10.10: Reciprocidad
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El término “reciprocidad” se refiere a una clase de teoremas que relacionan las entradas y salidas de un sistema lineal con las de un sistema idéntico en el que se intercambian las entradas y salidas. La importancia de la reciprocidad en la electromagnetica es que simplifica problemas que de otro modo serían relativamente difíciles de resolver. Un ejemplo de ello es la derivación de las propiedades receptoras de las antenas, la cual se aborda en otras secciones utilizando resultados derivados en esta sección.
Como introducción inicial y relativamente suave, considere un caso especial bien conocido que surge en la teoría básica de circuitos: El dispositivo de dos puertos que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).
Se dice que los dos puertos son recíprocos si el voltaje\(v_2\) que aparece en el puerto 2 debido a una corriente aplicada en el puerto 1 es el mismo que\(v_1\) cuando se aplica la misma corriente en su lugar en el puerto 2. Este es normalmente el caso cuando el puerto de dos puertos consiste exclusivamente en dispositivos pasivos lineales como resistencias ideales, condensadores e inductores. El requisito fundamental subyacente es la linealidad: es decir, las salidas deben ser proporcionales a las entradas, y se debe aplicar la superposición.
Este resultado de la teoría básica de circuitos es en realidad un caso especial de un teorema más general de la electromagnetica, que ahora vamos a derivar. La figura\(\PageIndex{2}\) muestra un escenario en el que una distribución de corriente\(\widetilde{\bf J}_1\) está completamente contenida dentro de un volumen\(\mathcal{V}\).
Esta corriente se expresa como una densidad de corriente volumétrica, teniendo unidades base SI de A/m\(^2\). Además, la corriente se expresa en forma de fasor, señalando que estamos considerando una sola frecuencia. Esta distribución de corriente da lugar a una intensidad de campo eléctrico\(\widetilde{\bf E}_1\), teniendo unidades base SI de V/m. El volumen puede consistir en cualquier combinación de materia lineal invariable en el tiempo; es decir, la permitividad\(\epsilon\)\(\mu\), la permeabilidad y la conductividad\(\sigma\) son constantes que pueden variar arbitrariamente con posición pero no con tiempo.
He aquí una idea clave: Podemos interpretar este escenario como un sistema de “dos puertos” en el que\(\widetilde{\bf J}_1\) está la entrada,\(\widetilde{\bf E}_1\) es la salida, y el comportamiento del sistema está completamente definido por las ecuaciones de Maxwell en forma de fasor diferencial:
\[\nabla \times \widetilde{\bf E}_1 = -j\omega\mu\widetilde{\bf H}_1 \label{m0214_eMCE1} \]
\[\nabla \times \widetilde{\bf H}_1 = \widetilde{\bf J}_1 + j\omega\epsilon\widetilde{\bf E}_1 \label{m0214_eMCH1} \]
junto con las condiciones de límite electromagnéticas apropiadas. (Para los efectos de nuestro presente análisis, no\(\widetilde{\bf H}_1\) es ni una entrada ni una salida; es meramente una cantidad acoplada que aparece en esta formulación particular de la relación entre\(\widetilde{\bf E}_1\) y\(\widetilde{\bf J}_1\).)
La figura\(\PageIndex{3}\) muestra un escenario en el que una distribución de corriente diferente\(\widetilde{\bf J}_2\) está completamente contenida dentro del mismo volumen\(\mathcal{V}\) que contiene la misma distribución de materia lineal. Esta nueva distribución de corriente da lugar a una intensidad de campo eléctrico\(\widetilde{\bf E}_2\). La relación entre\(\widetilde{\bf E}_2\) y\(\widetilde{\bf J}_2\) se rige por las mismas ecuaciones:
\[\nabla \times \widetilde{\bf E}_2 = -j\omega\mu\widetilde{\bf H}_2 \label{m0214_eMCE2} \]
\[\nabla \times \widetilde{\bf H}_2 = \widetilde{\bf J}_2 + j\omega\epsilon\widetilde{\bf E}_2 \label{m0214_eMCH2} \]
junto con las mismas condiciones de límite electromagnético. Así, podemos interpretar este escenario como el mismo sistema electromagnético representado en la Figura\(\PageIndex{2}\), excepto ahora con\(\widetilde{\bf J}_2\) como la entrada y\(\widetilde{\bf E}_2\) es la salida.
