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3.2: Ecuaciones lineales gráficas en dos variables

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Trazar puntos en un sistema de coordenadas rectangular
    • Grafica una ecuación lineal trazando puntos
    • Gráfica de líneas verticales y horizontales
    • Encuentra las \(x\)- y \(y\)-intercepciones
    • Grafica una línea usando las intercepciones
    Antes de empezar

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Evaluar \(5x−4\) cuándo \(x=−1\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Evaluar \(3x−2y\) cuándo \(x=4,y=−3\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Resolver para \(y: 8−3y=20\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Trazar puntos en un sistema de coordenadas rectangulares

    Al igual que los mapas utilizan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones, un sistema de cuadrícula se utiliza en álgebra para mostrar una relación entre dos variables en un sistema de coordenadas rectangular. El sistema de coordenadas rectangulares también se llama el \(xy\)-plano o el “plano de coordenadas”.

    El sistema de coordenadas rectangulares está formado por dos líneas numéricas intersecantes, una horizontal y otra vertical. La línea numérica horizontal se llama \(x\)eje. La línea numérica vertical se llama \(y\)eje. Estos ejes dividen un plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes. Los cuadrantes están identificados por números romanos, comenzando en la parte superior derecha y procediendo en sentido antihorario. Ver Figura \(\PageIndex{1}\).

    Esta figura muestra una cuadrícula cuadrada. Una línea numérica horizontal en el medio se etiqueta x. Una línea numérica vertical en el medio se etiqueta y. Las líneas numétricas se cruzan en cero y juntas dividen la cuadrícula cuadrada en 4 cuadrados más pequeños del mismo tamaño. El cuadrado de la parte superior derecha está etiquetado I. El cuadrado de la parte superior izquierda está etiquetado como II. El cuadrado de la parte inferior izquierda está etiquetado como III. El cuadrado de la parte inferior derecha está etiquetado como IV.
    Figura \(\PageIndex{1}\)

    En el sistema de coordenadas rectangulares, cada punto está representado por un par ordenado. El primer número en el par ordenado es la \(x\)-coordenada del punto, y el segundo número es la \(y\)coordenada del punto. La frase “par ordenado” significa que el orden es importante.

    Par Pedido

    Un par ordenado, \((x,y)\) da las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular. El primer número es la \(x\)coordenada. El segundo número es la \(y\)coordenada.

    Esta figura muestra la expresión (x, y). La variable x se etiqueta coordenada x. La variable y se etiqueta coordenada y.

    ¿Cuál es el par ordenado del punto donde se cruzan los ejes? En ese punto ambas coordenadas son cero, por lo que su par ordenado \((0,0)\)es El punto \((0,0)\) tiene un nombre especial. Se le llama el origen.

    El Origen

    El punto \((0,0)\) se llama el origen. Es el punto donde se cruzan el \(x\)\(y\)eje y el eje.

    Utilizamos las coordenadas para localizar un punto en el \(xy\)-plano. Trazemos el punto \((1,3)\) como ejemplo. Primero, ubique 1 en el \(x\)eje -y dibuje ligeramente una línea vertical a través \(x=1\). Luego, localice \(3\) en el \(y\)eje -y dibuje una línea horizontal a través de \(y=3.\) Ahora, encuentre el punto donde se encuentran estas dos líneas, es decir, el punto con coordenadas \((1,3)\). Ver Figura \(\PageIndex{2}\).

    Esta figura muestra un punto graficado en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de negativo 6 a 6. El punto (1, 3) está etiquetado. Una línea vertical discontinua atraviesa el punto e interseca el eje x en xplus1. Una línea horizontal discontinua atraviesa el punto e interseca el eje y en yplus3.
    Figura \(\PageIndex{2}\)

    Observe que la línea vertical a través \(x=1\) y la línea horizontal a través no \(y=3\) son parte de la gráfica. Simplemente los usamos para ayudarnos a localizar el punto \((1,3)\).

    Cuando una de las coordenadas es cero, el punto se encuentra en uno de los ejes. En \(\PageIndex{3},\) la Figura el punto \((0,4)\) está en el \(y\)eje -y el punto \((−2,0)\) está en el \(x\)eje -.

    Esta figura muestra puntos trazados en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de negativo 6 a 6. El punto (negativo 2, 0) está etiquetado y se encuentra en el eje X. El punto (0, 4) está etiquetado y se encuentra en el eje y.
    Figura \(\PageIndex{3}\)
    PUNTOS EN LOS EJES
    • Los puntos con \(y\)coordenada -igual a \(0\) están en el \(x\)eje -y tienen coordenadas \((a,0)\).
    • Los puntos con \(x\)coordenada -igual a \(0\) están en el \(y\)eje -y tienen coordenadas \((0,b)\).
    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Trazar cada punto en el sistema de coordenadas rectangulares e identificar el cuadrante en el que se encuentra el punto:

    a. \((−5,4\)) b. \((−3,−4)\) c. \((2,−3)\) d. \((0,−1)\) e \((3,\dfrac{5}{2})\).

    Solución

    El primer número del par de coordenadas es la \(x\)coordenada -y el segundo número es la \(y\)coordenada. Para trazar cada punto, dibuje una línea vertical a través de la \(x\)coordenada -y una línea horizontal a través de la \(y\)coordenada. Su intersección es el punto.

    1. Ya que \(x=−5\), el punto está a la izquierda del \(y\)eje -. También, ya que \(y=4\), el punto está por encima del \(x\)eje -. El punto \((−5,4)\) está en el Cuadrante II.
    2. Ya que \(x=−3\), el punto está a la izquierda del \(y\)eje -. También, ya que \(y=−4\), el punto está por debajo del \(x\)eje -. El punto \((−3,−4)\) está en el Cuadrante III.
    3. Ya que \(x=2\), el punto está a la derecha del \(y\)eje -. Dado que \(y=−3\), el punto está por debajo del \(x\)eje -. El punto \((2,−3)\) está en el Cuadrante IV.
    4. Dado que \(x=0\), el punto cuyas coordenadas están \((0,−1)\) está en el \(y\)eje -.
    5. Ya que \(x=3\), el punto está a la derecha del \(y\)eje -. Dado que \(y=\dfrac{5}{2})\), el punto está por encima del \(x\)eje -. (Puede ser útil escribir \(\dfrac{5}{2})\) como un número mixto o decimal.) El punto \((3,\dfrac{5}{2})\) está en el Cuadrante I.

