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5: El Grupo de Unidades
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)/01%3A_Cap%C3%ADtulos/1.05%3A_El_Grupo_de_Unidades
Problema 5.3 Demostrar la parte fácil de\ (\ mathbb {Z} _n\)” href=” /libreras/Abstract_and_geometric_algebra/elementary_abstract_algebra_ (Clark) /01:_capters/1.05:_the_group_of_units #Theorem_ .5C (...Problema 5.3 Demostrar la parte fácil de\ (\ mathbb {Z} _n\)” href=” /libreras/Abstract_and_geometric_algebra/elementary_abstract_algebra_ (Clark) /01:_capters/1.05:_the_group_of_units #Theorem_ .5C (.5CPageIndex.7b2.7d.5c) ">Teorema 5.2; es decir, mostrar que si $a \in \mathbb{Z}_n$ y $\gcd(a,n)=d > 1$ , entonces no $a$ es una unidad. [Pista: Mostrar (1) que si $a \in \mathbb{Z}_n$ y $\gcd(a,n)=d > 1$ hay un elemento $b \in \mathbb{Z}_n-\{ 0 \}$ tal que $ab=0$ . (2) Si\(b \in \mathbb{Z}_…
B: Funciones
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)/02%3A_Ap%C3%A9ndices/2.02%3A_Funciones
Aquí recopilamos algunos datos básicos sobre las funciones. Tenga en cuenta que las palabras función, mapa, mapeo y transformación pueden usarse indistintamente. Aquí solo usamos el término función. D...Aquí recopilamos algunos datos básicos sobre las funciones. Tenga en cuenta que las palabras función, mapa, mapeo y transformación pueden usarse indistintamente. Aquí solo usamos el término función. Dejamos al lector interesado las pruebas de todos los resultados de este apéndice.
Apéndices
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)/02%3A_Ap%C3%A9ndices
12: El Grupo Círculo
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)/01%3A_Cap%C3%ADtulos/12%3A_El_Grupo_C%C3%ADrculo
Problema 12.8 Demostrar que si representamos un punto $p=(x,y)$ en el plano por una $2\times 1$ matriz $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ]$ entonces el punto $R(\theta) p$ dado po...Problema 12.8 Demostrar que si representamos un punto $p=(x,y)$ en el plano por una $2\times 1$ matriz $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ]$ entonces el punto $R(\theta) p$ dado por el producto de la matriz $R(\theta)p = \left [ \begin{array}{cr} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{array} \right ] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ se obtiene rotando $p$ a través $\theta$ radianes en sentido antihorario sobre el origen. [Pista usa la repre…
Álgebra Abstracta Elemental (Clark)
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)
Este libro está destinado a una introducción semestral al álgebra abstracta. Suponemos que los estudiantes tienen cierta familiaridad con la teoría básica de conjuntos álgebra lineal y cálculo. Pero m...Este libro está destinado a una introducción semestral al álgebra abstracta. Suponemos que los estudiantes tienen cierta familiaridad con la teoría básica de conjuntos álgebra lineal y cálculo. Pero muy poco de esta naturaleza será necesario En gran medida el curso es autónomo salvo por el requerimiento de cierta cantidad de madurez matemática. Y ojalá que el nivel de madurez matemática del alumno aumente a medida que avanza el curso.
6: Productos Directos de Grupos
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)/01%3A_Cap%C3%ADtulos/1.06%3A_Productos_Directos_de_Grupos
Si $G_1, G_2, \dots, G_n$ es una lista de $n$ grupos hacemos el producto cartesiano $G_1\times G_2 \times \dots \times G_n$ en un grupo definiendo la operación binaria\[(a_1,a_2, \dots, a_n) \cdot ...Si $G_1, G_2, \dots, G_n$ es una lista de $n$ grupos hacemos el producto cartesiano $G_1\times G_2 \times \dots \times G_n$ en un grupo definiendo la operación binaria $(a_1,a_2, \dots, a_n) \cdot (b_1, b_2, \dots, b_n) = (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n).$ Aquí para cada $i \in \{ 1, 2, \dots, n \}$ producto $a_i \cdot b_i$ es el producto de $a_i$ y $b_i$ en el grupo $G_i$ .
