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2.7: Resolver desigualdades compuestas

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    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, podrás:

    • Resolver desigualdades compuestas con “y”
    • Resolver desigualdades compuestas con “o”
    • Resolver aplicaciones con desigualdades compuestas

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar:\(\frac{2}{5}(x+10)\).
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
    2. Simplificar:\(−(x−4)\).
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

    Resolver desigualdades compuestas con “y”

    Ahora que sabemos resolver las desigualdades lineales, el siguiente paso es mirar las desigualdades compuestas. Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades compuestas.

    \[\begin{array} {lll} {x+3>−4} &{\text{and}} &{4x−5\leq 3} \\ {2(y+1)<0} &{\text{or}} &{y−5\geq −2} \\ \end{array} \nonumber\]

    Desigualdad compuesta

    Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”.

    Resolver una desigualdad compuesta significa encontrar todos los valores de la variable que hagan de la desigualdad compuesta una verdadera afirmación. Resolvemos desigualdades compuestas utilizando las mismas técnicas que utilizamos para resolver desigualdades lineales. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego consideramos las dos soluciones.

    Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra “y”, buscamos todos los números que hagan que ambas desigualdades sean verdaderas. Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra “o”, buscamos todos los números que hagan realidad cualquiera de las dos desigualdades.

    Empecemos con las desigualdades compuestas con “y”. Nuestra solución serán los números que son soluciones a ambas desigualdades conocidas como la intersección de las dos desigualdades. Considere la intersección de dos calles, la parte donde se superponen las calles, pertenece a ambas calles.

    La figura es una ilustración de dos calles con su intersección sombreada

    Para encontrar la solución de una desigualdad “y” compuesta, observamos las gráficas de cada desigualdad y luego encontramos los números que pertenecen a ambos gráficos, donde los gráficos se superponen.

    Para la desigualdad compuesta\(x>−3\) y\(x\leq 2\), graficamos cada desigualdad. Luego buscamos dónde se “superponen” las gráficas. Los números que estén sombreados en ambas gráficas, serán sombreados en la gráfica de la solución de la desigualdad compuesta. Ver Figura\(\PageIndex{1}\).

    En la figura se muestra que el gráfico de x es mayor que negativo 3 con paréntesis izquierdo en negativo 3 y sombreado a su derecha, el gráfico de x es menor o igual a 2 con paréntesis a 2 y sombreado a su izquierda, y el gráfico de x es mayor que negativo 3 y x es menor o igual a 2 con paréntesis izquierdo en negativo 3 y un paréntesis derecho en 2 y sombreado entre negativo 3 y 2. Los negativos 3 y 2 están marcados por líneas en cada línea numérica.
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Podemos ver que los números entre\(−3\) y\(2\) están sombreados en ambas de las dos primeras gráficas. Luego serán sombreados en la gráfica de solución.

    El número no\(−3\) está sombreado en la primera gráfica y así como no está sombreado en ambas gráficas, no se incluye en la gráfica de solución.

    El número dos está sombreado tanto en la primera como en la segunda gráfica. Por lo tanto, se sombrea en la gráfica de solución.

    Es así como mostraremos nuestra solución en los siguientes ejemplos.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Resolver\(6x−3<9\) y\(2x+7\geq 3\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Contestar
      \(6x−3<9\) y \(2x+9\geq 3\)
    Paso 1. Resolver cada
    desigualdad.
    \(6x−3<9\)   \(2x+9\geq 3\)
      \(6x<12\)   \(2x\geq −6\)
      \(x<2\) y \(x\geq −3\)
    Paso 2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. La gráfica final mostrará todos los números que hacen que ambas desigualdades sean ciertas, los números sombreados en las dos primeras gráficas. .
    Paso 3. Escribe la solución en notación de intervalos. \([−3,2)\)
    Todos los números que hacen verdaderas ambas desigualdades son la solución a la desigualdad compuesta.
    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(4x−7<9\) y\(5x+8\geq 3\).