    Esta figura muestra puntos trazados en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de negativo 6 a 6. Se etiquetan los siguientes puntos: (3, 5 dividido por 2), (negativo 2, 3), negativo 5, 4), (negativo 3, negativo 4) y (2, negativo 3).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{1}\)

    Trazar cada punto en un sistema de coordenadas rectangular e identificar el cuadrante en el que se encuentra el punto:

    a. \((−2,1)\) b. \((−3,−1)\) c. \((4,−4)\) d. \((−4,4)\) e. \((−4,\dfrac{3}{2})\)

    Contestar

    Esta figura muestra puntos trazados en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de negativo 6 a 6. El punto etiquetado a es de 2 unidades a la izquierda del origen y 1 unidad por encima del origen y se encuentra en el cuadrante II. El punto etiquetado b es de 3 unidades a la izquierda del origen y 1 unidad por debajo del origen y se ubica en el cuadrante III. El punto etiquetado c es de 4 unidades a la derecha del origen y 4 unidades por debajo del origen y se encuentra en el cuadrante IV. El punto etiquetado d es de 4 unidades a la izquierda del origen y 4 unidades por encima del origen y se ubica en el cuadrante II. El punto etiquetado e es de 4 unidades a la izquierda del origen y 1 unidad y media por encima del origen y se ubica en el cuadrante II.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{2}\)

    Trazar cada punto en un sistema de coordenadas rectangular e identificar el cuadrante en el que se encuentra el punto:

    a. \((−4,1)\) b. \((−2,3)\) c. \((2,−5)\) d. \((−2,5)\) e. \((−3,\dfrac{5}{2})\)

    Contestar

    Esta figura muestra puntos trazados en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de negativo 6 a 6. El punto etiquetado a es de 4 unidades a la izquierda del origen y 1 unidad por encima del origen y se encuentra en el cuadrante II. El punto etiquetado b es de 2 unidades a la izquierda del origen y 3 unidades por encima del origen y se ubica en el cuadrante II. El punto etiquetado c es de 2 unidades a la derecha del origen y 5 unidades por debajo del origen y se ubica en el cuadrante IV. El punto etiquetado d es de 2 unidades a la izquierda del origen y 5 unidades por encima del origen y se ubica en el cuadrante II. El punto etiquetado e es de 3 unidades a la izquierda del origen y 2 unidades y media por encima del origen y se ubica en el cuadrante II.

    Los signos de la \(x\)coordenada y la \(y\)coordenada afectan la ubicación de los puntos. Es posible que hayas notado algunos patrones al graficar los puntos en el ejemplo anterior. Podemos resumir los patrones de signos de los cuadrantes de esta manera:

    CUADRANTOS
    Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV
    \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
    \((+,+)\) \((−,+)\) \((−,−)\) \((+,−)\)

    Esta figura muestra el plano de coordenadas x y con los cuatro cuadrantes etiquetados. En la parte superior derecha del plano está el cuadrante I etiquetado (más, más). En la parte superior izquierda del plano se encuentra el cuadrante II etiquetado (menos, más). En la parte inferior izquierda del plano se encuentra el cuadrante III etiquetado (menos, menos). En la parte inferior derecha del plano se encuentra el cuadrante IV etiquetado (más, menos).

    Hasta ahora, todas las ecuaciones que has resuelto eran ecuaciones con una sola variable. En casi todos los casos, cuando resolvió la ecuación obtuvo exactamente una solución. Pero las ecuaciones pueden tener más de una variable. Las ecuaciones con dos variables pueden ser de la forma \(Ax+By=C\). Una ecuación de esta forma se llama ecuación lineal en dos variables.

    Ecuación lineal

    Una ecuación de la forma \(Ax+By=C\), donde \(A\) y no \(B\) son ambos cero, se llama ecuación lineal en dos variables.

    Aquí hay un ejemplo de una ecuación lineal en dos variables, \(x\) y \(y\).

    \ (\ begin {align*} {\ color {BrickRed} A} x + {\ color {royalBlue} B} y &= {\ color {forestgreen} C}\\ [5pt]
    x+ {\ color {royalBlue} 4} y &= {\ color {forestgreen} 8}\ end {align*}\)

    \({\color{BrickRed}A = 1}\), \({\color{RoyalBlue}B = 4}\), \({\color{forestgreen}C=8}\)

    La ecuación \(y=−3x+5\) es también una ecuación lineal. Pero no parece estar en la forma \(Ax+By=C\). Podemos utilizar la Propiedad Adición de Igualdad y reescribirla en \(Ax+By=C\) forma.

    \[ \begin{array} {lrll} {} &{y} &= &{-3x+5} \\ {\text{Add to both sides.} } &{y+3x} &= &{3x+5+3x} \\ {\text{Simplify.} } &{y+3x} &= &{5} \\ {\text{Use the Commutative Property to put it in} } &{} &{} &{} \\ {Ax+By=C\text{ form.} } &{3x+y} &= &{5} \end{array} \nonumber\]

    Al reescribir \(y=−3x+5\) como \(3x+y=5\), podemos ver fácilmente que es una ecuación lineal en dos variables porque es de la forma \(Ax+By=C\). Cuando una ecuación está en la forma \(Ax+By=C\), decimos que está en forma estándar de una ecuación lineal.

    Forma estándar a de ecuación lineal

    Una ecuación lineal está en forma estándar cuando se escribe \(Ax+By=C\).

    La mayoría de la gente prefiere tener \(A,\) \(B,\) y \(C\) ser enteros y \(A \geq 0\) al escribir una ecuación lineal en forma estándar, aunque no es estrictamente necesario.

    Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Para cada número que se sustituye \(x\) hay un \(y\)-valor correspondiente. Este par de valores es una solución a la ecuación lineal y está representado por el par ordenado \((x,y)\). Cuando sustituimos estos valores de \(x\) y \(y\) en la ecuación, el resultado es una declaración verdadera, porque el valor del lado izquierdo es igual al valor del lado derecho.

    Solución de una ecuación lineal en dos variables

    Un par ordenado \((x,y)\) es una solución de la ecuación lineal \(Ax+By=C\), si la ecuación es una declaración verdadera cuando los \(y\)valores \(x\)- y -del par ordenado se sustituyen en la ecuación.

    Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Podemos trazar estas soluciones en el sistema de coordenadas rectangulares. Los puntos se alinearán perfectamente en línea recta. Conectamos los puntos con una línea recta para obtener la gráfica de la ecuación. Ponemos flechas en los extremos de cada lado de la línea para indicar que la línea continúa en ambas direcciones.

    Una gráfica es una representación visual de todas las soluciones de la ecuación. Es un ejemplo del dicho: “Una imagen vale más que mil palabras”. La línea te muestra todas las soluciones a esa ecuación. Cada punto de la línea es una solución de la ecuación. Y, cada solución de esta ecuación está en esta línea. Esta línea se llama gráfica de la ecuación. ¡Los puntos que no están en juego no son soluciones!

    GRÁFICO DE UNA ECUACIÓN

    La gráfica de una ecuación lineal \(Ax+By=C\) es una línea recta.

    • Cada punto de la línea es una solución de la ecuación.
    • Cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.
    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Se muestra la \(y=2x−3\) gráfica de.

