3.6: Relaciones y Funciones

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

• Encuentra el dominio y el rango de una relación
• Determinar si una relación es una función
• Encuentra el valor de una función

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Evaluar \(3x−5\) cuándo \(x=−2\).
   Si te perdiste este problema, revisa [link].
2. Evaluar \(2x^2−x−3\) cuándo \(x=a\).
   Si te perdiste este problema, revisa [link].
3. Simplificar: \(7x−1−4x+5\).
   Si te perdiste este problema, revisa [link].

Encuentra el dominio y el rango de una relación

A medida que avanzamos en nuestra vida diaria, tenemos muchos elementos de datos o cantidades que se emparejan con nuestros nombres. Nuestro número de seguro social, número de identificación de estudiante, dirección de correo electrónico, número de teléfono y nuestro cumpleaños coinciden con nuestro nombre. Existe una relación entre nuestro nombre y cada uno de esos artículos.

Cuando tu profesor obtiene su roster de clase, los nombres de todos los estudiantes de la clase se enumeran en una columna y luego es probable que el número de identificación del estudiante esté en la siguiente columna. Si pensamos en la correspondencia como un conjunto de pares ordenados, donde el primer elemento es un nombre de estudiante y el segundo elemento es ese número de identificación del estudiante, llamamos a esto una relación.

\[(\text{Student name}, \text{ Student ID #})\nonumber \]

El conjunto de todos los nombres de los estudiantes en la clase se llama el dominio de la relación y el conjunto de todos los números de identificación de estudiante emparejados con estos estudiantes es el rango de la relación.

Hay muchas situaciones similares en las que una variable está emparejada o emparejada con otra. El conjunto de pares ordenados que registra esta coincidencia es una relación.

Definición: Relación

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, \((x,y)\). Todos los valores xen los pares ordenados juntos conforman el dominio. Todos los valores yen los pares ordenados juntos conforman el rango.

Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

Para la relación \({(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25)}\):

1. Encuentra el dominio de la relación.
2. Encuentra el rango de la relación.

Responder

\[\begin{array} {ll} {} &{ {\{(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25) }\} } \\ {ⓐ\text{ The domain is the set of all x-values of the relation.}} &{ {\{1,2,3,4,5}\} } \\ {ⓑ\text{ The range is the set of all y-values of the relation.}} &{ {\{1,4,9,16,25}\} } \\ \nonumber \end{array}\]

Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

Para la relación \({\{(1,1),(2,8),(3,27),(4,64),(5,125)}\}\):

1. Encuentra el dominio de la relación.
2. Encuentra el rango de la relación.

Contesta a

\({\{1,2,3,4,5}\}\)

Respuesta b

\({\{1,8,27,64,125}\}\)

Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

Para la relación \({\{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15)}\}\):

1. Encuentra el dominio de la relación.
2. Encuentra el rango de la relación.

Contesta a

\({\{1,2,3,4,5}\}\)

Respuesta b

\({\{3,6,9,12,15}\}\)

MAPEO

A veces se usa un mapeo para mostrar una relación. Las flechas muestran el emparejamiento de los elementos del dominio con los elementos del rango.

Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

Utilice el mapeo de la relación mostrada a

1. enumerar los pares ordenados de la relación,
2. encontrar el dominio de la relación, y
3. encontrar el rango de la relación.

Responder

ⓐ La flecha muestra la coincidencia de la persona con su cumpleaños. Creamos pares ordenados con el nombre de la persona como valor xy su cumpleaños como valor y.

{(Alison, 25 de abril), (Penélope, 23 de mayo), (junio, 2 de agosto), (Gregory, 15 de septiembre), (Geoffrey, 12 de enero), (Lauren, 10 de mayo), (Stephen, 24 de julio), (Alice, 3 de febrero), (Liz, 2 de agosto), (Danny, 24 de julio)}

ⓑ El dominio es el conjunto de todos los valores xde la relación.

{Alison, Penélope, Junio, Gregory, Geoffrey, Lauren, Stephen, Alice, Liz, Danny}

ⓒ El rango es el conjunto de todos los valores yde la relación.

{12 de enero, 3 de febrero, 25 de abril, 10 de mayo, 23 de mayo, 24 de julio, 2 de agosto, 15 de septiembre}

Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

Utilice el mapeo de la relación mostrada a

1. enumerar los pares ordenados de la relación
2. encontrar el dominio de la relación
3. encontrar el rango de la relación.