    Contestar

    La solución es negativa 1 es menor o igual a x que es menor que 4. En una recta numérica se muestra con un círculo cerrado en negativo 1 y un círculo abierto en 4 con sombreado entre los círculos cerrado y abierto. Su notación de intervalo es negativa 1 a 4 dentro de un paréntesis y un paréntesis.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(3x−4<5\) y\(4x+9\geq 1\).

    Contestar

    La solución es negativa 2 es menor o igual a x que es menor que 3. En una recta numérica se muestra con un círculo cerrado en negativo 2 y un círculo abierto en 3 con sombreado entre los círculos cerrado y abierto. Su notación de intervalo es negativa 2 a 3 dentro de un paréntesis y un paréntesis.

    RESOLVER UNA DESIGUALIDAD COMPUESTA CON “
    1. Resolver cada desigualdad.
    2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas.
      Esta gráfica muestra la solución a la desigualdad compuesta.
    3. Escribe la solución en notación de intervalos.
    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Resolver\(3(2x+5)\leq 18\) y\(2(x−7)<−6\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Contestar
      \(3(2x+5)\leq 18\) y \(2(x−7)<−6\)
    Resolver cada
    desigualdad.
    \(6x+15\leq 18\)   \(2x−14<−6\)
      \(6x\leq 3\)   \(2x<8\)
      \(x\leq \frac{1}{2}\) y \(x<4\)
    Grafica cada
    solución.
    .
    Grafica los números
    que hacen que ambas
    desigualdades sean verdaderas.
    .
    Escribe la solución
    en notación de intervalos.
    \((−\infty, \frac{1}{2}]\)
    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(2(3x+1)\leq 20\) y\(4(x−1)<2\).

    Contestar

    La solución es x es menor que tres mitades. En una recta numérica se muestra con un círculo abierto en tres mitades con sombreado a su izquierda. Su notación de intervalo es infinito negativo a tres mitades dentro de paréntesis.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(5(3x−1)\leq 10\) y\(4(x+3)<8\).

    Contestar

    La solución es x es menor que negativa 1. En una recta numérica se muestra con un círculo abierto a 1 con sombreado a su izquierda. Su notación de intervalo es de infinito negativo a negativo 1 entre paréntesis.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Resolver\(\frac{1}{3}x−4\geq −2\) y\(−2(x−3)\geq 4\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Contestar
      \(\frac{1}{3}x−4\geq −2\) y \(−2(x−3)\geq 4\)
    Resolver cada desigualdad. \(\frac{1}{3}x−4\geq −2\)   \(−2x+6\geq 4\)
      \(\frac{1}{3}x\geq 2\)   \(−2x\geq −2\)
      \(x\geq 6\) y \(x\leq 1\)
    Grafica cada solución. ...
    Grafica los números que
    hacen que ambas desigualdades sean
    verdaderas.
    ...
      No hay números que hagan realidad ambas desigualdades.

    Esto es una contradicción por lo que no hay solución. No hay números que hagan que ambas desigualdades sean verdaderas.

    Esto es una contradicción por lo que no hay solución. No hay números que hagan que ambas desigualdades sean verdaderas.

    Esto es una contradicción por lo que no hay solución.
    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(\frac{1}{4}x−3\geq −1\) y\(−3(x−2)\geq 2\).

    Contestar

    La desigualdad es una contradicción. Entonces, no hay solución. Como resultado, no hay gráfica de la línea numérica o notación de intervalo.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(\frac{1}{5}x−5\geq −3\) y\(−4(x−1)\geq −2\).

    Contestar

    La desigualdad es una contradicción. Entonces, no hay solución. Como resultado, no hay gráfica ni notación de línea numérica o intervalo.

    A veces tenemos una desigualdad compuesta que se puede escribir de manera más concisa. Por ejemplo,\(a<x\) y se\(x<b\) puede escribir simplemente como\(a<x<b\) y luego lo llamamos una doble desigualdad. Las dos formas son equivalentes.

