3.4: Otras identidades

Aunque las identidades de esta sección caen dentro de la categoría de “otras”, quizás sean (junto con\(\cos^2 \;\theta + \sin^2 \;\theta = 1\)) las identidades más utilizadas en la práctica. Es muy común encontrar términos como\(\;\sin\;A + \sin\;B\; \) o\(\;\sin\;A~\cos\;B\; \) en cálculos, por lo que ahora derivaremos identidades para esas expresiones. Primero, tenemos lo que a menudo se llaman las fórmulas de producto a suma:

\ [\ begin {align}\ sin\; A~\ cos\; B ~&=~\ phantom {-}\ tfrac {1} {2}\; (\ sin\; (A+B) ~+~\ sin\; (A-B))\ label {eqn:p2ssincos}\\
\ cos\; A~\ sin\; B ~&=~\ phantom {-}\ tfrac {1} {2}\ ;(\ sin\ ;( A+B) ~-~\ sin\ ;( A-B))\ label {eqn:p2scossin}\\
\ cos\; A~\ cos\; B ~&=~\ phantom {-}\ tfrac {1} {2}\ ;(\ cos\ ;( A+B) ~+~\ cos\; (A-B))\ label {eqn:p2scoscos}\\
\ sin\; A~\ sin\; B ~&=~ -\ tfrac {1} {2}\ ;(\ cos\ ;( A+B) ~-~\ cos\ ;( A-B))\ label {eqn:p2ssinsin}
\ end {align}\ noner\]

Demostraremos la primera fórmula; las pruebas de las demás son similares (ver Ejercicios 1-3). Vemos que
\ [\ nonumber\ require {cancel}\ begin {align*}
\ sin\ ;( A+B) ~+~\ sin\ ;( A-B) ~&=~ (\ sin\; A~\ cos\; B ~+~\ cancel {\ cos\; A~\ sin\; B}) ~+~
(\ sin\; A~\ cos\; B ~-~ cancelar\ {\ cos\; A~\ sin\; B})\\\ nonumber
&=~ 2\;\ sin\; A~\ cos\; B ~,
\ fin { align*}\ nonumber\]
así que la ecuación\ ref {eqn:p2ssincos} sigue al dividir ambos lados por\(2 \). Observe cómo en cada una de las identidades anteriores se muestra que un producto (por ejemplo\(\sin\;A~\cos\;B\)) de funciones trigonométricas es equivalente a una suma (por ejemplo\(\tfrac{1}{2}\;(\sin\;(A+B) ~+~ \sin\;(A-B))\)) de tales funciones. Podemos ir en sentido contrario, con las fórmulas suma-a-producto:

\ [\ begin {align}
\ sin\; A ~+~\ sin\; B ~&=~\ phantom {-} 2\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~
\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\ label {eqn:s2psinpsin}\
\\ sin\; A ~-~ sin\; B ~&=~\ phantom {-} 2\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~
\ sin\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\ etiqueta {eqn:s2psinmsin}\\
\ cos\; A ~+~\ cos\; B ~&=~\ fantasma {-} 2\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~
\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\ label {eqn:s2pcospcos}\\
\ cos\; A ~-~\ cos\; B ~&=~ -2\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~\ sin\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\ etiqueta {eqn:s2pcosmcos}
\ end {align}\ nonumber\]

Estas fórmulas son solo las fórmulas de producto a suma reescritas mediante el uso de algunas sustituciones inteligentes: let\(x=\frac{1}{2}(A+B) \) y\(y=\frac{1}{2}(A-B) \). Entonces\(x+y=A \) y\(x-y=B \). Por ejemplo, para derivar la Ecuación\ ref {eqn:s2pcospcos}, haga las sustituciones anteriores en la Ecuación\ ref {eqn:p2scoscos} para obtener
\ [\ nonumber
\ begin {align*}\ cos\; A ~+~\ cos\; B ~&=~\ cos\ ;( x+y) ~+~\ cos\ ;( x-)\ nonumby er
&=~ 2\;\ cdot\;\ tfrac {1} {2} (\ cos\ ;( x+y) ~+~\ cos \; (x-y))\\\ nonumber
&=~ 2\;\ cos\; x~\ cos\; y\ qquad\ qquad\ text {(por Ecuación\ ref {eqn:p2scoscos})}\\\ nonúmero
&=~ 2\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B) ~.
\ end {align*}\ nonumber\]
Las pruebas de las otras fórmulas suma-a-producto son similares (ver Ejercicios 4-6).