Responder

ⓐ (Khanh Nguyen, kn68413), (Abigail Brown, ab56781), (Sumantha Mishal, sm32479), (José Hern y ez, jh47983)

ⓑ {Khanh Nguyen, Abigail Brown, Sumantha Mishal, José Hern y ez}

ⓒ {kn68413, ab56781, sm32479, jh47983}

Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

Utilice el mapeo de la relación mostrada a

1. enumerar los pares ordenados de la relación
2. encontrar el dominio de la relación
3. encontrar el rango de la relación.

Responder

ⓐ (María, 6 de noviembre), (Brazo y o, 18 de enero), (Cynthia, 8 de diciembre), (Kelly, 15 de marzo), (Rachel, 6 de noviembre)

ⓑ {María, Brazo y O, Cynthia, Kelly, Rachel}

ⓒ {6 de noviembre, 18 de enero, 8 de diciembre, 15 de marzo}

Una gráfica es otra forma de representar una relación. El conjunto de pares ordenados de todos los puntos trazados es la relación. El conjunto de todas las coordenadas xes el dominio de la relación y el conjunto de todas las coordenadas yes el rango. Generalmente escribimos los números en orden ascendente tanto para el dominio como para el rango.

Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

Utilice la gráfica de la relación con

1. enumerar los pares ordenados de la relación
2. encontrar el dominio de la relación
3. encontrar el rango de la relación.

Responder

ⓐ Los pares ordenados de la relación son: \[{\{(1,5),(−3,−1),(4,−2),(0,3),(2,−2),(−3,4)}\}.\nonumber\]

ⓑ El dominio es el conjunto de todos los valores xde la relación: \(\quad {\{−3,0,1,2,4}\}\).

Observe que mientras \(−3\) se repite, solo aparece una vez.

ⓒ El rango es el conjunto de todos los valores yde la relación: \(\quad {\{−2,−1,3,4,5}\}\).

Observe que mientras \(−2\) se repite, solo aparece una vez.

Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

Utilice la gráfica de la relación con

1. enumerar los pares ordenados de la relación
2. encontrar el dominio de la relación
3. encontrar el rango de la relación.
4. 

Responder

ⓐ \((−3,3),(−2,2),(−1,0),\)
\((0,−1),(2,−2),(4,−4)\)
ⓑ \({\{−3,−2,−1,0,2,4}\}\)
ⓒ \({\{3,2,0,−1,−2,−4}\}\)

Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

Utilice la gráfica de la relación con

1. enumerar los pares ordenados de la relación
2. encontrar el dominio de la relación
3. encontrar el rango de la relación.

Responder

ⓐ \((−3,0),(−3,5),(−3,−6),\)
\((−1,−2),(1,2),(4,−4)\)
ⓑ \({\{−3,−1,1,4}\}\)
ⓒ \({\{−6,0,5,−2,2,−4}\}\)

Determinar si una Relación es una Función

Un tipo especial de relación, llamada función, ocurre extensivamente en matemáticas. Una función es una relación que asigna a cada elemento en su dominio exactamente un elemento en el rango. Para cada par ordenado en la relación, cada valor xse corresponde con un solo valor y.

Definición: Función

Una función es una relación que asigna a cada elemento en su dominio exactamente un elemento en el rango.

El ejemplo de cumpleaños de Ejemplonos ayuda a entender esta definición. Toda persona tiene un cumpleaños pero nadie tiene dos cumpleaños. Está bien que dos personas compartan un cumpleaños. ^{Está bien que Danny y Stephen compartan el 24 de julio como su cumpleaños y que junio y Liz compartan el 2 deagosto .} Ya que cada persona tiene exactamente un cumpleaños, la relación en Ejemploes una función.

La relación que muestra la gráfica en Ejemploincluye los pares ordenados \((−3,−1)\) y \((−3,4)\). ¿Eso está bien en una función? No, ya que esto es como que una persona tenga dos cumpleaños diferentes.

Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

Utilice el conjunto de pares ordenados para (i) determinar si la relación es una función (ii) encontrar el dominio de la relación (iii) encontrar el rango de la relación.

1. \({\{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\}\)
2. \({\{(9,−3),(4,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}\}\)

Responder

ⓐ \({\{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\}\)

(i) Cada valor xse corresponde con un solo valor y. Por lo que esta relación es una función.

(ii) El dominio es el conjunto de todos los valores xen la relación.
El dominio es: \({\{−3,−2,−1,0,1,2,3}\}\).

(iii) El rango es el conjunto de todos los valores yen la relación. Observe que no enumeramos los valores de rango dos veces.
El rango es: \({\{27,8,1,0}\}\).