    Esta figura muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea tiene flechas en ambos extremos y pasa por los puntos (negativo 3, negativo 9), (negativo 2, negativo 7), (negativo 1, negativo 5), (0, negativo 3), (1, negativo 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5), (5, 7) y (6, 9). La línea está etiquetada y más 2 x menos 3.

    Para cada par ordenado, decida:

    1. ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación?
    2. ¿Está el punto en la línea?

    A: \((0,−3)\) B: \((3,3)\) C: \((2,−3)\) D: \((−1,−5)\)

    Solución:

    Sustituir los \(y\)valores \(x\)- y -en la ecuación para comprobar si el par ordenado es una solución a la ecuación.

    a.

    El ejemplo A muestra el par ordenado (0, negativo 3). Debajo de esto está la ecuación y más 2 x menos 3. Debajo de esto está la ecuación negativa 3 es igual a 2 por 0 menos 3. Los negativos 3 y 0 se colorean igual que los negativos 3 y 0 en el par ordenado en la parte superior. Hay un signo de interrogación encima del signo más. Debajo de esta está la ecuación negativa 3 más negativa 3. Debajo de esto está el enunciado (0, negativo 3) es una solución. El ejemplo B muestra el par ordenado (3, 3). Debajo de esto está la ecuación y más 2 x menos 3. Debajo de esto está la ecuación 3 es igual a 2 por 3 menos 3. El 3 y 3 están coloreados igual que los 3 y 3 en el par ordenado en la parte superior. Hay un signo de interrogación encima del signo más. Debajo de esta está la ecuación 3 más 3. Debajo de esto está el enunciado (3, 3) es una solución. El ejemplo C muestra el par ordenado (2, negativo 3). Debajo de esto está la ecuación y más 2 x menos 3. Debajo de esto está la ecuación negativa 3 es igual a 2 por 2 menos 3. Los negativos 3 y 2 están coloreados igual que los negativos 3 y 2 en el par ordenado en la parte superior. Hay un signo de interrogación encima del signo más. Debajo de esto está la desigualdad negativa 3 no es igual a 1. Debajo de esto está la afirmación (2, negativo 3) no es una solución. El ejemplo D muestra el par ordenado (negativo 1, negativo 5). Debajo de esto está la ecuación y más 2 x menos 3. Bajo esto está la ecuación negativa 5 es igual a 2 veces menos 1 menos 3. El negativo 1 y el negativo 5 se colorean igual que el negativo 1 y el negativo 5 en el par ordenado en la parte superior. Hay un signo de interrogación encima del signo más. Debajo de esta está la ecuación negativa 5 más negativa 5. Debajo de esto está la afirmación (negativo 1, negativo 5) es una solución.

    b. Trazar los puntos \((0,−3)\)\((3,3)\),, \((2,−3)\), y \((−1,−5)\).

    Esta figura muestra la gráfica de la ecuación lineal y más 2 x menos 3 y algunos puntos graficados en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea tiene flechas en ambos extremos y pasa por los puntos (negativo 1, negativo 5), (0, negativo 3), y (3, 3). El punto (2, negativo 3) también está graficado pero no en la línea.

    Los puntos \((0,3)\), \((3,−3)\), y \((−1,−5)\) están en la línea \(y=2x−3\), y el punto no \((2,−3)\) está en la línea.

    Los puntos a los que son soluciones \(y=2x−3\) están en la línea, pero el punto que no es una solución no está en la línea.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{3}\)

    Utilice gráfica de \(y=3x−1\). Para cada par ordenado, decida:

    a. ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación?
    b. ¿Está el punto en la línea?

    A \((0,−1)\) B \((2,5)\)

    Esta figura muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea tiene flechas en ambos extremos y pasa por los puntos (negativo 3, negativo 10), (negativo 2, negativo 7), (negativo 1, negativo 4), (0, negativo 1), (1, 2), (2, 5), y (3, 8). La línea está etiquetada y más 3 x menos 1.

    Contestar

    a. sí b. sí

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{4}\)

    Utilice gráfica de \(y=3x−1\). Para cada par ordenado, decida:

    a. ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación?
    b. ¿Está el punto en la línea?

    A\((3,−1)\) B\((−1,−4)\)

    Esta figura muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea tiene flechas en ambos extremos y pasa por los puntos (negativo 3, negativo 10), (negativo 2, negativo 7), (negativo 1, negativo 4), (0, negativo 1), (1, 2), (2, 5), y (3, 8). La línea está etiquetada y más 3 x menos 1.

    Contestar

    a. no b. sí

    Grafica una ecuación lineal trazando puntos

    Existen varios métodos que se pueden utilizar para graficar una ecuación lineal. El primer método que usaremos se llama puntos de trazado, o el método de trazado de puntos. Encontramos tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación y luego las trazamos en un sistema de coordenadas rectangular. Al conectar estos puntos en una línea, tenemos la gráfica de la ecuación lineal.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\): Cómo graficar una ecuación lineal trazando puntos

    Grafica la ecuación \(y=2x+1\) trazando puntos.

    Solución:

    El paso 1 es Encontrar tres puntos cuyas coordenadas sean soluciones a la ecuación. Puedes elegir cualquier valor para x o y En este caso dado que y está aislado en el lado izquierdo de las ecuaciones, es más fácil elegir valores para x. eligiendo x más 0. Sustituimos esto en la ecuación y más 2 x más 1 para obtener y más 2 veces 0 más 1. Esto simplifica a y más 0 más 1. Así y más 1. Elección de x más 1. Sustituimos esto en la ecuación y más 2 x más 1 para obtener y más 2 veces 1 más 1. Esto simplifica a y plus 2 más 1. Así y más 3. Elegir x más negativo 2. Sustituimos esto en la ecuación y más 2 x más 1 para obtener y más 2 veces negativo 2 más 1. Esto simplifica a y más negativo 4 más 1. El y más negativo 3. A continuación queremos organizar las soluciones en una mesa. Para este problema pondremos las tres soluciones que acabamos de encontrar en una tabla. La tabla tiene 5 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de título con la ecuación y más 2 x más 1. La segunda fila es una fila de encabezado con los encabezados x, y, y (x, y). La tercera fila tiene los números 0, 1 y (0, 1). La cuarta fila tiene los números 1, 3 y (1, 3). La quinta fila tiene los números negativos 2, negativo 3 y (negativo 2, negativo 3).El paso 2 es trazar los puntos en un sistema de coordenadas rectangular. Parcela: (0, 1), (1, 3), (negativo 2, negativo 3). A continuación, la figura muestra una gráfica de algunos puntos trazados en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de negativo 6 a 6. Se trazan los puntos (0, 1), (1, 3) y (negativo 2, negativo 3). Verifica que los puntos se alineen. Si no lo hacen, ¡revise cuidadosamente su trabajo! ¿El punto se alinea? Sí, los puntos de este ejemplo se alinean.El paso 3 es trazar la línea a través de los tres puntos. Extiende la línea para llenar la rejilla y coloca flechas en ambos extremos de la línea. Esta línea es la gráfica de y más 2 x más 1. La figura muestra la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 6 a 6. Se trazan los puntos (negativo 2, negativo 3), (0, 1) y (1, 3). La línea recta pasa por los tres puntos y tiene flechas en ambos extremos.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{5}\)

    Grafica la ecuación trazando puntos: \(y=2x−3\).