D: Particiones y Relaciones de Equivalencia
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)/02%3A_Ap%C3%A9ndices/2.04%3A_Particiones_y_Relaciones_de_Equivalencia
Si $\sim$ es una relación de equivalencia en el conjunto $X$ , y $a \in X$ definimos el conjunto $[a] = \{ x \in X \ | \ x \sim a \}.$ $[a]$ se llama la clase de equivalencia de $a$ relativo a la...Si $\sim$ es una relación de equivalencia en el conjunto $X$ , y $a \in X$ definimos el conjunto $[a] = \{ x \in X \ | \ x \sim a \}.$ $[a]$ se llama la clase de equivalencia de $a$ relativo a la relación de equivalencia $\sim$ .
9: Introducción a la Teoría de Anillos
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)/01%3A_Cap%C3%ADtulos/1.09%3A_Introducci%C3%B3n_a_la_Teor%C3%ADa_de_Anillos
Problema 9.11 Supongamos que hay un elemento positivo $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ tal que $(\sqrt{2})^2 =2.$ Definir el siguiente subconjunto de $\mathbb{R}$ :\[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{ a+b\sqrt{2} \...Problema 9.11 Supongamos que hay un elemento positivo $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ tal que $(\sqrt{2})^2 =2.$ Definir el siguiente subconjunto de $\mathbb{R}$ : $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{ a+b\sqrt{2} \ | \ a, b \in \mathbb{Q}\}.$ Demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un subcampo de $\mathbb{R}$ . (La parte complicada es mostrar que todos los elementos distintos de cero son unidades).
R: Algunas reglas de la lógica
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)/02%3A_Ap%C3%A9ndices/2.01%3A_Algunas_reglas_de_la_l%C3%B3gica
$\begin{align} P \Longleftrightarrow Q \label{A3} \end{align}$ como abreviatura para las dos declaraciones $P \Longrightarrow Q \quad \mbox{ and } \quad Q \Longrightarrow P$ Entonces, por ejemplo, s... $\begin{align} P \Longleftrightarrow Q \label{A3} \end{align}$ como abreviatura para las dos declaraciones $P \Longrightarrow Q \quad \mbox{ and } \quad Q \Longrightarrow P$ Entonces, por ejemplo, si necesitas demostrar realmente $P \Longleftrightarrow Q$ tienes dos cosas que probar: ambas $P \Longrightarrow Q$ y $Q \Longrightarrow P$ .
C: Teoría elemental de números
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)/02%3A_Ap%C3%A9ndices/2.03%3A_Teor%C3%ADa_elemental_de_n%C3%BAmeros
Esto implica eso $a = nq_1 + r_1, \quad 0 \le r_1 < n$ y $b = nq_2 + r_2, \quad 0 \le r_2 < n$ De ahí $a+b= nq_1 + r_1 + nq_2 + r_2 = n(q_1+q_2) + r_1+r_2$ Ahora\[f(a) \oplus f(b) = r_1 \oplus r_2 ...Esto implica eso $a = nq_1 + r_1, \quad 0 \le r_1 < n$ y $b = nq_2 + r_2, \quad 0 \le r_2 < n$ De ahí $a+b= nq_1 + r_1 + nq_2 + r_2 = n(q_1+q_2) + r_1+r_2$ Ahora $f(a) \oplus f(b) = r_1 \oplus r_2 = r$ donde $r_1 + r_2 = qn + r, \quad 0 \le r < n$ De ahí $a+b=n(q_1+q_2+q) + r, \quad 0 \le r < n$ y se deduce eso $f(a+b)=(a+b) \bmod n = r,$ y concluimos que $f(a+b) = r = f(a) \oplus f(b).$ Esto prueba (C.1).
7: Isomorfismo de Grupos
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra_Abstracta_y_Geometrica/%C3%81lgebra_Abstracta_Elemental_(Clark)/01%3A_Cap%C3%ADtulos/1.07%3A_Isomorfismo_de_Grupos
Por otro lado por el Teorema 4.2 ya $\langle a \rangle = \{ a^0, a^1, \dots , a^{n-1} \}.$ que $o(a) = n$ tenemos Así que el mapeo $\varphi:\mathbb{Z}_n \to \langle a \rangle$ definido por la regla...Por otro lado por el Teorema 4.2 ya $\langle a \rangle = \{ a^0, a^1, \dots , a^{n-1} \}.$ que $o(a) = n$ tenemos Así que el mapeo $\varphi:\mathbb{Z}_n \to \langle a \rangle$ definido por la regla $\varphi(i) = a^i$ para $i = 0, 1, 2, \dots , n-1$ , es claramente uno a uno y sobre.

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