8.3: Simplificar expresiones radicales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

• Usar la propiedad del producto para simplificar expresiones radicales
• Usar la Propiedad Cociente para simplificar expresiones radicales

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar: \(\dfrac{x^{9}}{x^{4}}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.13.
2. Simplificar: \(\dfrac{y^{3}}{y^{11}}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.13.
3. Simplificar: \(\left(n^{2}\right)^{6}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.17.

Utilice la propiedad del producto para simplificar expresiones radicales

Simplificaremos las expresiones radicales de manera similar a cómo simplificamos las fracciones. Una fracción se simplifica si no hay factores comunes en el numerador y denominador. Para simplificar una fracción, buscamos cualquier factor común en el numerador y denominador.

Una expresión radical, \(\sqrt[n]{a}\), se considera simplificada si no tiene factores de \(m^{n}\). Entonces, para simplificar una expresión radical, buscamos cualquier factor en el radicando que sean poderes del índice.

Definición \(\PageIndex{1}\): Expresión Radical Simplificada

Para números reales \(a\) y \(m\), y \(n\geq 2\),

\(\sqrt[n]{a}\) se considera simplificado si no \(a\) tiene factores de \(m^{n}\)

Por ejemplo, \(\sqrt{5}\) se considera simplificado porque no hay factores cuadrados perfectos en \(5\). Pero no \(\sqrt{12}\) se simplifica porque \(12\) tiene un factor cuadrado perfecto de \(4\).

Del mismo modo, \(\sqrt[3]{4}\) se simplifica porque no hay factores de cubo perfecto en \(4\). Pero no \(\sqrt[3]{24}\) se simplifica porque \(24\) tiene un factor cubo perfecto de \(8\).

Para simplificar las expresiones radicales, también utilizaremos algunas propiedades de las raíces. Las propiedades que usaremos para simplificar expresiones radicales son similares a las propiedades de los exponentes. Sabemos que

\[(a b)^{n}=a^{n} b^{n}.\]

El correspondiente de Propiedad de Producto de Raíces dice que

\[\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}.\]

Definición \(\PageIndex{2}\): Propiedad del producto de \(n^{th}\) las raíces

Si \(\sqrt[n]{a}\) y \(\sqrt[n]{b}\) son números reales, y \(n\geq 2\) es un entero, entonces

\(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text { and } \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)

Utilizamos la Propiedad del Producto de Raíces para eliminar todos los factores cuadrados perfectos de una raíz cuadrada.

Ejemplo \(\PageIndex{1}\): Simplificar las raíces cuadradas usando la propiedad del producto de las raíces

Simplificar: \(\sqrt{98}\).

Solución:

Paso 1: Encuentra el factor más grande en el radicando que es una potencia perfecta del índice.	Vemos que \(49\) es el factor más grande de \(98\) que tiene un poder de \(2\).	\(\sqrt{98}\)
Reescribir la radicanda como producto de dos factores, utilizando ese factor.	En otras palabras \(49\) es el factor cuadrado perfecto más grande de \(98\). \(98 = 49\cdot 2\) Escribe siempre el factor cuadrado perfecto primero.	\(\sqrt{49\cdot 2}\)
Paso 2: Usa la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales.		\(\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}\)
Paso 3: Simplifica la raíz del poder perfecto.		\(7\sqrt{2}\)

Pruébalo \(\PageIndex{1}\)

Simplificar: \(\sqrt{48}\)

Responder

\(4 \sqrt{3}\)

Pruébalo \(\PageIndex{2}\)

Simplificar: \(\sqrt{45}\).

Responder

\(3 \sqrt{5}\)

Observe en el ejemplo anterior que la forma simplificada de \(\sqrt{98}\) es \(7\sqrt{2}\), que es el producto de un entero y una raíz cuadrada. Siempre escribimos el entero delante de la raíz cuadrada.

Ten cuidado de escribir tu entero para que no se confunda con el índice. La expresión \(7\sqrt{2}\) es muy diferente de \(\sqrt[7]{2}\).

Simplifique una expresión radical usando la propiedad del producto

1. Encuentra el factor más grande en el radicando que es una potencia perfecta del índice. Reescribir la radicanda como producto de dos factores, utilizando ese factor.
2. Use la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales.
3. Simplifica la raíz de la potencia perfecta.

