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LibreTexts Español

1.16: El Conmutador

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Hay que tener cuidado de observar el orden correcto de los operadores. Por ejemplo,

ˆxˆkˆkˆx

pero

ˆxˆω=ˆωˆx

En mecánica cuántica definimos el conmutador:

[ˆq,ˆr]=ˆqˆrˆrˆq

Nos encontramos con que los operadoresˆr yˆω conmutan porque[ˆx,ˆω]=0.

Considerando a los operadoresˆx yˆk:

[ˆx,ˆk]=ixddx+iddxx

Para simplificar esto aún más necesitamos operar en alguna función, f (x):

[ˆx,ˆk]f(x)=ixdfdx+iddx(xf)=ixdfdx+ifdxdx+ixdfdx=if

Por lo tanto, los operadoresˆx yˆk no conmutan, i.e.

[ˆx,ˆk]=i

Aunque se utilizaron las transformadas de Fourier, la Ecuación (1.10.13) también se puede derivar de la relación (1.16.5) para los operadores no conmutantesˆx y operadoresˆk. De ello se deduce que todos los operadores que no conmutan están sujetos a un límite similar en el producto de sus incertidumbres. Veremos en la siguiente sección que este límite se conoce como “el principio de incertidumbre”.

Hemos aplicado el teorema de Parseval; ver los Conjuntos de Problemas.


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