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LibreTexts Español

2.7: Resolver desigualdades compuestas

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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

  • Resolver desigualdades compuestas con “y”
  • Resolver desigualdades compuestas con “o”
  • Resolver aplicaciones con desigualdades compuestas

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

  1. Simplificar:25(x+10).
    Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
  2. Simplificar:(x4).
    Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

Resolver desigualdades compuestas con “y”

Ahora que sabemos resolver las desigualdades lineales, el siguiente paso es mirar las desigualdades compuestas. Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades compuestas.

x+3>4and4x532(y+1)<0ory52

Desigualdad compuesta

Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”.

Resolver una desigualdad compuesta significa encontrar todos los valores de la variable que hagan de la desigualdad compuesta una verdadera afirmación. Resolvemos desigualdades compuestas utilizando las mismas técnicas que utilizamos para resolver desigualdades lineales. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego consideramos las dos soluciones.

Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra “y”, buscamos todos los números que hagan que ambas desigualdades sean verdaderas. Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra “o”, buscamos todos los números que hagan realidad cualquiera de las dos desigualdades.

Empecemos con las desigualdades compuestas con “y”. Nuestra solución serán los números que son soluciones a ambas desigualdades conocidas como la intersección de las dos desigualdades. Considere la intersección de dos calles, la parte donde se superponen las calles, pertenece a ambas calles.

La figura es una ilustración de dos calles con su intersección sombreada

Para encontrar la solución de una desigualdad “y” compuesta, observamos las gráficas de cada desigualdad y luego encontramos los números que pertenecen a ambos gráficos, donde los gráficos se superponen.

Para la desigualdad compuestax>3 yx2, graficamos cada desigualdad. Luego buscamos dónde se “superponen” las gráficas. Los números que estén sombreados en ambas gráficas, serán sombreados en la gráfica de la solución de la desigualdad compuesta. Ver Figura2.7.1.

En la figura se muestra que el gráfico de x es mayor que negativo 3 con paréntesis izquierdo en negativo 3 y sombreado a su derecha, el gráfico de x es menor o igual a 2 con paréntesis a 2 y sombreado a su izquierda, y el gráfico de x es mayor que negativo 3 y x es menor o igual a 2 con paréntesis izquierdo en negativo 3 y un paréntesis derecho en 2 y sombreado entre negativo 3 y 2. Los negativos 3 y 2 están marcados por líneas en cada línea numérica.
Figura2.7.1

Podemos ver que los números entre3 y2 están sombreados en ambas de las dos primeras gráficas. Luego serán sombreados en la gráfica de solución.

El número no3 está sombreado en la primera gráfica y así como no está sombreado en ambas gráficas, no se incluye en la gráfica de solución.

El número dos está sombreado tanto en la primera como en la segunda gráfica. Por lo tanto, se sombrea en la gráfica de solución.

Es así como mostraremos nuestra solución en los siguientes ejemplos.

Ejemplo2.7.1

Resolver6x3<9 y2x+73. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
  6x3<9 y 2x+93
Paso 1. Resolver cada
desigualdad.
6x3<9   2x+93
  6x<12   2x6
  x<2 y x3
Paso 2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. La gráfica final mostrará todos los números que hacen que ambas desigualdades sean ciertas, los números sombreados en las dos primeras gráficas. .
Paso 3. Escribe la solución en notación de intervalos. [3,2)
Todos los números que hacen verdaderas ambas desigualdades son la solución a la desigualdad compuesta.
Ejemplo2.7.2

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:4x7<9 y5x+83.

Contestar

La solución es negativa 1 es menor o igual a x que es menor que 4. En una recta numérica se muestra con un círculo cerrado en negativo 1 y un círculo abierto en 4 con sombreado entre los círculos cerrado y abierto. Su notación de intervalo es negativa 1 a 4 dentro de un paréntesis y un paréntesis.

Ejemplo2.7.3

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:3x4<5 y4x+91.