    Contestar

    Esta figura muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. La línea pasa por los puntos (negativo 2, negativo 7), (negativo 1, negativo 5), (0, negativo 3), (1, negativo 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5), y (5, 7).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{6}\)

    Grafica la ecuación trazando puntos: \(y=−2x+4\).

    Contestar

    Esta figura muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. La línea pasa por los puntos (negativo 2, 8), (negativo 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, negativo 2), (4, negativo 4), (5, negativo 6) y (6, negativo 8).

    Los pasos a seguir al graficar una ecuación lineal trazando puntos se resumen aquí.

    GRÁFICA UNA ECUACIÓN LINEAL POR PUNTOS
    1. Encuentra tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación. Organícelos en una mesa.
    2. Trazar los puntos en un sistema de coordenadas rectangular. Verifica que los puntos se alineen. Si no lo hacen, revise cuidadosamente su trabajo.
    3. Dibuja la línea a través de los tres puntos. Extiende la línea para llenar la rejilla y coloca flechas en ambos extremos de la línea.

    Es cierto que sólo se necesitan dos puntos para determinar una línea, pero es un buen hábito usar tres puntos. Si solo trazar dos puntos y uno de ellos es incorrecto, aún se puede trazar una línea pero no representará las soluciones a la ecuación. Será la línea equivocada.

    Si usas tres puntos, y uno es incorrecto, los puntos no se alinearán. Esto te dice que algo anda mal y necesitas revisar tu trabajo. Mira la diferencia entre estas ilustraciones.

    En la figura se muestran dos imágenes. En la primera imagen hay tres puntos con una línea recta que atraviesa los tres. En la segunda imagen hay tres puntos que no todos yacen en línea recta.

    Cuando una ecuación incluye una fracción como el coeficiente de todavía \(x,\) podemos sustituir cualquier número para \(x.\) Pero la aritmética es más fácil si hacemos “buenas” elecciones para los valores de De \(x.\) esta manera evitaremos respuestas fraccionarias, que son difíciles de graficar con precisión.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Gráfica la ecuación: \(y=\frac{1}{2}x+3\).

    Solución:

    Encuentra tres puntos que son soluciones a la ecuación. Ya que esta ecuación tiene la fracción \(\dfrac{1}{2}\) como coeficiente de \(x,\) elegiremos valores de \(x\) cuidadosamente. Usaremos cero como una opción y múltiplos de \(2\) para las otras opciones. ¿Por qué los múltiplos de dos son una buena opción para los valores de \(x\)? Al elegir múltiplos de \(2\) la multiplicación por \(\dfrac{1}{2}\) simplifica a un número entero

    El primer conjunto de ecuaciones comienza con x más 0. Debajo de esto está la ecuación y más 1 mitad x más 3. Bajo esto está la ecuación y más 1 mitad por 0 más 3. Debajo de esta está la ecuación y más 0 más 3. Debajo de esta está la ecuación y más 3. El segundo conjunto de ecuaciones comienza con x más 2. Debajo de esto está la ecuación y más 1 mitad x más 3. Bajo esto está la ecuación y más 1 mitad por 2 más 3. Debajo de esta está la ecuación y más 1 más 3. Debajo de esta está la ecuación y más 4. El tercer conjunto de ecuaciones comienza con x más 4. Debajo de esto está la ecuación y más 1 mitad x más 3. Bajo esto está la ecuación y más 1 mitad por 4 más 3. Debajo de esta está la ecuación y más 2 más 3. Debajo de esta está la ecuación y más 5.

    Los puntos se muestran en la Tabla.

    \(y=\frac{1}{2}x+3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 3 \((0,3)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 5 \((4,5)\)

    Trazar los puntos, comprobar que se alinean, y trazar la línea.

    La figura muestra la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 7 a 7. Se trazan los puntos (0, 3), (2, 4) y (4, 5). La línea recta pasa por los tres puntos y tiene flechas en ambos extremos. La línea está etiquetada y más 1 dividida por 2 veces x más 3.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{7}\)

    Gráfica la ecuación: \(y=\frac{1}{3}x−1\).

    Contestar

    Esta figura muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La línea pasa por los puntos (negativo 12, negativo 5), (negativo 9, negativo 4), (negativo 6, negativo 3), (negativo 3, negativo 2), (0, negativo 1), (3, 0), (6, 1), (9, 2), y (12, 3).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{8}\)

    Gráfica la ecuación: \(y=\frac{1}{4}x+2\).

    Contestar

    Esta figura muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La línea pasa por los puntos (negativo 12, negativo 1), (negativo 8, 0), (negativo 4, 1), (0, 2), (4, 3), (8, 4), y (12, 5).

    Gráfica de líneas verticales y horizontales

    Algunas ecuaciones lineales tienen una sola variable. Pueden tener justo \(x\) y no \(y,\) o simplemente \(y\) sin un \(x.\) Esto cambia la forma en que hacemos una tabla de valores para conseguir los puntos a trazar.

    Consideremos la ecuación \(x=−3\). Esta ecuación tiene una sola variable, \(x.\) La ecuación dice que siempre \(x\) es igual a \(−3\), por lo que su valor no depende de \(y.\) No importa cuál sea el valor \(y,\) del valor de \(x\) es siempre \(−3\).

    Entonces, para hacer una tabla de valores, \(−3\) escribe para todos los \(x\)-valores. Después elige cualquier valor para \(y.\) Ya que \(x\) no depende de \(y,\) puedes elegir cualquier número que te guste. Pero para ajustar los puntos en nuestra gráfica de coordenadas, usaremos 1, 2 y 3 para las \(y\)coordenadas. Ver Tabla.

    \(x=−3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \(−3\) 1 \((−3,1)\)
    \(−3\) 2 \((−3,2)\)
    \((−3,)\) 3 \((−3,3)\)

    Trazar los puntos de la mesa y conectarlos con una línea recta. Observe que hemos graficado una línea vertical.

    La figura muestra la gráfica de una línea vertical recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 7 a 7. Se trazan los puntos (negativo 3, 1), (negativo 3, 2) y (negativo 3, 3). La línea pasa por los tres puntos y tiene flechas en ambos extremos. La línea está etiquetada x más negativo 3.

    ¿Y si la ecuación tiene \(y\) pero no \(x\)? Vamos a graficar la ecuación \(y=4\). Esta vez el valor y-es una constante, por lo que en esta ecuación, \(y\) no depende de \(x.\) Rellenar \(4\) para todas las \(y\)'s en Tablay luego elegir cualquier valor para \(x.\) Usaremos 0, 2, y 4 para las \(x\)-coordenadas.

