8.3: Simplificar expresiones radicales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Utilice la propiedad Product para simplificar expresiones radicales
• Utilice la propiedad Cocient para simplificar expresiones radicales

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar:\(\dfrac{x^{9}}{x^{4}}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.13.
2. Simplificar:\(\dfrac{y^{3}}{y^{11}}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.13.
3. Simplificar:\(\left(n^{2}\right)^{6}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.17.

Utilice la propiedad Product para simplificar las expresiones radicales

Simplificaremos las expresiones radicales de una manera similar a como simplificamos las fracciones. Una fracción se simplifica si no hay factores comunes en el numerador y denominador. Para simplificar una fracción, buscamos cualquier factor común en el numerador y denominador.

Una expresión radical,\(\sqrt[n]{a}\), se considera simplificada si no tiene factores de\(m^{n}\). Entonces, para simplificar una expresión radical, buscamos cualquier factor en el radicando que sean potencias del índice.

Definición\(\PageIndex{1}\): Simplified Radical Expression

Para números reales\(a\) y\(m\), y\(n\geq 2\),

\(\sqrt[n]{a}\)se considera simplificado si no\(a\) tiene factores de\(m^{n}\)

Por ejemplo,\(\sqrt{5}\) se considera simplificado porque no hay factores cuadrados perfectos en\(5\). Pero no\(\sqrt{12}\) se simplifica porque\(12\) tiene un factor cuadrado perfecto de\(4\).

Del mismo modo,\(\sqrt[3]{4}\) se simplifica porque no hay factores de cubo perfectos en\(4\). Pero no\(\sqrt[3]{24}\) se simplifica porque\(24\) tiene un factor cubo perfecto de\(8\).

Para simplificar las expresiones radicales, también usaremos algunas propiedades de las raíces. Las propiedades que usaremos para simplificar las expresiones radicales son similares a las propiedades de los exponentes. Sabemos que

\[(a b)^{n}=a^{n} b^{n}.\]

El correspondiente de Producto Propiedad de Raíces dice que

\[\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}.\]

Definición\(\PageIndex{2}\): Product Property of \(n^{th}\) Roots

Si\(\sqrt[n]{a}\) y\(\sqrt[n]{b}\) son números reales, y\(n\geq 2\) es un número entero, entonces

\(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text { and } \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)

Utilizamos la Propiedad Producto de Raíces para eliminar todos los factores cuadrados perfectos de una raíz cuadrada.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Simplify square roots using the product property of roots

Simplificar:\(\sqrt{98}\).

Solución:

Paso 1: Encuentra el factor más grande en el radicando que es una potencia perfecta del índice.	Vemos que\(49\) es el factor más grande de\(98\) que tiene un poder de\(2\).	\(\sqrt{98}\)
Reescribir el radicando como producto de dos factores, utilizando ese factor.	En otras palabras\(49\) es el factor cuadrado perfecto más grande de\(98\). \(98 = 49\cdot 2\) Siempre escribe primero el factor cuadrado perfecto.	\(\sqrt{49\cdot 2}\)
Paso 2: Usa la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales.		\(\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}\)
Paso 3: Simplifica la raíz de la potencia perfecta.		\(7\sqrt{2}\)

Pruébalo\(\PageIndex{1}\)

Simplificar:\(\sqrt{48}\)

Contestar

\(4 \sqrt{3}\)

Pruébalo\(\PageIndex{2}\)

Simplificar:\(\sqrt{45}\).

Contestar

\(3 \sqrt{5}\)

Observe en el ejemplo anterior que la forma simplificada de\(\sqrt{98}\) is\(7\sqrt{2}\), que es el producto de un entero y una raíz cuadrada. Siempre escribimos el entero delante de la raíz cuadrada.

Ten cuidado de escribir tu entero para que no se confunda con el índice. La expresión\(7\sqrt{2}\) es muy diferente de\(\sqrt[7]{2}\).

Simplifique una expresión radical usando la propiedad Product

1. Encuentra el factor más grande en el radicando que es una potencia perfecta del índice. Reescribir el radicando como producto de dos factores, utilizando ese factor.
2. Usa la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales.
3. Simplifica la raíz de la potencia perfecta.

