1.16: El Conmutador
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Hay que tener cuidado de observar el orden correcto de los operadores. Por ejemplo,
ˆxˆk≠ˆkˆx
pero
ˆxˆω=ˆωˆx
En mecánica cuántica definimos el conmutador:
[ˆq,ˆr]=ˆqˆr−ˆrˆq
Nos encontramos con que los operadoresˆr yˆω conmutan porque[ˆx,ˆω]=0.
Considerando a los operadoresˆx yˆk:
[ˆx,ˆk]=−ixddx+iddxx
Para simplificar esto aún más necesitamos operar en alguna función, f (x):
[ˆx,ˆk]f(x)=−ixdfdx+iddx(xf)=−ixdfdx+ifdxdx+ixdfdx=if
Por lo tanto, los operadoresˆx yˆk no conmutan, i.e.
[ˆx,ˆk]=i
Aunque se utilizaron las transformadas de Fourier, la Ecuación (1.10.13) también se puede derivar de la relación (1.16.5) para los operadores no conmutantesˆx y operadoresˆk. De ello se deduce que todos los operadores que no conmutan están sujetos a un límite similar en el producto de sus incertidumbres. Veremos en la siguiente sección que este límite se conoce como “el principio de incertidumbre”.
†Hemos aplicado el teorema de Parseval; ver los Conjuntos de Problemas.