Saltar al contenido principal

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

##### Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Resolver desigualdades compuestas con “y”
• Resolver desigualdades compuestas con “o”
• Resolver aplicaciones con desigualdades compuestas

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar:$$\frac{2}{5}(x+10)$$.
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
2. Simplificar:$$−(x−4)$$.
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

## Resolver desigualdades compuestas con “y”

Ahora que sabemos resolver las desigualdades lineales, el siguiente paso es mirar las desigualdades compuestas. Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades compuestas.

$\begin{array} {lll} {x+3>−4} &{\text{and}} &{4x−5\leq 3} \\ {2(y+1)<0} &{\text{or}} &{y−5\geq −2} \\ \end{array} \nonumber$

Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”.

Resolver una desigualdad compuesta significa encontrar todos los valores de la variable que hagan de la desigualdad compuesta una verdadera afirmación. Resolvemos desigualdades compuestas utilizando las mismas técnicas que utilizamos para resolver desigualdades lineales. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego consideramos las dos soluciones.

Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra “y”, buscamos todos los números que hagan que ambas desigualdades sean verdaderas. Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra “o”, buscamos todos los números que hagan realidad cualquiera de las dos desigualdades.

Empecemos con las desigualdades compuestas con “y”. Nuestra solución serán los números que son soluciones a ambas desigualdades conocidas como la intersección de las dos desigualdades. Considere la intersección de dos calles, la parte donde se superponen las calles, pertenece a ambas calles.

Para encontrar la solución de una desigualdad “y” compuesta, observamos las gráficas de cada desigualdad y luego encontramos los números que pertenecen a ambos gráficos, donde los gráficos se superponen.

Para la desigualdad compuesta$$x>−3$$ y$$x\leq 2$$, graficamos cada desigualdad. Luego buscamos dónde se “superponen” las gráficas. Los números que estén sombreados en ambas gráficas, serán sombreados en la gráfica de la solución de la desigualdad compuesta. Ver Figura$$\PageIndex{1}$$.

Podemos ver que los números entre$$−3$$ y$$2$$ están sombreados en ambas de las dos primeras gráficas. Luego serán sombreados en la gráfica de solución.

El número no$$−3$$ está sombreado en la primera gráfica y así como no está sombreado en ambas gráficas, no se incluye en la gráfica de solución.

El número dos está sombreado tanto en la primera como en la segunda gráfica. Por lo tanto, se sombrea en la gráfica de solución.

Es así como mostraremos nuestra solución en los siguientes ejemplos.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Resolver$$6x−3<9$$ y$$2x+7\geq 3$$. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
 $$6x−3<9$$ y $$2x+9\geq 3$$ Paso 1. Resolver cada desigualdad. $$6x−3<9$$ $$2x+9\geq 3$$ $$6x<12$$ $$2x\geq −6$$ $$x<2$$ y $$x\geq −3$$ Paso 2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. La gráfica final mostrará todos los números que hacen que ambas desigualdades sean ciertas, los números sombreados en las dos primeras gráficas. Paso 3. Escribe la solución en notación de intervalos. $$[−3,2)$$ Todos los números que hacen verdaderas ambas desigualdades son la solución a la desigualdad compuesta.
##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$4x−7<9$$ y$$5x+8\geq 3$$.

Contestar

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$3x−4<5$$ y$$4x+9\geq 1$$.

Contestar

##### RESOLVER UNA DESIGUALIDAD COMPUESTA CON “
Esta gráfica muestra la solución a la desigualdad compuesta.
3. Escribe la solución en notación de intervalos.
##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Resolver$$3(2x+5)\leq 18$$ y$$2(x−7)<−6$$. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
 $$3(2x+5)\leq 18$$ y $$2(x−7)<−6$$ Resolver cada desigualdad. $$6x+15\leq 18$$ $$2x−14<−6$$ $$6x\leq 3$$ $$2x<8$$ $$x\leq \frac{1}{2}$$ y $$x<4$$ Grafica cada solución. Grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. Escribe la solución en notación de intervalos. $$(−\infty, \frac{1}{2}]$$
##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$2(3x+1)\leq 20$$ y$$4(x−1)<2$$.

