8.7: Resolver ecuaciones radicales
Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Resolver ecuaciones radicales
- Resuelve ecuaciones radicales con dos radicales
- Uso de radicales en aplicaciones
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
-
Simplificar:
\((y−3)^{2}\)
.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.31. -
Resolver:
\(2x−5=0\)
.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.2. -
Resolver
\(n^{2}−6n+8=0\)
.
Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 6.45.
Resolver ecuaciones radicales
En esta sección resolveremos ecuaciones que tienen una variable en la radicanda de una expresión radical. Una ecuación de este tipo se llama ecuación radical .
Definición \(\PageIndex{1}\)
Una ecuación en la que una variable se encuentra en la radicanda de una expresión radical se llama ecuación radical .
Como es habitual, al resolver estas ecuaciones, lo que hacemos a un lado de una ecuación debemos hacerle también al otro lado. Una vez que aislemos lo radical, nuestra estrategia será elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice. Esto eliminará el radical.
Resolver ecuaciones radicales que contienen un índice par elevando ambos lados a la potencia del índice puede introducir una solución algebraica que no sería una solución a la ecuación radical original. Nuevamente, llamamos a esto una solución extraña como lo hicimos cuando resolvimos ecuaciones racionales.
En el siguiente ejemplo, veremos cómo resolver una ecuación radical. Nuestra estrategia se basa en elevar un radical con índice \(n\) al \(n^{th}\) poder. Esto eliminará el radical.
Para \(a \geq 0,(\sqrt[n]{a})^{n}=a\) .
Resolver: \(\sqrt{5 n-4}-9=0\) .
Solución :
| Paso 1 : Aislar el radical en un lado de la ecuación. |
Para aislar el radical, \(9\) agréguelo a ambos lados. Simplificar. |
\(\begin{array}{c}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5 n-4}-9\color{red}{+9}\color{black}{=}0\color{red}{+9}} \\ {\sqrt{5 n-4}=9}\end{array}\) |
| Paso 2 : Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice. | Dado que el índice de una raíz cuadrada es \(2\) , cuadramos ambos lados. | \((\sqrt{5 n-4})^{2}=(9)^{2}\) |
| Paso 3 : Resuelve la nueva ecuación. | Recuerda, \((\sqrt{a})^{2}=a\) . | \(\begin{aligned} 5 n-4 &=81 \\ 5 n &=85 \\ n &=17 \end{aligned}\) |
| Paso 4 : Comprueba la respuesta en la ecuación original. |
Consulta la respuesta. \(\begin{array}{r}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5(\color{red}{17}\color{black}{)}-4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{85-4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{81}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {9-9=0} \\ {0=0}\end{array}\) La solución es \(n=17\) . |
Resolver: \(\sqrt{3 m+2}-5=0\) .
- Responder
-
\(m=\frac{23}{3}\)
Resolver: \(\sqrt{10 z+1}-2=0\) .
- Responder
-
\(z=\frac{3}{10}\)
Resuelve una ecuación radical con un radical
- Aislar el radical en un lado de la ecuación.
- Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice.
- Resuelve la nueva ecuación.
- Verifique la respuesta en la ecuación original.
Cuando usamos un signo radical, indica la raíz principal o positiva. Si una ecuación tiene un radical con un índice par igual a un número negativo, esa ecuación no tendrá solución.
Resolver: \(\sqrt{9 k-2}+1=0\) .
Solución :
| Para aislar el radical, resta \(1\) a ambos lados. | |
| Simplificar. |
Debido a que la raíz cuadrada es igual a un número negativo, la ecuación no tiene solución.
Resolver: \(\sqrt{2 r-3}+5=0\) .
- Responder
-
no hay solución
Resolver: \(\sqrt{7 s-3}+2=0\) .
- Responder
-
no hay solución
Si un lado de una ecuación con raíz cuadrada es un binomio, usamos el Patrón Producto de Cuadrados Binomiales cuando lo cuadramos.
Definición \(\PageIndex{2}\)
Plazas Binomiales
\(\begin{array}{l}{(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}}\end{array}\)
¡No olvides el mediano plazo!
Resolver: \(\sqrt{p-1}+1=p\) .
