7.3: Permutaciones
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En esta sección aprenderás a
- Contar el número de posibles permutaciones (arreglo ordenado) de n artículos tomados r a la vez
- Contar el número de posibles permutaciones cuando existan condiciones impuestas a los arreglos
- Realizar cálculos usando factoriales
En el Ejemplo 7.2.6 de la sección 7.2, se nos pidió que encontráramos las secuencias de palabras formadas usando las letras {A, B, C} si no hay que repetir ninguna letra. El diagrama del árbol nos dio los siguientes seis arreglos.
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA.
Arreglos como estos, donde el orden es importante y no se repite ningún elemento, se denominan permutaciones.
Una permutación de un conjunto de elementos es una disposición ordenada donde cada elemento se usa una vez.
¿Cuántas secuencias de palabras de tres letras se pueden formar usando las letras {A, B, C, D}?
Solución
Hay cuatro opciones para la primera letra de nuestra palabra, tres opciones para la segunda letra y dos opciones para la tercera.
| 4 | 3 | 2 |
Aplicando el axioma de multiplicación, obtenemos\(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) diferentes arreglos.
¿Cuántas permutaciones de las letras de la palabra ARTICLE tienen consonantes en la primera y última posición?
Solución
En la palabra ARTICLE, hay 4 consonantes.
Dado que la primera letra debe ser una consonante, tenemos cuatro opciones para la primera posición, y una vez que usamos una consonante, solo quedan tres consonantes para el último punto. Mostramos de la siguiente manera:
| 4 | 3 |
Como ya no hay más restricciones, podemos seguir adelante y tomar las decisiones para el resto de los puestos.
Hasta el momento hemos agotado 2 letras, por lo tanto, quedan cinco. Entonces para la siguiente posición hay cinco opciones, para el puesto después de eso hay cuatro opciones, y así sucesivamente. Obtenemos
| 4 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 3 |
Entonces las permutaciones totales son\(4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 1440\).
Dadas cinco letras {A, B, C, D, E}. Encuentra lo siguiente:
- El número de secuencias de palabras de cuatro letras.
- El número de secuencias de palabras de tres letras.
- El número de secuencias de palabras de dos letras.
Solución
El problema es fácilmente resuelto por el axioma de multiplicación, y las respuestas son las siguientes:
- El número de secuencias de palabras de cuatro letras es\(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120\).
- El número de secuencias de palabras de tres letras es\(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\).
- El número de secuencias de palabras de dos letras es\(5 \cdot 4 = 20\).
A menudo nos encontramos con situaciones en las que tenemos un conjunto de n objetos y estamos seleccionando r objetos para formar permutaciones. Nos referimos a esto como permutaciones de n objetos tomados r a la vez, y lo escribimos como nPr.
Por lo tanto, el ejemplo anterior también se puede responder como se indica a continuación.
- El número de secuencias de palabras de cuatro letras es 5P4 = 120.
- El número de secuencias de palabras de tres letras es 5P3 = 60.
- El número de secuencias de palabras de dos letras es 5P2 = 20.
Antes de dar una fórmula para NpR, nos gustaría introducir un símbolo que usaremos mucho tanto en este como en el siguiente capítulo.
\[\mathrm{n} !=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)(\mathrm{n}-3) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \nonumber \]
donde\(n\) es un número natural.
\[0! = 1 \nonumber \]
Ahora definimos NpR.
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez
\[\mathrm{nPr}=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)(\mathrm{n}-3) \cdots(\mathrm{n}-\mathrm{r}+1) \nonumber \]
o
\[\mathrm{nPr}=\frac{\mathrm{n} !}{(\mathrm{n}-\mathrm{r}) !} \nonumber \]
donde\(n\) y\(r\) son números naturales.
El lector debe familiarizarse con ambas fórmulas y debe sentirse cómodo al aplicar cualquiera de las dos.
Calcula lo siguiente usando ambas fórmulas.