Aplicaremos este método en el siguiente ejemplo. Puede ser útil tener una mesa de cuadrados perfectos, cubos y cuartos poderes.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{500}\)
2. \(\sqrt[3]{16}\)
3. \(\sqrt[4]{243}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{500}\)

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(\sqrt{100 \cdot 5}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt{100} \cdot \sqrt{5}\)

Simplificar.

\(10\sqrt{5}\)

b.

\(\sqrt[3]{16}\)

Reescribe el radicand como un producto usando el mayor factor de cubo perfecto. \(2^{3}=8\)

\(\sqrt[3]{8 \cdot 2}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2}\)

Simplificar.

\(2 \sqrt[3]{2}\)

c.

\(\sqrt[4]{243}\)

Reescribe el radicando como producto usando el cuarto factor de potencia perfecto más grande. \(3^{4}=81\)

\(\sqrt[4]{81 \cdot 3}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}\)

Simplificar.

\(3 \sqrt[4]{3}\)

Pruébalo\(\PageIndex{3}\)

Simplificar: a.\(\sqrt{288}\) b.\(\sqrt[3]{81}\) c.\(\sqrt[4]{64}\)

Contestar

a.\(12\sqrt{2}\) b.\(3 \sqrt[3]{3}\) c.\(2 \sqrt[4]{4}\)

Pruébalo\(\PageIndex{4}\)

Simplificar: a.\(\sqrt{432}\) b.\(\sqrt[3]{625}\) c.\(\sqrt[4]{729}\)

Contestar

a.\(12\sqrt{3}\) b.\(5 \sqrt[3]{5}\) c.\(3 \sqrt[4]{9}\)

El siguiente ejemplo es muy parecido a los ejemplos anteriores, pero con variables. No olvides usar los signos de valor absoluto al tomar una raíz par de una expresión con una variable en el radical.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{x^{3}}\)
2. \(\sqrt[3]{x^{4}}\)
3. \(\sqrt[4]{x^{7}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{x^{3}}\)

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(\sqrt{x^{2} \cdot x}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x}\)

Simplificar.

\(|x| \sqrt{x}\)

b.

\(\sqrt[3]{x^{4}}\)

Reescribe el radicand como un producto usando el factor cubo perfecto más grande.

\(\sqrt[3]{x^{3} \cdot x}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}\)

Simplificar.

\(x \sqrt[3]{x}\)

c.

\(\sqrt[4]{x^{7}}\)

Reescribe el radicando como producto usando el cuarto factor de potencia perfecto más grande.

\(\sqrt[4]{x^{4} \cdot x^{3}}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[4]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}\)

Simplificar.

\(|x| \sqrt[4]{x^{3}}\)

Pruébalo\(\PageIndex{5}\)

Simplificar: a.\(\sqrt{b^{5}}\) b.\(\sqrt[4]{y^{6}}\) c.\(\sqrt[3]{z^{5}}\)

Contestar

a.\(b^{2} \sqrt{b}\) b.\(|y| \sqrt[4]{y^{2}}\) c.\(z \sqrt[3]{z^{2}}\)

Pruébalo\(\PageIndex{6}\)

Simplificar: a.\(\sqrt{p^{9}}\) b.\(\sqrt[5]{y^{8}}\) c.\(\sqrt[6]{q^{13}}\)

Contestar

a.\(p^{4} \sqrt{p}\) b.\(p \sqrt[5]{p^{3}}\) c.\(q^{2} \sqrt[6]{q}\)

Seguimos el mismo procedimiento cuando hay un coeficiente en el radicando. En el siguiente ejemplo, tanto la constante como la variable tienen factores cuadrados perfectos.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{72 n^{7}}\)
2. \(\sqrt[3]{24 x^{7}}\)
3. \(\sqrt[4]{80 y^{14}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{72 n^{7}}\)

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(\sqrt{36 n^{6} \cdot 2 n}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt{36 n^{6}} \cdot \sqrt{2 n}\)

Simplificar.