Solución :
| Para aislar el radical, resta \(1\) de ambos lados. | |
| Simplificar. | |
| Cuadrar ambos lados de la ecuación. | |
| Simplificar, utilizando el Producto del Patrón de Cuadrados Binomiales a la derecha, Luego resuelve la nueva ecuación. | |
| Es una ecuación cuadrática, así que consigue cero en un lado. | |
| Factor el lado derecho. | |
| Utilice la Propiedad de Producto Cero. | |
| Resuelve cada ecuación. | |
| Consulta las respuestas. | |
Las soluciones son \(p=1, p=2\) .
Resolver: \(\sqrt{x-2}+2=x\) .
- Contestar
-
\(x=2, x=3\)
Resolver: \(\sqrt{y-5}+5=y\) .
- Contestar
-
\(y=5, y=6\)
Cuando el índice del radical es \(3\) , cubicamos ambos lados para eliminar el radical.
\((\sqrt[3]{a})^{3}=a\)
Resolver: \(\sqrt[3]{5 x+1}+8=4\) .
Solución :
| \(\sqrt[3]{5 x+1}+8=4\) | |
| Para aislar el radical, resta \(8\) de ambos lados. | \(\sqrt[3]{5 x+1}=-4\) |
| Cube ambos lados de la ecuación. | \((\sqrt[3]{5 x+1})^{3}=(-4)^{3}\) |
| Simplificar. | \(5 x+1=-64\) |
| Resuelve la ecuación. | \(5 x=-65\) |
| \(x=-13\) | |
| Consulta la respuesta. | |
| La solución es \(x=-13\) . |
Resolver: \( \sqrt[3]{4 x-3}+8=5\)
- Contestar
-
\(x=-6\)
Resolver: \(\sqrt[3]{6 x-10}+1=-3\)
- Contestar
-
\(x=-9\)
A veces una ecuación contendrá exponentes racionales en lugar de un radical. Utilizamos las mismas técnicas para resolver la ecuación que cuando tenemos un radical. Elevamos cada lado de la ecuación a la potencia del denominador del exponente racional. Dado que \(\left(a^{m}\right)^{^{n}}=a^{m \cdot n}\) , tenemos por ejemplo,
\(\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=x,\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=x\)
Recuerda, \(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) y \(x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}\) .
Resolver: \((3 x-2)^{\frac{1}{4}}+3=5\) .
Solución :
| \((3 x-2)^{\frac{1}{4}}+3=5\) | |
| Para aislar el término con el exponente racional, restar \(3\) de ambos lados. | \((3 x-2)^{\frac{1}{4}}=2\) |
| Elevar cada lado de la ecuación a la cuarta potencia. | \(\left((3 x-2)^{\frac{1}{4}}\right)^{4}=(2)^{4}\) |
| Simplificar. | \(3 x-2=16\) |
| Resuelve la ecuación. | \(3x=18\) |
| \(x=6\) | |
| Consulta la respuesta. | |
| La solución es \(x=6\) . |
Resolver: \((9 x+9)^{\frac{1}{4}}-2=1\)
- Contestar
-
\(x=8\)
Resolver: \((4 x-8)^{\frac{1}{4}}+5=7\)
- Contestar
-
\(x=6\)
A veces la solución de una ecuación radical da como resultado dos soluciones algebraicas, ¡pero una de ellas puede ser una solución ajena !
Resolver: \(\sqrt{r+4}-r+2=0\) .
Solución :
| \(\sqrt{r+4}-r+2=0\) | |
| Aislar el radical. | \(\sqrt{r+4}=r-2\) |
| Cuadrar ambos lados de la ecuación. | \((\sqrt{r+4})^{2}=(r-2)^{2}\) |
| Simplifica y luego resuelve la ecuación. | \(r+4=r^{2}-4 r+4\) |
| Si se trata de una ecuación cuadrática, entonces consigue cero en un lado. | \(0=r^{2}-5 r\) |
| Factor el lado derecho. | \(0=r(r-5)\) |
| Utilice la Propiedad de Producto Cero. | \(0=r \quad 0=r-5\) |
| Resuelve la ecuación. | \(r=0 \quad r=5\) |
| Consulta tu respuesta. | |
| La solución es \(r=5\) . | |
| \(r=0\) es una solución extrena. |
Resolver: \(\sqrt{m+9}-m+3=0\)
- Contestar
-
\(m=7\)
Resolver: \(\sqrt{n+1}-n+1=0\) .
- Contestar
-
\(n=3\)
Cuando hay un coeficiente frente al radical, debemos elevarlo a la potencia del índice, también.
