3.3: Fórmulas de doble ángulo y medio ángulo
- Page ID
- 113547
Un caso especial de las fórmulas de adición es cuando los dos ángulos que se agregan son iguales, dando como resultado las fórmulas de doble ángulo:
\ [\ begin {align}\ sin\; 2\ theta ~&=~ 2\;\ sin\;\ theta ~\ cos\;\ theta\ label {eqn:doublesin}\\
\ cos\; 2\ theta ~&=~\ cos^2\;\ theta ~-~\ sin^2\;\ theta\ etiqueta {eqn:doublecos}\\
\ tan\; 2\ theta ~&=~\ frac {2\;\ tan\;\ theta} {1 ~-~\ tan^2\;\ theta}\ label {eqn:doubletán}\ end {align}\]
Para derivar la fórmula de doble ángulo sinusoidal, vemos que
\[\sin\;2\theta ~=~ \sin\;(\theta+\theta) ~=~ \sin\;\theta ~ \cos\;\theta ~+~ \cos\;\theta ~ \sin\;\theta ~=~ 2\;\sin\;\theta ~ \cos\;\theta~. \nonumber \]
Así mismo, para la fórmula coseno de doble ángulo, tenemos
\[ \cos\;2\theta ~=~ \cos\;(\theta+\theta) ~=~ \cos\;\theta~\cos\;\theta ~-~ \sin\;\theta~\sin\;\theta ~=~ \cos^2 \;\theta ~-~ \sin^2 \;\theta~,\nonumber \]
y por la tangente obtenemos
\ [\ tan\; 2\ theta ~=~\ tan\; (\ theta+\ theta) ~=~\ frac {\ tan\;\ tan\;\ theta ~+~\ tan\;\ theta} {1 ~-~\ tan\;\ theta ~\ tan\;\ theta} ~=~
\ frac {2\; tan\;\ theta} {1 ~\ tan^2\;\ theta}\ nonumber\]
Usando las identidades\(\;\sin^2 \;\theta = 1 - \cos^2 \;\theta \) y\(\;\cos^2 \;\theta = 1 - \sin^2 \;\theta \), obtenemos las siguientes formas alternativas útiles para la fórmula coseno de doble ángulo:
\ [\ begin {align}\ cos\; 2\ theta ~&=~ 2\;\ cos^2\;\ theta ~-~ 1\ label {eqn:doublecosalt1}\\
&=~ 1 ~-~ 2\;\ sin^2\;\ theta\ label {eqn:doublecosalt2}
\ end {align}\ nonumber\]
Demostrar eso\(\;\sin\;3\theta ~=~ 3\;\sin\;\theta ~-~ 4\;\sin^3 \;\theta\; \).
Solución
Usando\(3\theta = 2\theta + \theta \), la Ecuación de suma para seno, y las Ecuaciones de doble ángulo\ ref {eqn:doublesin} y\ ref {eqn:doublecosalt2}, obtenemos:
\ [\ begin {alinear*}
\ sin\; 3\ theta ~&=~\ sin\ ;( 2\ theta+\ theta)\\\ nonumber
&=~\ sin\; 2\ theta~\ cos\;\ theta ~+~\ cos\; 2\ theta~\ sin\;\ theta\\ nonumber
&=~ (2\;\ sin\;\ theta~\ cos\;\ theta)\;\ cos\;\ theta ~+~ (1 - 2\;\ sin^2\;\ theta)\;\ sin\;\ theta\\ nonumber
&=~ 2\;\ sin\;\ theta~\ cos^2\;\ theta ~+~\ sin\;\ theta ~-~ 2\;\ sin^3\;\ theta\\ nonumber
&=~ 2\;\ sin\;\ sin\;\ theta\ ;( 1 -\ sin^2\;\ theta) ~+~\ sin\;\ theta -~ 2\;\ sin^3\;\ theta\\ nonumber
&=~ 3\;\ sin\;\ theta ~-~ 4\;\ sin^3\;\ theta
\ final {alinear*}\ nonumber\]
Demostrar eso\(\;\sin\;4z ~=~ \dfrac{4\;\tan\;z~(1 - \tan^2 \;z)}{(1 + \tan^2 \;z)^2}\; \).