Ejemplo 3.16

Ahora estamos en condiciones de probar las ecuaciones de Mollweide, que introdujimos en la Sección 2.3: Para cualquier triángulo\(\triangle\,ABC \),

\ [\ nonumber\ frac {a-b} {c} ~=~\ frac {\ sin\;\ frac {1} {2} (A-B)} {\ cos\;\ frac {1} {2} C}\ qquad\ texto {y}\ qquad
\ frac {a+b} {c} ~=~\ frac {\ cos\;\ frac {1} {2} (A-B)} {\ sin\;\ frac {1} {2} C} ~. \ nonumber\]

Primero, ya que\(C=2\;\cdot\;\tfrac{1}{2}C \), por la fórmula de doble ángulo tenemos\(\;\sin\;C = 2\;\sin\;\tfrac{1}{2}C~\cos\;\tfrac{1}{2}C \). Por lo tanto,

\ [\ nonumber\ require {cancel}\ begin {align*}
\ frac {a-b} {c} ~&=~\ frac {a} {c} ~-~\ frac {b} {c}
~=~\ frac {\ sin\; A} {\ sin\; C} ~-~\ frac {\ sin\; B} {\ sin\; C}\\ text {(por la Ley de los Pinos)}\\\ nonumber
&=~\ frac {\ sin\; A ~-~\ sin\; B} {\ sin\; C} ~=~
\ frac {\ sin \; A ~-~\ sin\; B} {2\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} C~\ cos\;\ tfrac {1} {2} C}\\\ nonumber
&=~\ frac {2\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~\ sin\;\ tfrac {1} {2} (A-B)} {2\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} C~
\ cos\;\ tfrac {1} {2} C}\ quad\ text {(por Ecuación\ ref {eqn:s2psinmsin})}\\\ nonumber
&=~\ frac {\ cos\;\ tfrac { 1} {2} (180^\ circ - C) ~\ sin\;\ tfrac {1} {2} (A-B)} {\ sin\;\ tfrac {1} {2} C~
\ cos\;\ tfrac {1} {2} C}\ quad\ text {(since\(A+B=180^\circ - C\))}\\ nonumber
&=~\ frac {\ cancel {cos\\ ;( 90^\ circ -\ tfrac {1} {2} C)} ~\ sin\;\ tfrac {1} {2} (A-B)} {
\ cancel {\ sin\;\ tfrac {1} {2} C} ~\ cos\;\ tfrac {1} {2} C}\\ nonumber
&=~\ frac {\ sin\;\ frac {1} {2} (A-B)} {\ cos\;\ frac {1} {2} C}\ quad\ text {(desde\ (\;\ cos\ ;( 90^\ circ -
\ tfrac {1} {2} C) =\ sin\;\ tfrac {1} {2}\))} ~.
\ end {align*}\ nonumber\]

Esto prueba la primera ecuación. La prueba de la otra ecuación es similar (ver Ejercicio 7).

Ejemplo 3.17

Usando las ecuaciones de Mollweide, podemos probar la Ley de Tangentes: Para cualquier triángulo\(\triangle\,ABC \),

\ [\ nonumber\ frac {a-b} {a+b} ~=~\ frac {\ tan\;\ frac {1} {2} (A-B)} {\ tan\;\ frac {1} {2} (A+B)} ~,\ quad
\ frac {b-c} {b+c} ~=~\ frac {\\ frac {\\;\ frac {1} {2} (B-C)} {\ tan\;\ frac {1} {2} (B+C)} ~,
\ quad\ frac {c-a} {c+a} ~=~\ frac {\ tan\;\ frac {1} {2} (C-A)} {\ tan\;\ frac {1} {2} (C+A)} ~. \ nonumber\]

Solo necesitamos probar la primera ecuación; las otras dos se obtienen ciclando a través de las letras. Vemos que

