2.6: Resolver desigualdades lineales
Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Grafica desigualdades en la línea numérica
- Resolver desigualdades lineales
- Traducir palabras a una desigualdad y resolver
- Resolver aplicaciones con desigualdades lineales
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
Gráfica Desigualdades en la Línea Numérica
¿Qué número haría \(x>3\) realidad la desigualdad? ¿Estás pensando, " \(x\) podrían ser cuatro”? Eso es correcto, pero \(x\) podría ser 6, también, o 37, o incluso 3.001. Cualquier número mayor a tres es una solución a la desigualdad \(x>3\) . Mostramos todas las soluciones a la desigualdad \(x>3\) en la línea numérica sombreando en todos los números a la derecha de tres, para mostrar que todos los números mayores a tres son soluciones. Debido a que el número tres en sí no es una solución, ponemos un paréntesis abierto a las tres.
También podemos representar desigualdades usando la notación de intervalos . No hay un extremo superior para la solución a esta desigualdad. En notación de intervalos, expresamos \(x>3\) como \((3,\infty)\) . El símbolo \(\infty\) se lee como “ infinito ”. No es un número real. La figura \(\PageIndex{1}\) muestra tanto la línea numérica como la notación de intervalo.
Utilizamos el símbolo del paréntesis izquierdo, (, para mostrar que el punto final de la desigualdad no está incluido. El símbolo del corchete izquierdo, [, muestra que el punto final está incluido.
La desigualdad \(x\leq 1\) significa todos los números menores o iguales a uno. Aquí tenemos que demostrar que uno es una solución, también. Eso lo hacemos poniendo un soporte en \(x=1\) . Luego sombreamos en todos los números a la izquierda de uno, para mostrar que todos los números menores a uno son soluciones (Figura \(\PageIndex{2}\) ). No hay un extremo inferior a esos números. Escribimos \(x\leq 1x\leq 1 \) en notación de intervalos como \((−\infty,1]\) . El símbolo \(−\infty\) se lee como “infinito negativo”.
La figura \(\PageIndex{3}\) muestra tanto la línea numérica como la notación de intervalo.
La notación para desigualdades en una línea numérica y en notación de intervalo usa los mismos símbolos para expresar los puntos finales de los intervalos.
Grafica cada desigualdad en la línea numérica y escribe en notación de intervalo.
- \(x\geq −3\)
- \(x<2.5\)
- \(x\leq −\frac{3}{5}\)
- Contestar
-
ⓐ
\( x \geq -3 \) Sombra a la derecha de \(−3\) , y poner un soporte en \(−3\) . Escribir en notación de intervalos. \( [-3, \infty) \) ⓑ
\( x < 2.5 \) Sombrear a la izquierda de 2.5 y poner un paréntesis en 2.5. Escribir en notación de intervalos. \( (-\infty, 2.5) \) ⓒ
\( x \leq -\dfrac{3}{5} \) Sombra a la izquierda de \(−\frac{3}{5}\) , y poner un soporte en \(−\frac{3}{5}\) . Escribir en notación de intervalos. \( \bigg( -\infty, \dfrac{3}{5}\bigg] \)
Grafica cada desigualdad en la línea numérica y escribe en notación de intervalo:
- \(x>2\)
- \(x\leq −1.5\)
- \(x\geq \frac{3}{4}\) .
- Contestar
-
ⓐ
ⓑ
ⓒ
Grafica cada desigualdad en la línea numérica y escribe en notación de intervalo:
- \(x\leq −4\)
- \(x\geq 0.5\)
- \(x<−\frac{2}{3}\) .
- Contestar
-
ⓐ
ⓑ
ⓒ
¿Qué números son mayores que dos pero menos de cinco? ¿Estás pensando decir, \(2.5,\space 3,\space 3\frac{2}{3},\space 4,\space 4,\space 99\) ? Podemos representar todos los números entre dos y cinco con la desigualdad \(2<x<5\) . Podemos mostrar \(2<x<5\) en la línea numérica sombreando todos los números entre dos y cinco. Nuevamente, usamos los paréntesis para mostrar los números dos y cinco no están incluidos. Ver Figura .