ⓑ \({\{(9,−3),(4,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}\}\)

(i) El valor x9 se corresponde con dos valores y, ambos 3 y \(−3\). Por lo que esta relación no es una función.

(ii) El dominio es el conjunto de todos los valores xen la relación. Observe que no enumeramos los valores de dominio dos veces.
El dominio es: \({\{0,1,2,4,9}\}\).

(iii) El rango es el conjunto de todos los valores yen la relación.
El rango es: \({\{−3,−2,−1,0,1,2,3}\}\).

Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

Utilice el conjunto de pares ordenados para (i) determinar si la relación es una función (ii) encontrar el dominio de la relación (iii) encontrar el rango de la función.

1. \({\{(−3,−6),(−2,−4),(−1,−2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)}\}\)
2. \({\{(8,−4),(4,−2),(2,−1),(0,0),(2,1),(4,2),(8,4)}\}\)

Responder

ⓐ Sí; \({\{−3,−2,−1,0,1,2,3}\}\);
\({\{−6,−4,−2,0,2,4,6}\}\)
ⓑ No; \({\{0,2,4,8}\}\);
\({\{−4,−2,−1,0,1,2,4}\}\)

Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

Utilice el conjunto de pares ordenados para (i) determinar si la relación es una función (ii) encontrar el dominio de la relación (iii) encontrar el rango de la relación.

1. \({\{(27,−3),(8,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)}\}\)
2. \({\{(7,−3),(−5,−4),(8,−0),(0,0),(−6,4),(−2,2),(−1,3)}\}\)

Responder

ⓐ No; \({\{0,1,8,27}\}\);
\({\{−3,−2,−1,0,2,2,3}\}\)
ⓑ Sí; \({\{7,−5,8,0,−6,−2,−1}\}\);
\({\{−3,−4,0,4,2,3}\}\)

Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

Utilice el mapeo para

1. determinar si la relación es una función
2. encontrar el dominio de la relación
3. encontrar el rango de la relación.

Responder

ⓐ Tanto Lydia como Marty tienen dos números de teléfono. Por lo tanto, cada valor xno se corresponde con un solo valor y. Por lo que esta relación no es una función.

ⓑ El dominio es el conjunto de todos los valores xen la relación. El dominio es: {Lydia, Eugene, Janet, Rick, Marty}

ⓒ El rango es el conjunto de todos los valores yen la relación. El rango es:

\({\{321-549-3327, 427-658-2314, 321-964-7324, 684-358-7961, 684-369-7231, 798-367-8541}\}\)

Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

Utilice el mapeo para ⓐ determinar si la relación es una función ⓑ encontrar el dominio de la relación ⓒ encontrar el rango de la relación.

Responder

ⓐ no ⓑ {NBC, HGTV, HBO} ⓒ {Ellen Degeneres Show, Ley y orden, Tonight Show, Property Brothers, House Hunters, Love it or List it, Game of Thrones, True Detective, Barrio Sésamo}

Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

Utilice el mapeo para

1. determinar si la relación es una función
2. encontrar el dominio de la relación
3. encontrar el rango de la relación.

 

Responder

ⓐ No ⓑ {Neal, Krystal, Kelvin, George, Christa, Mike} ⓒ {123-567-4839 trabajo, celda 231-378-5941 , celda 743-469-9731, trabajo 567-534-2970, celda 684-369-7231, celda 798-367-8541, celda 639-847-6971}

En álgebra, la mayoría de las veces, las funciones estarán representadas por una ecuación. Es más fácil ver si la ecuación es una función cuando se resuelve para y. Si cada valor de x resulta en un solo valor de y , entonces la ecuación define una función.

Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

Determina si cada ecuación es una función.

1. \(2x+y=7\)
2. \(y=x^2+1\)
3. \(x+y^2=3\)

Responder

ⓐ \(2x+y=7\)

Para cada valor de x, lo multiplicamos por \(−2\) y luego agregamos 7 para obtener el valor y

Por ejemplo, si \(x=3\):

Tenemos eso cuando \(x=3\), entonces \(y=1\). Funcionaría de manera similar para cualquier valor de x. Ya que cada valor de x, corresponde a un solo valor de yla ecuación define una función.

ⓑ \(y=x^2+1\)

Para cada valor de x, lo cuadramos y luego agregamos 1 para obtener el valor y.

Por ejemplo, si \(x=2\):

Tenemos eso cuando \(x=2\), entonces \(y=5\). Funcionaría de manera similar para cualquier valor de x. Ya que cada valor de x, corresponde a un solo valor de yla ecuación define una función.

