8.7: Resolver ecuaciones radicales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Resolver ecuaciones radicales
• Resuelve ecuaciones radicales con dos radicales
• Usar radicales en aplicaciones

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar:$(y−3)^{2}$.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.31.
2. Resolver:$2x−5=0$.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.2.
3. Resolver$n^{2}−6n+8=0$.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.45.

Resolver ecuaciones radicales

En esta sección resolveremos ecuaciones que tienen una variable en el radicando de una expresión radical. Una ecuación de este tipo se denomina ecuación radical.

Definición$\PageIndex{1}$

Una ecuación en la que una variable está en el radicando de una expresión radical se denomina ecuación radical.

Como es habitual, al resolver estas ecuaciones, lo que hacemos a un lado de una ecuación debemos hacer también al otro lado. Una vez que aislemos al radical, nuestra estrategia será elevar ambos lados de la ecuación al poder del índice. Esto eliminará al radical.

Resolver ecuaciones radicales que contienen un índice par elevando ambos lados a la potencia del índice puede introducir una solución algebraica que no sería una solución a la ecuación radical original. Nuevamente, llamamos a esto una solución extraña como lo hicimos cuando resolvimos ecuaciones racionales.

En el siguiente ejemplo, veremos cómo resolver una ecuación radical. Nuestra estrategia se basa en elevar un radical con índice$n$ al$n^{th}$ poder. Esto eliminará al radical.

Para$a \geq 0,(\sqrt[n]{a})^{n}=a$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$ how to solve a radical equation

Resolver:$\sqrt{5 n-4}-9=0$.

Solución:

Cuadro 8.6.1

Paso 1: Aislar el radical en un lado de la ecuación.	Para aislar el radical, agregue$9$ a ambos lados. Simplificar.	$\begin{array}{c}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5 n-4}-9\color{red}{+9}\color{black}{=}0\color{red}{+9}} \\ {\sqrt{5 n-4}=9}\end{array}$
Paso 2: Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice.	Como el índice de una raíz cuadrada es$2$, cuadramos ambos lados.	$(\sqrt{5 n-4})^{2}=(9)^{2}$
Paso 3: Resuelve la nueva ecuación.	Recuerda,$(\sqrt{a})^{2}=a$.	$\begin{aligned} 5 n-4 &=81 \\ 5 n &=85 \\ n &=17 \end{aligned}$
Paso 4: Verifique la respuesta en la ecuación original.		Consulta la respuesta. $\begin{array}{r}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5(\color{red}{17}\color{black}{)}-4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{85-4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{81}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {9-9=0} \\ {0=0}\end{array}$ La solución es$n=17$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Resolver:$\sqrt{3 m+2}-5=0$.

Contestar

$m=\frac{23}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Resolver:$\sqrt{10 z+1}-2=0$.

Contestar

$z=\frac{3}{10}$

Resolver una ecuación radical con un radical

1. Aísle el radical en un lado de la ecuación.
2. Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice.
3. Resuelve la nueva ecuación.
4. Verifique la respuesta en la ecuación original.

Cuando usamos un signo radical, indica la raíz principal o positiva. Si una ecuación tiene un radical con un índice par igual a un número negativo, esa ecuación no tendrá solución.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Resolver:$\sqrt{9 k-2}+1=0$.

Solución:

Cuadro 8.6.2

Para aislar al radical, restar$1$ a ambos lados.
Simplificar.

Debido a que la raíz cuadrada es igual a un número negativo, la ecuación no tiene solución.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Resolver:$\sqrt{2 r-3}+5=0$.

Contestar

sin solución

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Resolver:$\sqrt{7 s-3}+2=0$.

Contestar

sin solución

Si un lado de una ecuación con una raíz cuadrada es un binomio, utilizamos el Patrón Producto de Cuadrados Binomiales cuando lo cuadramos.

Definición$\PageIndex{2}$

Cuadrados Binomiales

$\begin{array}{l}{(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}}\end{array}$

¡No olvides el término medio!

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Resolver:$\sqrt{p-1}+1=p$.