Grafica cada desigualdad en la línea numérica y escribe en notación de intervalo.
ⓐ \(−3<x<4\) ⓑ \(−6\leq x<−1\) ⓒ \(0\leq x\leq 2.5\)
- Contestar
-
ⓐ
\(-3 < x < 4\) Sombra entre \(−3\) y 4.
Ponga un paréntesis en \(−3\) y 4.Escribir en notación de intervalos. \( (-3,4) \) ⓑ
\( -6 \leq x < -1 \) Sombra entre \(−6\) y −1.
Ponga un corchete en \(−6\) , y
un paréntesis en −1.Escribir en notación de intervalos. \( [-6,1) \) ⓒ
\( 0 \leq x \leq 2.5 \) Sombra entre 0 y 2.5.
Ponga un soporte en 0 y en 2.5.Escribir en notación de intervalos. \( [0, 2.5] \)
Grafica cada desigualdad en la línea numérica y escribe en notación de intervalo:
ⓐ \(−2<x<1\) ⓑ \(−5\leq x<−4\) ⓒ \(1\leq x\leq 4.25\)
- Contestar
-
ⓐ
ⓑ
ⓒ
Grafica cada desigualdad en la línea numérica y escribe en notación de intervalo:
ⓐ \(−6<x<2\) ⓑ \(−3\leq x< −1\) ⓒ \(2.5\leq x\leq 6\)
- Contestar
-
ⓐ
ⓑ
ⓒ
Resolver desigualdades lineales
Una desigualdad lineal se parece mucho a una ecuación lineal, pero el signo igual se reemplaza por un signo de desigualdad. Una desigualdad lineal es una desigualdad en una variable que se puede escribir en una de las formas, \(ax+b<c\) , \(ax+b\leq c\) , \(ax+b>c\) , o \(ax+b\geq c\) .
Una desigualdad lineal es una desigualdad en una variable que se puede escribir en una de las siguientes formas donde \(a, \, b,\) y \(c\) son números reales y \(a≠0\) :
\[ \begin{array} {llll} {ax+b<c,} &{ax+b\leq c,} &{ax+b>c,} &{ax+b\geq c.} \\ \nonumber \end{array}\]
Cuando resolvimos ecuaciones lineales, pudimos usar las propiedades de igualdad para sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados y aún así mantener la igualdad. Propiedades similares se aplican a las desigualdades.
Podemos sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad y aún así mantener la desigualdad. Por ejemplo:
Note que el signo de desigualdad se mantuvo igual.
Esto nos lleva a las Propiedades de Suma y Resta de la Desigualdad.
Para cualquier número \(a, \, b,\) y \(c,\) si \(a<b\) , entonces
\[\begin{array} {ll} {a+c<b+c} &{a−c<b−c} \\ {a+c>b+c} &{a−c>b−c} \\ \nonumber \end{array}\]
Podemos sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad y aún así mantener la desigualdad
¿Qué pasa con una desigualdad cuando dividimos o multiplicamos ambos lados por una constante?
Primero multipliquemos y dividamos ambos lados por un número positivo.
Los signos de desigualdad se mantuvieron igual.
¿La desigualdad permanece igual cuando dividimos o multiplicamos por un número negativo?
Note que cuando llenamos los signos de desigualdad, los signos de desigualdad revirtieron su dirección.
Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número positivo, el signo de desigualdad permanece igual. Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte.
Esto nos da la Propiedad de Multiplicación y División de la Desigualdad.
Para cualquier número \(a, \, b,\) y \(c,\)
\[\begin{array} {l} {\text{multiply or divide by a positive}} \\ \\ \space\space\space\space\text{if }a<b\text{ and }c>0\text{, then }ac<bc \text{ and }\frac{a}{c}<\frac{b}{c}. \\ \space\space\space\space\text{if }a>b\text{ and }c>0\text{, then }ac>bc \text{ and }\frac{a}{c}>\frac{b}{c}. \\ \\ \text{ multiply or divide by a negative } \\ \\ \space\space\space\space\text{if }a<b\text{ and }c<0\text{, then }ac>bc \text{ and }\frac{a}{c}>\frac{b}{c}.\\ \space\space\space\space\text{if }a>b\text{ and }c<0\text{, then }ac<bc \text{ and }\frac{a}{c}<\frac{b}{c}.\\ \nonumber \end{array}\]
Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por \(a\) :
- número positivo, la desigualdad se mantiene igual.
