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LibreTexts Español

2.1.4: COS

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Determinar las longitudes de lado dadas por coseno

Comprensión de los cosenos

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Figura2.1.4.1

Roger ha colocado una escalera que mide 12 pies de largo contra el costado de la casa de tal manera que el pie de la escalera está a 5 pies de la base de la casa. Mientras Roger se prepara para subir la escalera para limpiar las canaletas de lluvia de la casa, su vecino le grita: “Es mejor que hayas ajustado esa escalera. El ángulo entre la escalera y el suelo tiene que ser menor que75.”

Roger dio un paso atrás y miró la posición de la escalera. “Podría tener razón”, pensó Roger. “Tengo que averiguar el tamaño de ese ángulo antes de subir esa escalera”.

¿Cómo puede Roger calcular la medida del ángulo?

En este concepto, aprenderás a entender la relación trigonométrica Coseno.

Coseno

La trigonometría es una rama de la matemática utilizada para determinar las longitudes de los lados y la medida de los ángulos con gran precisión. Una relación de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se llama relación trigonométrica. La relación de la longitud del lado junto con el ángulo de referencia a la longitud de la hipotenusa se conoce como la relación coseno. Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo está formado por la hipotenusa y una de las patas del triángulo. Esta pata se llama el lado adyacente del ángulo de referencia. La relación coseno es la relación del lado adyacente a la hipotenusa.

En cada diagrama dado, etiquete cada lado del triángulo rectángulo como el:

Hipotenusa (H); Lado Ángulo de referencia opuesto (O); Lado Adyacente al ángulo de referencia (A).

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Figura2.1.4.2

La relación coseno para el primer triángulo se puede escribir en palabras como:

coseno deA=side adjacent Ahypotenuse O en forma abreviada como coseno deA=adjacenthypotenuse

La relación coseno para el primer triángulo se puede escribir en símbolos como:

cosA=ACAB

La relación coseno para el segundo triángulo se puede escribir en palabras como:

coseno deF=side adjacent Fhypotenuse O en forma abreviada como coseno deF=adjacenthypotenuse

La relación coseno para el segundo triángulo se puede escribir en símbolos como:

cosF=DFEF

Determinemos el valor para la relación coseno de cada uno de los ángulos agudos usando el siguiente triángulo rectángulo. Expresar la relación coseno en palabras y símbolos. Después, usando los valores en los lados correspondientes, sustituya los símbolos por los números y expresen la relación primero como fracción y luego como decimal redondeado a la diez milésima más cercana (cuatro lugares después del decimal).

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Figura2.1.4.3
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Figura2.1.4.4

ΔABCconA como el ángulo de referencia.

Primero, nombra los lados del triángulo.

La hipotenusa se encuentra frente al ángulo recto. El lado opuesto está al otro lado de\ ángulo A. El lado al lado\ ángulo A es el adyacente. Los lados están etiquetados con las letras H, O, A respectivamente.

A continuación, escriba la relación coseno paraA en todas las formas requeridas.

Palabras:

coseno deA=adjacenthypotenuse

Símbolos:

cosA=ACAB

Fracción:

cosA=513

Decimal:

cosA=0.3846

ΔABCconB como el ángulo de referencia.

Observe que las ubicaciones de los lados opuestos y adyacentes han cambiado desde donde estaban cuandoA era el ángulo de referencia.

Primero, nombra los lados del triángulo.

La hipotenusa se encuentra frente al ángulo recto. El lado opuesto está al otro lado deB. El lado al ladoB es el adyacente. Los lados están etiquetados con las letras H, O, A respectivamente.

A continuación, escriba la relación coseno paraB en todas las formas requeridas.

Palabras:

coseno deB=adjacenthypotenuse

Símbolos:

cosB=BCAB

Fracción:

cosB=1213

Decimal:

cosB=0.9231

SicosA=0.3846, entonces la medida de seA puede encontrar usando la función de coseno inverso en la calculadora TI-.

Primero, siga el Historial de Prensa Clave a continuación para calcular la medida deA.

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Figura2.1.4.5

A continuación, mira la pantalla de la calculadora para ver la medida deA.

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Figura2.1.4.6

Después, escribe la medida deA a la décima más cercana.

A=67.4

La respuesta es67.4

Ejemplo2.1.4.1

Antes, te dieron un problema sobre Roger y la escalera. Necesita averiguar el ángulo que hace la escalera con el suelo.

¿Cómo puede Roger averiguar la medida del ángulo?

Solución

Él puede usar la relación coseno.

Primero, dibuje y etiquete un triángulo rectángulo para modelar el problema.

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Figura2.1.4.7

A continuación, nombra los lados del triángulo.

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Figura2.1.4.8

A continuación, escriba la relación coseno en palabras.

cosA=adjacenthypotenuse

A continuación, escribe la relación usando símbolos.

cosA=ABAC

A continuación, expresar la relación como fracción utilizando los valores de los lados correspondientes.

cosA=512

A continuación, exprese la relación como decimal redondeado a cuatro lugares después del decimal.

cosA=0.4167

A continuación, utilice la función coseno inverso (cos−1) en la calculadora TI para encontrar la medida deA.

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Figura2.1.4.9

Después, escribe la medida deA a la décima más cercana.

