5.6: Diferenciación implícita

Las técnicas de diferenciación hasta este punto se han aplicado a las definiciones de función (ecuaciones) de la forma y = f (x). No todas las funciones pueden ser declaradas en esta forma, por ejemplo, cuando están involucrados productos de x e y. Cuando no pueden, encontrar la derivada de y puede requerir una técnica diferente.

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Diferenciación implícita

Considera la ecuación 2xy=1.

Queremos obtener la derivada ^dy/_dx. Una forma de hacerlo es primero resolver para y, para producir una función explícita de x,

$$y=\frac{1}{2x} \nonumber$$

y luego tomar la derivada por ambos lados,

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[\frac{1}{2x}] \nonumber$$

$$=\frac{−1}{2x^2} \nonumber$$

Sin embargo, hay otra manera de encontrar dydx que utiliza la ecuación original que es una función implícita de x. Podemos diferenciar directamente ambos lados.

Encuentra la derivada ^dy/_dx de la ecuación 2xy=1 sin transformarla en una función explícita de x Para ello, diferencie directamente ambos lados:

$$\frac{d}{dx}[2xy]=\frac{d}{dx}[1] \nonumber$$

Usando la Regla de Producto en el lado izquierdo,

$$y\frac{d}{dx}[2x]+2x\frac{d}{dx}[y] = 0 \nonumber$$

$$y[2]+2x\frac{dy}{dx}=0 \nonumber$$

Tenga en cuenta que la regla de cadena se aplica al tomar la derivada de un término con y y se incluye un dydx para esos términos. Resolviendo para dydx,

$$\frac{dy}{dx}=\frac{−2y}{2x+=\frac{−y}{x}} \nonumber$$

Pero como la $$y=\frac{1}{2x} \nonumber$$ sustitución da

$$\frac{dy}{dx}=−\frac{1}{x(2x)} \nonumber$$

$$=−\frac{1}{2x^2} \nonumber$$

Este resultado concuerda con los cálculos anteriores. Este segundo método de encontrar una derivada se llama diferenciación implícita. Puedes considerar el proceso y decir que el primer método es más fácil y rápido y no hay razón para el segundo método. Eso puede ser cierto para este ejemplo y algunos otros, pero considere el siguiente problema.

Encuentra ^dy/_dx si 3y ² −cosy=x ³.

Buena suerte encontrando una representación de función explícita de esta ecuación. Intentemos la diferenciación implícita y veamos qué pasa.

Diferenciando ambos lados de la ecuación con respecto a x y luego resolviendo para ^dy/_dx,

$$\frac{d}{dx}[3y^2−cosy]=\frac{d}{dx}[x^3] \nonumber$$

$$3\frac{d}{dx}[y^2]−\frac{d}{dx}[cosy]=3x^2 \nonumber$$

$$3(2y\frac{dy}{dx})−(−siny)\frac{dy}{dx}=3x^2 \nonumber$$

$$6y\frac{dy}{dx}+siny\frac{dy}{dx}=3x^2 \nonumber$$

$$[6y+siny]\frac{dy}{dx}=3x^2 \nonumber$$

Resolviendo para ^dy/_dx, finalmente obtenemos

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{6y+siny} \nonumber$$

En este problema, la diferenciación implícita proporcionó un camino viable hacia una solución.

La diferenciación implícita se puede utilizar para calcular la pendiente de la línea tangente como muestra el problema a continuación.

Encuentra la ecuación de la línea tangente que pasa por el punto (1, 2) en la gráfica de 8y ³ +x2y−x=3.

El enfoque general para resolver este problema es:

1. encuentra ^dy/_dx, luego
2. sustituir el punto (1, 2) en la derivada para encontrar la pendiente, y luego
3. usa la ecuación de la línea (ya sea la forma pendiente-intercepción o la forma punto-intercepción) para encontrar la ecuación de la línea tangente.

Para el paso 1, no es obvio encontrar una representación de función explícita de la ecuación. El uso de diferenciación implícita, sin embargo, permite la diferenciación de ambos lados:

$$\frac{d}{dx}[8y^3+x^2y−x]=\frac{d}{dx}[3] \nonumber$$

$$24y^2\frac{dy}{dx}+[(x^2)(1)\frac{dy}{dx}+y(2x)]−1=0 \nonumber$$

$$24y^2\frac{dy}{dx}+x^2\frac{dy}{dx}+2xy−1=0 \nonumber$$

$$[24y^2+x^2]\frac{dy}{dx}=1−2xy \nonumber$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1−2xy}{24y^2+x^2} \nonumber$$

Ahora, sustituyendo el punto (1, 2) en la derivada para encontrar la pendiente,

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1−2(1)(2)}{24(2)2+(1)^2} \nonumber$$

$$=\frac{−3}{97} \nonumber$$

Entonces la pendiente de la línea tangente es ⁻³/₉₇, que es un valor pequeño. (¿Qué nos dice esto sobre la orientación de la línea tangente?)

