6.1: Funciones polinómicas

• Hemos visto en secciones anteriores que un monomio es producto de un número y uno o más factores variables, cada uno elevado a una potencia integral positiva, como en$-3 x^{2}$ o 4$x^{3} y^{4}$.
• También hemos visto que un binomio es la suma o diferencia de dos términos monomiales, como en$3 x+5, x^{2}+4,$ o$3 x y^{2}=2 x^{2} y$.
• También hemos visto que un trinomio es la suma o diferencia de tres términos monomiales, como en$x^{2}-2 x-3$ o$x^{2}-4 x y+5 y^{2}$.

La palabra raíz “poli” significa “muchos”, como en polígono (muchos lados) o políglota (hablando muchos idiomas, multilingüe).

• En álgebra, la palabra polinomio significa “muchos términos”, donde se puede interpretar que la frase “muchos términos” significa desde uno hasta un número arbitrario, pero finito, de términos. En consecuencia, un monomio podría considerarse un polinomio, al igual que binomios y trinomios. En nuestro trabajo, nos concentraremos en su mayor parte en polinomios de una sola variable. Lo que sigue es una definición más formal de un polinomio en una sola variable$x$.

Definición: Polinomios

La función p, definida por

$$p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n} \label{1}$$

se llama polinomio en$x$.

Hay varios puntos importantes que hay que hacer sobre esta definición.

Nota

1. El polinomio en nuestra definición en la Ecuación\ ref {1} está dispuesto en potencias ascendentes de$x$. Podríamos tan fácilmente organizar nuestro polinomio en poderes descendentes de$x$, como en $$p(x)=a_{n} x^{n}+\cdots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}$$
2. A los números$a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ se les llama los coeficientes del polinomio p. − Si todos los coeficientes son números enteros, entonces decimos que “$p$es un polinomio con coeficientes enteros”. − Si todos los coeficientes son números racionales, entonces decimos que “$p$es un polinomio con coeficientes racionales. ” − Si todos los coeficientes son números reales, entonces decimos que “$p$es un polinomio con coeficientes reales”.
3. El grado del polinomio$p$ es$n$, el mayor poder de$x$.
4. El término principal del polinomio$p$ es el término con mayor poder de$x$. En el caso de la Ecuación\ ref {2}, el término principal es un$x^n$.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Considerar el polinomio

$$p(x)=3-4 x^{2}+5 x^{3}-6 x\nonumber$$

Encuentre el grado, el término principal y haga una declaración sobre los coeficientes de p haciendo referencia a la Nota anterior para determinar coeficientes enteros o racionales.

Solución

Primero, poner en orden los términos polinomiales. Si usas potencias ascendentes o descendentes de x no hace ninguna diferencia. Elige uno u otro. En potencias descendentes de x,

$$p(x)=5 x^{3}-4 x^{2}-6 x+3 \label{5}$$

sino en poderes ascendentes de$x$,

$$p(x)=3-6 x-4 x^{2}+5 x^{3} \label{6}$$

En cualquier caso, Ecuación\ ref {5} o Ecuación\ ref {6}, el grado del polinomio es 3. También, en cualquier caso, el término principal del polinomio es 5$x^{3}$. Debido a que todos los coeficientes de este polinomio son enteros, decimos que “p es un polinomio con coeficientes enteros”. Sin embargo, todos los coeficientes son también números racionales, por lo que podríamos decir que p es un polinomio con coeficientes racionales. Para el caso, todos los coeficientes de p son números reales, por lo que también podríamos decir que p es un polinomio con coeficientes reales.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Considerar el polinomio

$$p(x)=3-\frac{4}{3} x+\frac{2}{5} x^{2}-9 x^{3}+12 x^{4}.$$

Encuentra el grado, el término principal, y haz una declaración sobre los coeficientes de$p$.

Solución

Afortunadamente, el polinomio p ya está dispuesto en potencias ascendentes de x El grado de p es 4 y el término principal es 12$x^{4}$. No todos los coeficientes son enteros, por lo que no podemos decir que “p es un polinomio con coeficientes enteros”. Sin embargo, todos los coeficientes son números racionales, por lo que podemos decir que “p es un polinomio con coeficientes racionales”. Debido a que todos los coeficientes de p son números reales, también podríamos decir que “$p$es un polinomio con coeficientes reales”.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Considera el polinomio $$p(x)=3-\frac{4}{3} x+\sqrt{2} x^{2}-9 x^{3}+\pi x^{5}$$ . Encuentra el grado, el término principal, y haz una declaración sobre los coeficientes de p.

