6.2: Fase
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Objetivos de aprendizaje
- Explicar por qué la fase es un escalar
La fase es un escalar
En la sección 1.3, definimos una (Lorentz) invariante como una cantidad que no se modificó bajo rotaciones y potenciadores de Lorentz. Una medida como\(c \to e = 24\) es una invariante porque es simplemente un conteo. Hemos contado el número de periodos. De hecho, un conteo no solo es invariante bajo rotaciones y potenciaciones sino bajo cualquier cambio de coordenadas de buen comportamiento, siendo la condición técnica que cada coordenada en cada conjunto sea una función diferenciable de cada coordenada en el otro conjunto. Tal cambio de coordenadas se llama diffeomorfismo. Por ejemplo, un escalado uniforme de las coordenadas\((t,x,y,z) \to (kt,kx,ky,kz)\), que es análogo a un cambio de unidades, 1 está bien siempre que\(k\) sea distinto de cero. Una cantidad que permanece igual bajo cualquier diffeomorfismo se llama escalar. Dado que una transformación de Lorentz es un diffeomorfismo, cada escalar es un invariante de Lorentz. No todas las invariantes de Lorentz son escalares.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The determinant of the metric
Las coordenadas de Minkowski se pueden definir como coordenadas en las que la métrica tiene la forma estándar\(g = diag(1,-1,-1,-1)\). Si reescalamos estas coordenadas de acuerdo a\((t,x,y,z) \to (kt,kx,ky,kz)\), entonces la métrica cambia de acuerdo a\(g \to k^{-2} g\). Para hacer un seguimiento de cómo es “Un-Minkowski” este escalado, podríamos usar el determinante de la métrica\(det(g) = -k^{-8}\). Este determinante nos dice cuántas cajas de cuadrículas de coordenadas caben en un volumen unitario, y es de interés en un contexto más general que este ejemplo de reescalado uniforme, por ejemplo, cumple una función similar al convertir de coordenadas cartesianas a coordenadas polares.
Bajo una transformación de Lorentz o una rotación, la métrica conserva su forma estándar, y por lo tanto\(det(g)\) es Lorentz invariante. Otra forma de ver esto es que el volumen de espacio-tiempo es invariante de Lorentz, de modo que una transformación de Lorentz no cambia cuántas cajas de cuadrículas de coordenadas caben en un volumen unitario.
Pero aunque\(det(g)\) es un Lorentz invariante, no es un escalar, porque cambia bajo la transformación descrita anteriormente.
En la notación birdtracks, cualquier expresión que no tenga flechas externas representa un escalar. Dado que la expresión no\(c \to e = 24\) tiene flechas externas, solo internas, representa un escalar. Otra forma de describir esta medición es como una fase. Si preferimos medir la fase\(φ\) en unidades de ciclos, entonces tenemos
\[φ = c\to e\]
Si nos gustan los radianes, podemos usar
\[φ = 2πc\to e\]
Escalado
Una manera conveniente de resumir todas nuestras categorías de variables es por su comportamiento cuando reescalamos nuestras coordenadas. Si cambiamos nuestra unidad de tiempo de horas a minutos, el número de manzanas en un tazón no cambia, el período de rotación de la tierra\(60\) aumenta los tiempos, y la frecuencia del reloj de cuco cambia por un factor de\(1/60\). En otras palabras, una cantidad u bajo reescalado de coordenadas por un factor α se convierte\(α^p u\), donde los exponentes\(-1\)\(0\),, y\(+1\) corresponden a covectores, escalares y vectores, respectivamente. Por lo tanto, podemos ver que estas distinciones son de interés incluso en una dimensión, contrariamente a lo que se habría esperado del concepto de primer año de física de un vector como algo que se transforma de cierta manera bajo rotaciones.
En la sección 1.3, definimos una invariante como una cantidad que no cambió bajo rotaciones o subidas de Lorentz, es decir, una que fuera independiente del marco de referencia. Para un escalar tenemos la condición aún más restrictiva de que no debe cambiar bajo ningún cambio de coordenadas. Por ejemplo, el área en espacio-tiempo\(1 + 1\) dimensional es una invariante, pero no es un escalar; cambia cuando reescalamos nuestras coordenadas.