    DOBLE Desigualdad

    Una doble desigualdad es una desigualdad compuesta como\(a<x<b\). Es equivalente a\(a<x\) y\(x<b\).

    \[\text{Other forms:} \quad \begin{array} {lllll} {a<x<b} &{\text{is equivalent to }} &{a<x} &{\text{and}} &{x<b} \\ {a\leq x\leq b} &{\text{is equivalent to }} &{a\leq x} &{\text{and}} &{x\leq b} \\ {a>x>b} &{\text{is equivalent to }} &{a>x} &{\text{and}} &{x>b} \\ {a\geq x\geq b} &{\text{is equivalent to }} &{a\geq x} &{\text{and}} &{x\geq b} \\ \end{array} \nonumber\]

    Para resolver una doble desigualdad realizamos la misma operación en las tres “partes” de la doble desigualdad con el objetivo de aislar la variable en el centro.

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Resolver\(−4\leq 3x−7<8\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Contestar
      \(-4 \leq 3x - 7 < 8\)
    Agrega 7 a las tres partes. \( -4 \,{\color{red}{+\, 7}} \leq 3x - 7 \,{\color{red}{+ \,7}} < 8 \,{\color{red}{+ \,7}}\)
    Simplificar. \( 3 \le 3x < 15 \)
    Divide cada parte por tres. \( \dfrac{3}{\color{red}{3}} \leq \dfrac{3x}{\color{red}{3}} < \dfrac{15}{\color{red}{3}} \)
    Simplificar. \( 1 \leq x < 5 \)
    Grafica la solución. .
    Escribe la solución en notación de intervalos. \( [1, 5) \)

    Cuando se escribe como una doble desigualdad\(1\leq x<5\),, es fácil ver que las soluciones son los números atrapados entre uno y cinco, incluyendo uno, pero no cinco. Entonces podemos graficar la solución inmediatamente como lo hicimos anteriormente.

    Otra forma de graficar la solución de\(1\leq x<5\) es graficar tanto la solución\(x\geq 1\) de como la solución de\(x<5\). Entonces encontraríamos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas como lo hicimos en ejemplos anteriores.

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(−5\leq 4x−1<7\).

    Contestar

    La solución es negativa 1 es menor o igual a x que es menor que 2. Su gráfica tiene un círculo cerrado en negativo 1 y un círculo abierto en 2 con sombreado entre los círculos cerrado y abierto. Su notación de intervalo es negativa 1 a 2 dentro de un paréntesis y un paréntesis.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(−3<2x−5\leq 1\).

    Contestar

    La solución es 1 es menor que x que es menor o igual a 3. Su gráfica tiene un círculo abierto en 1 y un círculo cerrado en 3 con sombreado entre los círculos cerrados y abiertos. Su notación de intervalo es negativa de 1 a 3 dentro de un paréntesis y un corchete.

    Resolver desigualdades compuestas con “o”

    Para resolver una desigualdad compuesta con “o”, empezamos tal como lo hicimos con las desigualdades compuestas con “y” —resolvemos las dos desigualdades. Entonces nos encontramos con todos los números que hacen cierta cualquiera de las dos desigualdades.

    Así como Estados Unidos es la unión de todos los 50 estados, la solución será la unión de todos los números que hagan realidad cualquiera de las desigualdades. Para encontrar la solución de la desigualdad compuesta, miramos las gráficas de cada desigualdad, encontramos los números que pertenecen a cualquiera de las gráficas y juntamos todos esos números.

    Para escribir la solución en notación de intervalos, a menudo usaremos el símbolo de unión\(\cup\),, para mostrar la unión de las soluciones mostradas en las gráficas.

