7.4: La ecuación del gas ideal

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Resultados de aprendizaje

Determinar la ley de gas ideal e identificar las variables.
Utilice la ley de gas ideal para resolver por un desconocido.
Estado la ley combinada de gas.
Simplificar la ley de gas combinado para cualquier valor que sea constante.
Utilice la ley de gas combinado para resolver por un valor desconocido.

Leyes Individuales de Gas

Las propiedades de los gases como la presión (P), el volumen (V), la temperatura (T) y los moles (n) son relativamente fáciles de medir. A diferencia de los líquidos y sólidos, las partículas (moléculas o átomos) en una muestra en fase gaseosa están muy separadas entre sí. Como resultado, su comportamiento es mucho más predecible porque las fuerzas intermoleculares se vuelven insignificantes para la mayoría de las muestras en fase gaseosa incluso en una amplia gama de condiciones. La presencia de fuerzas intermoleculares en muestras líquidas y sólidas hace que su comportamiento sea más difícil de predecir.

Los experimentos con muestras de fase gaseosa a lo largo del tiempo mostraron la relación entre pares de variables (P, V, T y n) y las leyes individuales de gas (ecuaciones) muestran la relación cuantitativa entre esas variables. La ley de Avogadro nos dice que a P y T constantes, el volumen de un gas es directamente proporcional a la cantidad de gas. La ley de Boyle dice que el volumen es inversamente proporcional a la presión a T y n constantes. Charles' indica que el volumen es directamente proporcional a la temperatura a P y n constantes.

El siguiente video muestra una situación en la que 3 variables, presión, volumen y cantidad de sustancia (moles) están interrelacionadas: dentro de nuestros pulmones.

Como puedes ver en el video, cuando se tira hacia abajo el globo rosa en la parte inferior (el “diafragma”), el globo en su interior se expande. Esta expansión provoca una disminución de la presión (Ley de Boyle). La disminución de presión provoca un diferencial de presión, aspirando aire a través de la paja, un aumento en la cantidad de aire (moles). Entonces en tus pulmones, el volumen, la presión y la cantidad de aire están relacionados. Pero ninguna de las leyes actuales explica la relación entre 2 variables. ¿Cómo se puede resolver esto?

La Ley de Gas Ideal

Estas tres leyes pueden aplicarse a la vez si escribimos (\(\propto\)significa “proporcional a”):

\[V\propto n\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{1}}{P}\text{ }\times \text{ }T\label{1}\]

o bien, introduciendo una constante de proporcionalidad R,

\[V=R\text{ }\dfrac{nT}{P}\label{2}\]

Esto se conoce como la ley de gas ideal que resulta de la combinación de las leyes de gas individuales. La ecuación\(\ref{2}\) se aplica a todos los gases a bajas presiones y altas temperaturas y es una muy buena aproximación en casi todas las condiciones. El valor de R, la constante de gas, es independiente del tipo de gas, la temperatura o la presión y tiene un valor de\(\frac{0.08206\;L\cdot atm}{mol\cdot K}\).

\(\ref{2}\)La ecuación generalmente se reordena multiplicando ambos lados por P, de modo que se lee

\[PV = nRT \label{4}\]

A esto se le llama la ecuación de gas ideal o la ley de gas ideal. Con la ecuación de gas ideal podemos convertir de volumen de un gas a cantidad de sustancia (siempre que se conozcan P y T). Esto es muy útil ya que el volumen, la presión y la temperatura de un gas son más fáciles de medir que la masa, y porque el conocimiento de la masa molar es innecesario.

Tenga en cuenta que para cualquier cálculo de ley de gas, la temperatura debe ser en unidades de Kelvin. La relación entre ^o C y K es K = °C + 273.15.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) : MOLES of Gas

Calcular los moles de gas en una muestra de 0.100 L a una temperatura de 300 K y una presión de 0.987 atm.

Solución

\[PV=nRT\]
\[\left ( 0.987\; atm \right ) \left ( 0.100\; L\right )=n\left (\frac{0.08206\;L\cdot atm}{mol\cdot K} \right )\left (300 \;K\right )\]
\[n=0.00401\; mol\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\) : unit considerations

Una muestra de benceno (C ₆ H ₆) se calentó a 100. °C en un matraz evacuado cuyo volumen fue de 247.2 ml, una muestra de benceno vaporizado. Cuando el benceno se condensó a un líquido, se encontró que su masa era de 0.616 g. ¿Cuál era la presión en el matraz?