- número negativo, la desigualdad se revierte.
A veces al resolver una desigualdad, como en el siguiente ejemplo, la variable termina por la derecha. Podemos reescribir la desigualdad a la inversa para obtener la variable a la izquierda.
\[x>a \text{ has the same meaning as } a<x \nonumber \]
Piénsalo como “Si Xander es más alto que Andy, entonces Andy es más corto que Xander”.
Resuelve cada desigualdad. Grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
ⓐ \(x−\frac{3}{8}\leq \frac{3}{4}\) ⓑ \(9y<54\) ⓒ \(−15<\frac{3}{5}z\)
- Contestar
-
ⓐ
Agregar 3838 a ambos lados de la desigualdad. Simplificar. Grafica la solución en la línea numérica. Escribe la solución en notación de intervalos. ⓑ
Dividir ambos lados de la desigualdad por 9; dado que
9 es positivo, la desigualdad se mantiene igual.Simplificar. Grafica la solución en la línea numérica. Escribe la solución en notación de intervalos. ⓒ
Multiplica ambos lados de la desigualdad por \(\frac{5}{3}\) .
Ya que \(\frac{5}{3}\) es positivo, la desigualdad se mantiene igual.Simplificar. Reescribir con la variable de la izquierda. Grafica la solución en la línea numérica. Escribe la solución en notación de intervalos.
Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos:
ⓐ \(p−\frac{3}{4}\geq \frac{1}{6}\) ⓑ \(9c>72\) ⓒ \(24\leq \frac{3}{8}m\)
- Contestar
-
ⓐ
ⓑ
ⓒ
Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos:
ⓐ \(r−\frac{1}{3}\leq \frac{7}{12}\) ⓑ \(12d\leq 60\) ⓒ \(−24<\frac{4}{3}n\)
- Contestar
-
ⓐ
ⓑ
ⓒ
Ten cuidado al multiplicar o dividir por un número negativo, recuerda revertir el signo de desigualdad.
Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
ⓐ \(−\frac{1}{3}m\geq \frac{6}{5}\) ⓑ \(\frac{n}{−2} \geq 8\)
- Contestar
-
ⓐ
Dividir ambos lados de la desigualdad por \(−\frac{1}{3}\) .
Ya que \(−\frac{1}{3}\) es un negativo, la desigualdad se revierte.Simplificar. Grafica la solución en la línea numérica. Escribe la solución en notación de intervalos. ⓑ
Multiplica ambos lados de la desigualdad por \(−2\) .
Ya que \(−2\) es un negativo, la desigualdad se revierte.Simplificar. Grafica la solución en la línea numérica. Escribe la solución en notación de intervalos.
Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos:
ⓐ \(−8q<32\) ⓑ \(\frac{k}{−12} \leq 15\) .
- Contestar
-
ⓐ
ⓑ
Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos:
ⓐ \(−7r\leq −70\) ⓑ \(\frac{u}{−4}\geq −16\) .
- Contestar
-
ⓐ
ⓑ
La mayoría de las desigualdades tomarán más de un paso para resolverlas. Seguimos los mismos pasos que usamos en la estrategia general para resolver ecuaciones lineales, pero asegúrese de prestar mucha atención cuando multiplicamos o dividimos para aislar la variable.
Resuelve la desigualdad \(6y\leq 11y+17\) , grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
Restar 11y11y de ambos lados para recoger
las variables de la izquierda.Simplificar. Divida ambos lados de la desigualdad por −5, −5,
y revierta la desigualdad.Simplificar. Grafica la solución en la línea numérica. Escribe la solución en notación de intervalos.
Resolver la desigualdad, graficar la solución en la línea numérica, y escribir la solución en notación de intervalo: \(3q\geq 7q−23\) .