\(6\left|n^{3}\right| \sqrt{2 n}\)

b.

\(\sqrt[3]{24 x^{7}}\)

Reescribe el radicando como un producto usando factores de cubo perfectos.

\(\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[3]{8 x^{6}} \cdot \sqrt[3]{3 x}\)

Reescribir el primer radicando como\(\left(2 x^{2}\right)^{3}\).

\(\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}\)

Simplificar.

\(2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}\)

c.

\(\sqrt[4]{80 y^{14}}\)

Reescribe el radicando como producto usando cuatro factores de potencia perfectos.

\(\sqrt[4]{16 y^{12} \cdot 5 y^{2}}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[4]{16 y^{12}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

Reescribir el primer radicando como\(\left(2 y^{3}\right)^{4}\).

\(\sqrt[4]{\left(2 y^{3}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

Simplificar.

\(2\left|y^{3}\right| \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

Pruébalo\(\PageIndex{7}\)

Simplificar: a.\(\sqrt{32 y^{5}}\) b.\(\sqrt[3]{54 p^{10}}\) c.\(\sqrt[4]{64 q^{10}}\)

Contestar

a.\(4 y^{2} \sqrt{2 y}\) b.\(3 p^{3} \sqrt[3]{2 p}\) c.\(2 q^{2} \sqrt[4]{4 q^{2}}\)

Pruébalo\(\PageIndex{8}\)

Simplificar: a.\(\sqrt{75 a^{9}}\) b.\(\sqrt[3]{128 m^{11}}\) c.\(\sqrt[4]{162 n^{7}}\)

Contestar

a.\(5 a^{4} \sqrt{3 a}\) b.\(4 m^{3} \sqrt[3]{2 m^{2}}\) c.\(3|n| \sqrt[4]{2 n^{3}}\)

En el siguiente ejemplo, seguimos usando los mismos métodos a pesar de que hay más de una variable bajo el radical.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{63 u^{3} v^{5}}\)
2. \(\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}\)
3. \(\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{63 u^{3} v^{5}}\)

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(\sqrt{9 u^{2} v^{4} \cdot 7 u v}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt{9 u^{2} v^{4}} \cdot \sqrt{7 u v}\)

Reescribir el primer radicando como\(\left(3 u v^{2}\right)^{2}\).

\(\sqrt{\left(3 u v^{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{7 u v}\)

Simplificar.

\(3|u| v^{2} \sqrt{7 u v}\)

b.

\(\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}\)

Reescribe el radicand como un producto usando el factor cubo perfecto más grande.

\(\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3} \cdot 5 x y^{2}}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

Reescribir el primer radicando como\((2xy)^{3}\).

\(\sqrt[3]{(2 x y)^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

Simplificar.

\(2 x y \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

c.

\(\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}\)

Reescribe el radicando como un producto usando el cuarto factor de potencia perfecto más grande.

\(\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4} \cdot 3 y^{3}}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Reescribir el primer radicando como\((2xy)^{4}\).

\(\sqrt[4]{(2 x y)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Simplificar.

\(2|x y| \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Pruébalo\(\PageIndex{9}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{98 a^{7} b^{5}}\)
2. \(\sqrt[3]{56 x^{5} y^{4}}\)
3. \(\sqrt[4]{32 x^{5} y^{8}}\)

Contestar

1. \(7\left|a^{3}\right| b^{2} \sqrt{2 a b}\)
2. \(2 x y \sqrt[3]{7 x^{2} y}\)
3. \(2|x| y^{2} \sqrt[4]{2 x}\)

Pruébalo\(\PageIndex{10}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{180 m^{9} n^{11}}\)
2. \(\sqrt[3]{72 x^{6} y^{5}}\)
3. \(\sqrt[4]{80 x^{7} y^{4}}\)

Contestar

1. \(6 m^{4}\left|n^{5}\right| \sqrt{5 m n}\)
2. \(2 x^{2} y \sqrt[3]{9 y^{2}}\)
3. \(2|x y| \sqrt[4]{5 x^{3}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt[3]{-27}\)
2. \(\sqrt[4]{-16}\)

Solución:

a.