Solución

Afortunadamente, el polinomio p ya está dispuesto en potencias ascendentes de x. El grado de p es 5 y el término principal es$\pi x^{5}$. No todos los coeficientes son enteros, por lo que no podemos decir que “p es un polinomio con coeficientes enteros”. No todos los coeficientes son números racionales, por lo que no podemos decir que “p es un polinomio con coeficientes racionales”. Sin embargo, debido a que todos los coeficientes de p son números reales, podemos decir que “p es un polinomio con coeficientes reales”.

La Gráfica de$y=x^{n}$

El objetivo principal en esta sección es discutir el comportamiento final de polinomios arbitrarios. Por “comportamiento final”, nos referimos al comportamiento del polinomio para valores muy pequeños de x (como −1 000, −10 000, −100 000, etc.) o valores muy grandes de x (como 1 000, 10 000, 100 000, etc.). Antes de que podamos explorar el comportamiento final de polinomios arbitrarios, primero debemos examinar el comportamiento final de algunos monomios muy básicos. Específicamente, necesitamos investigar el comportamiento final de las gráficas de$y=x^{n}$, donde n = 1, 2, 3,...

Primero examinemos la gráfica de$y=x^{n}$, cuando n es par. Los gráficos son lo suficientemente simples como para dibujar, ya sea creando una tabla de puntos o usando tu calculadora gráfica. En la Figura$\PageIndex{1}$ (a), (b) y (c), hemos dibujado las gráficas de$y=x^{2}, y=x^{4},$ y$y=x^{6}$, respectivamente.

Figura$\PageIndex{1}$. Ejemplos de la gráfica de$y=x^{n}$, cuando n es un entero par.

Las gráficas de la Figura$\PageIndex{1}$ comparten un rasgo importante. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, cada gráfica cae desde el infinito positivo, se mueve por el origen, luego se eleva de nuevo al infinito positivo.

A continuación, examinemos la gráfica de$y=x^{n}$, cuando n es impar. Nuevamente, una tabla de puntos o una calculadora gráfica ayudará a producir las gráficas de$y=x^{3}, y=x^{5},$ y$y=x^{7}$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$ (a), (b) y (c), respectivamente.

Las gráficas de la Figura$\PageIndex{2}$ comparten un rasgo importante. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, cada gráfica se eleva desde el infinito negativo, se mueve por el origen, luego se eleva hasta el infinito positivo.

El comportamiento mostrado en la Figura$\PageIndex{1}$ y Figura$\PageIndex{2}$ es típico.

Figura$\PageIndex{2}$. Ejemplos de la gráfica de$y=x^{n}$, cuando n es un entero impar.

Propiedad 9

Cuando n es un número natural par, la gráfica de$y=x^{n}$ se verá como la que se muestra en la Figura$\PageIndex{3}$ (a). Si n es un número natural impar, entonces la gráfica de$y=x^{n}$ será similar a la que se muestra en la Figura$\PageIndex{3}$ (b).

1. Cuando n es par, mientras barres los ojos de izquierda a derecha, la gráfica de$y=x^{n}$ caídas desde el infinito positivo, se mueve por el origen, luego se eleva de nuevo al infinito positivo.
2. Si n es impar, a medida que barres los ojos de izquierda a derecha, la gráfica de$y=x^{n}$ se eleva desde el infinito negativo, se mueve por el origen, luego se eleva al infinito positivo.

Figura$\PageIndex{3}$

La Gráfica de$y=a x^{n}$

Ahora que conocemos la forma general de la gráfica de$y=x^{n}$, escalemos esta función multiplicando por una constante, como en$y=a x^{n}$.

En nuestro estudio de la parábola, aprendimos que si multiplicamos por un factor de a, donde a > 1, entonces estiraremos la gráfica en dirección vertical por un factor de a. a la inversa, si multiplicamos la gráfica por un factor de a, donde 0 < a < 1, entonces comprimiremos la gráfica en la dirección vertical por un factor de 1/a. si a < 0, entonces no solo escalaremos la gráfica, sino que multiplicar por este factor también reflejará la gráfica a través del eje horizontal.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Esbozar la gráfica de$y=-2 x^{3}$.

Solución

Sabemos cómo se$y=x^{3}$ ve la gráfica de. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, la gráfica se eleva desde el infinito negativo, se mueve por el origen, luego se eleva al infinito positivo. Este comportamiento se muestra en la Figura$\PageIndex{4}$ (a).