- Contestar
-
Resolver la desigualdad, graficar la solución en la línea numérica, y escribir la solución en notación de intervalo: \(6x<10x+19\) .
- Contestar
-
Al resolver desigualdades, suele ser más fácil recolectar las variables en el lado donde el coeficiente de la variable es mayor. Esto elimina los coeficientes negativos y así no tenemos que multiplicar o dividir por un negativo, lo que significa que no tenemos que acordarnos de revertir el signo de desigualdad.
Resuelve la desigualdad \(8p+3(p−12)>7p−28\) , grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
\(8p+3(p−12)>7p−28\) Simplifica cada lado tanto como sea posible. Distribuir. \(8p+3p−36>7p−28\) Combina términos similares. \(11p−36>7p−28\) Restar \(7p\) de ambos lados para recoger las
variables de la izquierda, ya que \(11>7\) .\(11p−36−7p>7p−28−7p\) Simplificar. \(4p−36>−28\) Agregar \(36\) a ambos lados para recoger las
constantes de la derecha.\(4p−36+36>−28+36\) Simplificar. \(4p>8\) Dividir ambos lados de la desigualdad por
\(4\) ; la desigualdad sigue siendo la misma.\(\dfrac{4p}{4}>\dfrac{8}{4}\) Simplificar. \(p>2\) Grafica la solución en la línea numérica. Escribe la solución en notación de intervalos. \((2,\infty)\)
Resuelve la desigualdad \(9y+2(y+6)>5y−24\) , grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
Resuelve la desigualdad \(6u+8(u−1)>10u+32\) , grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
Al igual que algunas ecuaciones son identidades y algunas son contradicciones, las desigualdades pueden ser identidades o contradicciones, también. Reconocemos estas formas cuando nos quedamos con solo constantes a medida que resolvemos la desigualdad. Si el resultado es una afirmación verdadera, tenemos una identidad. Si el resultado es una afirmación falsa, tenemos una contradicción.
Resuelve la desigualdad \(8x−2(5−x)<4(x+9)+6x\) , grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
Simplifica cada lado tanto como sea posible. \(8x−2(5−x)<4(x+9)+6x\) Distribuir. \(8x−10+2x<4x+36+6x\) Combina términos similares. \(10x−10<10x+36\) Resta \({\color{red}{10x}}\) de ambos lados para recoger las variables de la izquierda. \(10x−10\,{\color{red}{-\,10x}}<10x+36\,{\color{red}{-\,10x}}\) Simplificar. \(−10<36\) \(x\) Ya se han ido los de, y tenemos una verdadera
afirmación.La desigualdad es una identidad.
La solución son todos los números reales.Grafica la solución en la línea numérica. Escribe la solución en notación de intervalos. \((−\infty,\infty)\)
Resuelve la desigualdad \(4b−3(3−b)>5(b−6)+2b\) , grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
Resuelve la desigualdad \(9h−7(2−h)<8(h+11)+8h\) , grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
Podemos despejar fracciones en desigualdades tanto como lo hicimos en las ecuaciones. Nuevamente, ten cuidado con los signos al multiplicar o dividir por un negativo.
Resuelve la desigualdad \(\frac{1}{3}a−\frac{1}{8}a>\frac{5}{24}a+\frac{3}{4}\) , grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
\(\frac{1}{3}a−\frac{1}{8}a>\frac{5}{24}a+\frac{3}{4}\) Multiplica ambos lados por el LCD, 24,
para despejar las fracciones.\({\color{red}{24}}\left(\dfrac{1}{3}a−\dfrac{1}{8}a\right)>\,{\color{red}{24}}\left(\dfrac{5}{24}a+\dfrac{3}{4}\right)\) Simplificar. \( 8a - 3a > 5a + 18 \) Combina términos similares. \( 5a > 5a + 18\) Resta \(5a\) de ambos lados para recoger las
variables de la izquierda.\( 5a \,{\color{red}{-\,5a}} > 5a \,{\color{red}{-\,5a}} + 18\) Simplificar. \(0 > 18 \) El enunciado es falso. La desigualdad es una contradicción.