Solución:

Cuadro 8.6.3

Para aislar al radical, restar$1$ de ambos lados.
Simplificar.
Cuadrando ambos lados de la ecuación.
Simplifica, usando el Patrón Producto de Cuadrados Binomiales a la derecha, Luego resuelve la nueva ecuación.
Es una ecuación cuadrática, así que consigue cero en un lado.
Factorial el lado derecho.
Utilice la Propiedad de Producto Cero.
Resuelve cada ecuación.
Consulta las respuestas.

Las soluciones son$p=1, p=2$.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Resolver:$\sqrt{x-2}+2=x$.

Responder

$x=2, x=3$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Resolver:$\sqrt{y-5}+5=y$.

Responder

$y=5, y=6$

Cuando el índice del radical es$3$, cubicamos ambos lados para eliminar el radical.

$(\sqrt[3]{a})^{3}=a$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Resolver:$\sqrt[3]{5 x+1}+8=4$.

Solución:

Cuadro 8.6.4

	$\sqrt[3]{5 x+1}+8=4$
Para aislar al radical, restar$8$ de ambos lados.	$\sqrt[3]{5 x+1}=-4$
Cube ambos lados de la ecuación.	$(\sqrt[3]{5 x+1})^{3}=(-4)^{3}$
Simplificar.	$5 x+1=-64$
Resuelve la ecuación.	$5 x=-65$
	$x=-13$
Consulta la respuesta.
	La solución es$x=-13$.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Resolver:$\sqrt[3]{4 x-3}+8=5$

Responder

$x=-6$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Resolver:$\sqrt[3]{6 x-10}+1=-3$

Responder

$x=-9$

A veces una ecuación contendrá exponentes racionales en lugar de un radical. Utilizamos las mismas técnicas para resolver la ecuación que cuando tenemos un radical. Elevamos cada lado de la ecuación al poder del denominador del exponente racional. Ya que$\left(a^{m}\right)^{^{n}}=a^{m \cdot n}$, tenemos por ejemplo,

$\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=x,\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=x$

Recuerda,$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ y$x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Resolver:$(3 x-2)^{\frac{1}{4}}+3=5$.

Solución:

Cuadro 8.6.5

	$(3 x-2)^{\frac{1}{4}}+3=5$
Para aislar el término con el exponente racional, restar$3$ de ambos lados.	$(3 x-2)^{\frac{1}{4}}=2$
Elevar cada lado de la ecuación a la cuarta potencia.	$\left((3 x-2)^{\frac{1}{4}}\right)^{4}=(2)^{4}$
Simplificar.	$3 x-2=16$
Resuelve la ecuación.	$3x=18$
	$x=6$
Consulta la respuesta.
	La solución es$x=6$.

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Resolver:$(9 x+9)^{\frac{1}{4}}-2=1$

Responder

$x=8$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Resolver:$(4 x-8)^{\frac{1}{4}}+5=7$

Responder

$x=6$

A veces la solución de una ecuación radical da como resultado dos soluciones algebraicas, ¡pero una de ellas puede ser una solución ajena!

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Resolver:$\sqrt{r+4}-r+2=0$.

Solución:

Cuadro 8.6.6

	$\sqrt{r+4}-r+2=0$
Aislar el radical.	$\sqrt{r+4}=r-2$
Cuadrando ambos lados de la ecuación.	$(\sqrt{r+4})^{2}=(r-2)^{2}$
Simplifica y luego resuelve la ecuación.	$r+4=r^{2}-4 r+4$
Si se trata de una ecuación cuadrática, entonces consigue cero en un lado.	$0=r^{2}-5 r$
Factorial el lado derecho.	$0=r(r-5)$
Utilice la Propiedad de Producto Cero.	$0=r \quad 0=r-5$
Resuelve la ecuación.	$r=0 \quad r=5$
Comprueba tu respuesta.
	La solución es$r=5$.
	$r=0$es una solución extrenea.

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Resolver:$\sqrt{m+9}-m+3=0$

Responder

$m=7$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Resolver:$\sqrt{n+1}-n+1=0$.

Responder

$n=3$

Cuando hay un coeficiente frente al radical, debemos elevarlo también al poder del índice.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Resolver:$3 \sqrt{3 x-5}-8=4$.