Si multiplicamos por un factor de 2, entonces estiramos la gráfica original por un factor de 2 en la dirección vertical. La gráfica de$y=2 x^{3}$ se muestra en la Figura$\PageIndex{4}$ (b). Observe el estiramiento en dirección vertical.

Finalmente, si negamos multiplicando por −2, esto estirará la gráfica por un factor de 2, como en la Figura$\PageIndex{4}$ (b), pero también reflejará la gráfica a través del eje x. La gráfica de$y=-2 x^{3}$ se muestra en la Figura$\PageIndex{4}$ (c).

Figura$\PageIndex{4}$. El escalado por −2 se estira verticalmente por un factor de 2, luego refleja la gráfica a través del eje x.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Esbozar el gráfico de$y=-\frac{1}{2} x^{4}$

Solución

Sabemos cómo se$y=x^{4}$ ve la gráfica de. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, la gráfica cae desde el infinito positivo, se mueve por el origen, luego se eleva de nuevo al infinito positivo. Este comportamiento se muestra en la Figura$\PageIndex{5}$ (a).

Si multiplicamos por 1/2, entonces comprimiremos la gráfica por un factor de 2. Obsérvese que la gráfica de$y=\frac{1}{2} x^{4}$ la Figura$\PageIndex{5}$ (b) está comprimida por un factor de 2 en la dirección vertical.

Finalmente, si multiplicamos por −1/2, no solo comprimiremos la gráfica por un factor de 2, sino que también reflejaremos la gráfica a través del eje x. La gráfica de$y=-\frac{1}{2} x^{4}$ se muestra en la Figura$\PageIndex{5}$ (c).

Figura$\PageIndex{5}$. El escalado por −1/2 comprime verticalmente por un factor de 2, luego refleja la gráfica a través del eje x.

Ojalá, en este punto ahora se pueda esbozar la gráfica de$y=a x^{n}$ para cualquier número real a y cualquier número natural n, ya sea par o impar, sin el uso de una calculadora. Pongamos este conocimiento recién descubierto para investigar el comportamiento final de los polinomios.

Comportamiento final

Considera el polinomio $$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$$ Aquí hay un dato clave que usaremos para determinar el comportamiento final de cualquier polinomio.

Propiedad 13

El comportamiento final de un polinomio está completamente determinado por su término principal. Es decir, el comportamiento final de la gráfica del polinomio coincidirá con el comportamiento final de la gráfica de su término principal.

En un momento, mostraremos por qué esta propiedad es cierta. Mientras tanto, aceptemos la veracidad de esta afirmación y la apliquemos al polinomio definido por la ecuación (12). El término principal del polinomio$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$ es$x^{3}$. Conocemos el comportamiento final de la gráfica de$y=x^{3}$. A medida que barremos nuestros ojos de izquierda a derecha, la gráfica de$y=x^{3}$ se elevará desde el infinito negativo, se moverá por el origen, luego continuará elevándose hasta el infinito positivo. Nos imaginamos este comportamiento anteriormente en la Figura$\PageIndex{4}$ (a).

La propiedad 13 nos dice que la gráfica del polinomio$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$ exhibirá el mismo comportamiento final que la gráfica de su término principal,$y=x^{3}$. Podemos predecir que, a medida que barremos los ojos de izquierda a derecha, la gráfica del polinomio$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$ se elevará desde el infinito negativo, se moverá un poco, luego se elevará al infinito positivo. No sabemos lo que sucede en el medio, pero sí sabemos lo que sucede en los extremos de la izquierda y la derecha.

Nuestra conjetura se verifica dibujando la gráfica (use una calculadora gráfica). La gráfica del polinomio$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$ se muestra en la Figura$\PageIndex{6}$. Efectivamente, a medida que barremos los ojos de izquierda a derecha, la gráfica en Figura$\PageIndex{6}$ se eleva desde el infinito negativo como se predijo, se menea un poco, luego continúa su ascenso al infinito positivo.

Figura$\PageIndex{6}$. Tenga en cuenta que esta gráfica de$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$ tiene el mismo comportamiento final que la gráfica de$y=x^{3}$.

¿Por qué funciona? ¿Por qué la Propiedad 13 predice con tanta precisión el comportamiento final de este polinomio?

$$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$$

Podemos demostrar por qué primero factorizando el término líder.

$$p(x)=x^{3}\left(1-\frac{7}{x}+\frac{7}{x^{2}}+\frac{15}{x^{3}}\right)$$

Ahora, haz la siguiente pregunta. ¿Qué pasa con el polinomio a medida que avanzamos hacia el extremo derecho? Es decir, ¿qué pasa con el polinomio ya que utilizamos grandes valores de x, como 1 000, 10 000, o incluso 100 000?