Aplicaremos este método en el siguiente ejemplo. Puede ser útil tener una mesa de cuadrados perfectos, cubos y cuartos poderes.

Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{500}\)
2. \(\sqrt[3]{16}\)
3. \(\sqrt[4]{243}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{500}\)

Reescribir la radicanda como producto utilizando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(\sqrt{100 \cdot 5}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt{100} \cdot \sqrt{5}\)

Simplificar.

\(10\sqrt{5}\)

b.

\(\sqrt[3]{16}\)

Reescribe el radicando como producto utilizando el mayor factor de cubo perfecto. \(2^{3}=8\)

\(\sqrt[3]{8 \cdot 2}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2}\)

Simplificar.

\(2 \sqrt[3]{2}\)

c.

\(\sqrt[4]{243}\)

Reescribe el radicando como producto utilizando el cuarto factor de potencia perfecto más grande. \(3^{4}=81\)

\(\sqrt[4]{81 \cdot 3}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}\)

Simplificar.

\(3 \sqrt[4]{3}\)

Pruébalo \(\PageIndex{3}\)

Simplificar: a. \(\sqrt{288}\) b. \(\sqrt[3]{81}\) c. \(\sqrt[4]{64}\)

Responder

a. \(12\sqrt{2}\) b. \(3 \sqrt[3]{3}\) c. \(2 \sqrt[4]{4}\)

Pruébalo \(\PageIndex{4}\)

Simplificar: a. \(\sqrt{432}\) b. \(\sqrt[3]{625}\) c. \(\sqrt[4]{729}\)

Responder

a. \(12\sqrt{3}\) b. \(5 \sqrt[3]{5}\) c. \(3 \sqrt[4]{9}\)

El siguiente ejemplo es muy parecido a los ejemplos anteriores, pero con variables. No olvides usar los signos de valor absoluto al tomar una raíz pareja de una expresión con una variable en el radical.

Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{x^{3}}\)
2. \(\sqrt[3]{x^{4}}\)
3. \(\sqrt[4]{x^{7}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{x^{3}}\)

Reescribir la radicanda como producto utilizando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(\sqrt{x^{2} \cdot x}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x}\)

Simplificar.

\(|x| \sqrt{x}\)

b.

\(\sqrt[3]{x^{4}}\)

Reescribe el radicando como producto utilizando el factor de cubo perfecto más grande.

\(\sqrt[3]{x^{3} \cdot x}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}\)

Simplificar.

\(x \sqrt[3]{x}\)

c.

\(\sqrt[4]{x^{7}}\)

Reescribe el radicando como producto utilizando el cuarto factor de potencia perfecto más grande.

\(\sqrt[4]{x^{4} \cdot x^{3}}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[4]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}\)

Simplificar.

\(|x| \sqrt[4]{x^{3}}\)

Pruébalo \(\PageIndex{5}\)

Simplificar: a. \(\sqrt{b^{5}}\) b. \(\sqrt[4]{y^{6}}\) c. \(\sqrt[3]{z^{5}}\)

Responder

a. \(b^{2} \sqrt{b}\) b. \(|y| \sqrt[4]{y^{2}}\) c. \(z \sqrt[3]{z^{2}}\)

Pruébalo \(\PageIndex{6}\)

Simplificar: a. \(\sqrt{p^{9}}\) b. \(\sqrt[5]{y^{8}}\) c. \(\sqrt[6]{q^{13}}\)

Responder

a. \(p^{4} \sqrt{p}\) b. \(p \sqrt[5]{p^{3}}\) c. \(q^{2} \sqrt[6]{q}\)

Seguimos el mismo procedimiento cuando hay un coeficiente en la radicanda. En el siguiente ejemplo, tanto la constante como la variable tienen factores cuadrados perfectos.

Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{72 n^{7}}\)
2. \(\sqrt[3]{24 x^{7}}\)
3. \(\sqrt[4]{80 y^{14}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{72 n^{7}}\)

Reescribir la radicanda como producto utilizando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(\sqrt{36 n^{6} \cdot 2 n}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt{36 n^{6}} \cdot \sqrt{2 n}\)

Simplificar.