A=65.4

La respuesta es65.4

La medida deA es65.4. Es menos que75 así Roger puede reparar las canaletas de lluvia.

Ejemplo2.1.4.2

Use la relación coseno para calcular la medida deA al décimo más cercano.

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Figura2.1.4.10

Solución

Primero, usando el ángulo de referencia nombra los lados del triángulo.

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Figura2.1.4.11

A continuación, escriba la relación coseno en palabras.

cosA=adjacenthypotenuse

A continuación, escribe la relación usando símbolos.

cosA=ABAC

A continuación, expresar la relación como fracción utilizando los valores de los lados correspondientes.

cosA=3850

A continuación, exprese la relación como decimal redondeado a cuatro lugares después del decimal.

cosA=0.76

El decimal terminó. Podrías escribir el decimal como 0.7600 pero esto no es necesario.

A continuación, utilice la función coseno inversa (cos1) en la calculadora TI para encontrar la medida deA.

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Figura2.1.4.12

Después, escribe el valor deA a la décima más cercana.

A=40.5

La respuesta es40.5

Ejemplo2.1.4.3

SicosB=0.7984, cuál es la medida deB al décimo más cercano.

Solución

Primero, use la calculadora TI para determinar la medida deB usando la función de coseno inverso (\ (\ cos^ {−1}) en la calculadora. Esta función está por encima del botón cos de la calculadora. Para acceder a esta función pulse

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Figura2.1.4.13

A continuación, ingrese el decimal 0.7984 entre paréntesis donde el cursor parpadea.

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Figura2.1.4.14

A continuación, presione enter y la pantalla de la calculadora mostrará la medida del ángulo.

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Figura2.1.4.15

Después, escribe la medida deB a la décima más cercana.

B=32.0.

La respuesta es32.0

Ejemplo2.1.4.4

Para la siguiente solución que muestra usando la relación coseno para calcular la medida de\ ángulo B, dibujar y etiquetar el triángulo rectángulo ABC que se utilizó para hacer la solución.

\ (\ comenzar {alineado}
\ cos B &=\ frac {\ texto {adyacente}} {\ texto {hipotenusa}}
\\ cos B &=\ frac {B C} {A B}\
\ cos B &=\ frac {36} {76.7}\
\ cos B &=0.4694\
\ cos ^ {-1} (\ cos B) &=\ cos {^ -1} (0.4694)\\
\ ángulo B &=62.00454372\\
\ ángulo B &=62.0^ {\ circ}
\ final {alineado}\)

Solución

Primero, anote lo que sabes de la solución.

ΔABCes un triángulo rectángulo.

¯BCes el lado adyacente del triángulo.

¯BCtiene una longitud de 36.

¯ABes la hipotenusa del triángulo.

¯ABtiene una longitud de 76.7.

Bes el ángulo de referencia.

A continuación, usa la información que has escrito para dibujar y etiquetar el triángulo.

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Figura2.1.4.16

El triángulo anterior representa el problema.

Ejemplo2.1.4.5

Para el triángulo rectángulo dado, use la relación coseno para calcular la medida deA al décimo más cercano.

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Figura2.1.4.17

Solución

Primero, usando el ángulo de referencia nombra los lados del triángulo.

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Figura2.1.4.18

A continuación, escriba la relación coseno en palabras.

cosA=adjacenthypotenuse

A continuación, escribe la relación usando símbolos.

cosA=ACAB

A continuación, expresar la relación como fracción utilizando los valores de los lados correspondientes.

cosA=32.445.2

A continuación, exprese la relación como decimal redondeado a cuatro lugares después del decimal.

cosA=0.7168

A continuación, utilice la función coseno inversa (cos1) en la calculadora TI para encontrar la medida deA.

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Figura2.1.4.19

Después, escribe la medida deA a la décima más cercana.

A=44.2.

La respuesta es44.2

Revisar

Resolver cada problema.

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Figura2.1.4.20
  1. ¿De qué es el cosenoG?
  2. ¿De qué es el cosenoH?
  3. ¿Cómo se identifica un coseno?
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Figura2.1.4.21

4. ¿De qué es el cosenoR?

5. ¿De qué es el cosenoS?

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Figura2.1.4.1
  1. ¿De qué es el cosenoA?
  2. ¿De qué es el cosenoB?
  3. ¿Cuál es la longitud del lado faltante redondeado a la centésima más cercana?

Responde a cada una de las siguientes preguntas.

  1. ¿El coseno está relacionado con un ángulo?
  2. ¿Necesitas conocer las longitudes laterales de un triángulo para escribir un coseno?
  3. ¿Qué longitudes laterales necesitas?
  4. Si el coseno fuera520 ¿cuál sería el valor numérico del coseno?
  5. Si el coseno fuera525 ¿cuál sería el valor numérico del coseno?
  6. Si el coseno fuera333 ¿cuál sería el valor numérico del coseno?
  7. Si el coseno fuera1214 ¿cuál sería el valor numérico del coseno?

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.14.

El vocabulario

Término Definición
coseno El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo es un valor que se encuentra dividiendo la longitud del lado adyacente al ángulo dado por la longitud de la hipotenusa.
Ratios trigonométricos Relaciones que nos ayudan a entender las relaciones entre lados y ángulos de triángulos rectos.

Recursos adicionales

Video: Trigonometría Básica

Práctica: COS


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