ⓒ

Aislar el término y .
Substituyamos \(x=2\).
Esto nos da dos valores para y.	\(y=1\space y=−1\)

Hemos demostrado que cuando \(x=2\), entonces \(y=1\) y \(y=−1\). Funcionaría de manera similar para cualquier valor de x. Dado que cada valor de x no corresponde a un solo valor de y la ecuación no define una función.

Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

Determina si cada ecuación es una función.

1. \(4x+y=−3\)
2. \(x+y^2=1\)
3. \(y−x^2=2\)

Responder

ⓐ sí ⓑ no ⓒ sí

Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

Determina si cada ecuación es una función.

1. \(x+y^2=4\)
2. \(y=x^2−7\)
3. \(y=5x−4\)

Responder

ⓐ no ⓑ sí ⓒ sí

Encontrar el valor de una función

Es muy conveniente nombrar una función y la mayoría de las veces la llamamos f, g, h, F, G, o H. En cualquier función, para cada valor xdel dominio obtenemos un valor y-correspondiente en el rango. Para la función \(f\), escribimos este valor de rango \(y\) como \(f(x)\). Esto se llama notación de función y se lee \(f\) de \(x\) o el valor de \(f\) at \(x\). En este caso los paréntesis no indican multiplicación.

Definición: Notación de función

Para la función \(y=f(x)\)

\[\begin{array} {l} {f\text{ is the name of the function}} \\{x \text{ is the domain value}} \\ {f(x) \text{ is the range value } y \text{ corresponding to the value } x} \\ \nonumber \end{array}\]

Leemos \(f(x)\) a partir \(f\) de \(x\) o el valor de \(f\) al \(x\).

Llamamos a x la variable independiente ya que puede ser cualquier valor en el dominio. Llamamos y a la variable dependiente ya que su valor depende de x .

Variables independientes y dependientes

Para la función \(y=f(x)\),

\[\begin{array} {l} {x \text{ is the independent variable as it can be any value in the domain}} \\ {y \text{ the dependent variable as its value depends on } x} \\ \nonumber \end{array}\]

Al igual que cuando se encontró por primera vez con la variable x, la notación de función puede ser bastante inquietante. Parece extraño porque es nuevo. Te sentirás más cómodo con la notación a medida que la uses.

Echemos un vistazo a la ecuación \(y=4x−5\). Para encontrar el valor de y cuando \(x=2\), sabemos sustituir \(x=2\) en la ecuación y luego simplificar.

Dejar x=2.

El valor de la función en \(x=2\) es 3.

Hacemos lo mismo usando notación de función, la ecuación se \(y=4x−5\) puede escribir como \(f(x)=4x−5\). Para encontrar el valor cuando \(x=2\), escribimos:

Dejar x=2.

El valor de la función en \(x=2\) es 3.

Este proceso de encontrar el valor de \(f(x)\) para un valor dado de x se llama evaluar la función.

Ejemplo \(\PageIndex{19}\)

Para la función \(f(x)=2x^2+3x−1\), evalúe la función.

1. \(f(3)\)
2. \(f(−2)\)
3. \(f(a)\)

Responder

ⓐ

Para evaluar \(f(3)\), sustituya 3 por x.
Simplificar.

ⓑ

Simplificar.

ⓒ

Para evaluar f (a), f (a), sustituya a por x .
Simplificar.

Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

Para la función \(f(x)=3x^2−2x+1\), evalúe la función.

1. \(f(3)\)
2. \(f(−1)\)
3. \(f(t)\)

Responder

ⓐ \(f(3)=22\) ⓑ \(f(−1)=6\) ⓒ \(f(t)=3t^2−2t−1\)

Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

Para la función \(f(x)=2x^2+4x−3\), evalúe la función.

1. \(f(2)\)
2. \(f(−3)\)
3. \(f(h)\)

Responder

ⓐ \((2)=13\) ⓑ \(f(−3)=3\)
ⓒ \(f(h)=2h2+4h−3\)

En el último ejemplo, encontramos \(f(x)\) para un valor constante de x. En el siguiente ejemplo, se nos pide encontrar \(g(x)\) con valores de x que son variables. Seguimos el mismo procedimiento y sustituimos las variables en por la x.

Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

Para la función \(g(x)=3x−5\), evalúe la función.

1. \(g(h^2)\)
2. \(g(x+2)\)
3. \(g(x)+g(2)\)

Responder

ⓐ

Para evaluar \(g(h^2)\), sustituya \(h^2\) por x.

