El punto medio

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Resultados de aprendizaje

Encuentra el punto medio entre dos números.
Esboce el punto medio de dos números en una recta numérica.

Como suena la palabra, “punto medio” significa “el punto en el medio”. Encontrar un punto medio no es demasiado difícil y tiene aplicaciones en muchas áreas de la estadística, desde intervalos de confianza hasta distribuciones de bocetos, pasando por medios.

Encontrar el punto medio entre dos números

Si nos dan dos números, entonces el punto medio es solo el promedio de los dos números. Para calcular el punto medio, los sumamos y luego dividimos el resultado por 2. La fórmula es la siguiente:

Definición: el punto medio

Let\(a\) y\(b\) ser dos números. Entonces el punto medio,\(M\) de estos dos números es

\[M\:=\frac{a+b}{2} \label{midpoint}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra el punto medio de los números\(3.5\) y\(7.2\).

Solución

Lo más importante de encontrar el punto medio es que la suma de los dos números debe ocurrir antes de la división por 2. Podemos hacer esto paso a paso en nuestra calculadora o podemos encerrar la suma entre paréntesis. En este ejemplo realizaremos primero la adición:

\[3.5+7.2\:=\:10.7 \nonumber\]

Ahora estamos listos para dividir por 2:

\[\frac{10.7}{2}=5.35 \nonumber\]

Así, el punto medio de 3.5 y 7.2 es 5.35.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Un tema importante en la estadística es el intervalo de confianza que nos indica el intervalo más probable en el que se ubicará la media o la proporción. A menudo se dan los límites inferior y superior del intervalo de confianza, pero el punto medio de estos dos números es la mejor suposición para lo que estamos buscando. Supongamos que un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre dos medias es -1.34 y 2.79. Encuentra el punto medio de estos números, que es la mejor suposición para la diferencia entre las dos medias.

Solución

Usamos la fórmula para el punto medio (Ecuación\ ref {punto medio}):

\[M\:=\:\frac{a+b}{2}=\:\frac{-1.34+2.79}{2} \nonumber\]

Ahora usemos una calculadora. Necesitaremos paréntesis alrededor del numerador:

\[\left(-1.34+2.79\right)\div2\:=\:0.725 \nonumber\]

Así, el punto medio de los números -1.34 y 2.79 es 0.725.

Croquizar el punto medio en una recta numérica

Visualizar el punto medio a menudo puede revelarlo mucho mejor que simplemente anotar su valor. Los diagramas son de fundamental importancia en la estadística.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Esboce los puntos -3, 5 y el punto medio de estos dos números en una recta numérica.

Solución

Comenzamos por encontrar el punto medio usando la fórmula del punto medio (Ecuación\ ref {punto medio}):

\[M\:=\frac{\:-3+5}{2}=\left(-3+5\right)\div2\:=\:1 \nonumber\]

Ahora bosquejamos estos tres puntos en la recta numérica:

línea numérica con puntos finales -3 y 5 y punto medio 1

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): hypothesis testing

Otra aplicación del punto medio implica la prueba de hipótesis. A veces se nos da la media hipotética, que es el punto medio. También se nos da la media muestral, que es el punto final izquierdo o derecho. El objetivo es encontrar el otro punto final. Supongamos que el punto medio (media hipotética) está en 3.8 y el punto final correcto (media de la muestra) está en 5.1. Encuentra el valor del punto final izquierdo.

Solución

Ayuda a bosquejar el diagrama en la recta numérica como se muestra a continuación.

línea numérica con desconocidos, 3.8 y 5.1 trazados.

Ahora como 3.8 es el punto medio, la distancia desde el punto final izquierdo hasta el punto medio es igual a la distancia de 3.8 a 5.1. La distancia de 3.8 a 5.1 es:

\[5.1\:-\:3.8\:=\:1.3 \nonumber\]

Por lo tanto, el punto final izquierdo es 1.3 a la izquierda de 3.8. Esto se puede encontrar restando los dos números:

\[3.8\:-\:1.3\:=\:2.5 \nonumber\]

Por lo tanto, el punto final izquierdo está en 2.5.

Ejercicio

Supongamos que el punto medio (proporción hipotética) está en 0.31 y el punto final izquierdo (proporción muestral) está en 0.28. Encuentra el valor del punto final correcto.