    \(y=4\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 4 \((0,4)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 4 \((4,4)\)

    En esta figura, hemos graficado una línea horizontal que pasa por el \(y\)eje -en \(4.\)

    La figura muestra la gráfica de una línea horizontal recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 7 a 7. Se trazan los puntos (0, 4), (2, 4) y (4, 4). La línea pasa por los tres puntos y tiene flechas en ambos extremos. La línea está etiquetada y más 4.

    Líneas verticales y horizontales

    Una línea vertical es la gráfica de una ecuación de la forma \(x=a\).

    La línea pasa a través del \(x\)eje en \((a,0)\).

    Una línea horizontal es la gráfica de una ecuación de la forma \(y=b\).

    La línea pasa a través del \(y\)eje en \((0,b)\).

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Gráfica: a. \(x=2\) b \(y=−1\).

    Solución

    a. la ecuación tiene una sola variable, \(x,\) y siempre \(x\) es igual a \(2.\) Creamos una tabla donde \(x\) está siempre \(2\) y luego ponemos en cualquier valor para \(y.\) La gráfica es una línea vertical que pasa por el \(x\)eje -en \(2.\)

    \(x=2\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \ (x\)” data-valign="middle">2 \ (y\)” data-valign="middle">1 \ ((x, y)\)” data-valign="middle">\((2,1)\)
    \ (x\)” data-valign="middle">2 \ (y\)” data-valign="middle">2 \ ((x, y)\)” data-valign="middle">\((2,2)\)
    \ (x\)” data-valign="middle">2 \ (y\)” data-valign="middle">3 \ ((x, y)\)” data-valign="middle">\((2,3)\)

    La figura muestra la gráfica de una línea vertical recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 7 a 7. Se trazan los puntos (2, 1), (2, 2) y (2, 3). La línea pasa por los tres puntos y tiene flechas en ambos extremos. La línea está etiquetada x más 2.

    b. Del mismo modo, la ecuación \(y=−1\) tiene una sola variable, \(y\). El valor de \(y\) es constante. Todos los pares ordenados en la siguiente tabla tienen la misma \(y\)coordenada. La gráfica es una línea horizontal que pasa a través del \(y\)eje -en \(−1.\)

    \(y=−1\)
    \(\mathbf{x}\) \(\mathbf{ y}\) \(\mathbf{(x,y)}\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="medio">0 \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="medio">\((0,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">3 \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="medio">\((3,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="medio">\(−3\) \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="medio">\((−3,−1)\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{9}\)

    Graph las ecuaciones: a. \(x=5\) b \(y=−4\).

    Contestar

    a.

    La figura muestra la gráfica de una línea vertical recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La línea pasa por los puntos (5, negativo 3), (5, negativo 2), (5, negativo 1), (5, 0), (5, 1), (5, 2), y (5, 3).

    b.

    La figura muestra la gráfica de una línea horizontal recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La línea pasa por los puntos (negativo 3, negativo 4), (negativo 2, negativo 4), (negativo 1, negativo 4), (0, negativo 4), (1, negativo 4), (2, negativo 4), y (3, negativo 4).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{10}\)

    Graph las ecuaciones: a. \(x=−2\) b \(y=3\).

    Contestar

    a.

    La figura muestra la gráfica de una línea vertical recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La línea pasa por los puntos (negativo 2, negativo 3), (negativo 2, negativo 2), (negativo 2, negativo 1), (negativo 2, 0), (negativo 2, 1), (negativo 2, 2), y (negativo 2, 3).

    b.

    La figura muestra la gráfica de una línea horizontal recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La línea pasa por los puntos (negativo 3, 3), (negativo 2, 3), (negativo 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), y (3, 3).

    ¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones \(y=4x\) y \(y=4\)?

    La ecuación \(y=4x\) tiene ambos \(x\) y \(y.\) El valor de \(y\) depende del valor de \(x,\) por lo que la \(y\)-coordenada cambia de acuerdo con el valor de \(x.\) La ecuación \(y=4\) tiene una sola variable. El valor de \(y\) es constante, no depende del valor de \(x,\) por lo que la \(y\)coordenada -es siempre \(4.\)

    Esta cifra tiene dos tablas. La primera tabla tiene 5 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de título con la ecuación y más 4 x La segunda fila es una fila de cabecera con los encabezados x, y, y (x, y). La tercera fila tiene los números 0, 0 y (0, 0). La cuarta fila tiene los números 1, 4 y (1, 4). La quinta fila tiene los números 2, 8 y (2, 8). La segunda tabla tiene 5 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de título con la ecuación y más 4. La segunda fila es una fila de encabezado con los encabezados x, y, y (x, y). La tercera fila tiene los números 0, 4 y (0, 4). La cuarta fila tiene los números 1, 4 y (1, 4). La quinta fila tiene los números 2, 4 y (2, 4). La figura muestra las gráficas de una línea horizontal recta y una recta inclinada en el mismo plano de coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 7 a 7. La línea horizontal pasa por los puntos (0, 4), (1, 4), y (2,4) y está etiquetada y más 4. La línea inclinada pasa por los puntos (0, 0), (1, 4), y (2, 8) y está etiquetada y más 4 x.

    Observe, en la gráfica, la ecuación \(y=4x\) da una línea inclinada, mientras que \(y=4\) da una línea horizontal.

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Gráfica \(y=−3x\) y \(y=−3\) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

    Solución:

    Notamos que la primera ecuación tiene la variable \(x,\) mientras que la segunda no. Hacemos una tabla de puntos para cada ecuación y luego graficamos las líneas. Se muestran las dos gráficas.

    Esta cifra tiene dos tablas. La primera tabla tiene 5 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de título con la ecuación y más negativo 3 x La segunda fila es una fila de cabecera con los encabezados x, y, y (x, y). La tercera fila tiene los números 0, 0 y (0, 0). La cuarta fila tiene los números 1, negativo 3 y (1, negativo 3). La quinta fila tiene los números 2, menos 6 y (2, negativo 6). La segunda tabla tiene 5 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de título con la ecuación y más negativo 3. La segunda fila es una fila de encabezado con los encabezados x, y, y (x, y). La tercera fila tiene los números 0, negativo 3 y (0, negativo 3). La cuarta fila tiene los números 1, negativo 3 y (1, negativo 3). La quinta fila tiene los números 2, negativo 3, y (2, negativo 3).

    La figura muestra las gráficas de una línea horizontal recta y una recta inclinada en el mismo plano de coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 7 a 7. La línea horizontal pasa por los puntos (0, negativo 3), (1, negativo 3), y (2, negativo 3) y se etiqueta y más negativo 3. La línea inclinada pasa por los puntos (0, 0), (1, negativo 3), y (2, negativo 6) y se etiqueta y más negativo 3 x.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{11}\)

    Grafica las ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares: \(y=−4x\) y \(y=−4\).