Resolver: \(3 \sqrt{3 x-5}-8=4\) .
Solución :
| \(3 \sqrt{3 x-5}-8=4\) | |
| Aislar el término radical. | \(3 \sqrt{3 x-5}=12\) |
| Aísle el radical dividiendo ambos lados por \(3\) . | \(\sqrt{3 x-5}=4\) |
| Cuadrar ambos lados de la ecuación. | \((\sqrt{3 x-5})^{2}=(4)^{2}\) |
| Simplifica, luego resuelve la nueva ecuación. | \(3 x-5=16\) |
| \(3x=21\) | |
| Resuelve la ecuación. | \(x=7\) |
| Consulta la respuesta. | |
| La solución es \(x=7\) . |
Resolver: \(2 \sqrt{4 a+4}-16=16\) .
- Contestar
-
\(a=63\)
Resolver: \(3 \sqrt{2 b+3}-25=50\)
- Contestar
-
\(b=311\)
Resolver ecuaciones radicales con dos radicales
Si la ecuación radical tiene dos radicales, comenzamos aislando uno de ellos. A menudo resulta más fácil aislar primero al radical más complicado.
En el siguiente ejemplo, cuando se aísla un radical, también se aísla el segundo radical.
Resolver: \(\sqrt[3]{4 x-3}=\sqrt[3]{3 x+2}\) .
Solución :
Los términos radicales están aislados.
\(\sqrt[3]{4 x-3}=\sqrt[3]{3 x+2}\)
Ya que el índice es \(3\) , cubra ambos lados de la ecuación.
\((\sqrt[3]{4 x-3})^{3}=(\sqrt[3]{3 x+2})^{3}\)
Simplifica, luego resuelve la nueva ecuación.
\(\begin{aligned} 4 x-3 &=3 x+2 \\ x-3 &=2 \\ x &=5 \end{aligned}\)
La solución es \(x=5\) .
Consulta la respuesta.
¡Te dejamos a ti mostrar que \(5\) verifica!
Resolver: \(\sqrt[3]{5 x-4}=\sqrt[3]{2 x+5}\) .
- Contestar
-
\(x=3\)
Resolver: \(\sqrt[3]{7 x+1}=\sqrt[3]{2 x-5}\) .
- Contestar
-
\(x=-\frac{6}{5}\)
A veces después de elevar ambos lados de una ecuación a una potencia, todavía tenemos una variable dentro de un radical. Cuando eso sucede, repetimos el Paso 1 y el Paso 2 de nuestro procedimiento. Aislamos el radical y elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia del índice nuevamente.
Resolver: \(\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}\) .
Solución :
| Paso 1 : Aislar uno de los términos radicales en un lado de la ecuación. | El radical de la derecha está aislado. | \(\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}\) |
| Paso 2 : Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice. |
Cuadramos ambos lados. Simplifica — ¡ten mucho cuidado mientras multiplicas! |
\((\sqrt{m}+1)^{2}=(\sqrt{m+9})^{2}\) |
|
Paso 3 : ¿Hay más radicales? En caso afirmativo, repita de nuevo el Paso 1 y el Paso 2. Si no, resuelve la nueva ecuación. |
Todavía hay un radical en la ecuación. Por lo que debemos repetir los pasos anteriores. Aislar el término radical. Aquí, podemos aislar fácilmente el radical dividiendo ambos lados por \(2\) . Cuadrado ambos lados. |
\(\begin{aligned} m+2 \sqrt{m}+1 &=m+9 \\ 2 \sqrt{m} &=8 \\ \sqrt{m} &=4 \\(\sqrt{m})^{2} &=(4)^{2} \\ m &=16 \end{aligned}\) |
| Paso 4 : Comprueba la respuesta en la ecuación original. |
\(\begin{aligned}\sqrt{m}+1&=\sqrt{m+9} \\ \sqrt{\color{red}{16}}\color{black}{+}1& \stackrel{?}{=} \sqrt{\color{red}{16}\color{black}{+}9} \\ 4+1& \stackrel{?}{=} 5 \\ 5&=5\end{aligned}\) La solución es \(m=16\) . |
Resolver: \(3-\sqrt{x}=\sqrt{x-3}\) .
- Contestar
-
\(x=4\)
Resolver: \(\sqrt{x}+2=\sqrt{x+16}\) .
