9.15: Volumen de Prismas Triangulares
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Maggie está disfrutando de su chocolate favorito. Ella se pregunta cuánto chocolate puede caber en el empaque, que tiene la forma de un prisma triangular. Mide el prisma de cartón y encuentra que el extremo del triángulo, o base, es 1.4 pulgadas, y la altura del triángulo es 1.25 pulgadas. La altura de la barra cuando está de pie en su extremo es de 8.25 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del paquete de chocolate?
En este concepto, aprenderás a calcular el volumen de un prisma triangular.
Encontrar el volumen de un prisma triangular
Con un prisma triangular, las dos caras paralelas son triángulos y las otras caras son rectángulos.
Calculas el volumen de prismas triangulares casi de la misma manera que encuentras el volumen de prismas rectangulares. Todavía usas la fórmula\(V=Bh\). Sin embargo, esta vez la base del prisma es un triángulo, no un rectángulo. Por lo tanto, es necesario utilizar la fórmula de área para un triángulo para encontrar el área de la base,\(B\). Entonces puedes multiplicar esta cantidad por la altura del rectángulo para encontrar el volumen del prisma triangular.
Veamos un ejemplo.
¿Cuál es el volumen de este prisma triangular donde la altura de la base triangular es de 7 cm y la anchura de la base del triángulo es de 5 cm?
Primero, es necesario encontrar el área de la base triangular. Se usa la fórmula para el área de un triángulo que es\(\dfrac{1}{2} bh\). Recuerda, usas las medidas de altura y base para la cara triangular, no la altura, H, medida para todo el prisma que es la longitud del rectángulo.
Entonces hay dos cosas que debes lograr: Necesitas encontrar el área de una de las bases triangulares, y luego puedes tomar esa medida y multiplicarla con la altura de todo el prisma.
\(\begin{aligned} V&=BH \\ b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(5)(7) \\ b&=35 \\ V&=(35)H \\ V&=(35)(12) \\ V&=420\text{ cm}^{3}\end{aligned}\)
La respuesta es que el volumen de este prisma triangular es\(420 \text{centimeters}^{3}\).
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Anteriormente, te dieron un problema sobre cómo Maggie quiere encontrar el volumen de chocolate que cabrá dentro del empaque.
La base triangular es de 1.4 pulgadas; la altura del triángulo es de 1.25 pulgadas, y la altura de la barra cuando está de pie en su extremo es de 8.25 pulgadas.
Solución
Primero, conecte los valores para la fórmula de área de un triángulo para encontrar el área base, B.
\(\begin{aligned} b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(1.4)(1.25) \\ b&=0.7(1.25)\\ b&=0.88\text{ in}^{2}\end{aligned} \)
A continuación, conecte el valor del área del triángulo, B, y el valor para la altura del prisma, H, en la fórmula de volumen y multiplique los valores juntos.
\(\begin{aligned} V&=BH \\ V&=0.88\times 8.25 \\ V&=0.88 \times 8.25 \\ V&=7.26\end{aligned}\)
Luego, registre la respuesta, asegurándose de incluir la unidad de medida apropiada.
\(V=7.26\text{ in}^{3} \)
La respuesta es que el paquete tiene un volumen de 7.26 pulgadas cúbicas.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Cada año Jeanie recibe una botella de su perfume favorito para su cumpleaños. El perfume viene en una botella con forma de prisma triangular. ¿Cuánto perfume retiene la botella cuando está llena?
Solución
Primero, conecte los valores para la fórmula de área de un triángulo para encontrar el área base, B.
\(\begin{aligned} b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(6)(4) \\b&=3(4) \\ b&=12\text{ cm}^{2}\end{aligned}\)
A continuación, conecte el valor del área del triángulo, B, y el valor para la altura del prisma, H, en la fórmula de volumen y multiplique los valores juntos.
\(\begin{aligned} V&=BH \\ V&=12\times 9 \\ V&=12 \times 9 \\ V&=108\end{aligned}\)
Luego, registre la respuesta, asegurándose de incluir la unidad de medida apropiada.
\(V=108\text{ cm}^{3}\)
La respuesta es que el frasco de perfume contiene 108 centímetros cúbicos de perfume cuando está lleno.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Cuál es el volumen de un prisma triangular con las siguientes dimensiones:\(b=12\text{ in}\)\(h=10\text{ in}\)\(h=15\text{ in}\)
Solución
Primero, conecte los valores para la fórmula de área de un triángulo para encontrar el área base, B\).
\(\begin{aligned} b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(12)(10) \\ b&=6(10) \\ b&=60\text{ in}^{2}\end{aligned}\)
A continuación, conecte el valor del área del triángulo, B, y el valor para la altura del prisma, H, en la fórmula de volumen y multiplique los valores juntos.
