3.2: Operadores Lineales en Mecánica Cuántica
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- Las cantidades Clásico-Mecánicas están representadas por operadores lineales en Mecánica Cuántica
- Entender que “álgebra” de escalares y funciones no siempre a los operadores (específicamente la propiedad conmutativa)
El objeto entre corchetes en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (en 1D)
\[ \left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\right]\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r}) \label{3.1.19} \]
se llama operador. Un operador es una generalización del concepto de una función aplicada a una función. Mientras que una función es una regla para convertir un número en otro, un operador es una regla para convertir una función en otra. Para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, el operador de relevancia es el operador hamiltoniano (a menudo llamado el Hamiltoniano) y es el operador más ubicuo en la mecánica cuántica.
\[ \hat{H} = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r}) \nonumber \]
A menudo (pero no siempre) indicamos que un objeto es un operador colocando un 'sombrero' sobre él, por ejemplo,\(\hat{H}\). Entonces, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo puede simplificarse de la ecuación\ ref {3.1.19} a
\[ \hat{H} \psi(\vec{r}) = E\psi(\vec{r}) \label{simple} \]
La ecuación\ ref {simple} dice que el operador hamiltoniano opera sobre la función de onda para producir la energía, que es un escalar (es decir, un número, una cantidad y observable) multiplicado por la función de onda. Tal ecuación, donde el operador, operando sobre una función, produce una constante multiplicada por la función, se denomina ecuación de valor propio. La función se llama función propia, y el valor numérico resultante se llama el valor propio. Eigen aquí está la palabra alemana que significa yo o propio. Esto lo discutiremos en detalle en Secciones posteriores.
Propiedades Fundamentales de los Operadores
La mayoría de las propiedades de los operadores son sencillas, pero se resumen a continuación para completar.
La suma y diferencia de dos operadores\(\hat{A} \) y\(\hat{B}\) están dadas por
\[ (\hat{A} \pm \hat{B}) f = \displaystyle \hat{A} f \pm \hat{B} f \nonumber \]
El producto de dos operadores se define por
\[ \hat{A} \hat{B} f \equiv \hat{A} [ \hat{B} f ] \nonumber \]
Dos operadores son iguales si
\[\hat{A} f = \hat{B} f \nonumber \]
para todas las funciones\(f\).
El operador de identidad\(\hat{1}\) no hace nada (o se multiplica por 1)
\[ {\hat 1} f = f \nonumber \]
La\(n\) -ésima potencia de un operador\(\hat{A}^n \) se define como aplicaciones\(n\) sucesivas del operador, p.
\[ \hat{A}^2 f = \hat{A} \hat{A} f \nonumber \]
La ley asociativa sostiene para los operadores
\[ \hat{A}(\hat{B}\hat{C}) = (\hat{A}\hat{B})\hat{C} \nonumber \]
La ley conmutativa generalmente no se sostiene para los operadores. En general, pero no siempre,
\[ \hat{A} \hat{B} \neq \hat{B}\hat{A}. \label{comlaw} \]
Para ayudar a identificar si la desigualdad en la Ecuación\ ref {comlaw} se mantiene para dos operadores específicos, definimos el conmutador.
Es conveniente definir el conmutador de\(\hat{A} \) y\(\hat{B} \)
\[ [\hat{A}, \hat{B}] \equiv \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \nonumber \]
Si\(\hat{A} \) y\(\hat{B} \) viaje, entonces
\[[\hat{A} ,\hat{B} ] = 0. \nonumber \]
Si el conmutador no es cero, el orden de operación importa y se dice que los operadores “no conmutan”. Además, esta propiedad aplica
\[[\hat{A} ,\hat{B} ] = - [\hat{B} ,\hat{A} ]. \nonumber \]
Operadores Lineales
La acción de un operador que convierte la función\(f(x)\) en la función\(g(x)\) está representada por
\[\hat{A}f(x)=g(x)\label{3.2.1} \]
El tipo de operador más común que se encuentra son los operadores lineales que satisfacen las dos condiciones siguientes:
\[ \underset{\text{Condition A}}{\hat{O}(f(x)+g(x)) = \hat{O}f(x)+\hat{O}g(x)} \label{3.2.2a} \]
y
\[\underset{\text{Condition B}}{\hat{O}cf(x) = c \hat{O}f(x)} \label{3.2.2b} \]
donde
- \(\hat{O}\)es un operador lineal,
- \(c\)es una constante que puede ser un número complejo (\(c = a + ib\)), y
- \(f(x)\)y\(g(x)\) son funciones de\(x\)
Si un operador no satisface cualquiera de las Ecuaciones\(\ref{3.2.2a}\) o\(\ref{3.2.2b}\) entonces no es un operador lineal.
¿Este operador es\(\hat{O} = -i \hbar \dfrac{d}{dx} \) lineal?