\(\sqrt[3]{-27}\)

Reescribe el radicando como un producto usando factores de cubo perfectos.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3}}\)

Toma la raíz cubicada.

\(-3\)

b.

\(\sqrt[4]{-16}\)

No hay un número real\(n\) donde\(n^{4}=-16\).

No es un número real

Pruébalo\(\PageIndex{11}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt[3]{-64}\)
2. \(\sqrt[4]{-81}\)

Contestar

1. \(-4\)
2. sin número real

Pruébalo\(\PageIndex{12}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt[3]{-625}\)
2. \(\sqrt[4]{-324}\)

Contestar

1. \(-5 \sqrt[3]{5}\)
2. sin número real

Hemos visto cómo usar el orden de las operaciones para simplificar algunas expresiones con radicales. En el siguiente ejemplo, tenemos la suma de un entero y una raíz cuadrada. Simplificamos la raíz cuadrada pero no podemos agregar la expresión resultante al entero ya que un término contiene un radical y el otro no. El siguiente ejemplo también incluye una fracción con un radical en el numerador. Recuerda que para simplificar una fracción necesitas un factor común en el numerador y denominador.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Simplificar:

1. \(3+\sqrt{32}\)
2. \(\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}\)

Solución:

a.

\(3+\sqrt{32}\)

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(3+\sqrt{16 \cdot 2}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(3+\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}\)

Simplificar.

\(3+4 \sqrt{2}\)

No se pueden agregar los términos ya que uno tiene un radical y el otro no. Tratar de agregar un entero y un radical es como intentar agregar un entero y una variable. ¡No son como términos!

b.

\(\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}\)

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

\(\dfrac{4-\sqrt{16 \cdot 3}}{2}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\dfrac{4-\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}}{2}\)

Simplificar.

\(\dfrac{4-4 \sqrt{3}}{2}\)

Facturar el factor común del numerador.

\(\dfrac{4(1-\sqrt{3})}{2}\)

Eliminar el factor común, 2, del numerador y denominador.

\(\dfrac{\cancel{2} \cdot 2(1-\sqrt{3})}{\cancel{2}}\)

Simplificar.

\(2(1-\sqrt{3})\)

Pruébalo\(\PageIndex{13}\)

Simplificar:

1. \(5+\sqrt{75}\)
2. \(\dfrac{10-\sqrt{75}}{5}\)

Contestar

1. \(5+5 \sqrt{3}\)
2. \(2-\sqrt{3}\)

Pruébalo\(\PageIndex{14}\)

Simplificar:

1. \(2+\sqrt{98}\)
2. \(\dfrac{6-\sqrt{45}}{3}\)

Contestar

1. \(2+7 \sqrt{2}\)
2. \(2-\sqrt{5}\)

Utilice la propiedad Cocient para simplificar expresiones radicales

Siempre que tengas que simplificar una expresión radical, el primer paso que debes dar es determinar si el radicando es un poder perfecto del índice. Si no es así, revisa el numerador y denominador para ver si hay factores comunes, y retírelos. Se puede encontrar una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son potencias perfectas del índice.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{45}{80}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{\dfrac{45}{80}}\)

Simplifica dentro del radical primero. Reescribir mostrando los factores comunes del numerador y denominador.

\(\sqrt{\dfrac{5 \cdot 9}{5 \cdot 16}}\)

Simplifica la fracción eliminando factores comunes.

\(\sqrt{\dfrac{9}{16}}\)

Simplificar. Nota\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}\).

\(\dfrac{3}{4}\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}\)

Simplifica dentro del radical primero. Reescribir mostrando los factores comunes del numerador y denominador.

\(\sqrt[3]{\dfrac{2 \cdot 8}{2 \cdot 27}}\)

Simplifica la fracción eliminando factores comunes.

\(\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}\)

Simplificar. Nota\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}\).

