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LibreTexts Español

9.16: Superficie y Volumen de Pirámides

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Área superficial y volumen de sólidos con una base y caras laterales que se encuentran en un vértice común.

Pirámides

Una pirámide es un sólido con una base y caras laterales que se encuentran en un vértice común . Los bordes entre las caras laterales son bordes laterales . Los bordes entre la base y las caras laterales son bordes de base .

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Figura9.16.1

Una pirámide regular es una pirámide donde la base es un polígono regular. Todas las pirámides regulares también tienen una altura inclinada, que es la altura de una cara lateral. Una pirámide no regular no tiene una altura inclinada.

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Figura9.16.2

Superficie

El área superficial es una medida bidimensional que es el área total de todas las superficies que unen un sólido. La unidad básica de área es la unidad cuadrada. Para las pirámides, necesitaremos usar la altura inclinada, que está etiquetada como l, para encontrar el área de cada cara triangular.

Superficie de una Pirámide Regular: Si B es el área de la base, y n es el número de triángulos, entoncesSA=B+12nbl.

La red muestra la superficie de una pirámide. Si alguna vez olvidas la fórmula, usa la red.

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Figura9.16.3

Volumen

Para encontrar el volumen de cualquier sólido debes averiguar cuánto espacio ocupa. La unidad básica de volumen es la unidad cúbica.

Volumen de una Pirámide:V=13Bh dóndeB está el área de la base.

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Figura9.16.4

¿Y si te dieran una figura tridimensional sólida con una base y caras laterales que se encuentran en un vértice común? ¿Cómo podrías determinar cuánto espacio bidimensional y tridimensional ocupa esa figura?

Ejemplo9.16.1

Encuentra la altura inclinada de la pirámide cuadrada.

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Figura9.16.5

Solución

La altura inclinada es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la altura y la mitad de la longitud de la base. Usa el Teorema de Pitágoras.

82+242=l2640=l2l=640=810

Ejemplo9.16.2

Encuentra el área de superficie de la pirámide triangular regular.

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Figura9.16.6

Solución

“Regular” nos dice que la base es un triángulo equilátero. Dibujémoslo y encontremos su área.

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Figura9.16.7

B=12843=163

La superficie es:

SA=163+123818=163+216243.71

Ejemplo9.16.3

Si el área de superficie lateral de una pirámide cuadrada regular es72ft2 y el borde base es igual a la altura inclinada. ¿Cuál es la longitud del borde base?

Solución

En la fórmula para el área de superficie, el área de superficie lateral es12nbl. Eso lo sabemosn=4 yb=l. Vamos a resolver parab.

12nbl=72 ft212(4)b2=722b2=72b2=36b=6feet

Ejemplo9.16.4

Encuentra la altura y luego el volumen de la pirámide.

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Figura9.16.8

Solución

En este ejemplo, se nos da la altura inclinada. Usa el Teorema de Pitágoras.

72+h2=252h2=576h=24

V=13(142)(24)=1568 units3

Ejemplo9.16.5

Encuentra el volumen de la pirámide con un triángulo rectángulo como base.

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Figura9.16.9

Solución

La base de la pirámide es un triángulo rectángulo. El área de la base es12(14)(8)=56 units2.

V=13(56)(17)317.33 units3

Ejemplo9.16.6

Una pirámide rectangular tiene un área base de56cm2 y un volumen de224cm3. ¿Cuál es la altura de la pirámide?

Solución

Usa la fórmula para el volumen y conecta la información que nos dieron. Entonces resuelve para la altura.

V=13Bh224=1356h12=h

Revisar

Rellene los espacios en blanco sobre el diagrama a la izquierda.

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Figura9.16.10
  1. x es el ___________.
  2. La altura inclinada es ________.
  3. y es el ___________.
  4. La altura es ________.
  5. La base es _______.
  6. El borde base es ________.