Solución
Para confirmar es que un operador es lineal, se\(\ref{3.2.2b}\) deben demostrar ambas condiciones en Ecuación.
Condición A (Ecuación\(\ref{3.2.2a}\)):
\[\hat{O}(f(x)+g(x)) = -i \hbar \dfrac{d}{dx} \left( f(x)+g(x)\right) \nonumber \]
A partir del cálculo básico, sabemos que podemos usar la regla de suma para la diferenciación
\[ \begin{align*} \hat{O}(f(x)+g(x)) &= -i \hbar \dfrac{d}{dx} f(x) - i \hbar \dfrac{d}{dx} g(x) \\[4pt] &= \hat{O}f(x)+\hat{O}g(x) \;\;\; \checkmark \end{align*} \nonumber \]
Se confirma la condición A. ¿Se mantiene la Condición B (Ecuación\(\ref{3.2.2b}\))?
\[\hat{O}cf(x) = -i \hbar \dfrac{d}{dx} c f(x) \nonumber \]
También a partir del cálculo básico, esto se puede factorizar a partir de la derivada
\[\begin{align*}\hat{O}cf(x) &= - c i \hbar\dfrac{d}{dx} f(x) \\[4pt] &= c \hat{O}f(x) \;\;\; \checkmark \end{align*} \nonumber \]
Sí. Este operador es un operador lineal (este es el operador de impulso lineal).
Confirmar si el operador raíz cuadrada\(\sqrt{f(x)}\) lineal o no?
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Para confirmar es que un operador es lineal, deben demostrarse ambas condiciones en Ecuaciones\ ref {3.2.2a} y\ ref {3.2.2b}. Veamos primero la Condición B.
¿Se mantiene la Condición B (Ecuación\(\ref{3.2.2b}\))?
\[\hat{O}cf(x) = c\hat{O}{ f(x) } \nonumber \]
\[ \sqrt{c f(x) } \neq c\sqrt{f(x)} \nonumber \]
La condición B no se mantiene, por lo tanto el operador de raíz cuadrada no es lineal.
La mayoría de los operadores que se encuentran en la mecánica cuántica son operadores lineales.
Operadores hermitianos
Se sugiere una propiedad importante de los operadores al considerar el hamiltoniano para la partícula en una caja:
\[\hat{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \label{1} \]
Dejar\(f(x)\) y\(g(x)\) ser funciones arbitrarias que obedecen los mismos valores límite que las funciones propias de\(\hat{H}\) (por ejemplo, desaparecen en\(x = 0\) y\(x = a\)). Considerar la integral
\[\int_0^a \! f(x) \, \hat{H} \, g(x) \, \mathrm{d}x =-\frac{\hbar^2}{2m} \int_0^a \! f(x) \, g''(x) \, \mathrm{d}x \label{2} \]
Ahora, utilizando la integración por partes,
\[\int_0^a \! f(x) \, g''(x) \, \mathrm{d}x = - \int_0^a \! f'(x) \, g'(x) \, \mathrm{d}x + \, f(x) \, g'(x) \Big|_0^a \label{3} \]
Los términos límite desaparecen por las condiciones asumidas sobre\(f\) y\(g\). Una segunda integración por partes transforma la ecuación\(\ref{3}\) en
\[\int_0^a \! f''(x) \, g(x) \, \mathrm{d}x \, - \, f'(x) \, g(x) \Big|_0^a \nonumber \]
Por tanto, se deduce que
\[\int_0^a \! f(x) \, \hat{H} \, g(x) \, \mathrm{d}x=\int_0^a g(x) \, \hat{H} \, f(x) \, \mathrm{d}x \label{4} \]
Una generalización obvia para funciones complejas leerá
\[\int_0^a \! f^*(x) \, \hat{H} \, g(x) \, \mathrm{d}x=\left(\int_0^a g^*(x) \, \hat{H} \, f(x) \, \mathrm{d}x\right)^* \label{5} \]
En terminología matemática, un operador\(\hat{A}\) para el cual
\[\int \! f^* \, \hat{A} \, g \, \mathrm{d}\tau=\left(\int \! g^* \, \hat{A} \, f \, \mathrm{d}\tau\right)^* \label{6} \]
para todas las funciones\(f\) y\(g\) que obedecen a condiciones de límite especificadas se clasifica como hermitiana o autoadjunta. Evidentemente, el hamiltoniano es un operador hermitiano. Se postula que todos los operadores cuántico-mecánicos que representan variables dinámicas son hermitianos. El término también se usa para tiempos específicos de matrices en cursos de álgebra lineal.
Todos los operadores cuántico-mecánicos que representan variables dinámicas son hermitianos.
Colaboradores y Atribuciones
Seymour Blinder (Professor Emeritus of Chemistry and Physics at the University of Michigan, Ann Arbor)