\(\dfrac{2}{3}\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}\)

Simplifica dentro del radical primero. Reescribir mostrando los factores comunes del numerador y denominador.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5 \cdot 1}{5 \cdot 16}}\)

Simplifica la fracción eliminando factores comunes.

\(\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}\)

Simplificar. Nota\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}\).

\(\dfrac{1}{2}\)

Pruébalo\(\PageIndex{15}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{75}{48}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{54}{250}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{32}{162}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{5}{4}\)
2. \(\dfrac{3}{5}\)
3. \(\dfrac{2}{3}\)

Pruébalo\(\PageIndex{16}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{98}{162}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{24}{375}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{4}{324}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{7}{9}\)
2. \(\dfrac{2}{5}\)
3. \(\dfrac{1}{3}\)

En el último ejemplo, nuestro primer paso fue simplificar la fracción bajo el radical eliminando factores comunes. En el siguiente ejemplo usaremos la Propiedad Cociente para simplificar bajo el radical. Dividimos las bases similares restando sus exponentes,

\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, \quad a \neq 0\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}\)

Simplifique primero la fracción dentro del radical. Dividir las bases similares restando los exponentes.

\(\sqrt{m^{2}}\)

Simplificar.

\(|m|\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}\)

Utilice la Propiedad Cociente de los exponentes para simplificar primero la fracción bajo el radical.

\(\sqrt[3]{a^{3}}\)

Simplificar.

\(a\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}\)

Utilice la Propiedad Cociente de los exponentes para simplificar primero la fracción bajo el radical.

\(\sqrt[4]{a^{8}}\)

Reescribe el radicando usando cuatro factores de potencia perfectos.

\(\sqrt[4]{\left(a^{2}\right)^{4}}\)

Simplificar.

\(a^{2}\)

Pruébalo\(\PageIndex{17}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{a^{8}}{a^{6}}}\)
2. \(\sqrt[4]{\dfrac{x^{7}}{x^{3}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{y^{17}}{y^{5}}}\)

Contestar

1. \(|a|\)
2. \(|x|\)
3. \(y^{3}\)

Pruébalo\(\PageIndex{18}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{x^{14}}{x^{10}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{m^{13}}{m^{7}}}\)
3. \(\sqrt[5]{\dfrac{n^{12}}{n^{2}}}\)

Contestar

1. \(x^{2}\)
2. \(m^{2}\)
3. \(n^{2}\)

¿Recuerdas el cociente de una propiedad eléctrica? Decía que podíamos elevar una fracción a una potencia elevando el numerador y el denominador al poder por separado.

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

Definición\(\PageIndex{3}\)

Propiedad del cociente de las expresiones radicales

Si\(\sqrt[n]{a}\) y\(\sqrt[n]{b}\) son números reales,\(b \neq 0\), y para cualquier entero\(n \geq 2\) entonces,

\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \text { and } \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\) how to simplify the quotient of radical expressions

Simplificar:\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\)

Solución:

Paso 1: Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.

\(\dfrac{27 m^{3}}{196}\)no se puede simplificar.

\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\)

Paso 2: Usa la Propiedad Cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.

Reescribimos\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\) como el cociente de\(\sqrt{27 m^{3}}\) y\(\sqrt{196}\).

\(\dfrac{\sqrt{27 m^{3}}}{\sqrt{196}}\)

Paso 3: Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

\(9m^{2}\)y\(196\) son cuadrados perfectos.

\(\dfrac{\sqrt{9 m^{2}} \cdot \sqrt{3 m}}{\sqrt{196}}\)

\(\dfrac{3 m \sqrt{3 m}}{14}\)

Pruébalo\(\PageIndex{19}\)

Simplificar:\(\sqrt{\dfrac{24 p^{3}}{49}}\).

Contestar

\(\dfrac{2|p| \sqrt{6 p}}{7}\)

Pruébalo\(\PageIndex{20}\)

Simplificar:\(\sqrt{\dfrac{48 x^{5}}{100}}\).

Contestar

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt{3 x}}{5}\)

Simplificar una raíz cuadrada usando la propiedad Cocient

1. Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.
2. Utilice la propiedad de cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
3. Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}\)

No podemos simplificar la fracción en el radicando. Reescribir usando la Propiedad Cociente.