    Contestar

    La figura muestra las gráficas de una línea horizontal recta y una recta inclinada en el mismo plano de coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La línea horizontal pasa por los puntos (0, negativo 4), (1, negativo 4), y (2, negativo 4). La línea inclinada pasa por los puntos (0, 0), (1, negativo 4), y (2, negativo 8).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{12}\)

    Grafica las ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares: \(y=3\)y \(y=3x\).

    Contestar

    La figura muestra las gráficas de una línea horizontal recta y una recta inclinada en el mismo plano de coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La línea horizontal pasa por los puntos (0, 3), (1, 3) y (2, 3). La línea inclinada pasa por los puntos (0, 0), (1, 3), y (2, 6).

    Buscar \(x\)e \(y\)interceptar

    Cada ecuación lineal puede ser representada por una línea única que muestra todas las soluciones de la ecuación. Hemos visto que al graficar una línea trazando puntos, se puede utilizar cualquiera de las tres soluciones para graficar. Esto significa que dos personas que grafican la línea podrían usar diferentes conjuntos de tres puntos.

    A primera vista, sus dos líneas podrían no parecer las mismas, ya que tendrían diferentes puntos etiquetados. Pero si todo el trabajo se hizo correctamente, las líneas deberían ser exactamente las mismas. Una forma de reconocer que efectivamente son la misma línea es mirar dónde la línea cruza el \(x\)eje y el \(y\)eje. Estos puntos se denominan las intercepciones de una línea.

    INTERCEPCIONES DE UNA LÍNEA

    Los puntos donde una línea cruza el \(x\)eje -y el \(y\)-eje se denominan intercepciones de la línea.

    Echemos un vistazo a las gráficas de las líneas.

    La figura muestra cuatro gráficas de diferentes ecuaciones. En ejemplo a la gráfica de 2 x más y más 6 se grafica en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. Se trazan y etiquetan los puntos (0, 6) y (3, 0). Una línea recta atraviesa ambos puntos y tiene flechas en ambos extremos. En el ejemplo b la gráfica de 3 x menos 4 y más 12 se grafica en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. Los puntos (0, negativo 3) y (4, 0) se trazan y etiquetan. Una línea recta atraviesa ambos puntos y tiene flechas en ambos extremos. En el ejemplo c la gráfica de x menos y más 5 se grafica en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. Se trazan y etiquetan los puntos (0, menos 5) y (5, 0). Una línea recta atraviesa ambos puntos y tiene flechas en ambos extremos. En el ejemplo d la gráfica de y más negativo 2 x se grafica en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. El punto (0, 0) se traza y se etiqueta. Una línea recta pasa por este punto y los puntos (negativos 1, 2) y (1, negativo 2) y tiene flechas en ambos extremos.

    Primero, observe donde cada una de estas líneas cruza el \(x\)eje. Ver Tabla.

    Ahora, veamos los puntos donde estas líneas cruzan el \(y\)eje -.

    Figura La línea cruza
    el \(x\)eje -en:    		 Par ordenado
    para este punto    		 La línea cruza
    el eje yen:    		 Par ordenado
    para este punto
    Figura (a) \ (x\) -axis en:” data-valign="middle">\(3\) \((3,0)\) \(6\) \((0,6)\)
    Figura (b) \ (x\) -axis en:” data-valign="middle">\(4\) \((4,0)\) \(−3\) \((0,−3)\)
    Figura (c) \ (x\) -axis en:” data-valign="middle">\(5\) \((5,0)\) \(−5\) \((0,5)\)
    Figura (d) \ (x\) -axis en:” data-valign="middle">\(0\) \((0,0)\) \(0\) \((0,0)\)
    Figura General \ (x\) -axis en:” data-valign="middle">\(a\) \((a,0)\) \(b\) \((0,b)\)

    ¿Ves un patrón?

    Para cada línea, la \(y\)-coordenada del punto donde la línea cruza el \(x\)eje -es cero. El punto donde la línea cruza el \(x\)eje -tiene la forma \((a,0)\) y se denomina \(x\)-intercepción de la línea. La \(x\)-intercepción ocurre cuando \(y\) es cero.

    En cada línea, la coordenada \(x\)-del punto donde la línea cruza el \(y\)eje -es cero. El punto donde la línea cruza el \(y\)eje -tiene la forma \((0,b)\) y se denomina \(y\)-intercepción de la línea. La \(y\)-intercepción ocurre cuando \(x\) es cero.

    Intercepciones de una línea

    El \(x\)-intercepto es el punto \((a,0)\) donde la línea cruza el \(x\)eje.

    El \(y\)-intercepto es el punto \((0,b)\) donde la línea cruza el \(y\)eje.

    La tabla tiene 3 filas y 2 columnas. La primera fila es una fila de encabezado con los encabezados x e y La segunda fila contiene a y 0. La tercera fila contiene 0 y b.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Encuentra las \(y\)intercepciones \(x\)- y -en cada gráfica mostrada.

    La figura tiene tres gráficas. La figura a muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. La línea pasa por los puntos (negativo 8, 6), (negativo 4, 4), (0, 2), (4, 0), (8, negativo 2). La figura b muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. La línea pasa por los puntos (0, menos 6), (2, 0), y (4, 6). La figura c muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. La línea pasa por los puntos (negativo 5, 0), (negativo 3, negativo 3), (0, negativo 5), (1, negativo 6), y (2, negativo 7).

    Solución:

    a. La gráfica cruza el \(x\)eje -en el punto \((4,0)\). La x-intercepción es \((4,0)\).
    La gráfica cruza el \(y\)eje -en el punto \((0,2)\). El \(y\)-intercepto es \((0,2)\).

    b. La gráfica cruza el \(x\)eje -en el punto \((2,0)\). El \(x\)-intercepto es \((2,0)\).
    La gráfica cruza el \(y\)eje -en el punto \((0,−6)\). El \(y\)-intercepto es \((0,−6)\).

    c. La gráfica cruza el \(x\)eje -en el punto \((−5,0)\). El \(x\)-intercepto es \((−5,0)\).
    La gráfica cruza el \(y\)eje -en el punto \((0,−5)\). El \(y\)-intercepto es \((0,−5)\).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{13}\)

    Encuentra las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -en la gráfica.

    Esta figura a muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea pasa por los puntos (negativo 6, negativo 8), (negativo 4, negativo 6), (negativo 2, negativo 4), (0, negativo 2), (2, 0), (4, 2), (6, 4), (8, 6).

    Contestar

    \(x\)-interceptar: \((2,0)\),
    \(y\)-interceptar: \((0,−2)\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{14}\)

    Encuentra las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -en la gráfica.

    Esta figura a muestra una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea pasa por los puntos (negativo 6, 6), (negativo 3, 4), (0, 2), (3, 0), (6, negativo 2), y (9, negativo 4).

