8.18: Notación para transformaciones compuestas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Interpretar y usar notación para transformaciones combinadas
La siguiente figura muestra una transformación compuesta de un trapecio. Escriba la regla de mapeo para la transformación compuesta.

En geometría, una transformación es una operación que mueve, voltea o cambia una forma para crear una nueva forma. Una transformación compuesta es cuando se realizan dos o más transformaciones en una figura (llamada preimagen) para producir una nueva figura (llamada imagen). El orden de las transformaciones realizadas en una transformación compuesta importa.
Para describir una transformación compuesta mediante notación, se indica cada una de las transformaciones que componen la transformación compuesta y las vincula con el símbolo∘. Las transformaciones se realizan en orden de derecha a izquierda. Recordemos la siguiente notación para traducciones, reflexiones y rotaciones:
- Traducción:Ta,b:(x,y)→(x+a,y+b) es una traducción dea unidades a la derecha yb unidades arriba.
- Reflexión:ry−axis(x,y)→(−x,y).
- Rotación:R90∘(x,y)=(−y,x)
Vamos a graficar la línea que se describe a continuación y la imagen compuesta definida porry−axis∘R90∘:
La primera traducción es un giro de la90∘ CCW sobre el origen a producirX′Y′. La segunda traslación es una reflexión sobre ely eje a producirX′′Y′′.

Ahora, graficemos las imágenes compuestas descritas en los siguientes problemas:
- Imagen A con vérticesA(3,5),B(4,2) yC(1,1) se somete a una transformación compuesta con regla de mapeorx−axis∘ry−axis.

- ImagenD con vérticesD(−3,7),E(−1,3),F(−7,5) yG(−5,1) se somete a una transformación compuesta con regla de mapeoT3,4∘rx−axis.

Ejemplo8.18.1
Anteriormente, se le pidió que escribiera la regla de mapeo para la siguiente transformación compuesta:

Solución
La transformación de ImagenA a ImagenB es un reflejo a través dely eje. La notación para esto esry−axis. La transformación de la imagen B para formar imagenC es una rotación sobre el origen de90∘CW. La notación para esta transformación esR270∘. Por lo tanto, la notación para describir la transformación de ImagenA a ImagenC esR270∘∘ry−axis
Ejemplo8.18.2
Grafica la líneaXY dado esoX(2,−2) yY(3,−4). También grafica la imagen compuesta que satisface la reglaR90∘∘ry−axis
Solución
La primera transformación es una reflexión sobre ely eje a producirX′Y′. La segunda transformación es un90∘CCW giro sobre el origen a producirX′′Y′′.

Ejemplo8.18.3
Describa las transformaciones compuestas en el diagrama a continuación y escriba la notación para representar la transformación de figuraABCD aA′′B′′C′′D′′.

Solución
En el diagrama se muestran dos transformaciones. La primera transformación es una reflexión sobre la línea X=2\) a producirA′B′C′D′. La segunda transformación es una rotación90∘ CW (o270∘CCW) alrededor del punto(2,0) para producir la figuraA′′B′′C′′D′′. La notación para esta transformación compuesta es:
R270∘∘rx=2
Ejemplo8.18.4
Describa las transformaciones compuestas en el diagrama a continuación y escriba la notación para representar la transformación de figuraABC aA′′B′′C′′.

Solución
En el diagrama se muestran dos transformaciones. La primera transformación es una traslación de 1 unidad a la izquierda y 5 unidades hacia abajo para producirA′B′C′. La segunda reflexión en ely eje para producir la figuraA′′B′′C′′. La notación para esta transformación compuesta es:
ry−axis∘T−1,−5
Revisar
Complete la siguiente tabla:
Punto de partida | T3,−4∘R90∘ | rx−axis∘ry−axis | T1,6∘rx−axis | ry−axis∘R180∘ |
---|---|---|---|---|
1. (1,4) | \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> |
2. (4,2) | \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> |
3. (2,0) | \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> |
4. (−1,2) | \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> |
5. (−2,−3) | \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> |
6. (4,−1) | \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> |
7. (3,−2) | \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> |
8. (5,4) | \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> |
9. (−3,7) | \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> |
10. (0,0) | \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> | \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> |
Escribe la notación que representa la transformación compuesta de la preimagenA a las imágenes compuestas en los diagramas a continuación.
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Figura8.18.9 -
Figura8.18.10 -
Figura8.18.11 -
Figura8.18.12 -
Figura8.18.13
Reseña (Respuestas)
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El vocabulario
Término | Definición |
---|---|
Reflexiones | Las reflexiones son transformaciones que dan como resultado una “imagen especular” de una función padre. Son causadas por signos diferentes entre las funciones padre e hijo. |
Rotación | Una rotación es una transformación que convierte una figura en el plano de coordenadas un cierto número de grados alrededor de un punto dado sin cambiar la forma o el tamaño de la figura. |
Transformación | Una transformación mueve una figura de alguna manera en el plano de coordenadas. |
Recursos adicionales
Práctica: Notación para transformaciones compuestas