Contestar

La solución es negativa 2 es menor o igual a x que es menor que 3. En una recta numérica se muestra con un círculo cerrado en negativo 2 y un círculo abierto en 3 con sombreado entre los círculos cerrado y abierto. Su notación de intervalo es negativa 2 a 3 dentro de un paréntesis y un paréntesis.

RESOLVER UNA DESIGUALIDAD COMPUESTA CON “
  1. Resolver cada desigualdad.
  2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas.
    Esta gráfica muestra la solución a la desigualdad compuesta.
  3. Escribe la solución en notación de intervalos.
Ejemplo2.7.4

Resolver3(2x+5)18 y2(x7)<6. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
  3(2x+5)18 y 2(x7)<6
Resolver cada
desigualdad.
6x+1518   2x14<6
  6x3   2x<8
  x12 y x<4
Grafica cada
solución.
.
Grafica los números
que hacen que ambas
desigualdades sean verdaderas.
.
Escribe la solución
en notación de intervalos.
(,12]
Ejemplo2.7.5

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:2(3x+1)20 y4(x1)<2.

Contestar

La solución es x es menor que tres mitades. En una recta numérica se muestra con un círculo abierto en tres mitades con sombreado a su izquierda. Su notación de intervalo es infinito negativo a tres mitades dentro de paréntesis.

Ejemplo2.7.6

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:5(3x1)10 y4(x+3)<8.

Contestar

La solución es x es menor que negativa 1. En una recta numérica se muestra con un círculo abierto a 1 con sombreado a su izquierda. Su notación de intervalo es de infinito negativo a negativo 1 entre paréntesis.

Ejemplo2.7.7

Resolver13x42 y2(x3)4. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
  13x42 y 2(x3)4
Resolver cada desigualdad. 13x42   2x+64
  13x2   2x2
  x6 y x1
Grafica cada solución. ...
Grafica los números que
hacen que ambas desigualdades sean
verdaderas.
...
  No hay números que hagan realidad ambas desigualdades.

Esto es una contradicción por lo que no hay solución. No hay números que hagan que ambas desigualdades sean verdaderas.

Esto es una contradicción por lo que no hay solución. No hay números que hagan que ambas desigualdades sean verdaderas.

Esto es una contradicción por lo que no hay solución.
Ejemplo2.7.8

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:14x31 y3(x2)2.

Contestar

La desigualdad es una contradicción. Entonces, no hay solución. Como resultado, no hay gráfica de la línea numérica o notación de intervalo.

Ejemplo2.7.9

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:15x53 y4(x1)2.

Contestar

La desigualdad es una contradicción. Entonces, no hay solución. Como resultado, no hay gráfica ni notación de línea numérica o intervalo.

A veces tenemos una desigualdad compuesta que se puede escribir de manera más concisa. Por ejemplo,a<x y sex<b puede escribir simplemente comoa<x<b y luego lo llamamos una doble desigualdad. Las dos formas son equivalentes.

DOBLE Desigualdad

Una doble desigualdad es una desigualdad compuesta comoa<x<b. Es equivalente aa<x yx<b.

Other forms:a<x<bis equivalent to a<xandx<baxbis equivalent to axandxba>x>bis equivalent to a>xandx>baxbis equivalent to axandxb

Para resolver una doble desigualdad realizamos la misma operación en las tres “partes” de la doble desigualdad con el objetivo de aislar la variable en el centro.

Ejemplo2.7.10

Resolver43x7<8. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
  43x7<8
Agrega 7 a las tres partes. 4+73x7+7<8+7
Simplificar. 33x<15
Divide cada parte por tres. 333x3<153
Simplificar. 1x<5
Grafica la solución. .
Escribe la solución en notación de intervalos. [1,5)

Cuando se escribe como una doble desigualdad1x<5,, es fácil ver que las soluciones son los números atrapados entre uno y cinco, incluyendo uno, pero no cinco. Entonces podemos graficar la solución inmediatamente como lo hicimos anteriormente.

Otra forma de graficar la solución de1x<5 es graficar tanto la soluciónx1 de como la solución dex<5. Entonces encontraríamos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas como lo hicimos en ejemplos anteriores.

Ejemplo2.7.11

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:54x1<7.

