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2.5: Resolver aplicaciones de mezcla y movimiento uniforme

  • Page ID
    112761
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    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, podrás:

    • Resolver problemas de monedas
    • Resolver problemas de palabras de boletos y sellos
    • Resolver problemas de mezcla
    • Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar:\(0.25x+0.10(x+4)\).
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
    2. El número de boletos para adultos es de tres más del doble del número de boletos para niños. Que c represente el número de boletos para niños. Escribe una expresión para el número de boletos para adultos.
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
    3. Convierte 4.2% a decimal.
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

    Resolver problemas de monedas

    Usar álgebra para encontrar la cantidad de monedas de cinco centavos y centavos en una alcancía puede parecer una tontería. Quizás te preguntes por qué simplemente no abrimos el banco y los contamos. Pero este tipo de problemas nos introduce en algunas técnicas que serán útiles a medida que avancemos en nuestro estudio de las matemáticas.

    Una foto de monedas; pilas separadas de monedas de cinco centavos, monedas y monedas de diez centavos

    Si tenemos un montón de monedas de diez centavos, ¿cómo determinaríamos su valor? Si contamos el número de monedas de diez centavos, sabremos cuántas tenemos, la cantidad de monedas de diez centavos. Pero esto no nos dice el valor de todas las monedas de diez centavos. Digamos que contamos 23 dimes, ¿cuánto valen? Cada centavo vale $0.10—ese es el valor de una moneda de diez centavos. Para encontrar el valor total de la pila de 23 dimes, multiplica 23 por $0.10 para obtener $2.30.

    El número de monedas de diez centavos por el valor de cada moneda de diez centavos es igual al valor total de las monedas de diez centavos.

    \[\begin{align} \textit{number}·\textit{value} &= \textit{total value} \nonumber\\ 23·$0.10 &= $2.30 \nonumber\\ \end{align} \nonumber\]

    Este método lleva al siguiente modelo.

    VALOR TOTAL

    Para el mismo tipo de moneda, el valor total de un número de monedas se encuentra utilizando el modelo

    \[\textit{number}·\textit{value}=\textit{total value} \nonumber \]

    • número es el número de monedas
    • valor es el valor de cada moneda
    • el valor total es el valor total de todas las monedas

    Si tuviéramos varios tipos de monedas, podríamos continuar con este proceso para cada tipo de moneda, y entonces conoceríamos el valor total de cada tipo de moneda. Para obtener el valor total de todas las monedas, suma el valor total de cada tipo de moneda.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Jesse tiene centavos y monedas de cinco centavos por valor de $3.02 en su alcancía. El número de monedas de cinco centavos es tres más de ocho veces el número de centavos. ¿Cuántas cinco centavos y cuántos centavos tiene Jesse?

    Contestar
    Paso 1. Lee el problema.
    Determinar los tipos de monedas involucradas.
    Crear una tabla.
    Escribe en el valor de cada tipo de moneda.

    centavos y cinco centavos Los

    centavos valen $0.10.
    Los nickels valen 0.05 dólares.
    Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. el número de centavos y monedas de cinco centavos
    Paso 3. Nombre. Representar el número de cada tipo de moneda utilizando variables.
    El número de monedas de cinco centavos se define en términos del
    número de centavos, así que empieza con centavos.
    El número de monedas de cinco centavos es tres más de ocho veces
    el número de centavos.


    Dejar\(p=\) número de centavos.

    \(8p+3=\)número de níqueles
    En el gráfico, multiplique el número y el valor para
    obtener el valor total de cada tipo de moneda.
    .
    Paso 4. Traducir. Escribe la ecuación sumando el valor total de todos los tipos de monedas.
    .
    Paso 5. Resuelve la ecuación. .
    ¿Cuántas níqueles? .

    Paso 6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
    Jesse tiene 7 centavos y 59 monedas de cinco centavos.
    ¿Es el valor total\($3.02\)?

