6.10: Área de Sectores y Segmentos

Área de partes de un círculo.

Área de Sectores y Segmentos

Un sector de un círculo es el área delimitada por dos radios y el arco entre los extremos de los radios. Si r es el radio y\ anchohat {AB} es el arco que delimita un sector, entonces el área del sector es$A=\dfrac{m\widehat{AB} }{360^{\circ}}\cdot \pi r^2$.

Figura$\PageIndex{1}$

Un segmento de un círculo es el área de un círculo que está delimitada por un acorde y el arco con los mismos extremos que el acorde. El área de un segmento es$A_{\text{segment}}=A_sector−A_{\Delta ABC}$

Figura$\PageIndex{2}$

¿Y si se le diera un círculo con dos radios en el que se sombreara la región entre esos dos radios? ¿Cómo podrías encontrar el área de esa región sombreada del círculo?

Ejemplo$\PageIndex{1}$

El área de un sector es$135 \pi$ y la medida del arco es 216^ {\ circ}. ¿Cuál es el radio del círculo?

Figura$\PageIndex{3}$

Solución

Enchufa lo que sabes a la fórmula del área del sector y resuelve para r.

$\begin{aligned} 135 \pi &= \dfrac{216^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot \pi r^2 \\ 135&=35\cdot r^2 \\ \dfrac{5}{3} \cdot 135 &=r^2 \\ 225 &=r^2 \rightarrow r=\sqrt{225}=15 \end{aligned}$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra el área de la región sombreada. El cuadrilátero es un cuadrado.

Figura$\PageIndex{4}$

Solución

El radio del círculo es 16, que también es la mitad de la diagonal del cuadrado. Entonces, la diagonal es 32 y los lados serían\ dfrac {32} {\ sqrt {2}}\ cdot\ dfrac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} =16\ sqrt {2} porque cada mitad de un cuadrado es un triángulo 45-45-90.

$\begin{aligned}A_{\text{circle}}&=16^2 \pi =256 \pi \\ A_{\text{square}}&=(16\sqrt{2})^2=256\cdot 2=512 \end{aligned}$

El área de la región sombreada es$256 \pi −512 \approx 292.25$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentra la zona del sector azul. Deja tu respuesta en términos de$\pi$.

Figura$\PageIndex{5}$

Solución

En la imagen, el ángulo central que corresponde con el sector es$60^{\circ}$. $60^{\circ}$es 16 de$360^{\circ}$, por lo que este sector es 16 del área total. $\text{area of blue sector }=16\cdot \pi 8^2=\dfrac{32}{3} \pi$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

El área de un sector es$8 \pi$ y el radio del círculo es 12. ¿Cuál es el ángulo central?

Solución

Enchufa lo que sabes a la fórmula del área del sector y luego resuelve para el ángulo central, que llamaremos x.

Figura$\PageIndex{6}$

$\begin{aligned}8 \pi &=\dfrac{x}{360^{\circ}}\cdot \pi 12^2 \\ 8 \pi &=\dfrac{x}{360^{\circ}}\cdot144 \pi \\ 8&=\dfrac{2x}{5^{\circ}} \\ x&=8\cdot \dfrac{5^{\circ}}{2}=20^{\circ} \end{aligned}$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra el área del segmento azul a continuación.

Figura$\PageIndex{7}$

Solución

El área del segmento es el área del sector menos el área del triángulo isósceles hecho por los radios. Si dividimos el triángulo isósceles por la mitad, cada mitad es un triángulo 30-60-90, donde el radio es la hipotenusa. La altura de\ deltaABC es 12 y la base es 2 (123—√) =243—√.

\ (\ begin {array} {rlrl}
A_ {\ text {sector}} & =\ frac {120} {360}\ pi\ cdot 24^ {2} & A_ {\ triángulo} & =\ frac {1} {2} (24\ sqrt {3}) (12)\\
& =192\ pi & & =144\ sqrt {3}
\ end {array}\)

El área del segmento es$A=192\pi−144\sqrt{3}\approx 353.8 \text{ units}$.

Revisar

Encuentra el área del sector o segmento azul en A. deja tus respuestas en términos de\ pi. Redondear cualquier respuesta decimal a la centésima más cercana.

1. 
   

   Figura$\PageIndex{8}$

2. 

   Figura$\PageIndex{9}$

3. 

   Figura$\PageIndex{10}$

4. 

   Figura$\PageIndex{11}$

5. 

   Figura$\PageIndex{12}$

Encuentra el radio del círculo. Deja tu respuesta en términos de\ pi.

6. 
   

   Figura$\PageIndex{13}$

7. 

   Figura$\PageIndex{14}$

8. 

   Figura$\PageIndex{15}$

Encuentra el ángulo central de cada sector azul. Redondear cualquier respuesta decimal a la décima más cercana.

9. 
   

   Figura$\PageIndex{16}$

10. 

    Figura$\PageIndex{17}$

11. 

    Figura$\PageIndex{18}$

12. Encuentra la zona del sector en A. Deja tu respuesta en términos de\ pi.

    

    Figura$\PageIndex{19}$

13. Encuentra el área del triángulo equilátero.
14. Encuentra el área del segmento. Redondee su respuesta a la centésima más cercana.
15. Encuentra la zona del sector en A. Deja tu respuesta en términos de\ pi.
16. Encuentra el área del triángulo rectángulo.

    

    Figura$\PageIndex{20}$

17. Encuentra el área del segmento. Redondee su respuesta a la centésima más cercana.

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.11.

vocabulario

Término	Definición
acorde	Un segmento de línea cuyos extremos están en un círculo.
círculo	El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro.
diámetro	Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio.
pi	(o\ pi) La relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.
radio	La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo.
Arc	Un arco es una sección de la circunferencia de un círculo.
longitud del arco	En cálculo, la longitud del arco es la longitud de una curva de función plana sobre un intervalo.
radián	Un radián es una unidad de ángulo que es igual al ángulo creado en el centro de un círculo cuyo arco es igual en longitud al radio.
Factor de Escala	Un factor de escala es una relación entre la escala y la dimensión original o real escrita en la forma más simple.
Sector	Un sector de un círculo es una porción de un círculo contenida entre dos radios del círculo. Los sectores se pueden medir en grados.
Sector de un círculo	Un sector de un círculo es el área delimitada por dos radios y el arco entre los extremos de los radios.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Área de Sectores y Segmentos Principios - Básico

Actividades: Área de Sectores y Segmentos Preguntas de Discusión

Ayudas de estudio: Guía de estudio de circunferencia y longitud de arco

Práctica: Área de Sectores y Segmentos

Mundo real: ¡Cuidado con el clima!