6.E: Soluciones de Vacío (Ejercicios)

1. Demuestre que en unidades geométricas, la potencia no tiene unidades. Encuentre el equivalente en vatios de una potencia que equivale a 1 en unidades geométricas.
2. La métrica de coordenadas\((\theta, \phi)\) en la esfera unitaria es\(ds^{2} = d \theta^{2} + \sin^{2} \theta d \phi^{2}\). (a) Demostrar que hay un punto singular en el que g ^ab →\(\infty\). (b) Verificar directamente que la curvatura escalar R =\(R_{a}^{a}\) construida a partir de la traza del tensor Ricci nunca es infinita. c) Demostrar que la singularidad es una singularidad coordinada.
3. (a) Las sondas espaciales en nuestro sistema solar suelen utilizar una maniobra de tirachinas. En el caso más simple, la sonda es dispersada gravitacionalmente a través de un ángulo de 180 grados por un planeta. Demostrar que en algún otro marco como el resto del marco del sol, en el que el planeta tiene velocidad u hacia la sonda entrante, la maniobra suma 2u a la velocidad de la sonda. (b) Supongamos que reemplazamos el planeta por un agujero negro, y la sonda espacial con un rayo de luz. ¿Por qué esto no acelera el rayo a una velocidad mayor que c?
4. Un observador fuera del horizonte de eventos de un agujero negro nunca podrá observar una partícula de prueba cayendo más allá del horizonte de eventos y luego golpeando la singularidad. Por lo tanto, podríamos preguntarnos si las predicciones de la relatividad general sobre el interior de un agujero negro, y la singularidad en particular, son incluso una teoría científica comprobable. No obstante, la propia observadora podría caer en el agujero negro. La cuestión es entonces si alcanzaría la singularidad dentro de un tiempo propio finito; si es así, entonces le es observable. El propósito de este problema es demostrar que esto es así, utilizando las técnicas de la sección 6.2. Supongamos por simplicidad que el observador comienza en reposo lejos del agujero negro, y cae directamente hacia adentro hacia él. a) En la notación de la sección 6.2, ¿cuáles son los valores de E y L en este caso? (b) Encontrar la función r (s), es decir, la coordenada radial Schwarzschild del observador en función de su tiempo propio, y demostrar que sí alcanza la singularidad en tiempo propio finito.
5. La curva dada paramétricamente por (cos ³ t, sin ³ t) se llama astroide. La longitud del arco a lo largo de esta curva viene dada por s = (\(\frac{3}{2}\)) sin ² t, y su curvatura por k = − (\(\frac{2}{3}\)) csc ² t. Al rotar este astroide alrededor del eje x, formamos una superficie de revolución que puede ser descrita por coordenadas (t,\(\phi\)), donde\(\phi\) está el ángulo de rotación. (a) Encuentra la métrica en esta superficie. b) Identificar las singularidades y clasificarlas como singularidades coordinadas o intrínsecas.
6. (a) La sección 3.5 dio una métrica espacio-tiempo plana en coordenadas polares giratorias, $$ds^ {2} = (1 -\ omega^ {2} r^ {2}) dt^ {2} - dr^ {2} - r^ {2} d\ theta'^ {2} - 2\ omega r^ {2} d\ theta' dt\ ldotp$$Identificar los dos valores de r en qué singularidades ocurren, y clasificarlas como coordinadas o no coordinadas singularidades.
   (b) Se encontró que la métrica espacial correspondiente era $$ds^ {2} = - dr^ {2} -\ frac {r^ {2}} {1 -\ omega^ {2} r^ {2}} d\ theta'^ {2}\ lDotp$$$Identificar los dos valores de r en los que ocurren las singularidades, y clasificarlas como singularidades coordinadas o no coordinadas.
   c) Considerar el siguiente argumento, que tiene por objeto dar respuesta a la parte b sin cómputos. En dos dimensiones, solo hay una medida de curvatura, que es equivalente (hasta una constante de proporcionalidad) a la curvatura gaussiana. La curvatura gaussiana es proporcional al déficit angular\(\epsilon\) de un triángulo. Dado que el déficit angular de un triángulo en un espacio con curvatura negativa satisface la desigualdad\(− \pi < \epsilon < 0\), concluimos que la curvatura gaussiana nunca puede ser infinita. Dado que solo hay una medida de curvatura en un espacio bidimensional, esto significa que no hay singularidad no coordinada. ¿Es correcto este argumento, y el resultado reclamado es consistente con sus respuestas a la parte b?
7. La primera verificación experimental de corrimientos al rojo gravitacionales fue una medición en 1925 por W.S. Adams del espectro de luz emitida desde la superficie de la estrella enana blanca Sirius B. Sirius B tiene una masa de 0.98M _\(\odot\)y un radio de 5.9 × 10 ⁶ m. Encuentra el desplazamiento al rojo.
8. Demostrar que, como se afirma en la sección 6.3, aplicar el cambio de coordenadas t' = t−2m ln (r−2m) a la métrica de Schwarzschild da como resultado una métrica para la cual g _rr y g _{t't '}nunca explotan, pero que g ^t't' sí explota.
9. Utilice la ecuación geodésica para mostrar que, en el caso de una órbita circular en una métrica de Schwarzschild,\(\frac{d^{2} t}{ds^{2}}\) = 0. Explique por qué esto tiene sentido.
10. Verificar por cálculo directo, como se afirma en la sección 6.4, que el tensor Riemann se desvanece para la métrica ds ² = −t dt ² − d\(\ell^{2}\), donde d\(\ell^{2}\) = dx ² + dy ² + dz ².
11. Supongamos que alguien propone que la ecuación de campo vacío de la relatividad general no es R _ab = 0 sino R _ab = k, donde k es alguna constante que describe una tendencia innata del espacio-tiempo a tener distorsiones mareales. Explique por qué esta no es una buena propuesta.
12. Demostrar, como se afirma en la sección 6.3, que en 2+1 dimensiones, con una constante cosmológica de fuga, no existe una métrica de Schwarzschild no trivial.
13. En la sección 6.2, argumenté que no hay manera de definir una operación de inversión de tiempo en la relatividad general para que se aplique a todos los espacio-tiempos. ¿Por qué no podemos definirlo escogiendo alguna superficie espacial arbitraria que cubra todo el universo, volteando la velocidad de cada partícula en esa superficie y evolucionando una nueva versión del espacio-tiempo hacia atrás y hacia adelante desde esa superficie usando las ecuaciones de campo?