luego aumenta en uno a medida que avanzamos de izquierda a derecha, obtenemos rápidamente

\[\begin{array}{rcl} (3x-y)^{4} & = & (1)(3x)^{4} + (4)(3x)^3(-y) + (6)(3x)^2(-y)^2 + 4(3x)(-y)^3 + 1(-y)^4 \\ & = & 81x^4 - 108x^3y + 54x^2y^2 -12xy^3 + y^4 \\ \end{array}\nonumber\]

Nos gustaría recalcar que el Triángulo de Pascal es un método muy rápido para expandir todo un binomio. Si sólo se requiere un término (o dos o tres), entonces el Teorema Binomial es definitivamente el camino a seguir.

9.4.1. Ejercicios

En los Ejercicios 1 - 9, simplificar la expresión dada.

1. \(\left(3!\right)^2\)
2. \(\dfrac{10!}{7!}\)
3. \(\dfrac{7!}{2^3 3!}\)
4. \(\dfrac{9!}{4! 3! 2!}\)
5. \(\dfrac{(n+1)!}{n!}\),\(n \geq 0\).
6. \(\dfrac{(k-1)!}{(k+2)!}\),\(k \geq 1\).
7. \(\displaystyle{\binom{8}{3}}\)
8. \(\displaystyle{\binom{117}{0}}\)
9. \(\displaystyle{\binom{n}{n-2}}\),\(n \geq 2\)

En los Ejercicios 10 - 13, usa el Triángulo de Pascal para expandir el binomio dado.

10. \((x+2)^5\)
11. \((2x-1)^4\)
12. \(\left(\frac{1}{3} x + y^2\right)^3\)
13. \(\left(x - x^{-1} \right)^{4}\)

En los Ejercicios 14 - 17, usa el Triángulo de Pascal para simplificar la potencia dada de un número complejo.

14. \((1+2i)^4\)
15. \(\left(-1 + i \sqrt{3}\right)^3\)
16. \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\, i\right)^3\)
17. \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \, i\right)^4\)

En los Ejercicios 18 - 22, utilice el Teorema Binomial para encontrar el término indicado.

18. El término que contiene\(x^3\) en la expansión\((2x-y)^{5}\)
19. El término que contiene\(x^{117}\) en la expansión\((x+2)^{118}\)
20. El término que contiene\(x^{\frac{7}{2}}\) en la expansión\(\left(\sqrt{x}-3\right)^8\)
21. El término que contiene\(x^{-7}\) en la expansión\(\left(2x - x^{-3} \right)^{5}\)
22. El término constante en la expansión\(\left(x + x^{-1} \right)^{8}\)
23. Utilice la Prínicple de Inducción Matemática\(n! > 2^{n}\) para demostrar\(n \geq 4\).
24. Demostrar\(\displaystyle{\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} = 2^{n}}\) para todos los números naturales\(n\). (SUMINISTRO: ¡Usa el Teorema Binomial!)
25. Con la ayuda de tus compañeros, investiga Patrones y Propiedades del Triángulo de Pascal.
26. Acabas de ganar tres boletos para ver la nueva película, '\(8.\overline{9}\).' Cinco de tus amigos, Albert, Beth, Chuck, Dan y Eugene, están interesados en verlo contigo. Con la ayuda de tus compañeros, haz una lista de todas las formas posibles de distribuir tus dos boletos adicionales entre tus cinco amigos. Ahora suponga que ha caído con la gripe. Enumere todas las diferentes formas en las que puede distribuir los tres boletos entre estos cinco amigos. ¿Cómo se compara esto con la primera lista que hiciste? ¿Qué tiene que ver esto con el hecho de que\(\binom{5}{2} = \binom{5}{3}\)?

9.4.2. RESPUESTAS

1. \(36\)
2. \(720\)
3. \(105\)
4. \(1260\)
5. \(n+1\)
6. \(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)
7. \(56\)
8. \(1\)
9. \(\frac{n(n-1)}{2}\)
10. \((x+2)^5 = x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32\)
11. \((2x-1)^4 = 16x^4-32x^3+24x^2-8x+1\)
12. \(\left(\frac{1}{3} x + y^2\right)^3 = \frac{1}{27} x^3+\frac{1}{3}x^2y^2+xy^4+y^6\)
13. \(\left(x - x^{-1} \right)^{4} = x^4-4x^2+6-4x^{-2}+x^{-4}\)
14. \(-7-24i\)
15. \(8\)
16. \(i\)
17. \(-1\)
18. \(80x^3y^2\)
19. \(236x^{117}\)
20. \(-24x^{\frac{7}{2}}\)
21. \(-40 x^{-7}\)
22. \(70\)

---

Referencia

¹ Es más o menos la razón por la que la Sección 9.3 está en el libro.

² Este hecho es mucho más importante de lo que puedas imaginar.

³ Para referencias,

\ [\ comenzar {alineado}
50! &=30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000,\\
\ frac {50!} {40!} &=37276043023296000,\ quad\ texto {y}\\
\ frac {50!} {40! ¡10!} &=10272278170
\ final {alineado}\ nonumber\]

⁴ y una buena cantidad de tenacidad y atención al detalle.