La corriente de entrada y el campo de salida en el segundo escenario son, en general, completamente diferentes del campo de corriente de entrada y salida en el primer escenario. Sin embargo, ambos escenarios involucran precisamente el mismo sistema electromagnético; es decir, las mismas ecuaciones gobernantes y la misma distribución de materia. Esto lleva a la siguiente pregunta: Digamos que no sabes nada del sistema, aparte de que es lineal e invariante en el tiempo. No obstante, eres capaz de observar el primer escenario; es decir, sabes\(\widetilde{\bf E}_1\) en respuesta a\(\widetilde{\bf J}_1\). Ante esta mirada muy limitada sobre el comportamiento del sistema, ¿qué se puede inferir sobre\(\widetilde{\bf E}_2\) dado\(\widetilde{\bf J}_2\), o viceversa? A primera vista, la respuesta puede parecer nada, ya que le falta una descripción del sistema. No obstante, la respuesta resulta ser que un poco sorprendente hay más información disponible. Esta información es proporcionada por la reciprocidad. Para demostrar esto, debemos dedicarnos a algunas matemáticas puras.
Derivación del teorema de reciprocidad de Lorentz
Primero, tomemos el producto punto de\(\widetilde{\bf H}_2\) con cada lado de la Ecuación\ ref {M0214_EMCE1}:
\[\widetilde{\bf H}_2 \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf E}_1 \right) = -j\omega\mu\widetilde{\bf H}_1 \cdot \widetilde{\bf H}_2 \label{m0214_e5} \]
Del mismo modo, tomemos el producto punto de\(\widetilde{\bf E}_1\) con cada lado de la Ecuación\ ref {M0214_EMCH2}:
\[\widetilde{\bf E}_1 \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf H}_2 \right) = \widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf J}_2 +j\omega\epsilon\widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf E}_2 \label{m0214_e6} \]
A continuación, restemos la Ecuación\ ref {m0214_e5} de la Ecuación\ ref {m0214_e6}. El lado izquierdo de la ecuación resultante es
\[\widetilde{\bf E}_1 \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf H}_2 \right) - \widetilde{\bf H}_2 \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf E}_1 \right) \nonumber \]
Esto puede simplificarse usando la identidad vectorial (Apéndice 12.3):
\[\nabla \cdot \left({\bf A}\times {\bf B}\right) = {\bf B}\cdot\left(\nabla \times{\bf A}\right)-{\bf A}\cdot\left(\nabla \times{\bf B}\right) \nonumber \]
Rendiendo
\[\widetilde{\bf E}_1 \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf H}_2 \right) - \widetilde{\bf H}_2 \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf E}_1 \right) = \nabla \cdot \left(\widetilde{\bf H}_2 \times \widetilde{\bf E}_1 \right) \nonumber \]
Entonces, restando la Ecuación\ ref {m0214_e5} de la Ecuación\ ref {m0214_e6}, hemos encontrado:
\[\nabla \cdot \left(\widetilde{\bf H}_2 \times \widetilde{\bf E}_1 \right) = \widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf J}_2 +j\omega\epsilon\widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf E}_2 +j\omega\mu \widetilde{\bf H}_1 \cdot \widetilde{\bf H}_2 \label{m0214_e7} \]
A continuación, repetimos el proceso representado por las Ecuaciones\ ref {m0214_e5} -\ ref {m0214_e7} anteriores para generar una ecuación complementaria a la Ecuación\ ref {m0214_e7}. Esta vez tomamos el producto punto de\(\widetilde{\bf E}_2\) con cada lado de la Ecuación\ ref {M0214_EMCH1}:
\[\widetilde{\bf E}_2 \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf H}_1 \right) = \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{\bf J}_1 +j\omega\epsilon\widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf E}_2 \label{m0214_e8} \]
Del mismo modo, tomemos el producto punto de\(\widetilde{\bf H}_1\) con cada lado de la Ecuación\ ref {M0214_EMCE2}:
\[\widetilde{\bf H}_1 \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf E}_2 \right) = -j\omega\mu\widetilde{\bf H}_1 \cdot \widetilde{\bf H}_2 \label{m0214_e9} \]
A continuación, restemos la Ecuación\ ref {m0214_e9} de la Ecuación\ ref {m0214_e8}. Nuevamente usando la identidad vectorial, el lado izquierdo de la ecuación resultante es