    RESOLVER UNA DESIGUALIDAD COMPUESTA CON “
    1. Resolver cada desigualdad.
    2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que cualquiera de las desigualdades sea cierta.
    3. Escribe la solución en notación de intervalos.
    Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

    Resolver\(5−3x\leq −1\) o\(8+2x\leq 5\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Contestar
      \(5−3x\leq −1\) o \(8+2x\leq 5\)
    Resolver cada desigualdad. \(5−3x\leq −1\)   \(8+2x\leq 5\)
      \(−3x\leq −6\)   \(2x\leq −3\)
      \(x\geq 2\) o \(x\leq −\frac{3}{2}\)
    Grafica cada solución. .
    Gráfica números que
    hacen que cualquiera de las desigualdades sea
    verdadera.
    .
      \((−\infty,−32]\cup[2,\infty)\)
    Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(1−2x\leq −3\) o\(7+3x\leq 4\).

    Contestar

    La solución es x es mayor o igual a 2 o x es menor o igual a 1. El gráfico de las soluciones en una recta numérica tiene un círculo cerrado en negativo 1 y sombreado a la izquierda y un círculo cerrado en 2 con sombreado a la derecha. La notación de intervalo es la unión de infinito negativo a negativo 1 dentro de un paréntesis y un paréntesis y 2 e infinito dentro de un paréntesis y un paréntesis.

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(2−5x\leq −3\) o\(5+2x\leq 3\).

    Contestar

    La solución es x es mayor o igual a 1 o x es menor o igual a 1 negativo. El gráfico de las soluciones en una recta numérica tiene un círculo cerrado en negativo 1 y sombreado a la izquierda y un círculo cerrado en 1 con sombreado a la derecha. La notación de intervalo es la unión de infinito negativo a negativo 1 dentro de un paréntesis y un paréntesis y 1 e infinito dentro de un paréntesis y un paréntesis.

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

    Resolver\(\frac{2}{3}x−4\leq 3\) o\(\frac{1}{4}(x+8)\geq −1\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Contestar
      \(\frac{2}{3}x−4\leq 3\) o \(\frac{1}{4}(x+8)\geq −1\)
    Resolver cada
    desigualdad.
    \(3(\frac{2}{3}x−4)\leq 3(3)\)   \(4⋅\frac{1}{4}(x+8)\geq 4⋅(−1)\)
      \(2x−12\leq 9\)   \(x+8\geq −4\)
      \(2x\leq 21\)   \(x\geq −12\)
      \(x\leq \frac{21}{2}\)    
      \(x\leq \frac{21}{2}\) o \(x\geq −12\)
    Grafica cada
    solución.
    .
    Gráfica números
    que hacen que cualquiera de
    las desigualdades sea verdadera.
    .
      La solución cubre todos los números reales.
      \((−\infty ,\infty )\)
    Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(\frac{3}{5}x−7\leq −1\) o\(\frac{1}{3}(x+6)\geq −2\).

    Contestar

    La solución es una identidad. Su solución en la recta numérica está sombreada para todos los valores. La solución en la notación de intervalos es infinito negativo a infinito entre paréntesis.

    Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

    Resolver la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:\(\frac{3}{4}x−3\leq 3\) o\(\frac{2}{5}(x+10)\geq 0\).

    Contestar

    La solución es una identidad. Su solución en la recta numérica está sombreada para todos los valores. La solución en la notación de intervalos es infinito negativo a infinito entre paréntesis.

    Resolver aplicaciones con desigualdades compuestas

    Las situaciones en el mundo real también implican desigualdades compuestas. Utilizaremos la misma estrategia de resolución de problemas que usamos para resolver ecuaciones lineales y aplicaciones de desigualdad.

    Recordemos que las estrategias de resolución de problemas son leer primero el problema y asegurarse de que se entiendan todas las palabras. Después, identificar lo que estamos buscando y asigne una variable para representarlo. A continuación, reafirmar el problema en una frase para que sea fácil traducirlo en una desigualdad compuesta. Por último, resolveremos la desigualdad compuesta.

    Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

    Debido a la sequía en California, muchas comunidades han escalonado las tasas de agua. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que usa el dueño de la propiedad.

    Durante el verano, el dueño de una propiedad pagará $24.72 más $1.54 por hcf por Uso Normal. La factura de Uso Normal estaría entre o igual a $57.06 y $171.02. ¿Cuántos hcf puede usar el propietario si quiere que su uso se mantenga en el rango normal?

