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LibreTexts Español

8.18: Notación para transformaciones compuestas

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Interpretar y usar notación para transformaciones combinadas

La siguiente figura muestra una transformación compuesta de un trapecio. Escriba la regla de mapeo para la transformación compuesta.

f-d_c2fabf83cbcf837e1b060e63daa399befb55c23f337cfe48a06798a0+image_tiny+image_tiny.png
Figura8.18.1

En geometría, una transformación es una operación que mueve, voltea o cambia una forma para crear una nueva forma. Una transformación compuesta es cuando se realizan dos o más transformaciones en una figura (llamada preimagen) para producir una nueva figura (llamada imagen). El orden de las transformaciones realizadas en una transformación compuesta importa.

Para describir una transformación compuesta mediante notación, se indica cada una de las transformaciones que componen la transformación compuesta y las vincula con el símbolo. Las transformaciones se realizan en orden de derecha a izquierda. Recordemos la siguiente notación para traducciones, reflexiones y rotaciones:

  • Traducción:Ta,b:(x,y)(x+a,y+b) es una traducción dea unidades a la derecha yb unidades arriba.
  • Reflexión:ryaxis(x,y)(x,y).
  • Rotación:R90(x,y)=(y,x)

Vamos a graficar la línea que se describe a continuación y la imagen compuesta definida porryaxisR90:

La primera traducción es un giro de la90 CCW sobre el origen a producirXY. La segunda traslación es una reflexión sobre ely eje a producirXY.

f-d_21c4cae8cedb697e362f62234f251158858f3dd1e47db93b24815ec6+image_tiny+image_tiny.png
Figura8.18.2

Ahora, graficemos las imágenes compuestas descritas en los siguientes problemas:

  1. Imagen A con vérticesA(3,5),B(4,2) yC(1,1) se somete a una transformación compuesta con regla de mapeorxaxisryaxis.
f-d_d54c434a1435ef651a624c1571a505e1bc7cfa9582c320d04cf6f6e1+image_tiny+image_tiny.png
Figura8.18.3
  1. ImagenD con vérticesD(3,7),E(1,3),F(7,5) yG(5,1) se somete a una transformación compuesta con regla de mapeoT3,4rxaxis.
f-d_3adb109251532f881116d188a5250d5fef9739a554e18e95149cb48b+image_tiny+image_tiny.png
Figura8.18.4

Ejemplo8.18.1

Anteriormente, se le pidió que escribiera la regla de mapeo para la siguiente transformación compuesta:

f-d_c2fabf83cbcf837e1b060e63daa399befb55c23f337cfe48a06798a0+image_tiny+image_tiny.png
Figura8.18.5

Solución

La transformación de ImagenA a ImagenB es un reflejo a través dely eje. La notación para esto esryaxis. La transformación de la imagen B para formar imagenC es una rotación sobre el origen de90CW. La notación para esta transformación esR270. Por lo tanto, la notación para describir la transformación de ImagenA a ImagenC esR270ryaxis

Ejemplo8.18.2

Grafica la líneaXY dado esoX(2,2) yY(3,4). También grafica la imagen compuesta que satisface la reglaR90ryaxis

Solución

La primera transformación es una reflexión sobre ely eje a producirXY. La segunda transformación es un90CCW giro sobre el origen a producirXY.

f-d_c112093aa5b922e5255a6a5775d0f3128e3045c255b30c7a993d25f2+image_tiny+imagen_tiny.png
Figura8.18.6

Ejemplo8.18.3

Describa las transformaciones compuestas en el diagrama a continuación y escriba la notación para representar la transformación de figuraABCD aABCD.

f-d_b639524cea97bfc087c2fe36c35ab5f9ebc5cf626132239638116D31+image_tiny+image_tiny.png
Figura8.18.7

Solución

En el diagrama se muestran dos transformaciones. La primera transformación es una reflexión sobre la línea X=2\) a producirABCD. La segunda transformación es una rotación90 CW (o270CCW) alrededor del punto(2,0) para producir la figuraABCD. La notación para esta transformación compuesta es:

R270rx=2

Ejemplo8.18.4

Describa las transformaciones compuestas en el diagrama a continuación y escriba la notación para representar la transformación de figuraABC aABC.

f-d_c488449edc94f32c8328b4023c14d3cbc6d074dde76f8a881efa3e1b+image_tiny+image_tiny.png
Figura8.18.8

Solución

En el diagrama se muestran dos transformaciones. La primera transformación es una traslación de 1 unidad a la izquierda y 5 unidades hacia abajo para producirABC. La segunda reflexión en ely eje para producir la figuraABC. La notación para esta transformación compuesta es:

ryaxisT1,5

Revisar

Complete la siguiente tabla:

Punto de partida T3,4R90 rxaxisryaxis T1,6rxaxis ryaxisR180
1. (1,4) \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155">
2. (4,2) \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155">
3. (2,0) \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155">
4. (1,2) \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155">
5. (2,3) \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155">
6. (4,1) \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155">
7. (3,2) \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155">
8. (5,4) \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155">
9. (3,7) \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155">
10. (0,0) \ (T_ {3, −4}\ circ R_ {90^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {x−axis}\ circ r_ {y−axis}\)” class="lt-k12-6155"> \ (T_ {1,6}\ circ r_ {eje x}\)” class="lt-k12-6155"> \ (r_ {y−axis}\ circ R_ {180^ {\ circ}}\)” class="lt-k12-6155">

Escribe la notación que representa la transformación compuesta de la preimagenA a las imágenes compuestas en los diagramas a continuación.

  1. f-d_05f89ad8fd17c92e6cc7d02641dcb3862326d17930b31b5a0b13956a+image_tiny+image_tiny.png
    Figura8.18.9
  2. F-D_17c9b477e138732adfe41230f2de946ba9406696eb43fe51141f42ba+image_tiny+image_tiny.png
    Figura8.18.10
  3. f-d_5ab791ae2b1acf72a851f07b9e629a159dc59909548a4bd620211b06+image_tiny+image_tiny.png
    Figura8.18.11
  4. f-d_b6996f72d4aca0ab3fd492786d4acb80a5ca849afbc3b3341fbac193+image_tiny+image_tiny.png
    Figura8.18.12
  5. f-d_e3a091ae2abef41bbbedde7f06e655f56876567c3cc90db05e0262e8+image_tiny+image_tiny.png
    Figura8.18.13

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.15.

El vocabulario

Término Definición
Reflexiones Las reflexiones son transformaciones que dan como resultado una “imagen especular” de una función padre. Son causadas por signos diferentes entre las funciones padre e hijo.
Rotación Una rotación es una transformación que convierte una figura en el plano de coordenadas un cierto número de grados alrededor de un punto dado sin cambiar la forma o el tamaño de la figura.
Transformación Una transformación mueve una figura de alguna manera en el plano de coordenadas.

Recursos adicionales

Práctica: Notación para transformaciones compuestas


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