No hay solución.Grafica la solución en la línea numérica. Escribe la solución en notación de intervalos. No hay solución.
Resuelve la desigualdad \(\frac{1}{4}x−\frac{1}{12}x>\frac{1}{6}x+\frac{7}{8}\) , grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
Resuelve la desigualdad \(\frac{2}{5}z−\frac{1}{3}z<\frac{1}{15}z−\frac{3}{5}\) , grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
Traduzca a una desigualdad y resuelva
Para traducir las oraciones en inglés en desigualdades, necesitamos reconocer las frases que indican la desigualdad. Algunas palabras son fáciles, como “más que” y “menos que”. Pero otros no son tan obvios. En la tabla se muestran algunas frases comunes que indican desigualdades.
| \(>\) | \(\geq\) | \(<\) | \(\leq\) |
|---|---|---|---|
|
\ (>\) ">\)” data-valign="middle”
class="lt-math-17389">es mayor que es más grande que supera |
\ (\ geq\)” data-valign="middle">es mayor o igual que
es al menos no es menor que es el mínimo |
\ (es <\)” data-valign="middle"> menor que es
menor que tiene menos de lo que es menor que |
\ (\ leq\)” data-valign="middle">es menor o igual a
es como máximo no es más que es el máximo |
Traducir y resolver. Después grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
\[\text{Twenty-seven less than }x\text{ is at least }48.\nonumber\]
- Contestar
-
Traducir. \(x - 27 \geq 48\) Solve: agrega 27 a ambos lados. \( x - 27 \, {\color{red}{+\, 27}} \geq 48 \, {\color{red}{+\, 27}}\) Simplificar. \(x \geq 75\) Gráfica en la línea numérica. Escribir en notación de intervalos. \([75, \infty)\)
Traducir y resolver. Después grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
\[\text{Nineteen less than } p \text{ is no less than }47.\nonumber\]
- Contestar
-
Traducir y resolver. Después grafica la solución en la línea numérica y escribe la solución en notación de intervalos.
\[\text{Four more than }a\text{ is at most }15.\nonumber\]
- Contestar
-
Resolver aplicaciones con desigualdades lineales
Muchas situaciones de la vida real nos obligan a resolver desigualdades. El método que usaremos para resolver aplicaciones con desigualdades lineales es muy parecido al que usamos cuando resolvimos aplicaciones con ecuaciones.
Leemos el problema y nos aseguraremos de que se entiendan todas las palabras. A continuación, identificaremos lo que estamos buscando y asignaremos una variable para representarlo. Replantaremos el problema en una sola frase para que sea fácil traducirse en una desigualdad. Entonces, resolveremos la desigualdad.
En ocasiones una aplicación requiere que la solución sea un número entero, pero la solución algebraica a la desigualdad no es un número entero. En ese caso, debemos redondear la solución algebraica a un número entero. El contexto de la aplicación determinará si redondeamos hacia arriba o hacia abajo.
Dawn ganó una mini-subvención de 4.000 dólares para comprar tabletas para su aula. Las tabletas que le gustaría comprar cuestan $254.12 cada una, incluyendo impuestos y entrega. ¿Cuál es el número máximo de tabletas que Dawn puede comprar?