\(\begin{aligned} V&=BH \\ V&=60\times 15 \\ V&=60 \times 15 \\ V&=900\end{aligned}\)
Luego, registre la respuesta, asegurándose de incluir la unidad de medida apropiada.
\(V=900\text{ in}^{3}\)
La respuesta es que el volumen de este prisma triangular es\(900\text{ in}^{3}\).
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Cuál es el volumen de un prisma triangular con las siguientes dimensiones:\(b=7\text{ cm}\)\(h=5\text{ cm}\)\(h=9\text{ cm}\)
Solución
Primero, conecte los valores para la fórmula de área de un triángulo para encontrar el área base, B.
\(\begin{aligned}b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(7)(5) \\ b&=3.5(5) \\ b&=17.5 cm^{2}\end{aligned}\)
A continuación, conecte el valor del área del triángulo, B, y el valor para la altura del prisma, H, en la fórmula de volumen y multiplique los valores juntos. V\ (V=B\ (h=17.5\ times 9
\(\begin{aligned} V&=17.5 \times 9 \\ V&=157.5 \end{aligned}\)
Luego, registre la respuesta, asegurándose de incluir la unidad de medida apropiada.
\(V=157.5\text{ cm}^{3}\)
La respuesta es que el volumen de este prisma triangular es\(157.5\text{ cm}^{3}\).
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Cuál es el volumen de un prisma triangular con las siguientes dimensiones:\(b=4\text{ mm}\)\(h=3\text{ mm}\)\(h=5\text{ mm}\)
Solución
Primero, conecte los valores para la fórmula de área de un triángulo para encontrar el área base, B
\(\begin{aligned}b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(4)(3) \\ b&=2(3) \\ b&=6\text{ mm}^{2}\end{aligned}\)
A continuación, conecte el valor del área del triángulo, B, y el valor para la altura del prisma, H, en la fórmula de volumen y multiplique los valores juntos.
\(\begin{aligned} V&=BH \\ V&=6\times 5 \\ V&=6 \times 5 \\ V&=30 \end{aligned}\)
Por último, registre la respuesta, asegurándose de incluir la unidad de medida apropiada.
\(V=30\text{ mm}^{3}\)
La respuesta es que el volumen de este prisma triangular es \(30\text{ mm}^{3}\).
Revisar
Encuentra el volumen de cada prisma triangular. Recuerda que h significa la altura de la base triangular y H significa la altura de todo el prisma.
- \(b=6\text{ in}\),\(h=4\text{ in}\),\(h=5\text{ in}\)
- \(b=7\text{ in}\),\(h=5\text{ in}\),\(h=9\text{ in}\)
- \(b=10\text{ m}\),\(h=8\text{ m}\),\(h=9\text{ m}\)
- \(b=12\text{ m}\),\(h=10\text{ m}\),\(h=13\text{ m}\)
- \(b=8\text{ cm}\),\(h=6\text{ cm}\),\(h=9\text{ cm}\)
- \(b=9\text{ cm}\),\(h=7\text{ cm}\),\(h=8\text{ cm}\)
- \(b=5.5\text{ m}\),\(h=4\text{ m}\),\(h=4\text{ m}\)
- \(b=11\text{ cm}\),\(h=9\text{ cm}\),\(h=8\text{ cm}\)
- \(b=20\text{ ft}\),\(h=17\text{ ft}\),\(h=19\text{ ft}\)
- \(b=20\text{ ft}\),\(h=18\text{ ft}\),\(h=15\text{ ft}\).
- \(b=18\text{ ft}\),\(h=16\text{ ft}\),\(h=17\text{ ft}\).
- \(b=24\text{ ft}\),\(h=21\text{ ft}\),\(h=19\text{ ft}\).
- \(b=24.5\text{ ft}\),\(h=18\text{ ft}\),\(h=16\text{ ft}\).
- \(b=99\text{ ft}\),\(h=80\text{ ft}\),\(h=75\text{ ft}\).
- \(b=100\text{ ft}\),\(h=80\text{ ft}\),\(h=110\text{ ft}\).
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.11.
Recursos
vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Unidades Cúbicas | Las unidades cúbicas son unidades de medida tridimensionales, como en el volumen de una figura sólida. |
| Prisma | Un prisma es un objeto tridimensional con dos bases paralelas congruentes que son polígonos. |
| Volumen | El volumen es la cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto tridimensional. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Volumen de Geometría Sólida
Práctica: Volumen de Prismas Triangulares
Mundo real: Rainbow Connection