2.7: Resolver desigualdades compuestas
Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Resuelve desigualdades compuestas con “y”
- Resuelve desigualdades compuestas con “o”
- Resolver aplicaciones con desigualdades compuestas
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
Resolver desigualdades compuestas con “y”
Ahora que sabemos cómo resolver las desigualdades lineales, el siguiente paso es mirar las desigualdades compuestas. Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades compuestas.
\[\begin{array} {lll} {x+3>−4} &{\text{and}} &{4x−5\leq 3} \\ {2(y+1)<0} &{\text{or}} &{y−5\geq −2} \\ \end{array} \nonumber\]
Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”.
Resolver una desigualdad compuesta significa encontrar todos los valores de la variable que hacen de la desigualdad compuesta una declaración verdadera. Resolvemos desigualdades compuestas utilizando las mismas técnicas que usamos para resolver desigualdades lineales. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego consideramos las dos soluciones.
Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra “y”, buscamos todos los números que hagan realidad ambas desigualdades. Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra “o”, buscamos todos los números que hagan realidad cualquiera de las dos desigualdades.
Comencemos con las desigualdades compuestas con “y”. Nuestra solución serán los números que sean soluciones a ambas desigualdades conocidas como la intersección de las dos desigualdades. Considere la intersección de dos calles, la parte donde se superponen las calles, pertenece a ambas calles.
Para encontrar la solución de una desigualdad compuesta “y”, miramos los gráficos de cada desigualdad y luego encontramos los números que pertenecen a ambos gráficos, donde los gráficos se superponen.
Para la desigualdad compuesta \(x>−3\) y \(x\leq 2\) , graficamos cada desigualdad. Después buscamos dónde se “superponen” las gráficas. Los números que se sombrean en ambas gráficas, serán sombreados en la gráfica de la solución de la desigualdad compuesta. Ver Figura \(\PageIndex{1}\) .
Podemos ver que los números entre \(−3\) y \(2\) están sombreados en ambos de los dos primeros gráficos. A continuación, se sombrearán en la gráfica de la solución.
El número no \(−3\) está sombreado en la primera gráfica y así como no está sombreado en ambas gráficas, no se incluye en la gráfica de solución.
El número dos está sombreado tanto en la primera como en la segunda gráfica. Por lo tanto, se sombreará en la gráfica de la solución.
Es así como mostraremos nuestra solución en los siguientes ejemplos.
Resolver \(6x−3<9\) y \(2x+7\geq 3\) . Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
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\(6x−3<9\) y \(2x+9\geq 3\) Paso 1. Resuelvecada
desigualdad.\(6x−3<9\) \(2x+9\geq 3\) \(6x<12\) \(2x\geq −6\) \(x<2\) y \(x\geq −3\) Paso 2. Graficacada solución. Después grafica los números que hacen realidad ambas desigualdades. La gráfica final mostrará todos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas, los números sombreados en las dos primeras gráficas. Paso 3. Escribela solución en notación de intervalos. \([−3,2)\) Todos los números que hacen realidad ambas desigualdades son la solución a la desigualdad compuesta.
Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(4x−7<9\) y \(5x+8\geq 3\) .
- Contestar
-
Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(3x−4<5\) y \(4x+9\geq 1\) .
- Contestar
-
- Resuelve cada desigualdad.
-
Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen realidad
ambas
desigualdades.
Esta gráfica muestra la solución a la desigualdad compuesta. - Escribe la solución en notación de intervalos.
Resolver \(3(2x+5)\leq 18\) y \(2(x−7)<−6\) . Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
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\(3(2x+5)\leq 18\) y \(2(x−7)<−6\) Resuelve cada
desigualdad.\(6x+15\leq 18\) \(2x−14<−6\) \(6x\leq 3\) \(2x<8\) \(x\leq \frac{1}{2}\) y \(x<4\) Grafica cada
solución.Grafica los números
que hacen realidad ambas
desigualdades.Escribe la solución
en notación de intervalos.\((−\infty, \frac{1}{2}]\)
Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(2(3x+1)\leq 20\) y \(4(x−1)<2\) .
- Contestar
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Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(5(3x−1)\leq 10\) y \(4(x+3)<8\) .
- Contestar
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Resolver \(\frac{1}{3}x−4\geq −2\) y \(−2(x−3)\geq 4\) . Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
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\(\frac{1}{3}x−4\geq −2\) y \(−2(x−3)\geq 4\) Resuelve cada desigualdad. \(\frac{1}{3}x−4\geq −2\) \(−2x+6\geq 4\) \(\frac{1}{3}x\geq 2\) \(−2x\geq −2\) \(x\geq 6\) y \(x\leq 1\) Grafica cada solución. Grafica los números que
hacen
realidad ambas desigualdades.No hay números que hagan realidad ambas desigualdades.
Esto es una contradicción por lo que no hay solución.No hay números que hagan realidad ambas desigualdades.
Esto es una contradicción por lo que no hay solución.No hay números que hagan realidad ambas desigualdades.
Esto es una contradicción por lo que no hay solución.
Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(\frac{1}{4}x−3\geq −1\) y \(−3(x−2)\geq 2\) .