Solución
Amplía el lado derecho y usa\(1 + \tan^2 \;z= \sec^2 \;z\,\):
\ [\ begin {alinear*}
\ dfrac {4\;\ tan\; z~ (1 -\ tan^2\; z)} {(1 +\ tan^2\; z) ^2} ~&=~
\ dfrac {4\;\ cdot\;\ dfrac {\ sin\; z} {\ cos\; z}\;\ cdot\;\ left (\ dfrac {\ cos^2\; z} {\ cos^2\; z} -
\ dfrac {\ sen ^2\; z} {\ cos^2\; z}\ derecha)} {(\ seg^2\; z) ^2}\\\ nonumber
&=~ \ dfrac {4\;\ cdot\;\ dfrac {\ sin\; z} {\ cos\; z}\;\ cdot\;\ dfrac {\ cos\; 2z} {\ cos^2\; z}} {\ left (
\ dfrac {1} {\ cos^2\; z}\ derecha) ^2}\ quad\ qquad\ texto (por Ecuación\ ref {eqn:doublecos})}\\\ nonumber
&=~ (4\;\ sin\; z~\ cos\; 2z)\;\ cos\; z\\ nonumber
&=~ 2\ ;( 2\;\ sin\; z~\ cos\; z) \;\ cos\; 2z\\\ nonumber
&=~ 2\;\ sin\; 2z~\ cos\; 2z\ quad\ qquad\ text {(por Ecuación\ ref {eqn:doublesin})}\\ nonumber
&=~\ sin\; 4z\ quad\ qquad\ text {(por Ecuación\ ref {eqn:doublesin} con\(\theta \) reemplazado por\(2z\))}
\ end {align*}\ nonumber\]
Nota: Quizás sorprendentemente, esta identidad aparentemente oscura ha encontrado un uso en la física, en la derivación de una solución de la ecuación seno-Gordon en la teoría de las ondas no lineales
Estrechamente relacionadas con las fórmulas de doble ángulo están las fórmulas de medio ángulo:
\ [\ begin {align}\ sin^2\;\ tfrac {1} {2}\ theta ~&=~\ frac {1\; -\;\ cos\;\ theta} {2}\ label {eqn:halfsin}\
\ cos^2\;\ tfrac {1} {2}\ theta ~&=~\ frac {1\; +\;\ cos\;\ theta} {2}\ label {eqn:halfcos}\\
\ tan^2\;\ tfrac {1} {2}\ theta ~&=~\ frac {1\; -\;\ cos\;\ theta} {1\; +\;\ cos\;\ theta}\ etiqueta {eqn:halftan}\ end {align}\]
Estas fórmulas son solo las fórmulas de doble ángulo reescritas con\(\theta \) reemplazadas por\(\tfrac{1}{2}\theta\):
\ [\ begin {alinear*}
\ cos\; 2\ theta\; &=\; 1\; -\; 2\;\ sin^2\;\ theta ~\ theta ~\ sen^2\;\ theta\; =\;\ frac {1\; -\ cos\; 2\ theta} {2}
~\ Tacha~\ sin^2\;\ tfrac {1} {2}\ theta\; =\;\ frac {1\; -\;\ cos\; 2\, (\ tfrac {1} {2}\ theta)} {2}\; =\;
\ frac {1\; -\;\ cos\;\ theta} {2 }\\\ nonumber
\ cos\; 2\ theta\; &=\; 2\;\ cos^2\;\ theta\; -\; 1 ~\ Derecha~\ cos^2\;\ theta\; =\;\ frac {1\; +\ cos\; 2\ theta} {2}
~\ Derecha~\ cos^2\; tfrac {1} {2}\ theta\; =\;\ frac {1\; +\;\ cos\; 2\, (\ tfrac {1} {2}\ theta)} {2}\; =\;
\ frac {1\; +\;\ cos\;\ theta} {2}
\ end {align*}\ nonumber\]
La ecuación tangente de medio ángulo sigue entonces fácilmente:
\ [
\ tan^2\;\ tfrac {1} {2}\ theta\; =\;\ izquierda (\ dfrac {\ sin\;\ tfrac {1} {2} {2}\ theta} {\ cos\;\ tfrac {1} {2}\ theta}\ derecha) ^2
\; =\;\ dfrac {\ sin^2\;\ tfrac {\ theta}\ {1} {2}\ theta} {\ cos^2\;\ tfrac {1} {2}\ theta}\; =
\;\ dfrac {\ tfrac {\ tfrac {1\; -\;\ cos\;\ theta} {2}} {\ tfrac {1\; +\;\ cos\;\ theta} {2}}\;
\ frac {1\; -\;\ cos\;\ theta} {1\; +\;\ cos\;\ theta}
\ nonumber\]
Las fórmulas de medio ángulo se utilizan a menudo (por ejemplo, en cálculo) para reemplazar una función trigonométrica cuadrada por una función no cuadrada, especialmente cuando\(2\theta \) se usa en lugar de\(\theta \).
