4.5: Triángulos equiláteros

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Propiedades de triángulos con tres lados iguales.

Teorema del Triángulo Equilátero: Todos los triángulos equiláteros también son equiangulares. Además, todos los triángulos equiangulares también son equiláteros.

f-d_8f7eede1204302418e1424f330dc88db79a35babad10dfc3d161f618+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{1}\)

Si\(\overline{AB}\cong \overline{BC}\cong \overline{AC}\), entonces\(\angle A\cong \angle B\cong \angle C\). Por el contrario, si\(\angle A\cong \angle B\cong \angle C\), entonces\(\overline{AB}\cong \overline{BC}\cong \overline{AC}\).

¿Y si te presentaran un triángulo equilátero y te dijeran que sus lados miden\(x\), \(y\), y 8? ¿De qué podrías concluir\(x\) y\(y\)?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Rellene el comprobante:

Dado: Equilátero\(\Delta RST\) con

\(\overline{RT}\cong \overline{ST}\cong \overline{RS}\)

Demostrar:\(\Delta RST\) es equiangular

f-d_9ddf3fb72ca471f7e81104a9c522b71b3f419c20b14f5684e902a7c4+imagen_tiny+imagen_tiny.png — Figura\(\PageIndex{2}\)

Solución

*Declaración*	*Razón*
1.	1. Dado
2.	2. Teorema de ángulos de base
3.	3. Teorema de ángulos de base
4.	4. Transitivo\(PoC\)
5. \(\Delta RST\)es equiangular	5.

*Declaración*	*Razón*
1. \(RT\overline{AB}\cong ST\overline{AB}\cong RS\overline{AB}\)	1. Dado
2. \(\angle R\cong \angle S\)	2. Teorema de ángulos de base
3. \(\angle T\cong \angle R\)	3. Teorema de ángulos de base
4. \(\angle T\cong \angle S\)	4. Transitivo\(PoC\)
5. \(\Delta RST\)es equiangular	5. Definición de equiangular.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Verdadero o falso: Todos los triángulos equiláteros son triángulos isósceles.

Solución

Esta afirmación es cierta. La definición de un triángulo isósceles es un triángulo con al menos dos lados congruentes. Dado que todos los triángulos equiláteros tienen tres lados congruentes, se ajustan a la definición de un triángulo isósceles.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el valor de\(x\).

f-d_95e02acc8d554078a2d006667bd2925fa2f21c2b786bcb58dd134570+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{3}\)

Solución

Porque se trata de un triángulo equilátero\(3x−1=11\). Resolver para\(x\).

\(\bgin{align*} 3x−1&=11 \\3x&=12 \\ x&=4 \end{align*}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra los valores de\(x\) y\(y\).

f-d_757dfef69dbac7f1274f934a7c4376800b17932f95c014c09206e2cf+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{3}\)

Solución

Las marcas muestran que se trata de un triángulo equilátero ya que todos los lados son congruentes. Esto significa que todas las partes deben ser iguales\(10\). Tenemos\(x=10\) y\(y+3=10\) lo que significa eso\(y=7\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Dos lados de un triángulo equilátero son\(2x+5\) unidades y\(x+13\) unidades. ¿Cuánto dura cada lado de este triángulo?

Solución

Los dos lados dados deben ser iguales porque se trata de un triángulo equilátero. Escribe y resuelve la ecuación para\(x\).

\(\egin{align*}2x+5 &=x+13 \\ x&=8 \end{align*}\)

Para averiguar qué tan largo es cada lado, conecte 8 para\(x\) cualquiera de las expresiones originales. \(2(8)+5=21\). Cada lado es\(21\) unidades.