9.26: Superficie de Esferas
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Superficie de Esferas
Erin está decorando una piñata en forma de esfera con papel de construcción rosa. Cada esfera tiene un radio de 2.4 pies y Erin hizo cuatro piñatas. ¿Cuánto papel de construcción necesitará para cubrir completamente cada piñata? ¿Cuánto necesitará en total?
En este concepto, aprenderás a calcular la superficie de las esferas.
Superficie
Una esfera es una figura sólida que existe en el espacio tridimensional. Las esferas consisten en todos los puntos que son equidistantes de un punto central. Cada punto de la esfera es la distancia del radio desde el centro. Las esferas son perfectamente redondas.
Las esferas no tienen caras porque son redondas. Aún así, puedes pensar en su superficie como un plano plano que puedes desenrollar. Imagina que podrías envolver una esfera en papel de regalo, como un regalo. La cantidad de papel de regalo necesario para cubrir la figura representa exactamente su área de superficie.
Si pudieras “desenrollar” la esfera y mostrarla como un rectángulo, el rectángulo tendría un ancho que es equivalente al diámetro de la esfera. Su longitud sería la misma que la circunferencia de la esfera (circunferencia es la distancia alrededor de un círculo). Ahora esto te da algo con lo que puedes trabajar, porque puedes usar la fórmula de área para rectángulos para encontrar el área de la esfera “desenrollada”.
La fórmula para el área de rectángulos es:\(A=lw\).
La longitud es la circunferencia, por lo que la fórmula se convierte en:
\(\begin{aligned} l&=C \\ C&=2\pi r \\ \therefore A&=2\pi r\times w\end{aligned} \)
Ahora, el ancho es igual al diámetro del “rollo”. El diámetro es el doble del radio. Ahora tu fórmula se convierte en:
\(\begin{aligned} w&=d \\ d&=2r \\ \therefore A&=2\pi r \times 2r \\ A&=4\pi r^{2}\end{aligned}\)
Entonces, la fórmula que usas para encontrar el área de superficie de una esfera es\(SA=4\pi r^{2}\).
Todo lo que necesita hacer es sustituir la medida del radio por r en la fórmula y resolver para\(SA\), el área de superficie.
Veamos un ejemplo.
¿Cuál es la superficie de la esfera de abajo?
Primero, sustituya lo que sabes en la fórmula de área de superficie.
\(\begin{aligned} SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (8)^{2}\end{aligned}\)
A continuación, utilice álgebra para calcular el área de superficie.
\(\begin{aligned} SA&=4\pi (8)^{2} \\ SA&=4\pi (64) \\ SA&=256\pi \\ SA&=804.25\end{aligned} \)
La respuesta es 804.25.
La superficie de la esfera es\(804.25 \text{ cm}^{2}\).
Si quisieras hacer tu medición más precisa, podrías decir que la superficie es\(256\pi \text{ cm}^{2}\).
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Antes, te dieron un problema sobre Erin y sus piñatas.
Solución
Erin quiere saber cuánto papel de construcción rosa necesita para decorar una piñata en forma de esfera con un radio de 2.4 pies. También quiere saber la cantidad total para decorar cuatro piñatas.
Primero, sustituya lo que sabes en la fórmula de área de superficie.
\(\begin{aligned}SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (2.4)^{2}\end{aligned}\)
A continuación, utilice álgebra para calcular el área de superficie.
\(\begin{aligned}SA&=4\pi (2.4)^{2} \\ SA&=4\pi (5.76) \\ SA&=3.04\pi \\ SA&=72.38\end{aligned}\)
Después multiplica por 4 para encontrar la cantidad total de papel de construcción.
\(\begin{aligned}SA_{Total}&=4\times 72.38 \\ SA_{Total}&=289.52\end{aligned}\)
La respuesta es 289.52.