    Contestar

    \(x\)-interceptar: \((3,0)\),
    \(y\)-interceptar: \((0,2)\)

    Reconocer que la\(x\)-intercepción ocurre cuando \(y\)  es cero y que la\(y\)-intercepción ocurre cuando \(x\)  es cero, nos da un método para encontrar las interceptaciones de una línea a partir de su ecuación. Para encontrar la \(x\)-intercepción, dejar \(y=0\) y resolver para \(x.\) Para  encontrar la\(y\)-intercepción, dejar \(x=0\) y resolver para \(y.\)

    Encontrar interceptaciones a partir de la ecuación de una línea

    Usa la ecuación de la recta. Para encontrar:

    • la \(x\)-intercepción de la línea, dejar \(y=0\) y resolver para \(x\).
    • la \(y\)-intercepción de la línea, dejar \(x=0\) y resolver para \(y\).
    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Encuentra las interceptaciones de \(2x+y=8\).

    Solución:

    \(y=0\) Dejaremos encontrar el \(x\)-intercepto, y dejaremos \(x=0\) encontrar el \(y\)-intercepto. Llenaremos una mesa, que nos recuerda lo que necesitamos encontrar.

    La figura tiene una tabla con 4 filas y 2 columnas. La primera fila es una fila de título con la ecuación 2 x más y más 8. La segunda fila es una fila de encabezado con los encabezados x e y La tercera fila está etiquetada con x-intercept y tiene la primera columna en blanco y un 0 en la segunda columna. La cuarta fila está etiquetada con y-intercept y tiene un 0 en la primera columna y la segunda columna en blanco.
    Para encontrar el \(x\)-intercepto, vamos \(y=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Vamos \(y=0\). \(2x+{\color{red}0}=8\)
    Simplificar. \(2x=8\)
      \(x=4\)
    La \(x\)-intercepción es: \((4,0)\)
    Para encontrar el \(y\)-intercepto, vamos \(x=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Vamos \(x=0\). \(2 ( {\color{red}0}) + y = 8\)
    Simplificar. \(0 + y = 8\)
      \(y=8\)
    La \(y\)-intercepción es: \((0,8)\)

    Los interceptos son los puntos \((4,0)\) y \((0,8)\) como se muestra en la tabla.

    \(2x+y=8\)
    \(x\) \(y\)
    4 0
    0 8
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{15}\)

    Encuentra los interceptos: \(3x+y=12\).

    Contestar

    \(x\)-interceptar: \((4,0)\),
    \(y\)-interceptar: \((0,12)\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{16}\)

    Encuentra los interceptos: \(x+4y=8\).

    Contestar

    \(x\)-interceptar: \((8,0)\),
    \(y\)-interceptar: \((0,2)\)

    Grafica una línea usando las intercepciones

    Para graficar una ecuación lineal trazando puntos, es necesario encontrar tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación. Puedes usar los interceptos x e y como dos de tus tres puntos. Encuentra las intercepciones, y luego encuentra un tercer punto para asegurar la precisión. Asegúrese de que los puntos se alineen y luego dibuje la línea. Este método suele ser la forma más rápida de graficar una línea.

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\): Cómo graficar una línea usando los interceptos

    Gráfica \(–x+2y=6\) utilizando los interceptos.

    Solución:

    El paso 1 es encontrar las interceptaciones x e y de la línea. Para encontrar la interceptación x deja y más 0 y resuelve para x La ecuación negativa x más 2 y más 6 se vuelve negativa x más 2 veces 0 más 6. Esto simplifica a negativo x más 6. Esto equivale a x más negativo 6. La intercepción x es (negativo 6, 0). Para encontrar la intercepción y deje x más 0 y resuelva para y La ecuación negativa x más 2 y más 6 se convierte en negativa 0 más 2 y más 6. Esto simplifica a negativo 2 y más 6. Esto equivale a y más 3. La intercepción y es (0, 3).El paso 2 es encontrar otra solución a la ecuación. Usaremos x más 2. La ecuación negativa x más 2 y más 6 se convierte en negativa 2 más 2 y más 6. Esto simplifica a 2 y más 8. Esto equivale a y más 4. El tercer punto es (2, 4).El paso 3 es trazar los tres puntos. En la figura se muestra una tabla con 4 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de encabezado con los encabezados x, y, y (x, y). La segunda fila contiene menos 6, 0, y (negativo 6, 0). La tercera fila contiene 0, 3 y (0, 3). La cuarta fila contiene 2, 4 y (2, 4). La figura también tiene una gráfica de los tres puntos en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 6 a 6. Los tres puntos (menos 6, 0), (0, 3) y (2, 4) se trazan y etiquetan.El paso 4 es trazar la línea. La figura muestra una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 6 a 6. La recta pasa por los puntos (negativo 6, 0), (0, 3), y (2, 4).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{17}\)

    Gráfica utilizando los interceptos: \(x–2y=4\).

    Contestar

    La figura muestra una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 4, negativo 4), (negativo 2, negativo 3), (0, negativo 2), (2, negativo 1), (4, 0), (6, 1), y (8, 2).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{18}\)

    Gráfica utilizando los interceptos: \(–x+3y=6\).

    Contestar

    La figura muestra una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La recta pasa por los puntos (negativo 9, negativo 1), (negativo 6, 0), (negativo 3, 1), (0, 2), (3, 3), (6, 4), y (9, 5).

    Los pasos para graficar una ecuación lineal utilizando los interceptos se resumen aquí.

    GRAFICA UNA ECUACIÓN LINEAL UTILIZANDO
    1. Encuentra las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -de la línea.
      • Vamos y=0y=0 y resolver para \(x\).
      • Vamos x=0x=0 y resolver para \(y\).
    2. Encuentra una tercera solución a la ecuación.
    3. Trazar los tres puntos y comprobar que se alinean.
    4. Dibuja la línea.
    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Gráfica \(4x−3y=12\) utilizando los interceptos.

    Solución:

    Encuentra las intercepciones y un tercer punto.

    Para encontrar la interceptación x deja y más 0 y resuelve para x La ecuación 4 x menos 3 y más 12 se convierte en 4 x menos 3 por 0 más 12. Esto simplifica a negativo 4 x más 12. Esto equivale a x más 3. Para encontrar la intercepción y deja x más 0 y resuelve para y La ecuación 4 x menos 3 y más 12 se convierte en 4 veces 0 menos 3 y más 12. Esto simplifica a negativo 3 y más 12. Esto equivale a y más negativo 4. Para encontrar el tercer punto deja y más 4 y resuelve para x La ecuación 4 x menos 3 y más 12 se convierte en 4 x menos 3 por 4 más 12. Esto simplifica a negativo 4 x más 24. Esto equivale a x más 6.

    Enumeramos los puntos en la tabla y mostramos la gráfica.