Al tomar raíces cuadradas, podemos escribir las fórmulas anteriores en una forma alternativa:
\ [\ begin {align}
\ sin\;\ tfrac {1} {2}\ theta ~&=~\ pm\;\ sqrt {\ frac {1\; -\;\ cos\;\ theta} {2}}\ label {eqn:halfsinsq}\\
\ cos\;\ tfrac {1} {2}\ theta ~&=~\ pm\;\ sqrt {\ frac {1\; +\;\ cos\;\ theta} {2}}\ label {eqn:halfcossq}\\\
\ tan\;\ tfrac {1} {2}\ theta ~&=~\ pm\;\ sqrt {\ frac {1 \; -\;\ cos\;\ theta} {1\; +\;\ cos\;\ theta}}\ label {eqn:semitosq}
\ end {align}\ nonumber\]
En la forma anterior, el signo frente a la raíz cuadrada está determinado por el cuadrante en el que\(\tfrac{1}{2}\theta \) se ubica el ángulo. Por ejemplo, si\(\theta=300^\circ \) entonces\(\tfrac{1}{2}\theta = 150^\circ \) está en QII. Entonces en este caso\(\cos\;\tfrac{1}{2}\theta < 0 \) y de ahí tendríamos\(\cos\;\tfrac{1}{2}\theta = -\;\sqrt{\frac{1 \;+\; \cos\;\theta}{2}} \).
En Ecuación\ ref {eqn:halftansq}, multiplicando el numerador y denominador dentro de la raíz cuadrada por\((1 - \cos\;\theta) \) da
\ [
\ tan\;\ tfrac {1} {2}\ theta ~=~\ pm\;\ sqrt {\ frac {1 -\ cos\;\ theta} {1 +\ cos\;\ theta}\,\ cdot\,
\ frac {1 -\ cos\;\ theta} {1 -\ cos\;\ theta}} ~=~
\ pm;\ sqrt {\ frac {(1 -\ cos\;\ theta) ^2} {1 -\ cos^2\;\ theta}} ~=~
\ pm\;\ sqrt {\ frac {(1 -\ cos\;\ theta) ^2} {\ sin^2\ ;\ theta}} ~=~\ pm\;\ frac {1 -\ cos\;\ theta} {\ sin\;\ theta} ~.
\ nonumber\]
Pero\(1 - \cos\;\theta \ge 0 \), y resulta (ver Ejercicio 10) que\(\tan\;\tfrac{1}{2}\theta \) y\(\sin\;\theta \) siempre tienen el mismo signo. Así, el signo menos frente a la última expresión no es posible (ya que eso cambiaría los signos de\(\tan\;\tfrac{1}{2}\theta \) y\(\sin\;\theta\)), por lo que tenemos:
\[\tan\;\tfrac{1}{2}\theta ~=~ \frac{1 \;-\; \cos\;\theta}{\sin\;\theta}\label{eqn:halftanalt1} \]
Multiplicando el numerador y denominador en la ecuación\ ref {eqn:halftanalt1} por\(1 + \cos\;\theta \) da
\ [
\ tan\;\ tfrac {1} {2}\ theta ~=~\ frac {1\; -\;\ cos\;\ theta} {\ sin\;\ theta}\;\ cdot\;
\ frac {1\; +\;\ cos\;\ theta} {1\; +\;\ cos\;\ theta} ~=~ ac {1\; -\;\ cos^2\;\ theta} {\ sin\;\ theta\ ;( 1\; +\;\ cos\;\ theta)}
~=~\ frac {\ sin^2\;\ theta} {\ sin\;\ theta\ ;( 1\; +\;\ cos\;\ theta )} ~,
\ nonúmero\]
así que también obtenemos:
\[ \tan\;\tfrac{1}{2}\theta ~=~ \frac{\sin\;\theta}{1 \;+\; \cos\;\theta}\label{eqn:halftanalt2} \]
Tomando recíprocos en Ecuaciones\ ref {eqn:halftanalt1} y\ ref {eqn:halftanalt2} da:
\ [\ cuna\;\ tfrac {1} {2}\ theta ~=~\ frac {\ sin\;\ theta} {1\; -\;\ cos\;\ theta} ~=~
\ frac {1\; +\;\ cos\;\ theta} {\ sin\;\ theta}\ etiqueta {eqn:halfcot}\]
Demostrar la identidad\(\;\sec^2 \;\tfrac{1}{2}\theta ~=~\dfrac{2\;\sec\;\theta}{\sec\;\theta \;+\; 1}\; \).
Solución
Dado que secante es el recíproco del coseno, tomar el recíproco de la Ecuación\ ref {eqn:halfcos} para nos\(\;\cos^2 \;\tfrac{1}{2}\theta \) da
\ [\ seg^2\;\ tfrac {1} {2}\ theta ~=~\ frac {2} {1\; +\;\ cos\;\ theta}
~=~\ frac {2} {1\; +\;\ cos\;\ theta}\;\ cdot\;\ frac {\ sec\;\ theta} {\ seg\;\ theta}
~=~\ frac {2\;\ sec\;\ theta} {\ seg\;\ theta\; +\; 1} ~. \ nonumber\]