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LibreTexts Español

4.6: Área y Perímetro de Triángulos

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    El área es la mitad de la base por la altura mientras que el perímetro es la suma de los lados.

    La fórmula para el área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo.

    F-d_4c0c681521c5908019784c1fbaa3d1c36c4afd60221641d471444e18+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Área de un Triángulo:\(A=\dfrac{1}{2} bh\) o\(A=\dfrac{bh}{2}\).

    f-d_909ec4625918d0fc0dabfd6820b19940ba1d7f9794a9469b6af39ab0+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    ¿Y si te dieran un triángulo y el tamaño de su base y altura? ¿Cómo podrías encontrar la distancia total alrededor del triángulo y la cantidad de espacio que ocupa?

    Para los Ejemplos 1 y 2, use el siguiente triángulo.

    f-d_433cac41e518719b0c01b5bd620222c8574946a1ac01f3ff2651e2e4+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Encuentra la altura del triángulo.

    Solución

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la altura.

    \(\begin{align*} 8^2+h^2 &=17^2 \\ h^2 &=225\\ h &=15 in \end{align*} \)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra el perímetro.

    Solución

    Tenemos que encontrar la hipotenusa. Usa de nuevo el Teorema de Pitágoras.

    \(\begin{align*} (8+24)^2+15^2 &=h^2 \\ h^2 &=1249 \\ h &\approx 35.3 in \end{align*}\)

    El perímetro es\(24+35.3+17\approx 76.3\: in\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra el área del triángulo.

    f-d_4ddc6462941435dec5c611b3571f22c7c6d49f5f8ca8f2e56c41c0e8+image_tiny+imagen_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Solución

    Para encontrar el área, necesitamos encontrar la altura del triángulo. Se nos dan dos lados del pequeño triángulo rectángulo, donde la hipotenusa es también el lado corto del triángulo obtuso.

    \(\begin{align*} 3^2+h^2&=5^2 \\ 9+h^2&=25 \\ h^2&=16 \\h &=4 \\ A&=\dfrac{1}{2}(4)(7)=14 \: units^2 \end{align*}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra el perímetro del triángulo en el Ejemplo 3.

    Solución

    Para encontrar el perímetro, necesitamos encontrar el lado más largo del triángulo obtuso. Si usáramos las líneas negras en la imagen, veríamos que el lado más largo es también la hipotenusa del triángulo rectángulo con patas 4 y 10.

    \(\begin{align*} 4^2+10^2&=c^2 \\ 16+100&=c^2 \\ c &=\sqrt{116}\approx 10.77 \end{align*} \)

    El perímetro es\(7+5+10.77\approx 22.77\) unidades

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Encuentra el área de un triángulo con base de longitud\(28 \: cm\) y altura de\(15\: cm\).

    Solución

    El área es\(dfrac{1}{2}(28)(15)=210\: cm^2\).

    Revisar

    Usa el triángulo para responder a las siguientes preguntas.

    f-d_b00417194f7cf82e2346b42062316704c5870be37b8293377a9218e2+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{5}\)
    1. Encuentra la altura del triángulo usando la media geométrica.
    2. Encuentra el perímetro.
    3. Encuentra la zona.

    Encuentra el área de la siguiente forma.

    1. F-D_30BCC55E0170103930D479F168441EB89D69AC1D6642F65A0C7E6805+Image_Tiny+Image_Tiny.png
      Figura\(\PageIndex{6}\)
    2. ¿Cuál es la altura de un triángulo con área\(144\: m^2\) y una base de\(24\: m\)?

    En las preguntas 6-11 vamos a derivar una fórmula para el área de un triángulo equilátero.

    F-D_10415D49F9724FA6930EABADD628AD7883728ED212373A3F7CFDB33C+Image_Tiny+Image_Tiny.png
    Figura\(\PageIndex{7}\)
    1. ¿Qué tipo de triángulo es\(\Delta ABD\)? Encontrar\(AD\) y\(BD\).
    2. Encuentra el área de\(\Delta ABC\).
    3. Si cada lado es\(x\), ¿qué es\(AD\) y\(BD\)?
    4. Si cada lado es\(x\), encuentra el área de\(\Delta ABC\).
    5. Usando tu fórmula de #9, encuentra el área de un triángulo equilátero con lados de 12 pulgadas.
    6. Usando tu fórmula de #9, encuentra el área de un triángulo equilátero con lados de 5 pulgadas.

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.3.

    vocabulario

    Término Definición
    Área Área es el espacio dentro del perímetro de una figura bidimensional.
    Perímetro El perímetro es la distancia alrededor de una figura bidimensional.
    Permetral Las líneas perpendiculares son líneas que se cruzan en un ángulo de 90°. El producto de las pendientes de dos líneas perpendiculares es -1.
    Ángulo recto Un ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados.
    Triángulo Recto Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo de 90 grados.
    Área de un paralelogramo El área de un paralelogramo es igual a la base multiplicada por la altura:\(A = bh\). La altura de un paralelogramo siempre es perpendicular a la base (los lados no son la altura).
    Área de un Triángulo El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo. De ahí la fórmula:\(A=\dfrac{1}{2} bh\) o\(A=\dfrac{bh}{2}\).

    Recursos adicionales

    Elemento Interactivo

    Video: Área de un Triángulo (Números Enteros)

    Actividades: Área y Perímetro de Triángulos Preguntas de Discusión

    Ayudas de estudio: Guía de estudio de triángulos y cuadriláteros

    Práctica: Área y Perímetro de Triángulos

    Mundo Real: Perímetro


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