Solución:

Cuadro 8.6.7

	$3 \sqrt{3 x-5}-8=4$
Aislar el término radical.	$3 \sqrt{3 x-5}=12$
Aislar el radical dividiendo ambos lados por$3$.	$\sqrt{3 x-5}=4$
Cuadrando ambos lados de la ecuación.	$(\sqrt{3 x-5})^{2}=(4)^{2}$
Simplifica, luego resuelve la nueva ecuación.	$3 x-5=16$
	$3x=21$
Resuelve la ecuación.	$x=7$
Consulta la respuesta.
	La solución es$x=7$.

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Resolver:$2 \sqrt{4 a+4}-16=16$.

Responder

$a=63$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Resolver:$3 \sqrt{2 b+3}-25=50$

Responder

$b=311$

Resuelve ecuaciones radicales con dos radicales

Si la ecuación radical tiene dos radicales, comenzamos aislando uno de ellos. A menudo resulta más fácil aislar primero al radical más complicado.

En el siguiente ejemplo, cuando se aísla un radical, también se aísla el segundo radical.

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Resolver:$\sqrt[3]{4 x-3}=\sqrt[3]{3 x+2}$.

Solución:

Los términos radicales están aislados.

$\sqrt[3]{4 x-3}=\sqrt[3]{3 x+2}$

Ya que el índice es$3$, cubo ambos lados de la ecuación.

$(\sqrt[3]{4 x-3})^{3}=(\sqrt[3]{3 x+2})^{3}$

Simplifica, luego resuelve la nueva ecuación.

$\begin{aligned} 4 x-3 &=3 x+2 \\ x-3 &=2 \\ x &=5 \end{aligned}$

La solución es$x=5$.

Consulta la respuesta.

¡Te dejamos que muestres esos$5$ cheques!

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Resolver:$\sqrt[3]{5 x-4}=\sqrt[3]{2 x+5}$.

Responder

$x=3$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Resolver:$\sqrt[3]{7 x+1}=\sqrt[3]{2 x-5}$.

Responder

$x=-\frac{6}{5}$

A veces después de elevar ambos lados de una ecuación a una potencia, todavía tenemos una variable dentro de un radical. Cuando eso sucede, repetimos el Paso 1 y el Paso 2 de nuestro procedimiento. Aislamos al radical y elevamos nuevamente ambos lados de la ecuación al poder del índice.

Ejemplo$\PageIndex{9}$ how to solve a radical equation

Resolver:$\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}$.

Solución:

Cuadro 8.6.8

Paso 1: Aislar uno de los términos radicales en un lado de la ecuación.	El radical de la derecha está aislado.	$\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}$
Paso 2: Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice.	Cuadramos ambos lados. Simplifica: ¡ten mucho cuidado a medida que te multiplicas!	$(\sqrt{m}+1)^{2}=(\sqrt{m+9})^{2}$
Paso 3: ¿Hay más radicales? En caso afirmativo, repita el Paso 1 y el Paso 2 nuevamente. Si no, resuelve la nueva ecuación.	Todavía hay un radical en la ecuación. Por lo que debemos repetir los pasos anteriores. Aislar el término radical. Aquí, podemos aislar fácilmente al radical dividiendo ambos lados por$2$. Cuadrado a ambos lados.	$\begin{aligned} m+2 \sqrt{m}+1 &=m+9 \\ 2 \sqrt{m} &=8 \\ \sqrt{m} &=4 \\(\sqrt{m})^{2} &=(4)^{2} \\ m &=16 \end{aligned}$
Paso 4: Verifique la respuesta en la ecuación original.		$\begin{aligned}\sqrt{m}+1&=\sqrt{m+9} \\ \sqrt{\color{red}{16}}\color{black}{+}1& \stackrel{?}{=} \sqrt{\color{red}{16}\color{black}{+}9} \\ 4+1& \stackrel{?}{=} 5 \\ 5&=5\end{aligned}$ La solución es$m=16$.

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Resolver:$3-\sqrt{x}=\sqrt{x-3}$.

Responder

$x=4$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Resolver:$\sqrt{x}+2=\sqrt{x+16}$.