\(6\left|n^{3}\right| \sqrt{2 n}\)

b.

\(\sqrt[3]{24 x^{7}}\)

Reescribir la radicanda como producto utilizando factores de cubo perfecto.

\(\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[3]{8 x^{6}} \cdot \sqrt[3]{3 x}\)

Reescribir el primer radicando como \(\left(2 x^{2}\right)^{3}\).

\(\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}\)

Simplificar.

\(2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}\)

c.

\(\sqrt[4]{80 y^{14}}\)

Reescribir el radicando como producto utilizando factores perfectos de cuarta potencia.

\(\sqrt[4]{16 y^{12} \cdot 5 y^{2}}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[4]{16 y^{12}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

Reescribir el primer radicando como \(\left(2 y^{3}\right)^{4}\).

\(\sqrt[4]{\left(2 y^{3}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

Simplificar.

\(2\left|y^{3}\right| \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

Pruébalo \(\PageIndex{7}\)

Simplificar: a. \(\sqrt{32 y^{5}}\) b. \(\sqrt[3]{54 p^{10}}\) c. \(\sqrt[4]{64 q^{10}}\)

Responder

a. \(4 y^{2} \sqrt{2 y}\) b. \(3 p^{3} \sqrt[3]{2 p}\) c. \(2 q^{2} \sqrt[4]{4 q^{2}}\)

Pruébalo \(\PageIndex{8}\)

Simplificar: a. \(\sqrt{75 a^{9}}\) b. \(\sqrt[3]{128 m^{11}}\) c. \(\sqrt[4]{162 n^{7}}\)

Responder

a. \(5 a^{4} \sqrt{3 a}\) b. \(4 m^{3} \sqrt[3]{2 m^{2}}\) c. \(3|n| \sqrt[4]{2 n^{3}}\)

En el siguiente ejemplo, seguimos utilizando los mismos métodos a pesar de que hay más de una variable bajo el radical.

Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{63 u^{3} v^{5}}\)
2. \(\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}\)
3. \(\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{63 u^{3} v^{5}}\)

Reescribir la radicanda como producto utilizando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(\sqrt{9 u^{2} v^{4} \cdot 7 u v}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt{9 u^{2} v^{4}} \cdot \sqrt{7 u v}\)

Reescribir el primer radicando como \(\left(3 u v^{2}\right)^{2}\).

\(\sqrt{\left(3 u v^{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{7 u v}\)

Simplificar.

\(3|u| v^{2} \sqrt{7 u v}\)

b.

\(\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}\)

Reescribe el radicando como producto utilizando el factor de cubo perfecto más grande.

\(\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3} \cdot 5 x y^{2}}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

Reescribir el primer radicando como \((2xy)^{3}\).

\(\sqrt[3]{(2 x y)^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

Simplificar.

\(2 x y \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

c.

\(\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}\)

Reescribe el radicando como producto utilizando el cuarto factor de potencia perfecto más grande.

\(\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4} \cdot 3 y^{3}}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Reescribir el primer radicando como \((2xy)^{4}\).

\(\sqrt[4]{(2 x y)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Simplificar.

\(2|x y| \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Pruébalo \(\PageIndex{9}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{98 a^{7} b^{5}}\)
2. \(\sqrt[3]{56 x^{5} y^{4}}\)
3. \(\sqrt[4]{32 x^{5} y^{8}}\)

Responder

1. \(7\left|a^{3}\right| b^{2} \sqrt{2 a b}\)
2. \(2 x y \sqrt[3]{7 x^{2} y}\)
3. \(2|x| y^{2} \sqrt[4]{2 x}\)

Pruébalo \(\PageIndex{10}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{180 m^{9} n^{11}}\)
2. \(\sqrt[3]{72 x^{6} y^{5}}\)
3. \(\sqrt[4]{80 x^{7} y^{4}}\)

Responder

1. \(6 m^{4}\left|n^{5}\right| \sqrt{5 m n}\)
2. \(2 x^{2} y \sqrt[3]{9 y^{2}}\)
3. \(2|x y| \sqrt[4]{5 x^{3}}\)

Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt[3]{-27}\)
2. \(\sqrt[4]{-16}\)

Solución:

a.