Contestar

La solución es negativa 1 es menor o igual a x que es menor que 2. Su gráfica tiene un círculo cerrado en negativo 1 y un círculo abierto en 2 con sombreado entre los círculos cerrado y abierto. Su notación de intervalo es negativa 1 a 2 dentro de un paréntesis y un paréntesis.

Ejemplo2.7.12

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:3<2x51.

Contestar

La solución es 1 es menor que x que es menor o igual a 3. Su gráfica tiene un círculo abierto en 1 y un círculo cerrado en 3 con sombreado entre los círculos cerrados y abiertos. Su notación de intervalo es negativa de 1 a 3 dentro de un paréntesis y un corchete.

Resolver desigualdades compuestas con “o”

Para resolver una desigualdad compuesta con “o”, empezamos tal como lo hicimos con las desigualdades compuestas con “y” —resolvemos las dos desigualdades. Entonces nos encontramos con todos los números que hacen cierta cualquiera de las dos desigualdades.

Así como Estados Unidos es la unión de todos los 50 estados, la solución será la unión de todos los números que hagan realidad cualquiera de las desigualdades. Para encontrar la solución de la desigualdad compuesta, miramos las gráficas de cada desigualdad, encontramos los números que pertenecen a cualquiera de las gráficas y juntamos todos esos números.

Para escribir la solución en notación de intervalos, a menudo usaremos el símbolo de unión,, para mostrar la unión de las soluciones mostradas en las gráficas.

RESOLVER UNA DESIGUALIDAD COMPUESTA CON “
  1. Resolver cada desigualdad.
  2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que cualquiera de las desigualdades sea cierta.
  3. Escribe la solución en notación de intervalos.
Ejemplo2.7.13

Resolver53x1 o8+2x5. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
  53x1 o 8+2x5
Resolver cada desigualdad. 53x1   8+2x5
  3x6   2x3
  x2 o x32
Grafica cada solución. .
Gráfica números que
hacen que cualquiera de las desigualdades sea
verdadera.
.
  (,32][2,)
Ejemplo2.7.14

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:12x3 o7+3x4.

Contestar

La solución es x es mayor o igual a 2 o x es menor o igual a 1. El gráfico de las soluciones en una recta numérica tiene un círculo cerrado en negativo 1 y sombreado a la izquierda y un círculo cerrado en 2 con sombreado a la derecha. La notación de intervalo es la unión de infinito negativo a negativo 1 dentro de un paréntesis y un paréntesis y 2 e infinito dentro de un paréntesis y un paréntesis.

Ejemplo2.7.15

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:25x3 o5+2x3.

Contestar

La solución es x es mayor o igual a 1 o x es menor o igual a 1 negativo. El gráfico de las soluciones en una recta numérica tiene un círculo cerrado en negativo 1 y sombreado a la izquierda y un círculo cerrado en 1 con sombreado a la derecha. La notación de intervalo es la unión de infinito negativo a negativo 1 dentro de un paréntesis y un paréntesis y 1 e infinito dentro de un paréntesis y un paréntesis.

Ejemplo2.7.16

Resolver23x43 o14(x+8)1. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar
  23x43 o 14(x+8)1
Resolver cada
desigualdad.
3(23x4)3(3)   414(x+8)4(1)
  2x129   x+84
  2x21   x12
  x212    
  x212 o x12
Grafica cada
solución.
.
Gráfica números
que hacen que cualquiera de
las desigualdades sea verdadera.
.
  La solución cubre todos los números reales.
  (,)
Ejemplo2.7.17

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:35x71 o13(x+6)2.

Contestar

La solución es una identidad. Su solución en la recta numérica está sombreada para todos los valores. La solución en la notación de intervalos es infinito negativo a infinito entre paréntesis.

Ejemplo2.7.18

Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:34x33 o25(x+10)0.

Contestar

La solución es una identidad. Su solución en la recta numérica está sombreada para todos los valores. La solución en la notación de intervalos es infinito negativo a infinito entre paréntesis.