Responder

$x=9$

Resumimos los pasos aquí. Hemos ajustado nuestros pasos anteriores para incluir más de un radical en la ecuación Este procedimiento ahora funcionará para cualquier ecuación radical.

Resolver una ecuación radical

1. Aislar uno de los términos radicales en un lado de la ecuación.
2. Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice.
3. ¿Hay más radicales?
   En caso afirmativo, repita el Paso 1 y el Paso 2 nuevamente.
   Si no, resuelve la nueva ecuación.
4. Verifique la respuesta en la ecuación original.

Tenga cuidado ya que cuadra los binomios en el siguiente ejemplo. Recuerda el patrón en$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$ o$(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Resolver:$\sqrt{q-2}+3=\sqrt{4 q+1}$.

Solución:

Cuadro 8.6.9

El radical de la derecha está aislado. Cuadrado a ambos lados.
Simplificar.
Todavía hay un radical en la ecuación por lo que debemos repetir los pasos anteriores. Aislar el radical.
Cuadrado a ambos lados. No ayudaría dividir entre ambas partes$6$. Recuerda cuadrar tanto el$6$ como el$\sqrt{q-2}$.
Simplifica, luego resuelve la nueva ecuación.
Distribuir.
Es una ecuación cuadrática, así que consigue cero en un lado.
Factorial el lado derecho.
Utilice la Propiedad de Producto Cero.
Los cheques te quedan a ti.	Las soluciones son$q=6$ y$q=2$.

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Resolver:$\sqrt{x-1}+2=\sqrt{2 x+6}$

Responder

$x=5$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Resolver:$\sqrt{x}+2=\sqrt{3 x+4}$

Responder

$x=0 x=4$

Uso de radicales en aplicaciones

A medida que avanzas en tus cursos universitarios, te encontrarás con fórmulas que incluyen radicales en muchas disciplinas. Modificaremos ligeramente nuestra Estrategia de Resolución de Problemas para Aplicaciones de Geometría para darnos un plan de resolución de aplicaciones con fórmulas de cualquier disciplina.

Utilice una estrategia de resolución de problemas para aplicaciones con fórmulas

1. Lee el problema y asegúrate de que se entiendan todas las palabras e ideas. Cuando corresponda, dibuje una figura y etiquételo con la información dada.
2. Identificar lo que estamos buscando.
3. Nombra lo que estamos buscando eligiendo una variable para representarlo.
4. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
7. Contesta la pregunta con una oración completa.

Una aplicación de radicales tiene que ver con el efecto de la gravedad sobre los objetos que caen. La fórmula nos permite determinar cuánto tiempo tardará un objeto caído en golpear al gound.

Definición$\PageIndex{2}$

Objetos que caen

En la Tierra, si un objeto se deja caer desde una altura de$h$ pies, el tiempo en segundos que tardará en llegar al suelo se encuentra usando la fórmula

$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$

Por ejemplo, si un objeto se deja caer desde una altura de$64$ pies, podemos encontrar el tiempo que lleva llegar al suelo sustituyéndolo$h=64$ en la fórmula.

Cuadro 8.6.10

Toma la raíz cuadrada de$64$.
Simplifica la fracción.

Tomaría$2$ segundos para que un objeto caído desde una altura de$64$ pies llegue al suelo.

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Marissa dejó caer sus gafas de sol desde un puente$400$ pies sobre un río. Usa la fórmula$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$ para encontrar cuántos segundos tardaron las gafas de sol en llegar al río.

Solución:

Cuadro 8.6.11

Paso 1: Lee el problema.
Paso 2: Identificar lo que estamos buscando.	El tiempo que tardan las gafas de sol en llegar al río.
Paso 3: Nombra lo que estamos buscando.	Dejar (t=\) tiempo.
Paso 4: Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula apropiada. Sustituir en la información dada.
Paso 5: Resuelve la ecuación.
Paso 6: Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
¿Los$5$ segundos parecen un período de tiempo razonable?	Sí.
Paso 7: Contesta la ecuación.	Las gafas de sol tardarán$5$ segundos en llegar al río.

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Un helicóptero arrojó un paquete de rescate desde una altura de$1,296$ pies. Usa la fórmula$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$ para encontrar cuántos segundos tardó el paquete en llegar al suelo.