\(\dfrac{\sqrt{45 x^{5}}}{\sqrt{y^{4}}}\)

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

\(\dfrac{\sqrt{9 x^{4}} \cdot \sqrt{5 x}}{y^{2}}\)

Simplificar.

\(\dfrac{3 x^{2} \sqrt{5 x}}{y^{2}}\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}\)

La fracción en el radicando no puede simplificarse. Utilice la Propiedad Cociente para escribir como dos radicales.

\(\dfrac{\sqrt[3]{24 x^{7}}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Reescribe cada radicando como un producto usando factores de cubo perfectos.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Reescribe el numerador como producto de dos radicales.

\(\dfrac{\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Simplificar.

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}}{y}\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}\)

La fracción en el radicando no puede simplificarse.

\(\dfrac{\sqrt[4]{48 x^{10}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}\)

Utilice la Propiedad Cociente para escribir como dos radicales. Reescribe cada radicando como un producto usando cuatro factores de potencia perfectos.

\(\dfrac{\sqrt[4]{16 x^{8} \cdot 3 x^{2}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}\)

Reescribe el numerador como producto de dos radicales.

\(\dfrac{\sqrt[4]{\left(2 x^{2}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 x^{2}}}{\sqrt[4]{\left(y^{2}\right)^{4}}}\)

Simplificar.

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{3 x^{2}}}{y^{2}}\)

Pruébalo\(\PageIndex{21}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{80 m^{3}}{n^{6}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{108 c^{10}}{d^{6}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{80 x^{10}}{y^{4}}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{4|m| \sqrt{5 m}}{\left|n^{3}\right|}\)
2. \(\dfrac{3 c^{3} \sqrt[3]{4 c}}{d^{2}}\)
3. \(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{5 x^{2}}}{|y|}\)

Pruébalo\(\PageIndex{22}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{54 u^{7}}{v^{8}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{40 r^{3}}{s^{6}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{162 m^{14}}{n^{12}}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{3 u^{3} \sqrt{6 u}}{v^{4}}\)
2. \(\dfrac{2 r \sqrt[3]{5}}{s^{2}}\)
3. \(\dfrac{3\left|m^{3}\right| \sqrt[4]{2 m^{2}}}{\left|n^{3}\right|}\)

Asegúrese de simplificar primero la fracción en el radicando, si es posible.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}\)

Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.

\(\sqrt{\dfrac{9 p^{4} q^{5}}{16}}\)

Reescribir usando la Propiedad Cociente.

\(\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{5}}}{\sqrt{16}}\)

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

\(\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{4}} \cdot \sqrt{q}}{4}\)

Simplificar.

\(\dfrac{3 p^{2} q^{2} \sqrt{q}}{4}\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)

Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.

\(\sqrt[3]{\dfrac{8 x^{3} y^{5}}{27}}\)

Reescribir usando la Propiedad Cociente.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{5}}}{\sqrt[3]{27}}\)

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{27}}\)

Simplificar.

\(\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.

\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{5} b^{4}}{16}}\)

Reescribir usando la Propiedad Cociente.

\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{5} b^{4}}}{\sqrt[4]{16}}\)

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{4} b^{4}} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{16}}\)

Simplificar.

\(\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}\)

Pruébalo\(\PageIndex{23}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{50 x^{5} y^{3}}{72 x^{4} y}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{5|y| \sqrt{x}}{6}\)
2. \(\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}\)
3. \(\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}\)

Pruébalo\(\PageIndex{24}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{\dfrac{48 m^{7} n^{2}}{100 m^{5} n^{8}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{54 x^{7} y^{5}}{250 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{32 a^{9} b^{7}}{162 a^{3} b^{3}}}\)

Contestar

1. \(\dfrac{2|m| \sqrt{3}}{5\left|n^{3}\right|}\)
2. \(\dfrac{3 x y \sqrt[3]{x^{2}}}{5}\)
3. \(\dfrac{2|a b| \sqrt[4]{a^{2}}}{3}\)

En el siguiente ejemplo, no hay nada que simplificar en los denominadores. Dado que el índice sobre los radicales es el mismo, podemos usar nuevamente la Propiedad Cociente, para combinarlos en un solo radical. Entonces buscaremos para ver si podemos simplificar la expresión.