Solución

El problema da valores de temperatura, volumen y masa de la muestra. Dado que R tiene unidades de\ (\ left (\ frac {L\ cdot atm} {mol\ cdot K}\ right)), necesitamos tener la temperatura en unidades de Kelvin, el volumen en litros, y la cantidad de muestra en moles.

Temperatura:

K = °C + 273.15

K = 100. °C + 273.15

K = 373 K

Volumen:\(247.2\;mL\left ( \frac{10^{-3}\; L}{1\;mL} \right )=0.2472\;L\)

Lunares:\(0.616\;g\left ( \frac{1\;mol}{78.11\; g} \right )=7.89 \times10^{-3}\;mol\)

Ahora que todos los valores están en las unidades correctas, se puede determinar el valor para la presión desconocida.

\[PV=nRT\]
\[P \left ( 0.2472\; L\right )=\left (7.89\times10^{-3}\;mol \right )\left (\frac{0.08206\;L\cdot atm}{mol\cdot K} \right )\left (373 \;K\right )\]
\[P=.977 atm\]

Ley de Gas Combinado

Si bien la ley de gas ideal es útil para resolver un solo desconocido cuando se conocen los otros valores, la ley de gas combinado es útil al comparar situaciones iniciales y finales. La ley de gas ideal se puede reorganizar para resolver R, la constante de gas.

\(R=\frac{PV}{nT}\)

En las condiciones iniciales,\(R=\frac{P_iV_i}{n_iT_i}\) y en condiciones finales,\(R=\frac{P_fV_f}{n_fT_f}\). Dado que ambas expresiones son iguales a R, son iguales entre sí.

\(\frac{P_iV_i}{n_iT_i}=\frac{P_fV_f}{n_fT_f}\)

Esta ecuación se usa típicamente cuando una o más de las variables es constante. Como resultado, esa variable se cancela de la ecuación. Por ejemplo, la ecuación 2x ² = 2y se puede simplificar a x ² = y ya que el 2 está en ambos lados de la ecuación.

¿Qué sucede con la ecuación combinada de la ley del gas cuando las presiones inicial y final son iguales (P _i = P _f)? Al ser iguales, P _i puede sustituir a P _f.

\(\frac{P_iV_i}{n_iT_i}=\frac{P_iV_f}{n_fT_f}\)

lo que simplifica a

\(\frac{V_i}{n_iT_i}=\frac{V_f}{n_fT_f}\)

Si dos variables son constantes, la ecuación se puede simplificar aún más. Si la temperatura y el volumen son constantes, entonces T _i = T _f y V _i = V _f. Entonces,

\(\frac{P_iV_i}{n_iT_i}=\frac{P_fV_i}{n_fT_i}\)

simplifica a

\(\frac{P_i}{n_i}=\frac{P_f}{n_f}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Imagine un globo de 1855 L inicialmente a 30°C y 745 mmHg. El globo se eleva a una altitud de 23,000 pies y que la presión y temperatura a esa altitud fueron 312 mmHg y −30°C, respectivamente. ¿A qué volumen tendría que expandirse el globo para retener la misma cantidad de gas hidrógeno a mayor altitud?

Solución:

Comience configurando una tabla de los dos conjuntos de condiciones (tenga en cuenta que algunos valores necesitarán ser convertidos a diferentes unidades):

Inicial	Final
\(P_i=745\;\rm mmHg=0.980\;atm\)	\(P_f=312\;\rm mmHg=0.411\;atm\)
\(T_i=\rm30\;^\circ C=303\;K\)	\(T_f=\rm-30\;^\circ C=243\;K\)
\(V_i=\rm1855\;L\)	\(V_f=?\)

Al eliminar la propiedad constante (\(n\)) del gas, la ley de gas combinado se simplifica a

\[\dfrac{P_iV_i}{T_i}=\dfrac{P_fV_f}{T_f}\]

Al resolver la ecuación para\(V_f\), obtenemos:

\[\frac{P_iV_i}{T_i}=\frac{P_fV_f}{T_f}\]

\[\frac{0.980\;atm\cdot1855\;L}{303\;K}=\frac{0.411\;atm \cdot V_f}{243\;K}\]

\[V_f=3.55\times10^3\;L\]

Colaboradores y Atribuciones

Ed Vitz (Kutztown University), John W. Moore (UW-Madison), Justin Shorb (Hope College), Xavier Prat-Resina (University of Minnesota Rochester), Tim Wendorff, and Adam Hahn.
Allison Soult, Ph.D. (Department of Chemistry, University of Kentucky)
CK-12 Foundation by Sharon Bewick, Richard Parsons, Therese Forsythe, Shonna Robinson, and Jean Dupon.