\ [\ nonumber\ begin {align*}
\ frac {a-b} {a+b} ~&=~\ dfrac {\ dfrac {a-b} {c}} {\ dfrac {a+b} {c}} ~=~
\ dfrac {\ dfrac {\ dfrac {\ sin\;\ tfrac {1} {2} (A-B)} {\ cos\;\ tfrac {1} {2} C}} {
\ dfrac {\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B)} {\ sin\;\ tfrac {1} {2} C}}\ quad\ text {(por ecuaciones de Mollweide)}\\\ nonumber
&=~\ dfrac {\ sin\;\ tfrac {1} {2} (A-B)} {\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B)}\;\ cdot\;
\ dfrac {\ sin\;\ tfrac {1} {2} C} {\ cos\;\ tfrac {1} {2} C\\\ nonumber
&=~\ tan\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\;\ cdot\;\ tan\;\ tfrac {1} {2} C ~=~
\ tan\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\;\ cdot\;\ tan\ ;( 90^\ circ - \ tfrac {1} {2} (A+B))
\ quad\ text {(desde\(C=180^\circ - (A+B)\))}\\\ nonumber
&=~\ tan\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\;\ cdot\;\ cot\;\ cot\;\ tfrac {1} {2} (A+B)\ quad\ text {(desde\ (\\ tan ;( 90^\ cirlo c
-\ tfrac {1} {2} (A+B)) =\ cot\;\ tfrac {1} {2} (A+B)\), ver Sección 1.5)}\\\ nonumber
&= ~\ frac {\ tan\;\ frac {1} {2} (A-B)} {\ tan\;\ frac {1} {2} (A+B)} ~. \ quad\ textbf {QED}\ end {align*}\ nonumber\]

Ejemplo 3.18

Para cualquier triángulo\(\triangle\,ABC \), mostrar que
\ [\ nonumber
\ cos\; A ~+~\ cos\; B ~+~\ cos\; C ~=~ 1 ~+~
4\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} A~\ sin\;\ tfrac {1} {2} B~\ sin\;\ tfrac {1} {2} C ~.
\ nonumber\]

Solución

Ya que\(\;\cos\;(A+B+C) = \cos\;180^\circ = -1 \), podemos reescribir el lado izquierdo como

\ [\ nonumber\ begin {alinear*}
\ cos\; A\; +\;\ cos\; B\; +\;\ cos\; C ~&=~ 1\; +\; (\ cos\ ;( A+B+C)\; +\;\ cos\; C)\; +\; (\ cos\; A
\; +\;\ cos\; B)\ ~ text {, entonces por Ecuación\ ref {eqn:s2pcospcos}}\\\ nonumber
&=~ 1\; +\; 2\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B+2C) ~\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B)\ ; +\;
2\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\\\ nonumber
&=~ 1\; +\; 2\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~\ izquierda (\ cos\;\ tfrac {1} (A+B) ~\ izquierda (\ cos\;\ tfrac {1}} {2} (A+B+2C)\; +\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\ derecha) ~~\ text {, entonces}\\\ nonumber
&=~ 1\; +\; 2\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B)\;\
cdot\; 2\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+C) ~
\ cos\;\ tfrac {1} {2} (B+C) ~~\ text {por Ecuación\ ref {eqn:s2pcospcos},}\ end {align*}\ nonumber\]
desde\(\tfrac{1}{2}\left( \tfrac{1}{2}(A+B+2C) + \tfrac{1}{2}(A-B) \right) = \tfrac{1}{2}(A+C) \) y\(\tfrac{1}{2}\left( \tfrac{1}{2}(A+B+2C) - \tfrac{1}{2}(A-B) \right) = \tfrac{1}{2}(B+C) \). Así,}
\ [\ nonumber\ begin {alinear*}\ cos\; A\; +\;\ cos\; B\; +\;\ cos\; C ~&=~
1\; +\; 4\;\ cos\ ;( 90^\ circ -\ tfrac {1} {2} C) ~\ cos\ ;( 90^\ circ -\ tfrac {1} {2} B) ~
\ cos\ ;( 90^\ circ -\ tfrac {1} {2} A)\\\ nonúmero
&=~ 1\; +\; 4\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} C~\ sin\;\ tfrac {1} {2} B~\ sin\;\ tfrac {1} {2} A
~~,\ text {así reordenando el pedido da}\\\ nonumber
&=~ 1\; +\; 4\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} A~\ sin\;\ tfrac {1} {2} B~\ sin\; tfrac {1} {2} C ~.
\ end {align*}\ nonumber\]

Ejemplo 3.19

Para cualquier triángulo\(\triangle\,ABC \), muéstralo\(\;\sin\;\tfrac{1}{2}A~\sin\;\tfrac{1}{2}B~ \sin\;\tfrac{1}{2}C \;\le\; \frac{1}{8}\; \).