Responder

$9$segundos

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Un lavaparabrisas dejó caer una escobilla de goma desde una plataforma con$196$ pies sobre la acera. Usa la fórmula$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$ para encontrar cuántos segundos tardó en llegar a la acera la rasqueta.

Responder

$3.5$segundos

Los policías que investigan accidentes automovilísticos miden la longitud de las marcas de derrape en el pavimento. Entonces usan raíces cuadradas para determinar la velocidad, en millas por hora, un automóvil iba antes de aplicar los frenos.

Definición$\PageIndex{3}$

Marcas de derrape y velocidad de un automóvil

Si la longitud de las marcas de derrape es de$d$ pies, entonces la velocidad$s$,, del automóvil antes de que se aplicaran los frenos se puede encontrar usando la fórmula

$s=\sqrt{24 d}$

Ejemplo$\PageIndex{12}$

Después de un accidente automovilístico, las marcas de derrape para un auto$190$ medían pies. Usa la fórmula$s=\sqrt{24d}$ para encontrar la velocidad del auto antes de que se aplicaran los frenos. Redondee su respuesta a la décima más cercana.

Solución:

Cuadro 8.6.12

Paso 1: Lee el problema.
Paso 2: Identificar lo que estamos buscando.	La velocidad de un auto.
Paso 3: Nombra lo que estamos buscando.	Deja que$s=$ la velocidad.
Paso 4: Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula apropiada. Sustituir en la información dada.
Paso 5: Resuelve la ecuación.
Redondear a$1$ decimal.
	La velocidad del auto antes de que se aplicaran los frenos era de$67.5$ millas por hora.

Ejercicio$\PageIndex{23}$

Un investigador de accidentes midió las marcas de derrape del automóvil. La longitud de las marcas de derrape era de$76$ pies. Usa la fórmula$s=\sqrt{24d}$ para encontrar la velocidad del auto antes de que se aplicaran los frenos. Redondee su respuesta a la décima más cercana.

Responder

$42.7$pies

Ejercicio$\PageIndex{24}$

Las marcas de derrape de un vehículo involucrado en un accidente fueron de$122$ pies de largo. Usa la fórmula$s=\sqrt{24d}$ para encontrar la velocidad del vehículo antes de aplicar los frenos. Redondee su respuesta a la décima más cercana.

Responder

$54.1$pies

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la resolución de ecuaciones radicales.

• Resolver una ecuación que involucra a un solo radical
• Resolver ecuaciones con radicales y exponentes racionales
• Resolviendo ecuaciones radicales
• Resolver ecuaciones radicales
• Aplicación de Ecuación Radical

Conceptos clave

• Cuadrados Binomiales
  $\begin{array}{l}{(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}}\end{array}$
• Resolver una ecuación radical
  1. Aislar uno de los términos radicales en un lado de la ecuación.
  2. Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice.
  3. ¿Hay más radicales?
     En caso afirmativo, repita el Paso 1 y el Paso 2 nuevamente.
     Si no, resuelve la nueva ecuación.
  4. Verifique la respuesta en la ecuación original.
• Estrategia de Resolución de Problemas para Aplicaciones con Fórmulas
  1. Lee el problema y asegúrate de que se entiendan todas las palabras e ideas. Cuando corresponda, dibuje una figura y etiquételo con la información dada.
  2. Identificar lo que estamos buscando.
  3. Nombra lo que estamos buscando eligiendo una variable para representarlo.
  4. Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
  5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
  6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
  7. Contesta la pregunta con una oración completa.
• Objetos que caen
  • En la Tierra, si un objeto se deja caer desde una altura de$h$ pies, el tiempo en segundos que tardará en llegar al suelo se encuentra usando la fórmula$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$.
• Marcas de derrape y velocidad de un automóvil
  • Si la longitud de las marcas de derrape es de$d$ pies, entonces la velocidad$s$,, del automóvil antes de que se aplicaran los frenos se puede encontrar usando la fórmula$s=\sqrt{24d}$.

Glosario

ecuación radical

Una ecuación en la que una variable está en el radicando de una expresión radical se denomina ecuación radical.