A continuación necesitamos encontrar la ecuación de la línea tangente. La forma pendiente-intercepción es

$$y=mx+b \nonumber$$

donde m=−397 y b es la intercepción y-. Para encontrar b, simplemente sustituya el punto (1, 2) en la ecuación de línea y resuelva:

$$2=(−397)(1)+b \nonumber$$

$$b=\frac{197}{97} \nonumber$$

Así, la ecuación de la línea tangente es

$$y=\frac{−3}{97}x+\frac{197}{97} \nonumber$$

Tenga en cuenta que podríamos haber usado la forma equivalente de pendiente de punto $$y−y_1=m(x−x_1) \nonumber$$

Para resumir, para encontrar la derivada de una función implícita siga los siguientes pasos:

1. Diferenciar ambos lados con respecto a x
2. Recoge todos los términos ^dy/_dx en el lado izquierdo de la ecuación y coloca los otros términos sin ^dy/_dx en el lado derecho.
3. Factor común ^dy/_dx de todos los términos
4. Resuelve para ^dy/_dx.

Tenga en cuenta que la expresión para la derivada ^dy/_dx puede involucrar tanto x como y.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Utilice la diferenciación implícita para encontrar ^{_d 2 _y}/_{dx ²} si 5x ² −4y ² =9.

$$\frac{d}{dx}[5x^2−4y^2]= \frac{d}{dx}[9] \nonumber$$

$$10x−8y \frac{dy}{dx}=0 \nonumber$$

Resolviendo para ^dy/_dx,

$$\frac{dy}{dx}= \frac{5x}{4y} \nonumber$$

Diferenciar ambas partes implícitamente de nuevo (y usando la regla del cociente),

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(4y)(5)−(5x)(4\frac{dy}{dx})}{(4y)^2} \nonumber$$

$$=\frac{20y}{16y^2}−\frac{20x}{16y^2} \frac{dy}{dx} \nonumber$$

$$= \frac{5}{4y}−\frac{5x}{4y} \frac{dy}{dx} \nonumber$$

Pero desde $$\frac{dy}{dx}=\frac{5x}{4y} \nonumber$$

la sustituimos por la segunda derivada:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{5}{4y}−\frac{5x}{4y}⋅\frac{5x}{4y} \nonumber$$

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{5}{4y}−\frac{25x^2}{16y^2} \nonumber$$

Esta es la segunda derivada de y.

Ejemplo 2

Usar diferenciación implícita para encontrar $$\frac{d^2y}{dx^2}|_{(x,y)=(2,3)} \nonumber$$

El siguiente paso es encontrar: $$\frac{d^2y}{dx^2|_{(x,y)=(2,3)}} \nonumber$$

$$\frac{d^2y}{dx^2}|_{(2,3)}=\frac{5}{4(2)}−\frac{25(2)^2}{16(3)^2} \nonumber$$

$$=−\frac{5}{72} \nonumber$$

Ejemplo 3

¿Qué representa la segunda derivada?

Dado que la primera derivada de una función representa la tasa de cambio de la función y=f (x) con respecto a x, la segunda derivada representa la tasa de cambio de la función. Por ejemplo, en la cinemática (el estudio del movimiento), la velocidad de un objeto (y′) significa el cambio de posición con respecto al tiempo pero la aceleración (y′′) significa la velocidad de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.

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Revisar

Para #1 -6, encuentra ^dy/_dx por diferenciación implícita.

1. $$x^2+y^2=500 \nonumber$$
2. $$x^2y+3xy−2=1 \nonumber$$
3. $$\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{2} \nonumber$$
4. $$\sqrt{x}−\sqrt{y}= \sqrt{3} \nonumber$$
5. $$sin(25xy^2)=x \nonumber$$
6. $$tan^3(x^2−y^2)=tan(\frac{π}{4}) \nonumber$$ )

Para #7 -8, use diferenciación implícita para encontrar la pendiente de la línea tangente a la curva dada en el punto especificado.

7. $$x^2y−y^2x=−1 \nonumber$$ en (1,1)
8. $$sin(xy)=y \nonumber$$ en (π,1)
9. Encontrar y′′ por diferenciación implícita para x ³ y ³ =5.
10. Utilice diferenciación implícita para mostrar que la línea tangente a la curva y ² =kx at (x ₀, y ₀) viene dada por $$y_0y= \frac{1}{2}k(x+x_0) \nonumber$$ donde k es una constante.
11. Encuentra $$\frac{d}{dx}(xsin(y)+ysin(x)) \nonumber$$
12. Encuentra y′ si $$x^2+xy+y^2=10 \nonumber$$
13. Encuentra la fórmula para la línea tangente a la curva $$y^3+2xy^2−x=2 \nonumber$$ en el punto (1, 1).
14. Encuentra $$\frac{d}{dx}(\sqrt{xy}) \nonumber$$
15. y ² +sin (y) =x. Encuentra $$\frac{d^2y}{dx^2} \nonumber$$ en términos de x e y.

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Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.10.

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El vocabulario

Término	Definición
función explícita	Una función explícita es una función donde es posible declarar la variable dependiente como una función únicamente de la variable independiente.
diferenciación implícita	La diferenciación implícita es una aplicación de diferenciación sobre una función implícita que puede producir una expresión que involucra tanto a las variables independientes como a las dependientes.
función implícita	Una función implícita es una función donde la variable dependiente no es una función explícita de la variable independiente.
Línea tangente	Una línea tangente es una línea que “solo toca” una curva en un solo punto y ningún otro.

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Recursos adicionales

Video: Diferenciación implícita por Khan Academy

Práctica: Diferenciación implícita

Mundo Real: El Color Morado