\[\widetilde{\bf E}_2 \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf H}_1 \right) - \widetilde{\bf H}_1 \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf E}_2 \right) = \nabla \cdot \left(\widetilde{\bf H}_1 \times \widetilde{\bf E}_2 \right) \nonumber \]
Entonces encontramos:
\[\nabla \cdot \left(\widetilde{\bf H}_1 \times \widetilde{\bf E}_2 \right) = \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{\bf J}_1 +j\omega\epsilon\widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf E}_2 +j\omega\mu \widetilde{\bf H}_1 \cdot \widetilde{\bf H}_2 \label{m0214_e10} \]
Finalmente, restando la Ecuación\ ref {m0214_e10} de la Ecuación\ ref {m0214_e7}, obtenemos:
\[\nabla \cdot \left(\widetilde{\bf H}_2 \times \widetilde{\bf E}_1 - \widetilde{\bf H}_1 \times \widetilde{\bf E}_2 \right) = \widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf J}_2 - \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{\bf J}_1 \label{m0214_eLRTD} \]
Esta ecuación es comúnmente conocida por el nombre del teorema que representa: El teorema de reciprocidad de Lorentz. El teorema es una afirmación muy general sobre la relación entre campos y corrientes en cada punto del espacio. Una forma asociada del teorema se aplica a regiones contiguas del espacio. Para obtener esta forma, simplemente integramos ambos lados de la Ecuación\ ref {m0214_elRTD} sobre el volumen\(\mathcal{V}\):
\ begin {align}\ int_ {\ mathcal V} {\ nabla\ cdot\ left (\ Widetilde {\ bf H} _2\ veces\ Widetilde {\ bf E} _1 -\ Widetilde {\ bf H} _1\ veces\ Widetilde {\ bf E} _2\ derecha)} dv\ nonumber\ =\ int_ {\ mathcal V} {\ izquierda (\ Widetilde {\ bf E} _1\ cdot\ Widetilde {\ bf J} _2 -\ Widetilde {\ bf E} _2\ cdot\ Widetilde {\ bf J} _1\ derecha)} dv\ end { alinear}
Ahora damos el paso adicional de usar el teorema de divergencia (Apéndice 12.3) para transformar el lado izquierdo de la ecuación en una integral de superficie:
\ begin {align}\ oint_ {\ mathcal S} {\ left (\ Widetilde {\ bf H} _2\ veces\ Widetilde {\ bf E} _1 -\ Widetilde {\ bf H} _1\ veces\ Widetilde {\ bf E} _2\ derecha)\ cdot d {\ bf s}}\ nonumber\\ =\ int_ {\ mathcal} {\ izquierda (\ Widetilde {\ bf E} _1\ cdot\ Widetilde {\ bf J} _2 -\ Widetilde {\ bf E} _2\ cdot\ Widetilde {\ bf J} _1\ derecha)} dv\ etiqueta { M0214_Elrti}\ end {align}
donde\(\mathcal{S}\) está la superficie matemática cerrada que limita\(\mathcal{V}\). Este es también el teorema de reciprocidad de Lorentz, pero ahora en forma integral. Esta versión del teorema relaciona campos en la superficie delimitadora con fuentes dentro del volumen.
La forma integral del teorema tiene una característica particularmente útil. Limitemos las fuentes a una región finita del espacio,\(\mathcal{V}\) al tiempo que permitamos crecer infinitamente grandes, expandiéndonos para incluir todo el espacio. En esta situación, la distancia más cercana entre cualquier punto que contenga corriente fuente distinta de cero y\(\mathcal{S}\) es infinita. Debido a que la magnitud del campo disminuye con la distancia desde la fuente, los campos\((\widetilde{\bf E}_1,\widetilde{\bf H}_1)\) y\((\widetilde{\bf E}_2,\widetilde{\bf H}_2)\) son todos efectivamente cero\(\mathcal{S}\). En este caso, el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {M0214_ElrTi} es cero, y encontramos:
\[\boxed{ \int_{\mathcal V} {\left( \widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf J}_2 - \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{\bf J}_1 \right)} dv = 0 } \label{m0214_eLRTI2} \]
para cualquier volumen\(\mathcal{V}\) que contenga toda la corriente.
El teorema de reciprocidad de Lorentz (Ecuación\ ref {M0214_ElrTi2}) describe una relación entre una distribución de los campos actuales y resultantes, y una segunda distribución de los campos actuales y resultantes, cuando ambos escenarios tienen lugar en regiones idénticas de espacio llenas de idénticos distribuciones de materia lineal.
