1.16: El Conmutador

Hay que tener cuidado de observar el orden correcto de los operadores. Por ejemplo,

\[ \hat{x}\hat{k} \neq \hat{k}\hat{x} \nonumber \]

pero

\[ \hat{x}\hat{\omega} = \hat{\omega}\hat{x} \nonumber \]

En mecánica cuántica definimos el conmutador:

\[ [\hat{q},\hat{r}]=\hat{q}\hat{r}-\hat{r}\hat{q} \nonumber \]

Nos encontramos con que los operadores\(\hat{r}\) y\(\hat{\omega}\) conmutan porque\([\hat{x},\hat{\omega}]=0\).

Considerando a los operadores\(\hat{x}\) y\(\hat{k}\):

\[ [\hat{x},\hat{k}]=-ix\frac{d}{dx}+i\frac{d}{dx}x \nonumber \]

Para simplificar esto aún más necesitamos operar en alguna función, f (x):

\[\begin{align*} [\hat{x},\hat{k}]f(x) &=-ix\frac{df}{dx}+i\frac{d}{dx}(xf) \\[4pt] &= -ix\frac{df}{dx}+if\frac{dx}{dx}+ix\frac{df}{dx} \\[4pt] &=if \end{align*} \nonumber \]

Por lo tanto, los operadores\(\hat{x}\) y\(\hat{k}\) no conmutan, i.e.

\[ [\hat{x},\hat{k}] = i \nonumber \]

Aunque se utilizaron las transformadas de Fourier, la Ecuación (1.10.13) también se puede derivar de la relación (1.16.5) para los operadores no conmutantes\(\hat{x}\) y operadores\(\hat{k}\). De ello se deduce que todos los operadores que no conmutan están sujetos a un límite similar en el producto de sus incertidumbres. Veremos en la siguiente sección que este límite se conoce como “el principio de incertidumbre”.

\(^{†}\)Hemos aplicado el teorema de Parseval; ver los Conjuntos de Problemas.