Contestar

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$5(3x−1)\leq 10$$ y$$4(x+3)<8$$.

Contestar

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Resolver$$\frac{1}{3}x−4\geq −2$$ y$$−2(x−3)\geq 4$$. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
 $$\frac{1}{3}x−4\geq −2$$ y $$−2(x−3)\geq 4$$ Resolver cada desigualdad. $$\frac{1}{3}x−4\geq −2$$ $$−2x+6\geq 4$$ $$\frac{1}{3}x\geq 2$$ $$−2x\geq −2$$ $$x\geq 6$$ y $$x\leq 1$$ Grafica cada solución. Grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. No hay números que hagan realidad ambas desigualdades. Esto es una contradicción por lo que no hay solución. No hay números que hagan que ambas desigualdades sean verdaderas. Esto es una contradicción por lo que no hay solución. No hay números que hagan que ambas desigualdades sean verdaderas. Esto es una contradicción por lo que no hay solución.
##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$\frac{1}{4}x−3\geq −1$$ y$$−3(x−2)\geq 2$$.

Contestar

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$\frac{1}{5}x−5\geq −3$$ y$$−4(x−1)\geq −2$$.

Contestar

A veces tenemos una desigualdad compuesta que se puede escribir de manera más concisa. Por ejemplo,$$a<x$$ y se$$x<b$$ puede escribir simplemente como$$a<x<b$$ y luego lo llamamos una doble desigualdad. Las dos formas son equivalentes.

Una doble desigualdad es una desigualdad compuesta como$$a<x<b$$. Es equivalente a$$a<x$$ y$$x<b$$.

$\text{Other forms:} \quad \begin{array} {lllll} {a<x<b} &{\text{is equivalent to }} &{a<x} &{\text{and}} &{x<b} \\ {a\leq x\leq b} &{\text{is equivalent to }} &{a\leq x} &{\text{and}} &{x\leq b} \\ {a>x>b} &{\text{is equivalent to }} &{a>x} &{\text{and}} &{x>b} \\ {a\geq x\geq b} &{\text{is equivalent to }} &{a\geq x} &{\text{and}} &{x\geq b} \\ \end{array} \nonumber$

Para resolver una doble desigualdad realizamos la misma operación en las tres “partes” de la doble desigualdad con el objetivo de aislar la variable en el centro.

##### Ejemplo$$\PageIndex{10}$$

Resolver$$−4\leq 3x−7<8$$. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
 $$-4 \leq 3x - 7 < 8$$ Agrega 7 a las tres partes. $$-4 \,{\color{red}{+\, 7}} \leq 3x - 7 \,{\color{red}{+ \,7}} < 8 \,{\color{red}{+ \,7}}$$ Simplificar. $$3 \le 3x < 15$$ Divide cada parte por tres. $$\dfrac{3}{\color{red}{3}} \leq \dfrac{3x}{\color{red}{3}} < \dfrac{15}{\color{red}{3}}$$ Simplificar. $$1 \leq x < 5$$ Grafica la solución. Escribe la solución en notación de intervalos. $$[1, 5)$$

Cuando se escribe como una doble desigualdad$$1\leq x<5$$,, es fácil ver que las soluciones son los números atrapados entre uno y cinco, incluyendo uno, pero no cinco. Entonces podemos graficar la solución inmediatamente como lo hicimos anteriormente.

Otra forma de graficar la solución de$$1\leq x<5$$ es graficar tanto la solución$$x\geq 1$$ de como la solución de$$x<5$$. Entonces encontraríamos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas como lo hicimos en ejemplos anteriores.