    Contestar
    Identificar lo que estamos buscando. El número de hcf que puede usar y permanecer en el rango de facturación de “uso normal”.
    Nombra lo que estamos buscando. Dejar x=x= el número de hcf que puede usar.
    Traducir a una desigualdad. Bill es de $24.72 más $1.54 veces el número de hcf que usa o\(24.72+1.54x\).
     

    \(\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{\text{His bill will be between or equal to }$57.06\text{ and }$171.02.}}}\)

    \(57.06 \leq 24.74 + 1.54x \leq 171.02 \)

    Resolver la desigualdad.

    \(57.06 \leq 24.74 + 1.54x \leq 171.02\)

    \(57.06 \,{\color{red}{- \,24.72}}\leq 24.74 \,{\color{red}{- \,24.72}} + 1.54x \leq 171.02 \,{\color{red}{- \,24.72}}\)

    \( 32.34 \leq 1.54x \leq 146.3\)

    \( \dfrac{32.34}{\color{red}{1.54}} \leq \dfrac{1.54x}{\color{red}{1.54}} \leq \dfrac{146.3}{\color{red}{1.54}}\)

    \( 21 \leq x \leq 95 \)

    Contesta la pregunta. El dueño de la propiedad puede usar\(21–95\) hcf y aún caer dentro del rango de facturación de “uso normal”.
    Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

    Debido a la sequía en California, muchas comunidades ahora tienen tasas de agua escalonadas. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que usa el dueño de la propiedad.

    Durante el verano, el dueño de una propiedad pagará $24.72 más $1.32 por hcf por Uso de Conservación. La factura por Uso de Conservación estaría entre o igual a $31.32 y $52.12. ¿Cuántos hcf puede usar el dueño si quiere que su uso permanezca en el rango de conservación?

    Contestar

    El propietario puede usar\(5–20\) hcf y aún caer dentro del rango de facturación de “uso de conservación”.

    Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

    Debido a la sequía en California, muchas comunidades han escalonado las tasas de agua. Existen diferentes tarifas para Uso de Conservación, Uso Normal y Uso Excesivo. El uso se mide en el número de cien pies cúbicos (hcf) que usa el dueño de la propiedad.

    Durante el invierno, el dueño de una propiedad pagará $24.72 más $1.54 por hcf por Uso Normal. La factura de Uso Normal estaría entre o igual a $49.36 y $86.32. ¿Cuántos hcf se le permitirá usar si quiere que su uso se mantenga en el rango normal?

    Contestar

    El propietario puede usar\(16–40\) hcf y aún así caer dentro del rango de facturación de “uso normal”.

    Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción y práctica adicionales para resolver desigualdades compuestas.

    • Desigualdades compuestas

    Conceptos clave

    • Cómo resolver una desigualdad compuesta con “y”
      1. Resolver cada desigualdad.
      2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. Esta gráfica muestra la solución a la desigualdad compuesta.
      3. Escribe la solución en notación de intervalos.
    • Doble Desigualdad
      • Una doble desigualdad es una desigualdad compuesta como\(a<x<b\). Es equivalente a\(a<x\) y\(x<b.\)

        Otras formas:\ [\ begin {align*} a<x<b & &\ text {es equivalente a} & & a<x\;\ text {y}\; x<b\
        a≤x≤b & &\ text {es equivalente a} & a≤x\;\ text {y}\; x≤b\ \
        a>x>b & &\ text {es equivalente a} & & a>x\;\ text {y}\; x>b\\
        a≥x≥b & &\ text {es equivalente a} & a≥x\;\ text {y}\; x≥b\ end {align*}\]
    • Cómo resolver una desigualdad compuesta con “o”
      1. Resolver cada desigualdad.
      2. Grafica cada solución. Después grafica los números que hacen que cualquiera de las desigualdades sea cierta.
      3. Escribe la solución en notación de intervalos.

    Glosario

    desigualdad compuesta
    Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”.

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