- Contestar
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read }\text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify }\text{what you are looking for.}} &{\text{the maximum number of tablets Dawn can buy}} \\ {\textbf{Step 3. Name}\text{ what you are looking for.}} &{} \\ {} &{} \\ {} &{\text{Let }n= \text{ the number of tablets.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that}} &{} \\{\text{quantity.}} &{} \\ {\textbf{Step 4. Translate.}\text{Write a sentence that gives the}} &{} \\ {\text{information to find it.}} &{$254.12\text{ times the number of tablets is}} \\ {} &{\text{no more than }$4,000.} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space 254.12n\leq 4000} \\ {\text{Translate into an inequality.}} &{} \\ {\textbf{Step 5. Solve }\text{the inequality.}} &{} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space n\leq 15.74} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space n\leq 15} \\{\text{But }n\text{ must be a whole number of}} &{} \\ {\text{tablets, so round to }15.} &{} \\ {\textbf{Step 6. Check }\text{the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\space\space\space \text{Rounding down the price to } $250, 15} &{} \\ {\space\space\space \text{tablets would cost }$3,750,\text{ while } 16} &{} \\ {\space\space\space \text{tablets would be }$4,000.\text{So a}} &{} \\ {\space\space\space \text{maximum of 15 tablets at }$254.12} &{} \\ {\space\space\space \text{seems reasonable.}} &{} \\ {\textbf{Step 7. Answer }\text{the question with a complete sentence.}} &{\text{Dawn can buy a maximum of 15 tablets.}} \\ \end{array}\)
Angie tiene $20 para gastar en cajas de jugo para el picnic preescolar de su hijo. Cada paquete de cajas de jugo cuesta $2.63. ¿Cuál es el número máximo de paquetes que puede comprar?
- Contestar
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Angie puede comprar 7 paquetes de jugo.
Daniel quiere sorprender a su novia con una fiesta de cumpleaños en su restaurante favorito. Tendrá un costo de 42.75 dólares por persona para la cena, incluyendo propina e impuestos. Su presupuesto para el partido es de $500. ¿Cuál es el número máximo de personas que Daniel puede tener en la fiesta?
- Contestar
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Daniel puede tener 11 personas en la fiesta.
El plan telefónico de Taleisha le cuesta $28.80 al mes más $0.20 por mensaje de texto. ¿Cuántos mensajes de texto puede enviar/recibir y mantener su factura mensual de teléfono no más de $50?
- Contestar
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read }\text{the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify }\text{what you are looking for.}} &{\text{the number of text messages Taleisha can make}} \\ {\textbf{Step 3. Name }\text{what you are looking for.}} &{} \\ {} &{} \\ {} &{\text{Let }t= \text{the number of text messages.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that}} &{} \\ {\text{quantity.}} &{} \\ {\textbf{Step 4. Translate }\text{Write a sentence that}} &{} \\ {\text{gives the information to find it.}} &{$28.80\text{ plus }$0.20\text{ times the number of}} \\ {} &{\text{text messages is less than or equal to }$50.} \\ {} &{28.80+0.20t \leq 50} \\ {\space\space\space \text{Translate into an inequality.}} &{} \\ {\textbf{Step 5. Solve }\text{the inequality.}} &{} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space 0.2t\leq 21.2} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space t\leq 106\text{ text messages}} \\ {} &{} \\ {\textbf{Step 6. Check }\text{the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {} &{} \\ {} &{} \\{\space\space\space \text{Yes, }28.80+0.20(106)=50.} &{} \\ {\textbf{Step 7. Write }\text{a sentence that answers the question.}} &{} \\ {} &{\text{Taleisha can send/receive no more than}} \\ {} &{106\text{ text messages to keep her bill no}} \\ {} &{\text{more than } $50.} \\ \end{array}\)
Sergio y Lizeth tienen un presupuesto vacacional muy ajustado. Planean rentar un auto a una empresa que cobra $75 a la semana más $0.25 la milla. ¿Cuántas millas pueden viajar durante la semana y aún mantenerse dentro de su presupuesto de $200?
- Contestar
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Sergio y Lizeth no pueden recorrer más de 500 millas.
La factura de calefacción de Rameen es de $5.42 mensuales más $1.08 por termo. Cuántas termas puede usar Rameen si quiere que su factura de calefacción sea un máximo de $87.50.
- Contestar
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La factura de calefacción de Rameen es de $5.42 mensuales más $1.08 por termo. Cuántas termas puede usar Rameen si quiere que su factura de calefacción sea un máximo de $87.50.
El beneficio es el dinero que queda cuando los costos se han sustraído de los ingresos. En el siguiente ejemplo, encontraremos la cantidad de trabajos que una pequeña empresaria necesita realizar cada mes para poder obtener cierta cantidad de ganancias.