Solución

Vamos\(u=\sin\;\tfrac{1}{2}A~\sin\;\tfrac{1}{2}B~\sin\;\tfrac{1}{2}C \). Aplica la Ecuación\ ref {eqn:p2ssinsin} a los dos primeros términos\(u \) para obtener

\ [\ nonumber u ~=~ -\ tfrac {1} {2}\; (\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B)\; -\;\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B)) ~
\ sin\;\ tfrac {1} {2} C ~=~\ tfrac {1} {2}}\ ;(\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\; -\;
\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B)) ~\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~,\ nonumber\]

ya que\(\;\sin\;\tfrac{1}{2}C = \cos\;\tfrac{1}{2}(A+B) \), como vimos en el Ejemplo 3.18. Multiplica ambos lados por\(2 \) para obtener
\ [\ nonumber
\ cos^2\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~-~\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B) ~\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~+~ 2u ~=~ 0 ~,
\ nonumber\]
después de reordenar los términos. Observe que la expresión anterior es una ecuación cuadrática en el término\(\;\cos\;\tfrac{1}{2}(A+B) \). Entonces por la fórmula cuadrática,
\ [\ nonumber
\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A+B) ~=~\ frac {\ cos\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\;\ pm\;
\ sqrt {\ cos^2\;\ tfrac {1} {2} (A-B) - 4 (1) (2u)}} {2} ~~,
\ nonumber\]
que tiene una solución real solo si la cantidad dentro del la raíz cuadrada no es negativa. Pero sabemos que\(\;\cos\;\tfrac{1}{2}(A+B)\; \) es un número real (y, por lo tanto, existe una solución), así que debemos tener
\ [\ nonumber\ cos^2
\;\ tfrac {1} {2} (A-B)\; -\; 8u ~\ ge~ 0\ quad\ Rightarrow\ quad u ~\ le~\ tfrac {1} {8}\;\ cos^2\;
\ tfrac {1} {8}\;\ cos^2\;\ tfrac ac {1} {2} (A-B) ~\ le~\ tfrac {1} {8}\ cuádruple\ fila derecha\ cuádruple
\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} A~\ sin\;\ tfrac {1} {2} B~\ sin\;\ tfrac {1} {2} C ~\ le~\ tfrac {1} {8} ~.
\ nonumber\]

Ejemplo 3.20

Para cualquier triángulo\(\triangle\,ABC \), mostrar que\ (\; 1 ~<~\ cos\; A +\ cos\; B +\ cos\; C ~\ le~
\ tfrac {3} {2}\;\).

Solución

Ya que\(0^\circ < A,\; B,\; C < 180^\circ \), los senos de\(\tfrac{1}{2}A \),\(\tfrac{1}{2}B \), y\(\tfrac{1}{2}C \) son todos positivos, así

\ [\ nonumber\ cos\; A\; +\;\ cos\; B\; +\;\ cos\; C ~=~ 1\; +\;
4\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} A~\ sin\;\ tfrac {1} {2} B~\ sin\;\ tfrac {1} {2} C ~ > 1\ nonumber\]

por Ejemplo 3.18. Además, por los Ejemplos 3.18 y 3.19 tenemos

\ [\ cos\; A\; +\;\ cos\; B\; +\;\ cos\; C ~=~ 1\; +\;
4\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} A~\ sin\;\ tfrac {1} {2} B~\ sin\;\ tfrac {1} {2} C ~\ le~ 1\; +\;
4\;\ cdot\;\ tfrac {1} {8} ~=~\ tfrac {3} {2} ~. \ nonumber\]

De ahí,\(\;1 ~<~ \cos\;A + \cos\;B + \cos\;C ~\le~ \tfrac{3}{2}\; \).

Ejemplo 3.21

Recordemos la ley de Snell del Ejemplo 3.12 en la Sección 3.2:\(n_1 ~\sin\;\theta_1 = n_2 ~\sin\;\theta_2 \). Utilícelo para mostrar que el coeficiente de Fresnel de transmisión de polarización p definido por

\[ t_{1\;2\;p} ~=~ \frac{2\;n_1 ~\cos\;\theta_1}{n_2 ~\cos\;\theta_1 ~+~ n_1 ~\cos\;\theta_2}\label{3.45} \]

se puede escribir como:

\ [t_ {1\; 2\; p} ~=~\ frac {2\;\ cos\;\ theta_1~\ sin\;\ theta_2} {\ sin\; (\ theta_1 +\ theta_2) ~
\ cos\ ;(\ theta_1 -\ theta_2)} ~. \ nonumber\]