    \(\begin{align} 7(0.01)+59(0.05) &\overset{?}{=} 3.02 \nonumber \\ 3.02 &= 3.02\checkmark \nonumber \\ \end{align}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Jesse tiene 6.55 dólares en cuartos y monedas de cinco centavos en el bolsillo. El número de monedas de cinco centavos es más de cinco veces el número de cuartos. ¿Cuántas cinco centavos y cuántos cuartos tiene Jesse?

    Contestar

    Jess tiene 41 monedas de cinco centavos y 18 cuartos.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Elane tiene un total de $7.00 en monedas de diez centavos y cinco centavos en su frasco de monedas. El número de monedas de diez centavos que tiene Elane es siete menos de tres veces el número de monedas de cinco centavos. ¿Cuántas de cada moneda tiene Elane?

    Contestar

    Elane tiene 22 nickels y 59 dimes.

    A continuación se resumen los pasos para resolver un problema de palabras de moneda.

    RESUELVE PROBLEMAS DE
    1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
      • Determinar los tipos de monedas involucradas.
      • Crear una tabla para organizar la información.
        • Etiquete las columnas “tipo”, “número”, “valor” y “valor total”.
        • Enumere los tipos de monedas.
        • Escribe en el valor de cada tipo de moneda.
        • Escribe en el valor total de todas las monedas.
        • Este gráfico tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta la primera columna “Tipo” y la segunda columna “Número veces El valor en dólares es igual al Valor Total en dólares”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para el “número”, “valor” y “valor total”. La columna de valor total tiene una fila adicional. El gráfico está vacío.
    2. Identifica lo que buscas.
    3. Nombra lo que buscas. Elija una variable para representar esa cantidad.
      • Usa expresiones variables para representar el número de cada tipo de moneda y escríbelas en la tabla.
      • Multiplique el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.
    4. Traducir en una ecuación.
      • Puede ser útil reafirmar el problema en una oración con toda la información importante. Después, traduzca la oración en una ecuación.
      • Escribe la ecuación sumando los valores totales de todos los tipos de monedas.
    5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
    7. Contesta la pregunta con una oración completa.

    Resolver problemas de palabras de boletos y sellos

    Los problemas que involucran boletos o sellos son muy parecidos a los problemas de monedas. Cada tipo de boleto y sello tiene un valor, tal como lo hace cada tipo de moneda. Entonces, para resolver estos problemas, seguiremos los mismos pasos que usamos para resolver problemas de monedas.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Danny pagó 15.75 dólares por timbres. El número de sellos de 49 centavos fue cinco menos de tres veces el número de sellos de 35 centavos. ¿Cuántos sellos de 49 centavos y cuántos sellos de 35 centavos compró Danny?

    Contestar
    Paso 1. Determinar los tipos de sellos involucrados. Sellos de 49 centavos y sellos de 35 centavos
    Paso 2. Identificar que estamos buscando. el número de sellos de 49 centavos y el número de sellos de 35 centavos
    Paso 3. Escribe expresiones variables para representar el número de cada tipo de sello. Let x = número de sellos de 35 centavos.
    “El número de sellos de 49 centavos fue cinco
    menos de tres veces el número de
    sellos de 35 centavos”.

    3x−5=3x−5= número de sellos de 49 centavos
    .
    Paso 4. Escribe la ecuación a partir de los valores totales. .
    Paso 5. Resuelve la ecuación. .
    ¿Cuántos sellos de 49 centavos? .
    Paso 6. Cheque.
    10 (0.35) +25 (0.49) 3.50+12.2515.75=? =? =15.7515.7515.75 ✓ 10 (0.35) +25 (0.49) =? 15.753.50+12.25=? 15.7515.75=15.75 ✓
     
    Paso 7. Contesta la pregunta con una oración completa. Danny compró diez sellos de 35 centavos y veinticinco sellos de 49 centavos.
    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Eric pagó $19.88 por timbres. El número de sellos de 49 centavos fue ocho más del doble que el número de sellos de 35 centavos. ¿Cuántos sellos de 49 centavos y cuántos sellos de 35 centavos compró Eric?