Para las preguntas 7-8, esboce cada uno de los siguientes sólidos y responda la pregunta. Tus dibujos deben ser a escala, pero no uno a uno. Deja tu respuesta en forma radical más simple.

  1. Dibuja una pirámide cuadrada con una longitud de borde de 9 pulgadas y una altura de 12 pulgadas. Encuentra la altura inclinada.
  2. Dibuja una pirámide triangular equilátera con una longitud de borde de 6 cm y una altura de 6 cm. ¿Cuál es la altura de la base?

Encuentra la altura inclinada, l, de una cara lateral en cada pirámide. Redondee su respuesta a la centésima más cercana.

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    Figura9.16.11
  2. f-d_3bf06f826bab83cf4a2c5fa6ba9e1819ca35bdb976306e6ffeac1d61+image_tiny+image_tiny.png
    Figura9.16.12

Encuentra el área de superficie y el volumen de la pirámide regular. Redondee sus respuestas a la centésima más cercana.

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    Figura9.16.13
  2. F-D_1894db3dde923410fd08a842ca348a79b20ccae68a29fabf86621bcb+image_tiny+image_tiny.png
    Figura9.16.14
  3. f-d_13d48672f6056c1b15538efcde1bb44c82bfd6363678c1b7349c54ae+image_tiny+image_tiny.png
    Figura9.16.15
  4. f-d_b913cdf8487c1a5c11f61399e1859fe467d7ed96f3104223e77bf359+image_tiny+image_tiny.png
    Figura9.16.16
  5. f-d_1e555107e2ac7df7c8ff10884f00fefbf6cf8e252ae81374f66660b8+image_tiny+image_tiny.png
    Figura9.16.17
  6. f-d_9f93359a0dec3cc71eb761239df5997801135dd00185d73eff025f16+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png
    Figura9.16.18
  7. Un tetraedro regular tiene cuatro triángulos equiláteros como sus caras.
    1. Encuentra la altura de una de las caras si la longitud del borde es de 6 unidades.
    2. Encuentra el área de una cara.
    3. Encuentra la superficie total del tetraedro regular.
  8. Si el área de superficie de una pirámide cuadrada es40 ft2 y el borde base es de 4 pies, ¿cuál es la altura inclinada?
  9. Si el área lateral de una pirámide cuadrada es800 in2 y la altura inclinada es de 16 pulgadas, ¿cuál es la longitud del borde base?
  10. Si el área lateral de una pirámide triangular regular es252 in2 y el borde base es de 8 pulgadas, ¿cuál es la altura inclinada?
  11. El volumen de una pirámide cuadrada es de 72 pulgadas cuadradas y el borde base es de 4 pulgadas. ¿Cuál es la altura?
  12. El volumen de una pirámide triangular es170 in3 y el área base es34 in2. ¿Cuál es la altura de la pirámide?

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 11.5.

El vocabulario

Término Definición
bordes laterales Bordes entre las caras laterales de un prisma.
caras laterales Las caras no base de un prisma.
Pyramid Una pirámide es un objeto tridimensional con una base que es un polígono y caras triangulares que se encuentran en un vértice.
pirámide regular es una pirámide donde la base es un polígono regular. Todas las pirámides regulares también tienen una altura inclinada, que es la altura de una cara lateral.
Cono Un cono es una figura tridimensional sólida con una base circular y un vértice.
Vertex Un vértice es un punto de intersección de las líneas o rayos que forman un ángulo.
Volumen El volumen es la cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto tridimensional.
Principio de Cavalieri Afirma que si dos sólidos tienen la misma altura y la misma área de sección transversal en cada nivel, entonces tendrán el mismo volumen.
Borde base El borde base es el borde entre la base y las caras laterales de un prisma.
Altura Inclinada La altura inclinada es la altura de una cara lateral de una pirámide.
Apothem El apotema de un polígono regular es un segmento perpendicular desde el punto central del polígono hasta el punto medio de uno de sus lados.

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