Felicity tiene un negocio de caligrafía. Ella cobra $2.50 por invitación de boda. Sus gastos mensuales son de $650. ¿Cuántas invitaciones debe escribir para obtener una ganancia de al menos $2,800 al mes?
- Contestar
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read }\text{the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify }\text{what you are looking for.}} &{\text{the number of invitations Felicity needs to write}} \\ {\textbf{Step 3. Name }\text{what you are looking for.}} &{\text{Let }j=\text{ the number of invitations.}} \\ {} &{} \\ {\space\space\space\text{Choose a variable to represent it.}} &{} \\ {\textbf{Step 4. Translate. }\text{Write a sentence that}} &{} \\ {\text{gives the information to find it.}} &{$2.50 \text{ times the number of invitations}} \\ {} &{\text{minus }$650\text{ is at least }$2,800.} \\ {} &{\space\space\space 2.50j−650\geq 2,800} \\ {\space\space\space \text{Translate into an inequality.}} &{} \\ {\textbf{Step 5. Solve }\text{the inequality.}} &{} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space 2.5j\geq 3,450} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space j\geq 1,380 \text{ invitations}} \\ {\textbf{Step 6. Check }\text{the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\space\space\space \text{If Felicity wrote }1400\text{ invitations, her}} &{} \\ {\space\space\space \text{profit would be }2.50(1400)−650, \text{or}} &{} \\ {\space\space\space $2,850.\text{ This is more than }$2800.} &{} \\ {\textbf{Step 7. Write }\text{a sentence that answers the question.}} &{\text{Felicity must write at least }1,380\text{ invitations.}} \\ \end{array}\)
Caleb tiene un negocio de cuidado de mascotas. Él cobra 32 dólares por hora. Sus gastos mensuales son de $2,272. ¿Cuántas horas debe trabajar para obtener una ganancia de al menos $800 al mes?
- Contestar
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Caleb debe trabajar al menos 96 horas.
Elliot tiene un negocio de mantenimiento de paisajes. Sus gastos mensuales son de $1,100. Si cobra 60 dólares por trabajo, ¿cuántos trabajos debe hacer para obtener una ganancia de al menos $4,000 al mes?
- Contestar
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Elliot debe trabajar al menos 85 empleos.
Son muchas las situaciones en las que varias cantidades contribuyen al gasto total. Debemos asegurarnos de dar cuenta de todos los gastos individuales cuando resolvamos problemas como este.
Malik está planeando un viaje de vacaciones de verano de seis días. Tiene $840 en ahorros, y gana 45 dólares por hora por tutoría. El viaje le costará 525 dólares por pasaje aéreo, 780 dólares por comida y turismo, y 95 dólares por noche para el hotel. ¿Cuántas horas debe ser tutor para tener suficiente dinero para pagar el viaje?
- Contestar
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\(\begin{array} {ll} {} &{} \\ {\textbf{Step 1. Read }\text{the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify }\text{what you are looking for.}} &{\text{the number of hours Malik must tutor}} \\ {\textbf{Step 3. Name }\text{what you are looking for.}} &{} \\ {} &{} \\ {} &{\text{Let }h=\text{ the number of hours.}} \\ {\space\space\space\space\space\space\space \text{Choose a variable to represent that}} &{} \\ {\space\space\space\space\space\space\space \text{quantity.}} &{} \\ {\textbf{Step 4. Translate. }\text{Write a sentence that}} &{} \\ {\text{gives the information to find it.}} &{} \\ {} &{\text{The expenses must be less than or equal to}} \\{} &{\text{the income. The cost of airfare plus the}} \\{} &{\text{cost of food and sightseeing and the hotel}} \\{} &{\text{bill must be less than the savings plus the}} \\{} &{\text{amount earned tutoring.}} \\{} &{} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\space\space\space\space\space\space\space \text{Translate into an inequality.}} &{525+780+95(6)\leq 840+45h} \\ {\textbf{Step 5. Solve }\text{the inequality.}} &{} \\ {} &{} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space 1,875\leq 840+45h} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space 1,035\leq 45h} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space 23\leq h} \\ {} &{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space h\geq 23} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\textbf{Step 6. Check }\text{the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{We substitute 23 into the inequality.}} &{} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\space\space\space\space\space\space\space\space 1,875\leq 840+45h} &{} \\ {\space\space\space\space\space\space\space\space 1,875\leq 840+45(23)} &{} \\ {\space\space\space\space\space\space\space\space 1,875\leq 1875} &{} \\ {\textbf{Step 7. Write }\text{a sentence that answers the question.}} &{\text{Malik must tutor at least }23\text{ hours.}} \\ \end{array}\)
La mejor amiga de Brenda está teniendo una boda de destino y el evento durará tres días. Brenda tiene $500 en ahorros y puede ganar $15 la hora de cuidado de niños. Ella espera pagar $350 pasajes aéreos, $375 por comida y entretenimiento y $60 por noche por su parte de una habitación de hotel. ¿Cuántas horas debe hacer de niñera para tener suficiente dinero para pagar el viaje?