- Contestar
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Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(\frac{1}{5}x−5\geq −3\) y \(−4(x−1)\geq −2\) .
- Contestar
-
En ocasiones tenemos una desigualdad compuesta que se puede escribir de manera más concisa. Por ejemplo, \(a<x\) y se \(x<b\) puede escribir simplemente como \(a<x<b\) y luego lo llamamos una doble desigualdad . Las dos formas son equivalentes.
Una doble desigualdad es una desigualdad compuesta como \(a<x<b\) . Es equivalente a \(a<x\) y \(x<b\) .
\[\text{Other forms:} \quad \begin{array} {lllll} {a<x<b} &{\text{is equivalent to }} &{a<x} &{\text{and}} &{x<b} \\ {a\leq x\leq b} &{\text{is equivalent to }} &{a\leq x} &{\text{and}} &{x\leq b} \\ {a>x>b} &{\text{is equivalent to }} &{a>x} &{\text{and}} &{x>b} \\ {a\geq x\geq b} &{\text{is equivalent to }} &{a\geq x} &{\text{and}} &{x\geq b} \\ \end{array} \nonumber\]
Para resolver una doble desigualdad realizamos la misma operación en las tres “partes” de la doble desigualdad con el objetivo de aislar la variable en el centro.
Resolver \(−4\leq 3x−7<8\) . Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
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\(-4 \leq 3x - 7 < 8\) Agrega 7 a las tres partes. \( -4 \,{\color{red}{+\, 7}} \leq 3x - 7 \,{\color{red}{+ \,7}} < 8 \,{\color{red}{+ \,7}}\) Simplificar. \( 3 \le 3x < 15 \) Divida cada parte por tres. \( \dfrac{3}{\color{red}{3}} \leq \dfrac{3x}{\color{red}{3}} < \dfrac{15}{\color{red}{3}} \) Simplificar. \( 1 \leq x < 5 \) Grafica la solución. Escribe la solución en notación de intervalos. \( [1, 5) \)
Cuando se escribe como una doble desigualdad \(1\leq x<5\) ,, es fácil ver que las soluciones son los números atrapados entre uno y cinco, incluyendo uno, pero no cinco. Entonces podemos graficar la solución inmediatamente como lo hicimos anteriormente.
Otra forma de graficar la solución de \(1\leq x<5\) es graficar tanto la solución \(x\geq 1\) de como la solución de \(x<5\) . Entonces encontraríamos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas como lo hicimos en ejemplos anteriores.
Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(−5\leq 4x−1<7\) .
- Contestar
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Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(−3<2x−5\leq 1\) .
- Contestar
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Resolver desigualdades compuestas con “o”
Para resolver una desigualdad compuesta con “o”, empezamos igual que lo hicimos con las desigualdades compuestas con “y” —resolvemos las dos desigualdades. Entonces encontramos todos los números que hacen que cualquiera de las dos desigualdades sea verdadera.
Así como Estados Unidos es la unión de todos los 50 estados, la solución será la unión de todos los números que hagan realidad cualquiera de las dos desigualdades. Para encontrar la solución de la desigualdad compuesta, miramos las gráficas de cada desigualdad, encontramos los números que pertenecen a cualquiera de las gráficas y juntamos todos esos números.
Para escribir la solución en notación de intervalos , a menudo usaremos el símbolo de unión , \(\cup\) , para mostrar la unión de las soluciones mostradas en las gráficas.
- Resuelve cada desigualdad.
- Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen cierta cualquiera de las desigualdades.
- Escribe la solución en notación de intervalos.
Resolver \(5−3x\leq −1\) o \(8+2x\leq 5\) . Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
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\(5−3x\leq −1\) o \(8+2x\leq 5\) Resuelve cada desigualdad. \(5−3x\leq −1\) \(8+2x\leq 5\) \(−3x\leq −6\) \(2x\leq −3\) \(x\geq 2\) o \(x\leq −\frac{3}{2}\) Grafica cada solución. Gráfica números que
hacen que cualquiera de las dos desigualdades sea
verdadera.\((−\infty,−32]\cup[2,\infty)\)
Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(1−2x\leq −3\) o \(7+3x\leq 4\) .
- Contestar
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Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(2−5x\leq −3\) o \(5+2x\leq 3\) .
- Contestar
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Resolver \(\frac{2}{3}x−4\leq 3\) o \(\frac{1}{4}(x+8)\geq −1\) . Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
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\(\frac{2}{3}x−4\leq 3\) o \(\frac{1}{4}(x+8)\geq −1\) Resuelve cada
desigualdad.\(3(\frac{2}{3}x−4)\leq 3(3)\) \(4⋅\frac{1}{4}(x+8)\geq 4⋅(−1)\) \(2x−12\leq 9\) \(x+8\geq −4\) \(2x\leq 21\) \(x\geq −12\) \(x\leq \frac{21}{2}\) \(x\leq \frac{21}{2}\) o \(x\geq −12\) Grafica cada
solución.Gráfica números
que hacen que cualquiera de
las dos desigualdades sea verdadera.La solución cubre todos los números reales. \((−\infty ,\infty )\)
Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(\frac{3}{5}x−7\leq −1\) o \(\frac{1}{3}(x+6)\geq −2\) .