¿Por qué nos referimos a esta relación como reciprocidad? Simplemente porque la expresión es idéntica cuando se intercambian los subíndices “1” y “2”. Es decir, la relación no reconoce una distinción entre “entradas” y “salidas”; solo hay “puertos”.
Un caso especial útil se refiere a escenarios en los que las distribuciones actuales\(\widetilde{\bf J}_1\) y\(\widetilde{\bf J}_2\) son espacialmente disjuntas. Por “espacialmente disjuntos”, queremos decir que no hay ningún punto en el espacio en el que ambos\(\widetilde{\bf J}_1\) y no\(\widetilde{\bf J}_2\) sean cero; en otras palabras, estas distribuciones no se superponen. (Obsérvese que las corrientes que se muestran en las Figuras\(\PageIndex{2}\) y\(\PageIndex{3}\) se representan como espacialmente disjuntas.) Para ver qué sucede en este caso, primero reescribamos la Ecuación\ ref {M0214_ElrTi2} de la siguiente manera:
\[\int_{\mathcal V} { \widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf J}_2 ~dv } = \int_{\mathcal V} { \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{\bf J}_1 ~dv } \label{m0214_eLRTI3} \]
Dejar\(\mathcal{V}_1\) ser el volumen contiguo sobre el cual\(\widetilde{\bf J}_1\) es distinto de cero, y dejar\(\mathcal{V}_2\) ser el volumen contiguo sobre el cual\(\widetilde{\bf J}_2\) es distinto de cero. Entonces la Ecuación\ ref {M0214_ELRTi3} puede escribirse de la siguiente manera:
\[\int_{{\mathcal V}_2} { \widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf J}_2 ~dv } = \int_{{\mathcal V}_1} { \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{\bf J}_1 ~dv } \label{m0214_eLRTI4} \]
La utilidad de esta forma es que hemos reducido la región de integración a solo aquellas regiones donde existe la corriente.
Reciprocidad de dos puertos que consisten en antenas
La ecuación\ ref {M0214_ELRTi4} nos permite establecer la reciprocidad de dos puertos que consisten en pares de antenas. Esto se demuestra más fácilmente para pares de antenas dipolo delgadas, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\).
Aquí, el puerto 1 se define por las cantidades\((\widetilde{V}_1,\widetilde{I}_1)\) de terminales de la antena a la izquierda, y el puerto 2 se define por las cantidades\((\widetilde{V}_2,\widetilde{I}_2)\) de terminales de la antena a la derecha. Estas cantidades se definen con respecto a un pequeño espacio de longitud\(\Delta l\) entre los brazos perfectamente conductores del dipolo. Cualquiera de las antenas puede transmitir o recibir, así\((\widetilde{V}_1,\widetilde{I}_1)\) depende de\((\widetilde{V}_2,\widetilde{I}_2)\), y viceversa.
Los casos de transmisión y recepción para el puerto 1 se ilustran en la Figura\(\PageIndex{5}\) (a) y (b), respectivamente.
Tenga en cuenta que\(\widetilde{\bf J}_1\) es la distribución de corriente en esta antena al transmitir (es decir, cuando es accionada por la corriente impuesta\(\widetilde{I}_1^t\)) y\(\widetilde{\bf E}_2\) es el campo eléctrico incidente en la antena cuando la otra antena está transmitiendo. Seleccionemos\(\mathcal{V}_1\) para ser el volumen cilíndrico definido por la superficie exterior del dipolo, incluyendo el hueco entre los brazos del dipolo. Ahora estamos listos para considerar el lado derecho de la Ecuación\ ref {M0214_ELRTi4}:
\[\int_{{\mathcal V}_1} { \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{\bf J}_1 ~dv } \nonumber \]
Las condiciones de límite electromagnético aplicables a los brazos dipolares perfectamente conductores permiten que esta integral se simplifique drásticamente. Primero, recordemos que toda la corriente asociada a un conductor perfecto debe fluir sobre la superficie del material, y por lo tanto en\(\widetilde{\bf J}_1=0\) todas partes excepto en la superficie. Por lo tanto, la dirección de\(\widetilde{\bf J}_1\) es siempre tangente a la superficie. El componente tangente de\(\widetilde{\bf E}_2\) es cero en la superficie de un material perfectamente conductor, según lo requiera la condición de límite aplicable. Por tanto,\(\widetilde{\bf E}_2\cdot\widetilde{\bf J}_1=0\) en todas partes\(\widetilde{\bf J}_1\) es distinto de cero.