- Contestar
-
\(x=9\)
Aquí resumimos los pasos. Hemos ajustado nuestros pasos anteriores para incluir más de un radical en la ecuación Este procedimiento ahora funcionará para cualquier ecuaciones radicales.
Resolver una ecuación radical
- Aislar uno de los términos radicales en un lado de la ecuación.
- Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice.
-
¿Hay más radicales?
En caso afirmativo, repita de nuevo el Paso 1 y el Paso 2.
Si no, resuelve la nueva ecuación. - Verifique la respuesta en la ecuación original.
Ten cuidado al cuadrar binomios en el siguiente ejemplo. Recuerda el patrón en \((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\) o \((a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\) .
Resolver: \(\sqrt{q-2}+3=\sqrt{4 q+1}\) .
Solución :
| El radical de la derecha está aislado. Cuadrado ambos lados. | |
| Simplificar. | |
| Todavía hay un radical en la ecuación por lo que debemos repetir los pasos anteriores. Aislar el radical. | |
| Cuadrado ambos lados. No ayudaría dividir a ambas partes por \(6\) . Recuerda cuadrar tanto el \(6\) como el \(\sqrt{q-2}\) . | |
| Simplifica, luego resuelve la nueva ecuación. | |
| Distribuir. | |
| Es una ecuación cuadrática, así que consigue cero en un lado. | |
| Factor el lado derecho. | |
| Utilice la Propiedad de Producto Cero. | |
| Te quedan los cheques. | Las soluciones son \(q=6\) y \(q=2\) . |
Resolver: \(\sqrt{x-1}+2=\sqrt{2 x+6}\)
- Contestar
-
\(x=5\)
Resolver: \(\sqrt{x}+2=\sqrt{3 x+4}\)
- Contestar
-
\(x=0 x=4\)
Uso de radicales en aplicaciones
A medida que progresas en tus cursos universitarios, te encontrarás con fórmulas que incluyen radicales en muchas disciplinas. Modificaremos ligeramente nuestra Estrategia de Solución de Problemas para Aplicaciones de Geometría para darnos un plan para resolver aplicaciones con fórmulas de cualquier disciplina.
Utilice una estrategia de resolución de problemas para aplicaciones con fórmulas
- Lee el problema y asegúrate de que se entiendan todas las palabras e ideas. Cuando proceda, dibuje una figura y rótulo con la información dada.
- Identificar lo que estamos buscando.
- Nombra lo que estamos buscando eligiendo una variable que la represente.
- Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Suplente en la información dada.
- Resolver la ecuación utilizando buenas técnicas de álgebra.
- Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
- Contesta la pregunta con una frase completa.
Una aplicación de radicales tiene que ver con el efecto de la gravedad en objetos que caen. La fórmula nos permite determinar cuánto tiempo tardará un objeto caído en golpear al gound.
Definición \(\PageIndex{2}\)
Objetos que caen
En la Tierra, si un objeto se deja caer desde una altura de \(h\) pies, el tiempo en segundos que tardará en llegar al suelo se encuentra utilizando la fórmula
\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\)
Por ejemplo, si un objeto se deja caer desde una altura de \(64\) pies, podemos encontrar el tiempo que tarda en llegar al suelo \(h=64\) sustituyéndolo por la fórmula.
| Toma la raíz cuadrada de \(64\) . | |
| Simplifica la fracción. |
Tomaría \(2\) segundos para que un objeto caído desde una altura de \(64\) pies llegara al suelo.
Marissa dejó caer sus lentes de sol de un puente a \(400\) pies sobre un río. Usa la fórmula \(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\) para encontrar cuántos segundos tardaron las gafas de sol en llegar al río.
Solución :
| Paso 1 : Lee el problema. | |
| Paso 2 : Identificar lo que estamos buscando. | El tiempo que tardan las gafas de sol en llegar al río. |
| Paso 3 : Nombra lo que estamos buscando. | Deje (t=\) tiempo. |
| Paso 4 : Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula apropiada. Suplente en la información dada. | |
| Paso 5 : Resuelve la ecuación . | |
| Paso 6 : Revisa la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido. | |
| ¿Los \(5\) segundos parecen un periodo de tiempo razonable? | Sí. |
| Paso 7 : Contesta la ecuación. | Tardarán \(5\) segundos para que las gafas de sol lleguen al río. |
Un helicóptero arrojó un paquete de rescate desde una altura de \(1,296\) pies. Usa la fórmula \(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\) para encontrar cuántos segundos tardó el paquete en llegar al suelo.