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Simplificar:

1. \(\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}\)

Solución:

a.

\(\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}\)

El denominador no se puede simplificar, así que usa la Propiedad Cociente para escribir como un radical.

\(\sqrt{\dfrac{48 a^{7}}{3 a}}\)

Simplifica la fracción bajo el radical.

\(\sqrt{16 a^{6}}\)

Simplificar.

\(4\left|a^{3}\right|\)

b.

\(\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}\)

El denominador no se puede simplificar, así que usa la Propiedad Cociente para escribir como un radical.

\(\sqrt[3]{\dfrac{-108}{2}}\)

Simplifica la fracción bajo el radical.

\(\sqrt[3]{-54}\)

Reescribe el radicando como un producto usando factores de cubo perfectos.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3} \cdot 2}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3}} \cdot \sqrt[3]{2}\)

Simplificar.

\(-3 \sqrt[3]{2}\)

c.

\(\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}\)

El denominador no se puede simplificar, así que usa la Propiedad Cociente para escribir como un radical.

\(\sqrt[4]{\dfrac{96 x^{7}}{3 x^{2}}}\)

Simplifica la fracción bajo el radical.

\(\sqrt[4]{32 x^{5}}\)

Reescribe el radicando como producto usando cuatro factores de potencia perfectos.

\(\sqrt[4]{16 x^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}\)

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

\(\sqrt[4]{(2 x)^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}\)

Simplificar.

\(2|x| \sqrt[4]{2 x}\)

Pruébalo\(\PageIndex{25}\)

Simplificar:

1. \(\dfrac{\sqrt{98 z^{5}}}{\sqrt{2 z}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-500}}{\sqrt[3]{2}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{486 m^{11}}}{\sqrt[4]{3 m^{5}}}\)

Contestar

1. \(7z^{2}\)
2. \(-5 \sqrt[3]{2}\)
3. \(3|m| \sqrt[4]{2 m^{2}}\)

Pruébalo\(\PageIndex{26}\)

Simplificar:

1. \(\dfrac{\sqrt{128 m^{9}}}{\sqrt{2 m}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-192}}{\sqrt[3]{3}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{324 n^{7}}}{\sqrt[4]{2 n^{3}}}\)

Contestar

1. \(8m^{4}\)
2. \(-4\)
3. \(3|n| \sqrt[4]{2}\)

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con expresiones radicales simplificadas.

• Simplificación de raíz cuadrada y raíz cubo con variables
• Expresar un Radical en Formas Cuadradas Simplificadas y Raíces Cubicas con Variables y Exponentes
• Simplificando las raíces de cubo

Conceptos clave

• Expresión Radical Simplificada
  • Para números reales\(a, m\) y\(n≥2\)
    \(\sqrt[n]{a}\) se considera simplificado si no\(a\) tiene factores de\(m^{n}\)
• Propiedad del producto de\(n^{th}\) las raíces
  • Para cualquier número real,\(\sqrt[n]{a}\) y\(\sqrt[n]{b}\), y para cualquier entero\(n≥2\)
    \(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) y\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)
• Cómo simplificar una expresión radical usando la propiedad Product
  1. Encuentra el factor más grande en el radicando que es una potencia perfecta del índice.
     Reescribir el radicando como producto de dos factores, utilizando ese factor.
  2. Usa la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales.
  3. Simplifica la raíz de la potencia perfecta.
• Propiedad del cociente de las expresiones radicales
  • Si\(\sqrt[n]{a}\) y\(\sqrt[n]{b}\) son números reales,\(b≠0\), y para cualquier entero\(n≥2\) entonces,\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) y\(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)
• Cómo simplificar una expresión radical usando la Propiedad Cociente.
  1. Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.
  2. Utilice la propiedad de cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
  3. Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.