8.19: Teselaciones
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Un teselado es un mosaico sobre un plano con una o más figuras de tal manera que las figuras llenan el plano sin solapamientos y sin huecos. Probablemente hayas visto teselaciones antes. Ejemplos de una teselación son: un piso de baldosas, una pared de ladrillo o bloque, un tablero de ajedrez o un cuadro de ajedrez y un patrón de tela. Las siguientes imágenes son también ejemplos de teselaciones.
Observe que el hexágono (cubos, primera teselación) y los cuadriláteros encajan perfectamente. Si seguimos agregando más, cubrirán completamente el plano sin huecos ni superposiciones.
Sólo nos vamos a preocupar por teselar polígonos regulares. Para teselar una forma, debe ser capaz de rodear exactamente un punto, o la suma de los ángulos alrededor de cada punto en una teselación debe ser\(360^{\circ}\). Los únicos polígonos regulares con esta característica son triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.
¿Y si te dieran un hexágono y te pidieran que lo colocara sobre un plano de tal manera que llenara el plano sin superposiciones y sin huecos?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
¿Cuántos hexágonos regulares caben alrededor de un punto?
Solución
Primero, recuerde cuántos grados hay en un círculo, y luego averiguar cuántos grados hay en cada ángulo de un hexágono regular. Hay\(360^{\circ}\) en un círculo y\(120^{\circ}\) en cada ángulo interior de un hexágono, por lo que los\(\dfrac{360}{120}=3\) hexágonos caben alrededor de un punto.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
¿Un teselado octágono regular?
Solución
Primero, recordemos que hay\(1080^{\circ}\) en un pentágono. Cada ángulo en un pentágono regular es\(1080^{\circ}\divide 8=135^{\circ}\). A partir de esto, sabemos que un octágono regular no tesellará por sí mismo porque\(135^{\circ}\) no entra de manera uniforme en\(360^{\circ}\).
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Dibujar una teselación de triángulos equiláteros.
Solución
En un triángulo equilátero cada ángulo es\(60^{\circ}\). Por lo tanto, seis triángulos encajarán perfectamente alrededor de cada punto.
Extendiendo el patrón, tenemos:
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
¿Un teselado pentágono regular?
Solución
Primero, recordemos que hay\(540^{\circ}\) en un pentágono. Cada ángulo en un pentágono regular es\(540^{\circ}\divide 5=108^{\circ}\). A partir de esto, sabemos que un pentágono regular no teselará por sí mismo porque los\(108^{\circ}\) tiempos 2 o 3 no son iguales\(360^{\circ}\).
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
¿Cuántos cuadrados cabrán alrededor de un punto?
Solución
Primero, recuerde cuántos grados hay en un círculo, y luego averiguar cuántos grados hay en cada ángulo de un cuadrado. Hay\(360^{\circ}\) en un círculo y\(90^{\circ}\) en cada ángulo interior de un cuadrado, por lo que los\(\dfrac{360}{90}=4\) cuadrados encajarán alrededor de un punto.
Revisar
- Teselado un cuadrado. Añade color a tu diseño.
- ¿Cuál es un ejemplo de un cuadrado teselado en la vida real?
- Tessellato un hexágono regular. Añade color a tu diseño.
- También se pueden teselar dos polígonos regulares juntos. Intente teselar un hexágono regular y un triángulo equilátero. Primero, determine cuántos de cada uno caben alrededor de un punto y luego repita el patrón. Añade color a tu diseño.
- ¿Un dodecágono regular (forma de 12 lados) teselata? ¿Por qué no?
- ¿Hace un teselado de kite? ¿Por qué o por qué no?
¿Las siguientes cifras teselan?
-
Figura\(\PageIndex{5}\) -
Figura\(\PageIndex{6}\) -
Figura\(\PageIndex{7}\) -
Figura\(\PageIndex{8}\) -
Figura\(\PageIndex{9}\)\ -
Figura\(\PageIndex{10}\) -
Figura\(\PageIndex{11}\) -
Figura\(\PageIndex{12}\)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 12.7.
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| teselación | Un mosaico sobre un plano con una o más figuras de tal manera que las figuras llenan el plano sin superposiciones y sin huecos. |
| segmento de línea | Un segmento de línea es una parte de una línea que tiene dos puntos finales. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Principios de Teselaciones - Básicos
Actividades: Guía de estudio de simetría y teselaciones
Práctica: Teselaciones
Mundo Real: El Maestro de Teselaciones