- Contestar
-
\(9\) segundos
Un lavaparabrisas dejó caer una escobilla de goma desde \(196\) los pies de una plataforma por encima de la acera. Usa la fórmula \(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\) para encontrar cuántos segundos tardó la rasqueta en llegar a la acera.
- Contestar
-
\(3.5\) segundos
Policías que investigan accidentes automovilísticos miden el largo de las marcas de derrape en el pavimento. Después usan raíces cuadradas para determinar la velocidad , en millas por hora, iba un auto antes de aplicar los frenos.
Definición \(\PageIndex{3}\)
Marcas de derrapes y velocidad de un automóvil
Si la longitud de las marcas de derrapes es \(d\) pies, entonces la velocidad \(s\) ,, del auto antes de que se aplicaran los frenos se puede encontrar usando la fórmula
\(s=\sqrt{24 d}\)
Después de un accidente automovilístico, las marcas de derrape para un auto midieron \(190\) pies. Usa la fórmula \(s=\sqrt{24d}\) para encontrar la velocidad del auto antes de que se aplicaran los frenos. Redondee su respuesta a la décima más cercana.
Solución :
| Paso 1 : Lee el problema. | |
| Paso 2 : Identificar lo que estamos buscando. | La velocidad de un auto. |
| Paso 3 : Nombra lo que estamos buscando. | Deja que \(s=\) la velocidad. |
| Paso 4 : Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula apropiada. Suplente en la información dada. | |
| Paso 5 : Resuelve la ecuación . | |
| Redondear a \(1\) decimal. | |
| La velocidad del auto antes de que se aplicaran los frenos era de \(67.5\) millas por hora. |
Un investigador de accidentes midió las marcas de derrape del auto. El largo de las marcas de derrapes era de \(76\) pies. Usa la fórmula \(s=\sqrt{24d}\) para encontrar la velocidad del auto antes de que se aplicaran los frenos. Redondee su respuesta a la décima más cercana.
- Contestar
-
\(42.7\) pies
Las marcas de derrape de un vehículo involucrado en un accidente fueron \(122\) pies de largo. Usa la fórmula \(s=\sqrt{24d}\) para encontrar la velocidad del vehículo antes de que se aplicaran los frenos. Redondee su respuesta a la décima más cercana.
- Contestar
-
\(54.1\) pies
Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con la resolución de ecuaciones radicales.
- Resolviendo una ecuación que involucra un solo radical
- Resolver ecuaciones con radicales y exponentes racionales
- Resolver ecuaciones radicales
- Resolver ecuaciones radicales
- Aplicación de Ecuaciones Radicales
Conceptos Clave
-
Plazas Binomiales
\(\begin{array}{l}{(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}}\end{array}\) -
Resolver una ecuación radical
- Aislar uno de los términos radicales en un lado de la ecuación.
- Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice.
-
¿Hay más radicales?
En caso afirmativo, repita de nuevo el Paso 1 y el Paso 2.
Si no, resuelve la nueva ecuación. - Verifique la respuesta en la ecuación original.
-
Estrategia de Resolución de Problemas para Aplicaciones con Fórmulas
- Lee el problema y asegúrate de que se entiendan todas las palabras e ideas. Cuando proceda, dibuje una figura y rótulo con la información dada.
- Identificar lo que estamos buscando.
- Nombra lo que estamos buscando eligiendo una variable que la represente.
- Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Suplente en la información dada.
- Resolver la ecuación utilizando buenas técnicas de álgebra.
- Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
- Contesta la pregunta con una frase completa.
-
Objetos que caen
- En la Tierra, si se cae un objeto desde una altura de \(h\) pies, el tiempo en segundos que tardará en llegar al suelo se encuentra mediante el uso de la fórmula \(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\) .
-
Marcas de derrapes y velocidad de un automóvil
- Si la longitud de las marcas de derrape es de \(d\) pies, entonces la velocidad \(s\) ,, del auto antes de que se aplicaran los frenos se puede encontrar usando la fórmula \(s=\sqrt{24d}\) .
Glosario
- ecuación radical
- Una ecuación en la que una variable se encuentra en la radicanda de una expresión radical se llama ecuación radical.