Solo hay una ubicación donde la corriente es distinta de cero y sin embargo no hay conductor: Esta ubicación es la brecha ubicada precisamente en los terminales. Así, encontramos:
\[\int_{{\mathcal V}_1} { \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{\bf J}_1 ~dv} = \int_{gap} { \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{I}_1^t \hat{\bf l}_1 ~dl } \nonumber \]
donde el lado derecho es una línea integral que cruza el hueco que define los terminales de la antena. Suponemos que la corriente\(\widetilde{I}_1^t\) es constante a lo largo de la brecha, y así puede ser factorizada de la integral:
\[\int_{{\mathcal V}_1} { \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{\bf J}_1 ~dv} = \widetilde{I}_1^t \int_{gap} { \widetilde{\bf E}_2 \cdot \hat{\bf l}_1 ~dl } \nonumber \]
Recordemos que el potencial entre dos puntos en el espacio viene dado por la integral del campo eléctrico sobre cualquier trayectoria entre esos dos puntos. En particular, podemos calcular el potencial de circuito abierto de la\(\widetilde{V}_1^r\) siguiente manera:
\[\widetilde{V}_1^r = -\int_{gap} { \widetilde{\bf E}_2 \cdot \hat{\bf l}_1 ~dl } \nonumber \]
Notablemente, hemos encontrado:
\[\int_{{\mathcal V}_1} { \widetilde{\bf E}_2 \cdot \widetilde{\bf J}_1 ~dv} = -\widetilde{I}_1^t \widetilde{V}_1^r \nonumber \]
Aplicando exactamente el mismo procedimiento para el puerto 2 (o simplemente intercambiando subíndices), encontramos:
\[\int_{{\mathcal V}_2} { \widetilde{\bf E}_1 \cdot \widetilde{\bf J}_2 ~dv} = -\widetilde{I}_2^t \widetilde{V}_2^r \nonumber \]
Ahora sustituyendo estos resultados en la Ecuación\ ref {M0214_ELRTi4}, encontramos:
\[\boxed{ \widetilde{I}_1^t \widetilde{V}_1^r = \widetilde{I}_2^t \widetilde{V}_2^r } \label{m0214_eRIV} \]
Al inicio de esta sección, afirmamos que un puerto de dos puertos es recíproco si\(\widetilde{V}_2\) aparecer en el puerto 2 debido a que una corriente aplicada en el puerto 1 es la misma que\(\widetilde{V}_1\) cuando se aplica la misma corriente en su lugar en el puerto 2. Si el problema actual de dos dipolos es recíproco, entonces\(\widetilde{V}_2^r\) debido a\(\widetilde{I}_1^t\) debería ser lo mismo que\(\widetilde{V}_1^r\) cuando\(\widetilde{I}_2^t=\widetilde{I}_1^t\). ¿Lo es? Vamos a establecer\(\widetilde{I}_1^t\) igual a algún valor particular\(I_0\), entonces el valor resultante de\(\widetilde{V}_2^r\) será algún valor particular\(V_0\). Si posteriormente establecemos\(\widetilde{I}_2^t\) igual a\(I_0\), entonces el valor resultante de\(\widetilde{V}_1^r\) será, de acuerdo con la Ecuación\ ref {M0214_ERIV}:
\[\widetilde{V}_1^r = \frac{ \widetilde{I}_2^t \widetilde{V}_2^r }{ \widetilde{I}_1^t } = \frac{ I_0 V_0 }{ I_0 } = V_0 \nonumber \]
Por lo tanto, la Ecuación\ ref {M0214_ERIV} es simplemente una forma matemática de la definición familiar de reciprocidad a partir de la teoría básica de circuitos, y hemos encontrado que nuestro sistema de antenas es recíproco precisamente en este mismo sentido.
El análisis anterior presumió pares de dipolos rectos, perfectamente conductores, de longitud arbitraria. Sin embargo, el resultado es fácilmente generalizado —de hecho, es el mismo— para cualquier par de antenas pasivas en medios lineales invariables en el tiempo. Resumiendo:
El potencial inducido en los terminales de una antena debido a una corriente aplicada a una segunda antena es igual al potencial inducido en la segunda antena por la misma corriente aplicada a la primera antena (Ecuación\ ref {M0214_ERIV}).
Lectura adicional:
- “Reciprocidad (electromagnetismo)” en Wikipedia.
- “Red de dos puertos” en Wikipedia.