5.5: Permutaciones y combinaciones

Objetivos de aprendizaje

• Calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes
• Definir permutaciones y combinaciones
• Listar todas las permutaciones y combinaciones
• Aplicar fórmulas para permutaciones y combinaciones

Esta sección abarca fórmulas básicas para determinar el número de diversos tipos posibles de resultados. Los temas tratados son:

• contar el número de pedidos posibles
• contar usando la regla de multiplicación
• contar el número de permutaciones
• contar el número de combinaciones

Posibles Órdenes

Supongamos que tenías un plato con tres trozos de caramelo: uno verde, uno amarillo y otro rojo. Vas a recoger estas tres piezas una a la vez. La pregunta es: ¿En cuántos pedidos diferentes puedes recoger las piezas? En la$\PageIndex{1}$ tabla se enumeran todos los pedidos posibles.

Figura$\PageIndex{1}$: Caramelo

Hay dos órdenes en los que el rojo es primero: rojo, amarillo, verde y rojo, verde, amarillo. De igual manera, hay dos órdenes en los que el amarillo es el primero y dos órdenes en los que el verde es el primero. Esto hace seis posibles pedidos en los que se pueden recoger las piezas.

Cuadro$\PageIndex{1}$: Seis Órdenes Posibles.

Número	Primero	Segundo	Tercero
1	rojo	amarillo	verde
2	rojo	verde	amarillo
3	amarillo	rojo	verde
4	amarillo	verde	rojo
5	verde	rojo	amarillo
6	verde	amarillo	rojo

A continuación se muestra la fórmula para el número de pedidos.

$$\text{Number of orders} = n!$$

donde$n$ está el número de piezas a recoger. El símbolo “!” significa factorial. Algunos ejemplos son:

$$\begin{align} 3! &= 3 \times 2 \times 1 = 6 \\ 4! &= 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \\ 5! &= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \end{align}$$

Esto significa que si hubiera$5$ trozos de dulces para recoger, podrían ser recogidos en cualquiera de los$5! = 120$ pedidos.

Regla de multiplicación

Imagina un pequeño restaurante cuyo menú tiene$3$ sopas$6$, platos principales y$4$ postres. ¿Cuántas comidas posibles hay? La respuesta se calcula multiplicando los números a obtener$3 \times 6 \times 4 = 72$. Se puede pensar en ello como primero hay una opción entre$3$ sopas. Entonces, para cada una de estas opciones hay una elección entre los$6$ platos principales dando como resultado$3 \times 6 = 18$ posibilidades. Entonces, para cada una de estas$18$ posibilidades hay$4$ posibles postres que producen posibilidades$18 \times 4 = 72$ totales.

Permutaciones

Supongamos que había cuatro trozos de dulces (rojos, amarillos, verdes y marrones) y sólo iban a recoger exactamente dos piezas. ¿Cuántas formas hay de recoger dos piezas? Tabla$\PageIndex{2}$ enumera todas las posibilidades. La primera opción puede ser cualquiera de los cuatro colores. Para cada una de estas$4$ primeras opciones hay$3$ segundas opciones. Por lo tanto, hay$4 \times 3 = 12$ posibilidades.

Tabla$\PageIndex{2}$: Doce Órdenes Posibles

Número	Primero	Segundo
1	rojo	amarillo
2	rojo	verde
3	rojo	marrón
4	amarillo	rojo
5	amarillo	verde
6	amarillo	marrón
7	verde	rojo
8	verde	amarillo
9	verde	marrón
10	marrón	rojo
11	marrón	amarillo
12	marrón	verde

De manera más formal, esta pregunta está pidiendo el número de permutaciones de cuatro cosas tomadas de dos a la vez. La fórmula general es:

$$_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$$

donde$_nP_r$ está el número de permutaciones de$n$ cosas tomadas$r$ a la vez. En otras palabras, es la cantidad de formas en las que se pueden seleccionar$r$ las cosas de un grupo de$n$ cosas. En este caso,

$$_4P_2 = \dfrac{4!}{(4-2)!} = \dfrac{4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$$

Es importante señalar que el orden cuenta en permutaciones. Es decir, elegir rojo y luego amarillo se cuenta por separado de elegir amarillo y luego rojo. Por lo tanto, las permutaciones se refieren al número de formas de elegir más que al número de posibles resultados. Cuando no se considera el orden de elección, se utiliza la fórmula para combinaciones.

Combinaciones

Ahora suponga que no le preocupaba la forma en que se eligieron las piezas de dulces sino solo en las elecciones finales. Es decir, ¿cuántas combinaciones diferentes de dos piezas podrías terminar con? Al contar combinaciones, elegir rojo y luego amarillo es lo mismo que elegir amarillo y luego rojo porque en ambos casos terminas con una pieza roja y una pieza amarilla. A diferencia de las permutaciones, el orden no cuenta. La tabla$\PageIndex{3}$ se basa en la Tabla$\PageIndex{2}$ pero se modifica para que a las combinaciones repetidas se les dé un "$x$" en lugar de un número. Por ejemplo, “amarillo luego rojo” tiene un "$x$" porque la combinación de rojo y amarillo ya estaba incluida como número de elección$1$. Como puedes ver, hay seis combinaciones de los tres colores.

Cuadro$\PageIndex{1}$: Seis Combinaciones.

Número	Primero	Segundo
1	rojo	amarillo
2	rojo	verde
3	rojo	marrón
x	amarillo	rojo
4	amarillo	verde
5	amarillo	marrón
x	verde	rojo
x	verde	amarillo
6	verde	marrón
x	marrón	rojo
x	marrón	amarillo
x	marrón	verde

La fórmula para el número de combinaciones se muestra a continuación donde$_nC_r$ está el número de combinaciones para$n$ cosas tomadas$r$ a la vez.

$$_nC_r = \dfrac{n!}{(n-r)!r!}$$

Para nuestro ejemplo,

$$_4C_2 = \dfrac{4!}{(4-2)!2!} = \dfrac{4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = 6$$

lo cual es consistente con la Tabla$\PageIndex{3}$.

Como aplicación de ejemplo, supongamos que había seis tipos de coberturas que se podían pedir para una pizza. ¿Cuántas combinaciones de$3$ coberturas exactamente se podrían pedir? Aquí$n = 6$ ya que hay$6$ coberturas y$r = 3$ ya que estamos tomando$3$ a la vez. La fórmula es entonces:

$$_6C_3 = \dfrac{6!}{(6-3)!3!} = \dfrac{6\times 5 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = 30$$