Resolver aplicaciones con desigualdades compuestas

Las situaciones en el mundo real también implican desigualdades compuestas. Utilizaremos la misma estrategia de resolución de problemas que usamos para resolver ecuaciones lineales y aplicaciones de desigualdad.

Recordemos que las estrategias de resolución de problemas son leer primero el problema y asegurarse de que se entiendan todas las palabras. Después, identificar lo que estamos buscando y asigne una variable para representarlo. A continuación, reafirmar el problema en una frase para que sea fácil traducirlo en una desigualdad compuesta. Por último, resolveremos la desigualdad compuesta.

Ejemplo2.7.19

Debido a la sequía en California, muchas comunidades han escalonado las tasas de agua. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que usa el dueño de la propiedad.

Durante el verano, el dueño de una propiedad pagará $24.72 más $1.54 por hcf por Uso Normal. La factura de Uso Normal estaría entre o igual a $57.06 y $171.02. ¿Cuántos hcf puede usar el propietario si quiere que su uso se mantenga en el rango normal?

Contestar
Identificar lo que estamos buscando. El número de hcf que puede usar y permanecer en el rango de facturación de “uso normal”.
Nombra lo que estamos buscando. Dejar x=x= el número de hcf que puede usar.
Traducir a una desigualdad. Bill es de $24.72 más $1.54 veces el número de hcf que usa o24.72+1.54x.
 

His bill will be between or equal to $57.06 and $171.02.

57.0624.74+1.54x171.02

Resolver la desigualdad.

57.0624.74+1.54x171.02

57.0624.7224.7424.72+1.54x171.0224.72

32.341.54x146.3

32.341.541.54x1.54146.31.54

21x95

Contesta la pregunta. El dueño de la propiedad puede usar2195 hcf y aún caer dentro del rango de facturación de “uso normal”.
Ejemplo2.7.20

Debido a la sequía en California, muchas comunidades ahora tienen tasas de agua escalonadas. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que usa el dueño de la propiedad.

Durante el verano, el dueño de una propiedad pagará $24.72 más $1.32 por hcf por Uso de Conservación. La factura por Uso de Conservación estaría entre o igual a $31.32 y $52.12. ¿Cuántos hcf puede usar el dueño si quiere que su uso permanezca en el rango de conservación?

Contestar

El propietario puede usar520 hcf y aún caer dentro del rango de facturación de “uso de conservación”.

Ejemplo2.7.21

Debido a la sequía en California, muchas comunidades han escalonado las tasas de agua. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que usa el dueño de la propiedad.

Durante el invierno, el dueño de una propiedad pagará $24.72 más $1.54 por hcf por Uso Normal. La factura de Uso Normal estaría entre o igual a $49.36 y $86.32. ¿Cuántos hcf se le permitirá usar si quiere que su uso se mantenga en el rango normal?

Contestar

El propietario puede usar1640 hcf y aún así caer dentro del rango de facturación de “uso normal”.

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción y práctica adicionales para resolver desigualdades compuestas.

  • Desigualdades compuestas

Conceptos clave

  • Cómo resolver una desigualdad compuesta con “y”
    1. Resolver cada desigualdad.
    2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. Esta gráfica muestra la solución a la desigualdad compuesta.
    3. Escribe la solución en notación de intervalos.
  • Doble Desigualdad
    • Una doble desigualdad es una desigualdad compuesta comoa<x<b. Es equivalente aa<x yx<b.

      Otras formas:\ [\ begin {align*} a<x<b & &\ text {es equivalente a} & & a<x\;\ text {y}\; x<b\
      a≤x≤b & &\ text {es equivalente a} & a≤x\;\ text {y}\; x≤b\ \
      a>x>b & &\ text {es equivalente a} & & a>x\;\ text {y}\; x>b\\
      a≥x≥b & &\ text {es equivalente a} & a≥x\;\ text {y}\; x≥b\ end {align*}\]
  • Cómo resolver una desigualdad compuesta con “o”
    1. Resolver cada desigualdad.
    2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que cualquiera de las desigualdades sea cierta.
    3. Escribe la solución en notación de intervalos.

Glosario

desigualdad compuesta
Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”.

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