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LibreTexts Español

8.19: Teselaciones

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    Embelado sobre un plano de tal manera que las figuras llenen el plano sin solapamientos ni huecos.

    Un teselado es un mosaico sobre un plano con una o más figuras de tal manera que las figuras llenan el plano sin solapamientos y sin huecos. Probablemente hayas visto teselaciones antes. Ejemplos de una teselación son: un piso de baldosas, una pared de ladrillo o bloque, un tablero de ajedrez o un cuadro de ajedrez y un patrón de tela. Las siguientes imágenes son también ejemplos de teselaciones.

    f-d_2209fea4554b47d342f58bd69888e859e601b343cdf9bc8ed68364b7+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Observe que el hexágono (cubos, primera teselación) y los cuadriláteros encajan perfectamente. Si seguimos agregando más, cubrirán completamente el plano sin huecos ni superposiciones.

    Sólo nos vamos a preocupar por teselar polígonos regulares. Para teselar una forma, debe ser capaz de rodear exactamente un punto, o la suma de los ángulos alrededor de cada punto en una teselación debe ser\(360^{\circ}\). Los únicos polígonos regulares con esta característica son triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.

    ¿Y si te dieran un hexágono y te pidieran que lo colocara sobre un plano de tal manera que llenara el plano sin superposiciones y sin huecos?

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    ¿Cuántos hexágonos regulares caben alrededor de un punto?

    Solución

    Primero, recuerde cuántos grados hay en un círculo, y luego averiguar cuántos grados hay en cada ángulo de un hexágono regular. Hay\(360^{\circ}\) en un círculo y\(120^{\circ}\) en cada ángulo interior de un hexágono, por lo que los\(\dfrac{360}{120}=3\) hexágonos caben alrededor de un punto.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    ¿Un teselado octágono regular?

    Solución

    Primero, recordemos que hay\(1080^{\circ}\) en un pentágono. Cada ángulo en un pentágono regular es\(1080^{\circ}\divide 8=135^{\circ}\). A partir de esto, sabemos que un octágono regular no tesellará por sí mismo porque\(135^{\circ}\) no entra de manera uniforme en\(360^{\circ}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Dibujar una teselación de triángulos equiláteros.

    Solución

    En un triángulo equilátero cada ángulo es\(60^{\circ}\). Por lo tanto, seis triángulos encajarán perfectamente alrededor de cada punto.

    f-d_4aacaec80754d81a1aa433a183559a995a4ca3089c86c8f902651ed8+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Extendiendo el patrón, tenemos:

    f-d_71406518d791e605ad6e618bbca5c0ebf78e803f28f70cf1aa85425b+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    ¿Un teselado pentágono regular?

    Solución

    Primero, recordemos que hay\(540^{\circ}\) en un pentágono. Cada ángulo en un pentágono regular es\(540^{\circ}\divide 5=108^{\circ}\). A partir de esto, sabemos que un pentágono regular no teselará por sí mismo porque los\(108^{\circ}\) tiempos 2 o 3 no son iguales\(360^{\circ}\).

    f-d_c30983eabc77604beab027dadc67e829f09759ea98e304304434cbc9+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    ¿Cuántos cuadrados cabrán alrededor de un punto?

    Solución

    Primero, recuerde cuántos grados hay en un círculo, y luego averiguar cuántos grados hay en cada ángulo de un cuadrado. Hay\(360^{\circ}\) en un círculo y\(90^{\circ}\) en cada ángulo interior de un cuadrado, por lo que los\(\dfrac{360}{90}=4\) cuadrados encajarán alrededor de un punto.

    Revisar

    1. Teselado un cuadrado. Añade color a tu diseño.
    2. ¿Cuál es un ejemplo de un cuadrado teselado en la vida real?
    3. Tessellato un hexágono regular. Añade color a tu diseño.
    4. También se pueden teselar dos polígonos regulares juntos. Intente teselar un hexágono regular y un triángulo equilátero. Primero, determine cuántos de cada uno caben alrededor de un punto y luego repita el patrón. Añade color a tu diseño.
    5. ¿Un dodecágono regular (forma de 12 lados) teselata? ¿Por qué no?
    6. ¿Hace un teselado de kite? ¿Por qué o por qué no?

    ¿Las siguientes cifras teselan?

    1. F-d_90928646b1f58eb6e6fd575de297d1542b21b2dc21e259232be9704a+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{5}\)
    2. f-d_627fd6cd00b259b7ddd86b79a91f5b7d3199cae0bcace3fc10371a00+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{6}\)
    3. f-d_821afbb89762d83faf40c34e10c1e988fce4a6b1ebf94aa591db1bfd+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{7}\)
    4. f-d_b8e81c2a3756a8024ac0d6a21c9f964045430eabd93586943de12d40+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{8}\)
    5. f-d_0d39fd3032c208f4d2c5e84a4e504577cfdc1a7ff732c532da311167+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{9}\)\
    6. f-d_ce2f88dc01f098ae1acad489337d462d7dc798512c8cb423f3070258+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{10}\)
    7. f-d_c812ff403dfdb5610b4d70654537534c80fe6097f7039a372592fe02+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{11}\)
    8. f-d_fbd79f0846c45805e41158df066c72a061c67c9115a5385f65ebf703+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{12}\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 12.7.

    El vocabulario

    Término Definición
    teselación Un mosaico sobre un plano con una o más figuras de tal manera que las figuras llenan el plano sin superposiciones y sin huecos.
    segmento de línea Un segmento de línea es una parte de una línea que tiene dos puntos finales.

    Recursos adicionales

    Elemento Interactivo

    Video: Principios de Teselaciones - Básicos

    Actividades: Guía de estudio de simetría y teselaciones

    Práctica: Teselaciones

    Mundo Real: El Maestro de Teselaciones


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