    Contestar

    Eric compró treinta y dos sellos de 49 centavos y doce sellos de 35 centavos.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Kailee pagó 14.74 dólares por timbres. El número de sellos de 49 centavos fue cuatro menos de tres veces el número de sellos de 20 centavos. ¿Cuántos sellos de 49 centavos y cuántos sellos de 20 centavos compró Kailee?

    Contestar

    Kailee compró veintiséis sellos de 49 centavos y diez sellos de 20 centavos.

    En la mayoría de nuestros ejemplos hasta el momento, se nos ha dicho que una cantidad es cuatro más del doble que la otra, o algo similar. En nuestro siguiente ejemplo, tenemos que relacionar las cantidades de una manera diferente.

    Supongamos que Aniket vendió un total de 100 boletos. Cada boleto era un boleto de adulto o un boleto infantil. Si vendió 20 boletos infantiles, ¿cuántos boletos para adultos vendió?

    ¿Dijías “80”? ¿Cómo lo averiguaste? ¿Le restaste 20 de 100?

    Si vendió 45 boletos infantiles, ¿cuántos boletos para adultos vendió?

    ¿Dijías “55”? ¿Cómo lo encontraste? ¿Al restar 45 de 100?

    Ahora, supongamos que Aniket vendió x boletos infantiles. Entonces, ¿cuántos boletos para adultos vendió? Para averiguarlo, seguiríamos la misma lógica que usamos anteriormente. En cada caso, restamos el número de boletos infantiles de 100 para obtener el número de boletos de adultos. Ahora hacemos lo mismo con x.

    Esto lo hemos resumido en la tabla.

    Esta tabla tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es una fila de cabecera y etiqueta cada columna, “Boletos infantiles” y “Boletos para adultos”. En la fila dos, el número de boletos infantiles era 20 y el número de boletos de adultos era 80. En la fila dos, el número de boletos infantiles era 45 y el número de boletos de adultos fue 55. En la fila tres, el número de boletos infantiles era x y el número de boletos para adultos fue de 100 menos x.

    Aplicaremos esta técnica en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Un barco de observación de ballenas tenía 40 pasajeros que pagaban a bordo. El ingreso total recaudado de los boletos fue de $1,196. Los pasajeros con tarifa completa pagaron $32 cada uno y los pasajeros con tarifa reducida pagaron $26 cada uno. ¿Cuántos pasajeros de tarifa completa y cuántos pasajeros de tarifa reducida había en el barco?

    Contestar
    Paso 1. Determinar los tipos de boletos involucrados. boletos de tarifa completa y boletos de tarifa reducida
    Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. el número de boletos de tarifa completa y boletos de tarifa reducida
    Paso 3. Nombre. Representar el número de cada tipo de ticket utilizando variables. Dejar f = el número de boletos de tarifa completa.
    40−f=40−f= el número de boletos de tarifa reducida
    Sabemos que el número total de boletos vendidos fue de 40. Esto significa que el número de boletos de tarifa reducida es 40 menos el número de boletos de tarifa completa.
    Multiplique el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de boleto.
     
      .
    Paso 4. Traducir. Escribe la ecuación sumando los valores totales de cada tipo de ticket. .
    Paso 5. Resuelve la ecuación. .
    ¿Cuántos de tarifa reducida? .
    Paso 6. Consulta la respuesta.
    Había 26 boletos de tarifa completa a $32 cada uno y 14 boletos de tarifa reducida a $26 cada uno. ¿El valor total es de 116 dólares?
    26·3214·26==832364——1,196 ✓ 26·32=83214·26=364——1,196 ✓
     
    Paso 7. Contesta la pregunta. Vendieron 26 boletos de tarifa completa y 14 boletos de tarifa reducida.
    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Durante su turno en la taquilla del museo, Leah vendió 115 boletos por un total de $1,163. