8.3: Sección opcional- División sintética
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Nuestro primer ejemplo es la larga división de\(\dfrac{5x^3+7x^2+x+4}{x+2}\).
Solución
Aquí, el primer término\(5x^2\) del cociente se acaba de copiar del primer término del dividendo. Esto lo registramos junto con los coeficientes del dividendo\(5x^3+7x^2+x+4\) y del divisor de la\(x+2=x-(-2)\) siguiente manera:
\ [\ begin {array} {c|cccc} & 5 & 7 & 1 & 4\ qquad\ text {(dividendo)} (5 x^ {3} +7 x^ {2} +x+4)\\
-2 &&&&\ text {(divisor)} (x- (-2))\
\ hline\\
& 5 &&&\ text {(cociente)}\
\ end {array}\ nonumber\]
El primer cálculo real se realiza al multiplicar el\(5x^2\) término por\(2\), y restarlo de\(7x^2\). Esto lo registramos de la siguiente manera.
De igual manera, obtenemos el siguiente paso multiplicando el\(2x\) por\((-3)\) y restándolo de\(1x\). Por lo tanto, obtenemos:
El último paso multiplica\(7\) tiempos\(2\) y resta esto de\(4\). En definitiva, escribimos:
La respuesta se puede determinar a partir de estos coeficientes. El cociente es\(5x^2-3x+7\), y el resto lo es\(-10\).
Encuentra los siguientes cocientes vía división sintética.
- \(\dfrac{4x^3-7x^2+4x-8}{x-4}\)
- \(\dfrac{x^4-x^2+5}{x+3}\)
Solución
- Tenemos que realizar la división sintética. \ [\ begin {array} {c|cccc} & 4 & -7 & 4 & -8\\
4 && 16 & 36 & 160\\
\ hline\\
& 4 & 9 & 40 & 152\\
\ end {array}\ nonumber\]Por lo tanto tenemos
\[\dfrac{4x^3-7x^2+4x-8}{x-4}=4x^2+9x+40+\dfrac{152}{x-4} \nonumber \]
-
De igual manera, calculamos la parte (b). Tenga en cuenta que algunos de los coeficientes son ahora cero. \ [\ begin {array} {c|ccccc} & 1 &\ quad 0 & -1 &\ quad 0 & 5\\
-3 && -3 &\ quad 9 & -24 & 72\
\ hline\\
& 1 & -3 & 8 & -24 & 77\
\ end {array}\ nonumber\]Obtenemos el siguiente resultado:
\[\dfrac{x^4-x^2+5}{x+3}=x^3-3x^2+8x-24+\dfrac{77}{x+5} \nonumber \]
La división sintética solo funciona cuando se divide por un polinomio de la forma\(x-c\). No intente utilizar este método para dividir por otras formas como\(x^2+2\).