ⓑ

Para evaluar \(g(x+2)\), sustituya \(x+2\) por x.
Simplificar.

ⓒ

Para evaluar \(g(x)+g(2)\), primero encontrar \(g(2)\).
Simplificar.

Observe la diferencia entre part ⓑ y ⓒ. Nosotros conseguimos \(g(x+2)=3x+1\) y \(g(x)+g(2)=3x−4\). Entonces eso lo vemos \(g(x+2)\neq g(x)+g(2)\).

Ejemplo \(\PageIndex{23}\)

Para la función \(g(x)=4x−7\), evalúe la función.

1. \(g(m^2)\)
2. \(g(x−3)\)
3. \(g(x)−g(3)\)

Responder

ⓐ \(4m^2−7\) ⓑ \(4x−19\)
ⓒ \(x−12\)

Ejemplo \(\PageIndex{24}\)

Para la función \(h(x)=2x+1\), evalúe la función.

1. \(h(k^2)\)
2. \(h(x+1)\)
3. \(h(x)+h(1)\)

Responder

ⓐ \(2k^2+1\) ⓑ \(2x+3\)
ⓒ \(2x+4\)

Muchas situaciones cotidianas se pueden modelar usando funciones.

Ejemplo \(\PageIndex{25}\)

El número de correos no leídos en la cuenta de Sylvia es de 75. Este número crece en 10 correos electrónicos no leídos al día. La función \(N(t)=75+10t\) representa la relación entre el número de correos electrónicos, N, y el tiempo, t, medido en días.

1. Determinar la variable independiente y dependiente.
2. Encuentra \(N(5)\). Explica lo que significa este resultado.

Responder

ⓐ El número de correos no leídos es una función del número de días. El número de correos no leídos, N, depende del número de días, t. Por lo tanto, la variable N, es la variable dependiente y la variable tt es la variable independiente.

ⓑ Encuentra \(N(5)\). Explica lo que significa este resultado.

Sustituto en t=5.t=5.
Simplificar.

Dado que 5 es el número de días, \(N(5)\), es el número de correos no leídos después de 5 días. Después de 5 días, hay 125 correos electrónicos no leídos en la cuenta.

Ejemplo \(\PageIndex{26}\)

El número de correos no leídos en la cuenta de Bryan es de 100. Este número crece en 15 correos electrónicos no leídos al día. La función \(N(t)=100+15t\) representa la relación entre el número de correos electrónicos, N, y el tiempo, t, medido en días.

1. Determinar la variable independiente y dependiente.
2. Encuentra \(N(7)]\). Explica lo que significa este resultado.

Responder

ⓐ t IND; N DEP ⓑ 205; el número de correos no leídos en la cuenta de Bryan al séptimo día.

Ejemplo \(\PageIndex{27}\)

El número de correos no leídos en la cuenta de Anthony es de 110. Este número crece en 25 correos electrónicos no leídos al día. La función \(N(t)=110+25t\) representa la relación entre el número de correos electrónicos, N, y el tiempo, t, medido en días.

1. Determinar la variable independiente y dependiente.
2. Encuentra \(N(14)\). Explica lo que significa este resultado.

Responder

ⓐ t IND; N DEP ⓑ 460; el número de correos electrónicos no leídos en la cuenta de Anthony al decimocuarto día

Acceda a este recurso en línea para instrucción y práctica adicional con relaciones y funciones.

• Introducción a las Funciones

Conceptos Clave

• Notación de función: Para la función \(y=f(x)\)
  • f es el nombre de la función
  • x es el valor del dominio
  • \(f(x)\) es el valor de rango y correspondiente al valor x
    Leemos \(f(x)\) como f de x o el valor de f en x .
• Variables independientes y dependientes: Para la función \(y=f(x)\),
  • x es la variable independiente ya que puede ser cualquier valor en el dominio
  • y es la variable dependiente ya que su valor depende de x

Glosario

dominio de una relación

El dominio de una relación son todos los valores xen los pares ordenados de la relación.

función

Una función es una relación que asigna a cada elemento en su dominio exactamente un elemento en el rango.

mapeo

A veces se usa un mapeo para mostrar una relación. Las flechas muestran el emparejamiento de los elementos del dominio con los elementos del rango.

rango de una relación

El rango de una relación es todos los valores yen los pares ordenados de la relación.

relación

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, (x, y). (x, y). Todos los valores xen los pares ordenados juntos conforman el dominio. Todos los valores yen los pares ordenados juntos conforman el rango.