##### Ejemplo$$\PageIndex{11}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$−5\leq 4x−1<7$$.

Contestar

##### Ejemplo$$\PageIndex{12}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$−3<2x−5\leq 1$$.

Contestar

## Resolver desigualdades compuestas con “o”

Para resolver una desigualdad compuesta con “o”, empezamos tal como lo hicimos con las desigualdades compuestas con “y” —resolvemos las dos desigualdades. Entonces nos encontramos con todos los números que hacen cierta cualquiera de las dos desigualdades.

Así como Estados Unidos es la unión de todos los 50 estados, la solución será la unión de todos los números que hagan realidad cualquiera de las desigualdades. Para encontrar la solución de la desigualdad compuesta, miramos las gráficas de cada desigualdad, encontramos los números que pertenecen a cualquiera de las gráficas y juntamos todos esos números.

Para escribir la solución en notación de intervalos, a menudo usaremos el símbolo de unión$$\cup$$,, para mostrar la unión de las soluciones mostradas en las gráficas.

##### RESOLVER UNA DESIGUALIDAD COMPUESTA CON “
2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que cualquiera de las desigualdades sea cierta.
3. Escribe la solución en notación de intervalos.
##### Ejemplo$$\PageIndex{13}$$

Resolver$$5−3x\leq −1$$ o$$8+2x\leq 5$$. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
 $$5−3x\leq −1$$ o $$8+2x\leq 5$$ Resolver cada desigualdad. $$5−3x\leq −1$$ $$8+2x\leq 5$$ $$−3x\leq −6$$ $$2x\leq −3$$ $$x\geq 2$$ o $$x\leq −\frac{3}{2}$$ Grafica cada solución. Gráfica números que hacen que cualquiera de las desigualdades sea verdadera. $$(−\infty,−32]\cup[2,\infty)$$
##### Ejemplo$$\PageIndex{14}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$1−2x\leq −3$$ o$$7+3x\leq 4$$.

Contestar

##### Ejemplo$$\PageIndex{15}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$2−5x\leq −3$$ o$$5+2x\leq 3$$.

Contestar

##### Ejemplo$$\PageIndex{16}$$

Resolver$$\frac{2}{3}x−4\leq 3$$ o$$\frac{1}{4}(x+8)\geq −1$$. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
 $$\frac{2}{3}x−4\leq 3$$ o $$\frac{1}{4}(x+8)\geq −1$$ Resolver cada desigualdad. $$3(\frac{2}{3}x−4)\leq 3(3)$$ $$4⋅\frac{1}{4}(x+8)\geq 4⋅(−1)$$ $$2x−12\leq 9$$ $$x+8\geq −4$$ $$2x\leq 21$$ $$x\geq −12$$ $$x\leq \frac{21}{2}$$ $$x\leq \frac{21}{2}$$ o $$x\geq −12$$ Grafica cada solución. Gráfica números que hacen que cualquiera de las desigualdades sea verdadera. La solución cubre todos los números reales. $$(−\infty ,\infty )$$
##### Ejemplo$$\PageIndex{17}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$\frac{3}{5}x−7\leq −1$$ o$$\frac{1}{3}(x+6)\geq −2$$.

Contestar

##### Ejemplo$$\PageIndex{18}$$

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:$$\frac{3}{4}x−3\leq 3$$ o$$\frac{2}{5}(x+10)\geq 0$$.

Contestar

## Resolver aplicaciones con desigualdades compuestas

Las situaciones en el mundo real también implican desigualdades compuestas. Utilizaremos la misma estrategia de resolución de problemas que usamos para resolver ecuaciones lineales y aplicaciones de desigualdad.

Recordemos que las estrategias de resolución de problemas son leer primero el problema y asegurarse de que se entiendan todas las palabras. Después, identificar lo que estamos buscando y asigne una variable para representarlo. A continuación, reafirmar el problema en una frase para que sea fácil traducirlo en una desigualdad compuesta. Por último, resolveremos la desigualdad compuesta.