Considera la fracción 7/x Debido a que el numerador se fija en 7, y el denominador es cada vez más grande (creciendo sin límite), la fracción se está acercando cada vez más a cero. Los estudiantes de cálculo usarían la notación

$$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{7}{x}=0$$

No se desestime por la notación. Estamos usando notación matemática sofisticada para una idea muy simple que dice “A medida que x se acerca al infinito, la fracción 7/x se acerca a cero”.

Usando razonamiento similar, cada una de las fracciones en la ecuación (14) va a cero a medida que x va al infinito (aumenta sin límite). Así, a medida que x se hace cada vez más grande (a medida que nos movemos cada vez más hacia la derecha),

$$\lim _{x \rightarrow \infty} p(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} x^{3}\left(1-\frac{7}{x}+\frac{7}{x^{2}}+\frac{15}{x^{3}}\right) \approx x^{3}(1-0+0+0+0) \approx x^{3}$$

Es decir, a medida que x aumenta sin encuadernación, la gráfica de$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$ debe aproximarse a la gráfica de$y=x^{3}$.

Usando razonamiento similar, cada una de las fracciones en la ecuación (14) va a cero como x va a menos infinito. Es decir, si estás poniendo números para x como −1 000, −10 000, −100 000 y similares, las fracciones en la ecuación (14) irán a cero. De ahí que el polinomio p (x) aún debe acercarse a su término inicial x 3 para valores muy pequeños de x (a medida que x se acerca$-\infty$).

Si se superpone la gráfica de$y=x^{3}$ en la gráfica de$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$, como en la Figura$\PageIndex{7}$, queda claro que el polinomio p tiene el mismo comportamiento final que el gráfico de su término principal$y=x^{3}$.

Figura$\PageIndex{7}$. A medida que se mueve hacia el extremo izquierdo o derecho, la gráfica de$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$ se acerca a la gráfica de su término principal$y=x^{3}$.

Puede proporcionar una demostración más llamativa de la validez del reclamo en la ecuación (15) trazando tanto el polinomio p como su término principal$y=x^{3}$ en su calculadora, luego alejando el zoom ajustando los parámetros de la ventana como se muestra en la Figura$\PageIndex{8}$ (b). Observe cómo la gráfica de se parece$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$ más a la gráfica de su término inicial$y=x^{3}$, al menos en los bordes derecho e izquierdo de la ventana de visualización. Cuando alejamos más, ajustando los parámetros de la ventana como se muestra en la Figura$\PageIndex{8}$ (d), observe cómo esa gráfica de p se acerca a la gráfica de su término principal$y=x^{3}$ aún más de cerca en cada borde de la ventana de visualización.

Figura$\PageIndex{8}$. Alejar claramente demuestra que el comportamiento final de$p(x)=x^{3}-7 x^{2}+7 x+15$ coincide con el de su término principal$y=x^{3}$.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Considera el polinomio $$p(x)=-x^{4}+37 x^{2}+24 x-180$$ . Comenta el comportamiento final de p y usa tu calculadora gráfica para bosquejar su gráfica.

Solución

El término principal de$p(x)=-x^{4}+37 x^{2}+24 x-180$ es$y=-x^{4}$. Conocemos el comportamiento final de la gráfica del término principal. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, la gráfica de$y=-x^{4}$ se eleva desde el infinito negativo, se mueve por el origen, luego vuelve a caer a menos infinito. La gráfica de p debe exhibir el mismo comportamiento final. En efecto, en la Figura$\PageIndex{9}$, observe que la gráfica de$y=-x^{4}$ y$y=-x^{4}+37 x^{2}+24 x-180$ ambos comparten el mismo comportamiento final.

Figura$\PageIndex{9}$. El polinomio$p(x)=-x^{4}+37 x^{2}+24 x-180$ tiene el mismo comportamiento final que la gráfica de su término principal$y=-x^{4}$.

