8.19: Teselaciones

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Embelado sobre un plano de tal manera que las figuras llenen el plano sin solapamientos ni huecos.

Un teselado es un mosaico sobre un plano con una o más figuras de tal manera que las figuras llenan el plano sin solapamientos y sin huecos. Probablemente hayas visto teselaciones antes. Ejemplos de una teselación son: un piso de baldosas, una pared de ladrillo o bloque, un tablero de ajedrez o un cuadro de ajedrez y un patrón de tela. Las siguientes imágenes son también ejemplos de teselaciones.

f-d_2209fea4554b47d342f58bd69888e859e601b343cdf9bc8ed68364b7+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{1}\)

Observe que el hexágono (cubos, primera teselación) y los cuadriláteros encajan perfectamente. Si seguimos agregando más, cubrirán completamente el plano sin huecos ni superposiciones.

Sólo nos vamos a preocupar por teselar polígonos regulares. Para teselar una forma, debe ser capaz de rodear exactamente un punto, o la suma de los ángulos alrededor de cada punto en una teselación debe ser\(360^{\circ}\). Los únicos polígonos regulares con esta característica son triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.

¿Y si te dieran un hexágono y te pidieran que lo colocara sobre un plano de tal manera que llenara el plano sin superposiciones y sin huecos?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Cuántos hexágonos regulares caben alrededor de un punto?

Solución

Primero, recuerde cuántos grados hay en un círculo, y luego averiguar cuántos grados hay en cada ángulo de un hexágono regular. Hay\(360^{\circ}\) en un círculo y\(120^{\circ}\) en cada ángulo interior de un hexágono, por lo que los\(\dfrac{360}{120}=3\) hexágonos caben alrededor de un punto.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Un teselado octágono regular?

Solución

Primero, recordemos que hay\(1080^{\circ}\) en un pentágono. Cada ángulo en un pentágono regular es\(1080^{\circ}\divide 8=135^{\circ}\). A partir de esto, sabemos que un octágono regular no tesellará por sí mismo porque\(135^{\circ}\) no entra de manera uniforme en\(360^{\circ}\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Dibujar una teselación de triángulos equiláteros.

Solución

En un triángulo equilátero cada ángulo es\(60^{\circ}\). Por lo tanto, seis triángulos encajarán perfectamente alrededor de cada punto.

f-d_4aacaec80754d81a1aa433a183559a995a4ca3089c86c8f902651ed8+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{2}\)

Extendiendo el patrón, tenemos:

f-d_71406518d791e605ad6e618bbca5c0ebf78e803f28f70cf1aa85425b+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

¿Un teselado pentágono regular?

Solución

Primero, recordemos que hay\(540^{\circ}\) en un pentágono. Cada ángulo en un pentágono regular es\(540^{\circ}\divide 5=108^{\circ}\). A partir de esto, sabemos que un pentágono regular no teselará por sí mismo porque los\(108^{\circ}\) tiempos 2 o 3 no son iguales\(360^{\circ}\).

f-d_c30983eabc77604beab027dadc67e829f09759ea98e304304434cbc9+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

¿Cuántos cuadrados cabrán alrededor de un punto?

Solución

Primero, recuerde cuántos grados hay en un círculo, y luego averiguar cuántos grados hay en cada ángulo de un cuadrado. Hay\(360^{\circ}\) en un círculo y\(90^{\circ}\) en cada ángulo interior de un cuadrado, por lo que los\(\dfrac{360}{90}=4\) cuadrados encajarán alrededor de un punto.

Revisar

Teselado un cuadrado. Añade color a tu diseño.
¿Cuál es un ejemplo de un cuadrado teselado en la vida real?
Tessellato un hexágono regular. Añade color a tu diseño.
También se pueden teselar dos polígonos regulares juntos. Intente teselar un hexágono regular y un triángulo equilátero. Primero, determine cuántos de cada uno caben alrededor de un punto y luego repita el patrón. Añade color a tu diseño.
¿Un dodecágono regular (forma de 12 lados) teselata? ¿Por qué no?
¿Hace un teselado de kite? ¿Por qué o por qué no?

¿Las siguientes cifras teselan?

Figura\(\PageIndex{5}\)
Figura\(\PageIndex{6}\)
Figura\(\PageIndex{7}\)
Figura\(\PageIndex{8}\)
Figura\(\PageIndex{9}\)\
Figura\(\PageIndex{10}\)
Figura\(\PageIndex{11}\)
Figura\(\PageIndex{12}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 12.7.

El vocabulario

Término	Definición
teselación	Un mosaico sobre un plano con una o más figuras de tal manera que las figuras llenan el plano sin superposiciones y sin huecos.
segmento de línea	Un segmento de línea es una parte de una línea que tiene dos puntos finales.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Principios de Teselaciones - Básicos

Actividades: Guía de estudio de simetría y teselaciones

Práctica: Teselaciones

Mundo Real: El Maestro de Teselaciones