- Contestar
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Brenda debe cuidar al menos 27 horas.
Josue quiere ir en un viaje por carretera de 10 noches con amigos la próxima primavera. Le costará 180 dólares por gasolina, 450 dólares por comida y 49 dólares por noche para compartir una habitación de motel. Tiene $520 en ahorros y puede ganar $30 por calzada paleando nieve. ¿Cuántas calzadas debe palear para tener suficiente dinero para pagar el viaje?
- Contestar
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Josue debe palear al menos 20 caminos de entrada.
Conceptos Clave
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Desigualdades, líneas numéricas y notación de intervalos
\(x>a \quad x\geq a\quad x<a\quad x\leq a\)
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Desigualdad Lineal
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Una
desigualdad lineal
es una desigualdad en una variable que se puede escribir en una de las siguientes formas donde a,
b
y
c
son números reales y
\(a\neq 0\)
:
\[ax+b<c, \qquad ax+b\leq c, \qquad ax+b>c, \qquad ax+b\geq c.\nonumber\]
-
Una
desigualdad lineal
es una desigualdad en una variable que se puede escribir en una de las siguientes formas donde a,
b
y
c
son números reales y
\(a\neq 0\)
:
-
Propiedad de suma y resta de la desigualdad
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Para cualquier número
a
,
b
y
c
, si a<b, entoncesa<b, entonces
\[\begin{array} {ll} {a+c<b+c} &{a−c<b−c} \\ {a+c>b+c} &{a−c>b−c} \\ \end{array} \nonumber\]
- Podemos sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad y aún así mantener la desigualdad.
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Para cualquier número
a
,
b
y
c
, si a<b, entoncesa<b, entonces
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Propiedad de multiplicación y división de la desigualdad
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Para cualquier número
a
,
b
y
c
,
\(\begin{array} {l} \text{multiply or divide by a }\textbf{positive} \\ \\ \space\space\space\space\space\space\space\text{if }a<b\text{ and }c>0,\text{ then } ac<bc\text{ and }\frac{a}{c}<\frac{b}{c}. \\ \space\space\space\space\space\space\space\text{if }a>b\text{ and }c>0,\text{ then } ac>bc\text{ and }\frac{a}{c}>\frac{b}{c}. \\ \text{multiply or divide by a }\textbf{negative} \\ \\ \space\space\space\space\space\space\space\text{if }a<b\text{ and }c<0,\text{ then } ac>bc\text{ and }\frac{a}{c}>\frac{b}{c}. \\ \space\space\space\space\space\space\space\text{if }a>b\text{ and }c<0,\text{ then } ac<bc\text{ and }\frac{a}{c}<\frac{b}{c}. \\ \end{array}\)
-
Para cualquier número
a
,
b
y
c
,
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Frases que indican desigualdades
\(>\) \(\geq\) \(<\) \(\leq\) \ (>\) ">es mayor que
es más grande que
excede\ (\ geq\)” data-valign="middle">es mayor o igual que
es al menos no
es menor que
es el mínimo\ (es <\)” data-valign="middle"> menor que es
menor que tiene
menos de lo que es
menor que\ (\ leq\)” data-valign="middle">es menor o igual a
es como máximo no
es más que
es el máximo