\(\sqrt[3]{-27}\)

Reescribir la radicanda como producto utilizando factores de cubo perfecto.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3}}\)

Toma la raíz cubica.

\(-3\)

b.

\(\sqrt[4]{-16}\)

No hay un número real \(n\) donde \(n^{4}=-16\).

No es un número real

Pruébalo \(\PageIndex{11}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt[3]{-64}\)
2. \(\sqrt[4]{-81}\)

Contestar

1. \(-4\)
2. sin número real

Pruébalo \(\PageIndex{12}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt[3]{-625}\)
2. \(\sqrt[4]{-324}\)

Contestar

1. \(-5 \sqrt[3]{5}\)
2. sin número real

Hemos visto cómo utilizar el orden de operaciones para simplificar algunas expresiones con radicales. En el siguiente ejemplo, tenemos la suma de un entero y una raíz cuadrada. Simplificamos la raíz cuadrada pero no podemos agregar la expresión resultante al entero ya que un término contiene un radical y el otro no. El siguiente ejemplo también incluye una fracción con un radical en el numerador. Recuerda que para simplificar una fracción necesitas un factor común en el numerador y denominador.

Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

Simplificar:

1. \(3+\sqrt{32}\)
2. \(\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}\)

Solución:

a.

\(3+\sqrt{32}\)

Reescribir la radicanda como producto utilizando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(3+\sqrt{16 \cdot 2}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(3+\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}\)

Simplificar.

\(3+4 \sqrt{2}\)

No se pueden agregar los términos ya que uno tiene un radical y el otro no. Intentar agregar un entero y un radical es como intentar agregar un entero y una variable. ¡No son como términos!

b.

\(\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}\)

Reescribir la radicanda como producto utilizando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(\dfrac{4-\sqrt{16 \cdot 3}}{2}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\dfrac{4-\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}}{2}\)

Simplificar.

\(\dfrac{4-4 \sqrt{3}}{2}\)

Factor el factor común a partir del numerador.

\(\dfrac{4(1-\sqrt{3})}{2}\)

Retire el factor común, 2, del numerador y denominador.

\(\dfrac{\cancel{2} \cdot 2(1-\sqrt{3})}{\cancel{2}}\)

Simplificar.

\(2(1-\sqrt{3})\)

Pruébalo \(\PageIndex{13}\)

Simplificar:

1. \(5+\sqrt{75}\)
2. \(\dfrac{10-\sqrt{75}}{5}\)

Contestar

1. \(5+5 \sqrt{3}\)
2. \(2-\sqrt{3}\)

Pruébalo \(\PageIndex{14}\)

Simplificar:

1. \(2+\sqrt{98}\)
2. \(\dfrac{6-\sqrt{45}}{3}\)

Contestar

1. \(2+7 \sqrt{2}\)
2. \(2-\sqrt{5}\)

Usar la propiedad de cociente para simplificar expresiones radicales

Siempre que tengas que simplificar una expresión radical, el primer paso que debes dar es determinar si la radicanda es una potencia perfecta del índice. De no ser así, revisa el numerador y el denominador para ver si hay algún factor común, y retírelos. Se puede encontrar una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son potencias perfectas del índice.

Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{45}{80}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{\dfrac{45}{80}}\)

Simplifica el interior del radical primero. Reescritura mostrando los factores comunes del numerador y denominador.

\(\sqrt{\dfrac{5 \cdot 9}{5 \cdot 16}}\)

Simplifique la fracción eliminando factores comunes.

\(\sqrt{\dfrac{9}{16}}\)

Simplificar. Nota \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}\).

\(\dfrac{3}{4}\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}\)

Simplifica el interior del radical primero. Reescritura mostrando los factores comunes del numerador y denominador.

\(\sqrt[3]{\dfrac{2 \cdot 8}{2 \cdot 27}}\)

Simplifique la fracción eliminando factores comunes.

\(\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}\)

Simplificar. Nota \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}\).

\(\dfrac{2}{3}\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}\)

Simplifica el interior del radical primero. Reescritura mostrando los factores comunes del numerador y denominador.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5 \cdot 1}{5 \cdot 16}}\)

Simplifique la fracción eliminando factores comunes.