- Contestar
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Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(\frac{3}{4}x−3\leq 3\) o \(\frac{2}{5}(x+10)\geq 0\) .
- Contestar
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Resolver aplicaciones con desigualdades compuestas
Las situaciones en el mundo real también implican desigualdades compuestas. Utilizaremos la misma estrategia de resolución de problemas que usamos para resolver aplicaciones de ecuaciones lineales y desigualdad.
Recordemos que las estrategias de resolución de problemas son leer primero el problema y asegurarse de que se entiendan todas las palabras. Después, identifique lo que estamos buscando y asigne una variable para representarlo. A continuación, repita el problema en una frase para que sea fácil traducirse en una desigualdad compuesta . Por último, resolveremos la desigualdad compuesta.
Debido a la sequía en California, muchas comunidades han escalonado las tarifas de agua. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que utiliza el propietario de la propiedad.
Durante el verano, un propietario pagará $24.72 más $1.54 por hcf por Uso Normal. La factura por Uso Normal estaría entre o igual a $57.06 y $171.02. ¿Cuántos hcf puede usar el propietario si quiere que su uso se mantenga en el rango normal?
- Contestar
-
Identificar lo que estamos buscando. El número de hcf que puede usar y permanecer en el rango de facturación de “uso normal”. Nombra lo que estamos buscando. Deja x=x= el número de hcf que puede usar. Traducir en una desigualdad. Factura es de $24.72 más $1.54 veces el número de hcf que usa o \(24.72+1.54x\) . \(\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{\text{His bill will be between or equal to }$57.06\text{ and }$171.02.}}}\)
\(57.06 \leq 24.74 + 1.54x \leq 171.02 \)
Resolver la desigualdad. \(57.06 \leq 24.74 + 1.54x \leq 171.02\)
\(57.06 \,{\color{red}{- \,24.72}}\leq 24.74 \,{\color{red}{- \,24.72}} + 1.54x \leq 171.02 \,{\color{red}{- \,24.72}}\)
\( 32.34 \leq 1.54x \leq 146.3\)
\( \dfrac{32.34}{\color{red}{1.54}} \leq \dfrac{1.54x}{\color{red}{1.54}} \leq \dfrac{146.3}{\color{red}{1.54}}\)
\( 21 \leq x \leq 95 \)
Contesta la pregunta. El dueño de la propiedad puede usar \(21–95\) hcf y aún así caer dentro del rango de facturación de “uso normal”.
Debido a la sequía en California, muchas comunidades ahora tienen tarifas de agua escalonadas. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que utiliza el propietario de la propiedad.
Durante el verano, un propietario pagará $24.72 más $1.32 por hcf por Uso de Conservación. El proyecto de ley para el Uso de Conservación sería entre o igual a $31.32 y $52.12. ¿Cuántos hcf puede usar el propietario si quiere que su uso permanezca en el rango de conservación?
- Contestar
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El propietario puede usar \(5–20\) hcf y aún así caer dentro del rango de facturación de “uso de conservación”.
Debido a la sequía en California, muchas comunidades han escalonado las tarifas de agua. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que utiliza el propietario de la propiedad.
Durante el invierno, el dueño de una propiedad pagará $24.72 más $1.54 por hcf por Uso Normal. La factura por Uso Normal sería entre o igual a $49.36 y $86.32. ¿Cuántos hcf se le permitirá usar si quiere que su uso se mantenga en el rango normal?
- Contestar
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El propietario puede usar \(16–40\) hcf y aún así caer dentro del rango de facturación de “uso normal”.
Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con la solución de desigualdades compuestas.
- Desigualdades compuestas
Conceptos Clave
-
Cómo resolver una desigualdad compuesta con “y”
- Resuelve cada desigualdad.
- Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen realidad ambas desigualdades. Esta gráfica muestra la solución a la desigualdad compuesta.
- Escribe la solución en notación de intervalos.
-
Doble Desigualdad
-
Una
doble desigualdad
es una desigualdad compuesta como
\(a<x<b\)
. Es equivalente a
\(a<x\)
y
\(x<b.\)
Otras formas:\ [\ begin {align*} a<x<b & &\ text {es equivalente a} & a<x\;\ text {y}\; x<b\\
a≤x≤b & &\ text {es equivalente a} & & a≤x\;\ text {y}\; x≤b\ \
a>x>b & &\ text {es equivalente a} & & a>x\;\ texto {y}\; x>b\\
a≥x≥b & &\ text {es equivalente a} & & a≥x\;\ texto {y}\; x≥b\ end {align*}\]
-
Una
doble desigualdad
es una desigualdad compuesta como
\(a<x<b\)
. Es equivalente a
\(a<x\)
y
\(x<b.\)
-
Cómo resolver una desigualdad compuesta con “o”
- Resuelve cada desigualdad.
- Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen cierta cualquiera de las desigualdades.
- Escribe la solución en notación de intervalos.
Glosario
- desigualdad compuesta
- Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”.