##### Ejemplo$$\PageIndex{19}$$

Debido a la sequía en California, muchas comunidades han escalonado las tasas de agua. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que usa el dueño de la propiedad.

Durante el verano, el dueño de una propiedad pagará $24.72 más$1.54 por hcf por Uso Normal. La factura de Uso Normal estaría entre o igual a $57.06 y$171.02. ¿Cuántos hcf puede usar el propietario si quiere que su uso se mantenga en el rango normal?

Contestar
 Identificar lo que estamos buscando. El número de hcf que puede usar y permanecer en el rango de facturación de “uso normal”. Nombra lo que estamos buscando. Dejar x=x= el número de hcf que puede usar. Traducir a una desigualdad. Bill es de $24.72 más$1.54 veces el número de hcf que usa o$$24.72+1.54x$$. $$\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{\text{His bill will be between or equal to }57.06\text{ and }171.02.}}}$$ $$57.06 \leq 24.74 + 1.54x \leq 171.02$$ Resolver la desigualdad. $$57.06 \leq 24.74 + 1.54x \leq 171.02$$ $$57.06 \,{\color{red}{- \,24.72}}\leq 24.74 \,{\color{red}{- \,24.72}} + 1.54x \leq 171.02 \,{\color{red}{- \,24.72}}$$ $$32.34 \leq 1.54x \leq 146.3$$ $$\dfrac{32.34}{\color{red}{1.54}} \leq \dfrac{1.54x}{\color{red}{1.54}} \leq \dfrac{146.3}{\color{red}{1.54}}$$ $$21 \leq x \leq 95$$ Contesta la pregunta. El dueño de la propiedad puede usar$$21–95$$ hcf y aún caer dentro del rango de facturación de “uso normal”.
##### Ejemplo$$\PageIndex{20}$$

Debido a la sequía en California, muchas comunidades ahora tienen tasas de agua escalonadas. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que usa el dueño de la propiedad.

Durante el verano, el dueño de una propiedad pagará $24.72 más$1.32 por hcf por Uso de Conservación. La factura por Uso de Conservación estaría entre o igual a $31.32 y$52.12. ¿Cuántos hcf puede usar el dueño si quiere que su uso permanezca en el rango de conservación?

Contestar

El propietario puede usar$$5–20$$ hcf y aún caer dentro del rango de facturación de “uso de conservación”.

##### Ejemplo$$\PageIndex{21}$$

Debido a la sequía en California, muchas comunidades han escalonado las tasas de agua. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que usa el dueño de la propiedad.

Durante el invierno, el dueño de una propiedad pagará $24.72 más$1.54 por hcf por Uso Normal. La factura de Uso Normal estaría entre o igual a $49.36 y$86.32. ¿Cuántos hcf se le permitirá usar si quiere que su uso se mantenga en el rango normal?

Contestar

El propietario puede usar$$16–40$$ hcf y aún así caer dentro del rango de facturación de “uso normal”.

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción y práctica adicionales para resolver desigualdades compuestas.

## Conceptos clave

• Cómo resolver una desigualdad compuesta con “y”
2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. Esta gráfica muestra la solución a la desigualdad compuesta.
3. Escribe la solución en notación de intervalos.
• Una doble desigualdad es una desigualdad compuesta como$$a<x<b$$. Es equivalente a$$a<x$$ y$$x<b.$$

Otras formas:\ [\ begin {align*} a<x<b & &\ text {es equivalente a} & & a<x\;\ text {y}\; x<b\
a≤x≤b & &\ text {es equivalente a} & a≤x\;\ text {y}\; x≤b\ \
a>x>b & &\ text {es equivalente a} & & a>x\;\ text {y}\; x>b\\
a≥x≥b & &\ text {es equivalente a} & a≥x\;\ text {y}\; x≥b\ end {align*}\]
• Cómo resolver una desigualdad compuesta con “o”