Ejercicio

En los Ejercicios 1 - 8, organizar cada polinomio en potencias descendentes de x, indicar el grado del polinomio, identificar el término principal, luego hacer una declaración sobre los coeficientes del polinomio dado haciendo referencia a la Nota anterior Ejemplo$\PageIndex{1}$  para determinar entero o coeficientes racionales.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$p(x) = 3x−x^2+4−x^3$

Contestar

$p(x) = −x^3−x^2+3x+4$, grado = 3, término inicial =$−x^3$, “p es un polinomio con coeficientes enteros, polinomio con coeficientes racionales” o “p es

un polinomio con coeficientes reales”.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$p(x) = 4+3x^2−5x+x^3$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$p(x) = 3x^2+x^4−x−4$

Contestar

$p(x) = x^4+3x^2−x−4$, grado = 4, término inicial =$x^4$, “p es un polinomio con coeficientes enteros”, “p es un polinomio con coeficientes racionales” o “p es

un polinomio con coeficientes reales”.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$p(x) = −3+x^2−x^3+5x^4$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$p(x) = 5x−\frac{3}{2}x^3+4−\frac{2}{3}x^5$

Contestar

$p(x) = −\frac{2}{3}x^5−\frac{3}{2}x^3+5x+4$, grado = 5, término principal =$−\frac{2}{3}x^5$, “p es un polinomio con coeficientes racionales”, o p es un polinomio con coeficientes reales”.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$p(x) = −\frac{3}{2}x+5−\frac{7}{3}x^5+\frac{4}{3}x^3$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$p(x) = −x+\frac{2}{3}x^3−\sqrt{2}x^2+\pi x^6$

Contestar

$p(x) = \pi x^6+\frac{2}{3}x^3−\sqrt{2}x^2−x$, grado = 6, término principal =$\pi x^6$, “p es un polinomio con coeficientes reales”.

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$p(x) = 3+\sqrt{2}x^4+\sqrt{3}x−2x^2+\sqrt{5}x^6$

En Ejercicios 9 - 14, se te presenta la gráfica de$y = ax^{n}$. En cada caso, indique si el grado es par o impar, luego indicar si a es un número positivo o negativo.

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Contestar

$y=ax^{n}$, n impar, a < 0.

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Contestar

$y=ax^{n}$, n incluso, a > 0.

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Contestar

$y=ax^{n}$, n impar, a < 0.

Ejercicio$\PageIndex{14}$

En Ejercicios 15 - 20, se te presenta la gráfica del polinomio$p(x) = a_{n}x^n +···+a_{1}x+a_{0}$. En cada caso, indique si el grado del polinomio es par o impar, luego indicar si el coeficiente principal a es positivo o negativo.

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Contestar

impar, positivo

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Contestar

par, negativo

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Contestar

impar, positivo

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Por cada polinomio en los Ejercicios 21 - 30, realizar cada una de las siguientes tareas.

1. Predecir el comportamiento final del polinomio dibujando un boceto muy aproximado del polinomio. Haga esto sin la ayuda de una calculadora. La única preocupación aquí es que su gráfica muestre el comportamiento final correcto.
2. Dibuja la gráfica en tu calculadora, ajusta la ventana de visualización para que todos los “puntos de inflexión” del polinomio sean visibles en la ventana de visualización y copia el resultado en tu papel de tarea. Como es habitual, etiquetar y escalar cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax. ¿El comportamiento final real concuerda con su comportamiento final previsto?

Ejercicio$\PageIndex{21}$

$p(x) = −3x^3+2x^2+8x−4$

Contestar

Tenga en cuenta que el término principal$−3x^3$ (discontinua) tiene el mismo comportamiento final que el polinomio p.

Ejercicio$\PageIndex{22}$

$p(x) = 2x^3−3x^2+4x−8$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

$p(x) = x^3+x^2−17x+15$

Contestar

Tenga en cuenta que el término principal$x^3$ (discontinua) tiene el mismo comportamiento final que el polinomio p.

Ejercicio$\PageIndex{24}$

$p(x) = −x^4+2x^2+29x−30$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

$p(x) = x^4−3x^2+4$

Contestar

Tenga en cuenta que el término principal$x^4$ (discontinua) tiene el mismo comportamiento final que el polinomio p.

Ejercicio$\PageIndex{26}$

$p(x) = −x^4+8x^2−12$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

$p(x) = −x^5+3x^4−x^3+2x$

Contestar

Tenga en cuenta que el término principal$−x^5$ (discontinua) tiene el mismo comportamiento final que el polinomio p.

Ejercicio$\PageIndex{28}$

$p(x) = 2x^4−3x^3+x−10$

Ejercicio$\PageIndex{29}$

$p(x) = −x^6−4x^5+27x^4+78x^3+4x^2+376x−480$

Contestar

Tenga en cuenta que el término principal$−x^6$ (discontinua) tiene el mismo comportamiento final que el polinomio p.

Ejercicio$\PageIndex{30}$

$p(x) = x^5−27x^3+30x^2−124x+120$