Solución

Multiplica la parte superior e inferior de\(t_{1\;2\;p} \) por\ (\;\ sin\;\ theta_1
~\ sin\;\ theta_2\;\) para obtener:

\ [\ nonumber\ begin {alinear*}
t_ {1\; 2\; p} ~&=~\ frac {2\; n_1 ~\ cos\;\ theta_1} {n_2 ~\ cos\;\ theta_1 ~+~ n_1 ~\ cos\;\ theta_2}
\;\ cdot\;\ frac {\ sin\; theta_1 ~\ sin\;\ theta_2} {\ sin\;\ theta_1 ~
\ sin\;\ theta_2}\\\ nonumber
&=~\ frac {2\ ;( n_1 ~\ sin\;\ theta_1 ) ~\ cos\;\ theta_1 ~\ sin\;\ theta_2} {
(n_2 ~\ sin\;\ theta_2) ~\ sin\;\ theta_1 ~\ cos\;\ theta_1 ~+~
(n_1 ~\ sin\;\ theta_1) ~\ sin\;\ theta_2 ~\ cos\;\ theta_1 2}\\\ nonúmero
&=~\ frac {2\;\ cos\;\ theta_1~\ sin\;\ theta_2} {
\ sin\;\ theta_1 ~\ cos\;\ theta_1 ~+~\ sin\;\ theta _2 ~\ cos\;\ theta_2}
\ qquad\ text {(por la ley de Snell)}\\\ nonúmero
&=~\ frac {2\;\ cos\;\ theta_1~\ sin\;\ theta_2} {
\ tfrac {1} {2}\ ;(\ sin\; 2\,\ theta_1 ~+~\ sin\; 2\ theta_2)}
\ qquad\ text {(por la fórmula de doble ángulo)}\\\ nonúmero
&=~\ frac { 2\;\ cos\;\ theta_1~\ sin\;\ theta_2} {
\ tfrac {1} {2}\; (2\;\ sin\;\ tfrac {1} {2} (2\ theta_1 + 2\ theta_2) ~
\ cos\;\ tfrac {1} {2} (2\ theta_1 - 2\ theta_2))}
\ qquad\ text {(por fórmula\ ref {eqn:s2psinpsin})}\\\ nonumber
&=~\ frac {2\;\ cos\;\ theta_1~\ sin\;\ theta_2} {\ sin\; (\ theta_1 +\ theta_2) ~
\ cos\ ;(\ theta_1 -\ theta_2)}
\ end {align*}\ nonumber\]

Ejemplo 3.22

En un circuito eléctrico de CA, la potencia instantánea\(p(t) \) entregada a todo el circuito en el\ emph {estado estacionario sinusoidal} en el momento\(t \) viene dada por

\[\nonumber p(t) ~=~ v(t)\;i(t) ~, \nonumber \]

donde el voltaje\(v(t) \) y la corriente\(i(t) \) son dados por

\ [\ nonumber\ begin {align*}
v (t) ~&=~ v_m\;\ cos\;\ omega t ~,\\ nonumber
i (t) ~&=~ i_m\;\ cos\ ;(\ omega t +\ phi) ~,
\ end {align*}\ nonumber\]

para algunas constantes\(V_m \),\(I_m \),\(\omega \), y\(\phi \). Demostrar que la potencia instantánea se puede escribir como

\ [\ nonumber p (t) ~=~\ tfrac {1} {2}\, v_m\; I_m\;\ cos\;\ phi ~+~
\ tfrac {1} {2}\, v_m\; I_m\;\ cos\ ;( 2\ omega t +\ phi) ~. \ nonumber\]

Solución

Por definición de\(p(t) \), tenemos

\ [\ nonumber\ begin {alignat*} {2}
p (t) ~&=~ v_m\; i_m\;\ cos\;\ omega t~\ cos\ ;(\ omega t +\ phi)\\\ nonúmero
&=~ v_m\; i_m\;\ cdot\;\ tfrac {1} {2} (\ cos\ ;( 2\ omega t +\ phi)\; +\;\ cos\ ;( -\ phi))
\ qquad&&\ text {(por Ecuación\ ref {eqn:p2scoscos})}\\\ nonumber
&=~\ tfrac {1} {2}\, v_m\; i_m\;\ cos\;\ phi ~+~
\ tfrac {1} {2}\, v_m\; i_m\;\ cos\ ;( 2\ omega t +\ phi)
\ qquad&&\ text {(since\(\cos\;(-\phi) = \cos\;\phi\))} ~.
\ end {alignat*}\ nonumber\]