- 6P3
- 7P2
Solución
Identificaremos\(n\) y\(r\) en cada caso y resolveremos utilizando las fórmulas proporcionadas.a. 6P3 =\(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\), alternativamente
\[ 6 \mathrm{P} 3=\frac{6 !}{(6-3) !}=\frac{6 !}{3 !}=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1}=120 \nonumber \]
b. 7P2 =\(7 \cdot 6 = 42\), o
\[7 \mathrm{P} 2=\frac{7 !}{5 !}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=42 \nonumber \]
A continuación consideramos algunos problemas más de permutación para obtener una mayor comprensión de estos conceptos.
¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 4 personas en línea recta si dos de ellas insisten en sentarse una al lado de la otra?
Solución
Supongamos que tenemos cuatro personas A, B, C y D. Además supongamos que A y B quieren sentarse juntas. En aras de la argumentación, atamos A y B juntos y los tratamos como una sola persona.Las cuatro personas son\(\boxed{AB}\) CD. Ya que\(\boxed{AB}\) se trata como una sola persona, tenemos los siguientes arreglos posibles.
\[ \boxed{AB} CD, \boxed{AB} DC, C \boxed{AB}D, D\boxed{AB}C, CD \boxed{AB}, DC\boxed{AB} \nonumber \]
Tenga en cuenta que hay seis permutaciones más de este tipo porque A y B también podrían empatarse en el orden BA. Y son
\[ \boxed{BA}CD, \boxed{BA} DC, C\boxed{BA}D, D\boxed{BA}C, CD\boxed{BA}, DC \boxed{BA} \nonumber \]
Entonces en conjunto hay 12 permutaciones diferentes.
Hagamos ahora el problema usando el axioma de multiplicación.
Después de unir a dos de las personas y tratarlas como una sola persona, podemos decir que solo tenemos tres personas. ¡El axioma de multiplicación nos dice que tres personas pueden estar sentadas en 3! maneras. Ya que dos personas pueden estar amarradas juntas ¡2! maneras, ¡hay 3! ¡2! = 12 arreglos diferentes
Tienes 4 libros de matemáticas y 5 libros de historia para poner en una repisa que tiene 5 ranuras. ¿De cuántas maneras se pueden archivar los libros si los tres primeros espacios están llenos de libros de matemáticas y los dos siguientes están llenos de libros de historia?
Solución
Primero hacemos el problema usando el axioma de multiplicación.
Dado que los libros de matemáticas van en los tres primeros espacios, hay 4 opciones para el primer espacio,
3 opciones para el segundo y 2 opciones para el tercero.
El cuarto espacio requiere un libro de historia, y tiene cinco opciones. Una vez que se hace esa elección, quedan 4 libros de historia, y por lo tanto, 4 opciones para el último espacio. Las opciones se muestran a continuación.
| 4 | 3 | 2 | 5 | 4 |
Por lo tanto, el número de permutaciones son\(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4 = 480\).
Como alternativa, podemos ver que\(4 \cdot 3 \cdot 2\) es realmente lo mismo que 4P3, y\(5 \cdot 4\) es 5P2.
Entonces la respuesta se puede escribir como (4P3) (5P2) = 480.
Claramente, esto tiene sentido. Por cada permutación de tres libros de matemáticas colocados en las tres primeras ranuras, hay 5P2 permutaciones de libros de historia que se pueden colocar en las dos últimas ranuras. De ahí que se aplique el axioma de multiplicación, y tenemos la respuesta (4P3) (5P2).
Resumimos los conceptos de esta sección:
1. Permutaciones
Una permutación de un conjunto de elementos es una disposición ordenada donde cada elemento se usa una vez.
2. Factorial
\[\mathrm{n} !=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)(\mathrm{n}-3) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \nonumber \]
Donde\(n\) es un número natural.
\[0! = 1 \nonumber \]
3. Permutaciones de n objetos tomados r a la vez
\[\mathrm{nPr}=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)(\mathrm{n}-3) \cdots(\mathrm{n}-\mathrm{r}+1) \nonumber \]
o
\[\mathrm{nPr}=\frac{\mathrm{n} !}{(\mathrm{n}-\mathrm{r}) !} \nonumber \]
donde\(n\) y\(r\) son números naturales.