Erin necesitaría papel\(72.38 \text{ ft}^{2}\) de construcción rosa para una piñata y\(289.52 \text{ ft}^{2}\) para las cuatro.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
La esfera de abajo tiene un radio de 8.5 pulgadas. ¿Cuál es la superficie de la esfera?
Solución
Primero, sustituya lo que sabes en la fórmula de área de superficie.
\(\begin{aligned}SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (8.5)^{2}\end{aligned}\)
A continuación, utilice álgebra para calcular el área de superficie.
\(\begin{aligned}SA&=4\pi (8.5)^{2} \\ SA&=4\pi (72.25) \\ SA&=89\pi \\ SA&=907.9\end{aligned} \)
La respuesta es 907.9.
La superficie de la esfera es\(907.9 \text{ in}^{2}\).
Si quisieras hacer tu medición más precisa, podrías decir que la superficie es\(289 \pi \text{ in}^{2}\).
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Encuentra el área de superficie de una esfera con un radio de 5 pulgadas.
Solución
Primero, sustituya lo que sabes en la fórmula de área de superficie.
\(\begin{aligned}SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (5)^{2}\end{aligned}\)
A continuación, utilice álgebra para calcular el área de superficie.
\(\begin{aligned}SA&=4\pi (5)^{2} \\ SA&=4\pi (25) \\ SA&=100\pi \\SA&=314.16\end{aligned}\)
La respuesta es 314.16.
La superficie de la esfera es\(314.16 \text{ in}^{2}\) o\(100 \pi \text{ in}^{2}\).
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Encuentra la superficie de una esfera con un radio de 8 metros.
Solución
Primero, sustituya lo que sabes en la fórmula de área de superficie.
\(\begin{aligned}SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (8)^{2}\end{aligned}\)
A continuación, utilice álgebra para calcular el área de superficie.
\(\begin{aligned}SA&=4\pi (8)^{2} \\ SA&=4\pi (64) \\ SA&=256\pi \\ SA&=804.25\end{aligned}\)
La respuesta es 804.25.
La superficie de la esfera es\(804.25 \text{ m}^{2}\) o\(256\pi \text{ m}^{2}\).
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Encuentra el área de superficie de una esfera con un radio de 12 pies.
Solución
Primero, sustituya lo que sabes en la fórmula de área de superficie.
\(\begin{aligned}SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (12)^{2}\end{aligned}\)
A continuación, utilice álgebra para calcular el área de superficie.
\(\begin{aligned}SA&=4\pi (12)^{2} \\ SA&=4\pi (144) \\ SA&=576\pi \\ SA&=1809.6\end{aligned}\)
La respuesta es 1809.6.
La superficie de la esfera es\(1809.6 \text{ ft}^{2}\) o\(576\pi \text{ ft}^{2}\).
Revisar
Encuentra la superficie de cada esfera. Use 3.14 para aproximar pi.
- Una esfera con un radio de 4 pulg.
- Una esfera con un radio de 2 pulg.
- Una esfera con un radio de 3.5 pies
- Una esfera con un radio de 6.7 pulg.
- Una esfera con un radio de 12 cm.
- Una esfera con un radio de 1.6 pies
- Una esfera con un radio de 9 m.
- Una esfera con un diámetro de 9 m.
- Una esfera con un diámetro de 18 pulg.
- Una esfera con un diámetro de 10 cm.
- Una esfera con un diámetro de 12 m.
- Una esfera con un diámetro de 13 pies.
- Una esfera con un diámetro de 15 m.
- ¿Cuál es la superficie de una esfera cuyo diámetro es de 22 centímetros?
- Bruce está haciendo una escultura en su clase de arte que está hecha de 3 esferas. Cada esfera tiene un radio de 2.3 pies. Los pintará a todos con pintura de cartel azul. Si cada botella de pintura cubre 20 pies cuadrados, ¿cuántas botellas necesitará comprar Bruce?
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.14.
Recursos
vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Superficie | El área superficial es el área total de todas las superficies de un objeto tridimensional. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Práctica: Superficie de Esferas