    \(4x−3y=12\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    3 0 \((3,0)\)
    0 \(−4\) \((0,−4)\)
    6 4 \((6,4)\)

    La figura muestra una gráfica de la ecuación 4 x menos 3 y más 12 en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de negativo 7 a 7. La recta pasa por los puntos (0, negativo 4), (3, 0), y (6, 4).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{19}\)

    Gráfica utilizando los interceptos: \(5x−2y=10\).

    Contestar

    La figura muestra una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. La recta pasa por los puntos (0, menos 5), (2, 0), y (4, 5).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{20}\)

    Gráfica utilizando los interceptos: \(3x−4y=12\).

    Contestar

    La figura muestra una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 8 a 8. La recta pasa por los puntos (negativo 4, negativo 6), (0, negativo 3), (4, 0), y (8, 3).

    Cuando la línea pasa por el origen, la \(x\)-intercepción y la \(y\)-intercepción son el mismo punto.

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Gráfica \(y=5x\) utilizando los interceptos.

    Solución:

    Para encontrar la intercepción x deja y más 0 y resuelve para x. La ecuación y más 5 x se convierte en 0 más 5 x Esto simplifica a 0 más x. La interceptación x es (0, 0). Para encontrar la intersección y deja x más 0 y resuelve para y La ecuación y más 5 x se convierte en y más 5 veces 0. Esto simplifica a y más 0. La intercepción y también es (0, 0).

    Esta línea sólo tiene un intercepto. Es el punto \((0,0)\).

    Para garantizar la precisión, necesitamos trazar tres puntos. Dado que las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -son el mismo punto, necesitamos dos puntos más para graficar la línea.

    Para encontrar un segundo punto deja x más 1 y resuelve para y La ecuación y más 5 x se convierte en y más 5 veces 1. Esto simplifica a y plus 5. Para encontrar un tercer punto deje x más negativo 1 y resuelva para y La ecuación y más 5 x se convierte en y más 5 veces negativo 1. Esto simplifica a y más negativo 5

    Los tres puntos resultantes se resumen en la tabla.

    \(y=5x\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 0 \((0,0)\)
    1 5 \((1,5)\)
    \(−1\) \(−5\) \((−1,−5)\)

    Trazar los tres puntos, comprobar que se alinean, y trazar la línea.

    La figura muestra una gráfica de la ecuación y más 5 x en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea recta pasa por los puntos (negativo 1, negativo 5), (0, 0), y (1, 5).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{21}\)

    Gráfica utilizando los interceptos: \(y=4x\).

    Contestar

    La figura muestra una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La línea recta pasa por los puntos (negativo 1, negativo 4), (0, 0), y (1, 4).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{22}\)

    Gráfica los interceptos: \(y=−x\).

    Contestar

    La figura muestra una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 12 a 12. La línea recta pasa por los puntos (negativo 1, 1), (0, 0), y (1, negativo 1).

    Conceptos Clave

    • Puntos en los Ejes
      • Los puntos con \(y\)coordenada -igual a \(0\) están en el \(x\)eje -y tienen coordenadas \((a,0)\).
      • Los puntos con \(x\)coordenada -igual a \(0\) están en el \(y\)eje -y tienen coordenadas \((0,b)\).
    • Cuadrante
      Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV
      \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
      \((+,+)\) \((-,+)\) \((-,-)\) \((+,-)\)

      Esta figura muestra el plano de coordenadas x y con los cuatro cuadrantes etiquetados. En la parte superior derecha del plano está el cuadrante I etiquetado (más, más). En la parte superior izquierda del plano se encuentra el cuadrante II etiquetado (menos, más). En la parte inferior izquierda del plano se encuentra el cuadrante III etiquetado (menos, menos). En la parte inferior derecha del plano se encuentra el cuadrante IV etiquetado (más, menos).

    • Gráfica de una ecuación lineal: La gráfica de una ecuación lineal \(Ax+By=C\) es una línea recta.
      Cada punto de la línea es una solución de la ecuación.
      Cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.
    • Cómo graficar una ecuación lineal trazando puntos.
      1. Encuentra tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación. Organícelos en una mesa.
      2. Trazar los puntos en un sistema de coordenadas rectangular. Verifica que los puntos se alineen. Si no lo hacen, revise cuidadosamente su trabajo.
      3. Dibuja la línea a través de los tres puntos. Extiende la línea para llenar la rejilla y coloca flechas en ambos extremos de la línea.
    • \(x\)-intercepción e \(y\)-intercepción de una Línea
      • El \(x\)-intercepto es el punto \((a,0)\) donde la línea cruza el \(x\)eje.
      • El \(y\)-intercepto es el punto \((0,b)\) donde la línea cruza el \(y\)eje.

    La tabla tiene 3 filas y 2 columnas. La primera fila es una fila de encabezado con los encabezados x e y La segunda fila contiene a y 0. La intercepción x ocurre cuando y es cero. La tercera fila contiene 0 y b. La intersección y ocurre cuando x es cero.

    • Encuentra las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -de la Ecuación de una Línea
      • Usa la ecuación de la recta. Para encontrar:
        la \(x\)-intercepción de la línea, dejar \(y=0\) y resolver para \(x.\)
        la \(y\)-intercepción de la línea, dejar \(x=0\) y resolver para \(y.\)
    • Cómo graficar una ecuación lineal utilizando los interceptos.
      1. Encuentra las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -de la línea.
        Dejar \(y=0\) y resolver para \(x.\)
        Dejar \(x=0\) y resolver para \(y.\)
      2. Encuentra una tercera solución a la ecuación.
      3. Trazar los tres puntos y comprobar que se alinean.
      4. Dibuja la línea.

    Glosario

    línea horizontal
    Una línea horizontal es la gráfica de una ecuación de la forma \(y=b.\) La línea pasa a través del \(y\)eje -en \((0,b).\)
    intercepciones de una línea
    Los puntos donde una línea cruza el \(x\)eje -y el \(y\)-eje se denominan intercepciones de la línea.
    ecuación lineal
    Una ecuación de la forma \(Ax+By=C,\) donde \(A\) y no \(B\) son ambos cero, se llama ecuación lineal en dos variables.
    par ordenado
    Un par ordenado, \((x,y),\) da las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular. El primer número es la \(x\)coordenada. El segundo número es la \(y\)coordenada.
    origen
    El punto \((0,0)\) se llama el origen. Es el punto donde se cruzan el \(x\)\(y\)eje y el eje.
    solución de una ecuación lineal en dos variables
    Un par ordenado \((x,y)\) es una solución de la ecuación lineal \(Ax+By=C,\) si la ecuación es una declaración verdadera cuando los \(y\)valores \(x\)- y -del par ordenado se sustituyen en la ecuación.
    forma estándar de una ecuación lineal
    Una ecuación lineal está en forma estándar cuando se escribe \(Ax+By=C.\)
    línea vertical
    Una línea vertical es la gráfica de una ecuación de la forma \(x=a.\) La línea pasa a través del \(x\)eje -en \((a,0).\)

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