\(\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}\)

Simplificar. Nota \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}\).

\(\dfrac{1}{2}\)

Pruébalo \(\PageIndex{15}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{75}{48}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{54}{250}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{32}{162}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{5}{4}\)
2. \(\dfrac{3}{5}\)
3. \(\dfrac{2}{3}\)

Pruébalo \(\PageIndex{16}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{98}{162}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{24}{375}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{4}{324}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{7}{9}\)
2. \(\dfrac{2}{5}\)
3. \(\dfrac{1}{3}\)

En el último ejemplo, nuestro primer paso fue simplificar la fracción bajo lo radical eliminando factores comunes. En el siguiente ejemplo utilizaremos la Propiedad Cociente para simplificar bajo lo radical. Dividimos las bases similares restando sus exponentes,

\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, \quad a \neq 0\)

Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}\)

Simplifica primero la fracción dentro del radical. Divida las bases similares restando los exponentes.

\(\sqrt{m^{2}}\)

Simplificar.

\(|m|\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}\)

Utilizar la Propiedad Cociente de los exponentes para simplificar la fracción bajo el radical primero.

\(\sqrt[3]{a^{3}}\)

Simplificar.

\(a\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}\)

Utilizar la Propiedad Cociente de los exponentes para simplificar la fracción bajo el radical primero.

\(\sqrt[4]{a^{8}}\)

Reescribir el radicando usando factores perfectos de cuarta potencia.

\(\sqrt[4]{\left(a^{2}\right)^{4}}\)

Simplificar.

\(a^{2}\)

Pruébalo \(\PageIndex{17}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{a^{8}}{a^{6}}}\)
2. \(\sqrt[4]{\dfrac{x^{7}}{x^{3}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{y^{17}}{y^{5}}}\)

Contestar

1. \(|a|\)
2. \(|x|\)
3. \(y^{3}\)

Pruébalo \(\PageIndex{18}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{x^{14}}{x^{10}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{m^{13}}{m^{7}}}\)
3. \(\sqrt[5]{\dfrac{n^{12}}{n^{2}}}\)

Contestar

1. \(x^{2}\)
2. \(m^{2}\)
3. \(n^{2}\)

¿Recuerdas el Cociente a una Propiedad de Poder? Decía que podíamos elevar una fracción a una potencia elevando el numerador y el denominador a la potencia por separado.

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

Definición \(\PageIndex{3}\)

Propiedad cociente de expresiones radicales

Si \(\sqrt[n]{a}\) y \(\sqrt[n]{b}\) son números reales, \(b \neq 0\), y para cualquier entero \(n \geq 2\) entonces,

\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \text { and } \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)

Ejemplo de \(\PageIndex{10}\) cómo simplificar el cociente de expresiones radicales

Simplificar: \(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\)

Solución:

Paso 1: Simplificar la fracción en la radicanda, si es posible.

\(\dfrac{27 m^{3}}{196}\) no puede simplificarse.

\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\)

Paso 2: Utilizar la Propiedad Cociente para reescribir lo radical como el cociente de dos radicales.

Reescribimos \(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\) como el cociente de \(\sqrt{27 m^{3}}\) y \(\sqrt{196}\).

\(\dfrac{\sqrt{27 m^{3}}}{\sqrt{196}}\)

Paso 3: Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

\(9m^{2}\) y \(196\) son cuadrados perfectos.

\(\dfrac{\sqrt{9 m^{2}} \cdot \sqrt{3 m}}{\sqrt{196}}\)

\(\dfrac{3 m \sqrt{3 m}}{14}\)

Pruébalo \(\PageIndex{19}\)

Simplificar: \(\sqrt{\dfrac{24 p^{3}}{49}}\).

Contestar

\(\dfrac{2|p| \sqrt{6 p}}{7}\)

Pruébalo \(\PageIndex{20}\)

Simplificar: \(\sqrt{\dfrac{48 x^{5}}{100}}\).

Contestar

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt{3 x}}{5}\)

Simplificar una raíz cuadrada usando la propiedad de cociente

1. Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.
2. Utilizar la Propiedad Cociente para reescribir lo radical como cociente de dos radicales.
3. Simplificar los radicales en el numerador y el denominador.

Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}\)

No podemos simplificar la fracción en la radicanda. Reescribir usando la Propiedad Cociente.

\(\dfrac{\sqrt{45 x^{5}}}{\sqrt{y^{4}}}\)

Simplificar los radicales en el numerador y el denominador.

\(\dfrac{\sqrt{9 x^{4}} \cdot \sqrt{5 x}}{y^{2}}\)

Simplificar.

\(\dfrac{3 x^{2} \sqrt{5 x}}{y^{2}}\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}\)

No se puede simplificar la fracción en el radicando. Utilizar la Propiedad Cociente para escribir como dos radicales.

\(\dfrac{\sqrt[3]{24 x^{7}}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Reescribe cada radicando como producto usando factores de cubo perfecto.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Reescribir el numerador como producto de dos radicales.

\(\dfrac{\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Simplificar.

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}}{y}\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}\)

No se puede simplificar la fracción en el radicando.

\(\dfrac{\sqrt[4]{48 x^{10}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}\)

Utilizar la Propiedad Cociente para escribir como dos radicales. Reescribe cada radicando como producto usando factores perfectos de cuarto poder.

\(\dfrac{\sqrt[4]{16 x^{8} \cdot 3 x^{2}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}\)

Reescribir el numerador como producto de dos radicales.

\(\dfrac{\sqrt[4]{\left(2 x^{2}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 x^{2}}}{\sqrt[4]{\left(y^{2}\right)^{4}}}\)

Simplificar.

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{3 x^{2}}}{y^{2}}\)

Pruébalo \(\PageIndex{21}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{80 m^{3}}{n^{6}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{108 c^{10}}{d^{6}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{80 x^{10}}{y^{4}}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{4|m| \sqrt{5 m}}{\left|n^{3}\right|}\)
2. \(\dfrac{3 c^{3} \sqrt[3]{4 c}}{d^{2}}\)
3. \(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{5 x^{2}}}{|y|}\)

Pruébalo \(\PageIndex{22}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{54 u^{7}}{v^{8}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{40 r^{3}}{s^{6}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{162 m^{14}}{n^{12}}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{3 u^{3} \sqrt{6 u}}{v^{4}}\)
2. \(\dfrac{2 r \sqrt[3]{5}}{s^{2}}\)
3. \(\dfrac{3\left|m^{3}\right| \sqrt[4]{2 m^{2}}}{\left|n^{3}\right|}\)

Asegúrese de simplificar la fracción en el radicando primero, si es posible.

Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}\)

Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.

\(\sqrt{\dfrac{9 p^{4} q^{5}}{16}}\)

Reescribir usando la Propiedad Cociente.

\(\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{5}}}{\sqrt{16}}\)

Simplificar los radicales en el numerador y el denominador.

\(\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{4}} \cdot \sqrt{q}}{4}\)

Simplificar.

\(\dfrac{3 p^{2} q^{2} \sqrt{q}}{4}\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)

Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.

\(\sqrt[3]{\dfrac{8 x^{3} y^{5}}{27}}\)

Reescribir usando la Propiedad Cociente.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{5}}}{\sqrt[3]{27}}\)

Simplificar los radicales en el numerador y el denominador.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{27}}\)

Simplificar.

\(\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.

\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{5} b^{4}}{16}}\)

Reescribir usando la Propiedad Cociente.

\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{5} b^{4}}}{\sqrt[4]{16}}\)

Simplificar los radicales en el numerador y el denominador.

\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{4} b^{4}} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{16}}\)

Simplificar.

\(\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}\)

Pruébalo \(\PageIndex{23}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{50 x^{5} y^{3}}{72 x^{4} y}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{5|y| \sqrt{x}}{6}\)
2. \(\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}\)
3. \(\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}\)

Pruébalo \(\PageIndex{24}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{48 m^{7} n^{2}}{100 m^{5} n^{8}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{54 x^{7} y^{5}}{250 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{32 a^{9} b^{7}}{162 a^{3} b^{3}}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{2|m| \sqrt{3}}{5\left|n^{3}\right|}\)
2. \(\dfrac{3 x y \sqrt[3]{x^{2}}}{5}\)
3. \(\dfrac{2|a b| \sqrt[4]{a^{2}}}{3}\)

En el siguiente ejemplo, no hay nada que simplificar en los denominadores. Dado que el índice sobre los radicales es el mismo, podemos utilizar nuevamente la Propiedad Cociente , para combinarlos en un solo radical. Entonces buscaremos si podemos simplificar la expresión.

Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

Simplificar:

1. \(\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}\)

Solución:

a.

\(\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}\)

El denominador no puede simplificarse, así que usa la Propiedad Cociente para escribir como un radical.

\(\sqrt{\dfrac{48 a^{7}}{3 a}}\)

Simplificar la fracción bajo el radical.

\(\sqrt{16 a^{6}}\)

Simplificar.

\(4\left|a^{3}\right|\)

b.

\(\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}\)

El denominador no puede simplificarse, así que usa la Propiedad Cociente para escribir como un radical.

\(\sqrt[3]{\dfrac{-108}{2}}\)

Simplificar la fracción bajo el radical.

\(\sqrt[3]{-54}\)

Reescribir la radicanda como producto utilizando factores de cubo perfecto.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3} \cdot 2}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3}} \cdot \sqrt[3]{2}\)

Simplificar.

\(-3 \sqrt[3]{2}\)

c.

\(\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}\)

El denominador no puede simplificarse, así que usa la Propiedad Cociente para escribir como un radical.

\(\sqrt[4]{\dfrac{96 x^{7}}{3 x^{2}}}\)

Simplificar la fracción bajo el radical.

\(\sqrt[4]{32 x^{5}}\)

Reescribir el radicando como producto utilizando factores perfectos de cuarta potencia.

\(\sqrt[4]{16 x^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[4]{(2 x)^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}\)

Simplificar.

\(2|x| \sqrt[4]{2 x}\)

Pruébalo \(\PageIndex{25}\)

Simplificar:

1. \(\dfrac{\sqrt{98 z^{5}}}{\sqrt{2 z}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-500}}{\sqrt[3]{2}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{486 m^{11}}}{\sqrt[4]{3 m^{5}}}\)

Contestar

1. \(7z^{2}\)
2. \(-5 \sqrt[3]{2}\)
3. \(3|m| \sqrt[4]{2 m^{2}}\)

Pruébalo \(\PageIndex{26}\)

Simplificar:

1. \(\dfrac{\sqrt{128 m^{9}}}{\sqrt{2 m}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-192}}{\sqrt[3]{3}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{324 n^{7}}}{\sqrt[4]{2 n^{3}}}\)

Contestar

1. \(8m^{4}\)
2. \(-4\)
3. \(3|n| \sqrt[4]{2}\)

Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con la simplificación de expresiones radicales.

• Simplificación de raíz cuadrada y raíz cubica con variables
• Expresar un radical en raíces cuadradas y cúbicas simplificadas con variables y exponentes
• Simplificación de Raíces Cubicas

Conceptos Clave

• Expresión radical simplificada
  • Para números reales \(a, m\) y \(n≥2\)
    \(\sqrt[n]{a}\) se considera simplificado si no \(a\) tiene factores de \(m^{n}\)
• Propiedad del producto de \(n^{th}\) las raíces
  • Para cualquier número real, \(\sqrt[n]{a}\) y \(\sqrt[n]{b}\), y para cualquier entero \(n≥2\)
    \(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) y \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)
• Cómo simplificar una expresión radical usando la propiedad del producto
  1. Encuentra el factor más grande en el radicando que es una potencia perfecta del índice.
     Reescribir la radicanda como producto de dos factores, utilizando ese factor.
  2. Use la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales.
  3. Simplifica la raíz de la potencia perfecta.
• Propiedad cociente de expresiones radicales
  • Si \(\sqrt[n]{a}\) y \(\sqrt[n]{b}\) son números reales, \(b≠0\), y para cualquier entero \(n≥2\) entonces, \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) y \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)
• Cómo simplificar una expresión radical utilizando la Propiedad Cociente.
  1. Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.
  2. Utilizar la Propiedad Cociente para reescribir lo radical como cociente de dos radicales.
  3. Simplificar los radicales en el numerador y el denominador.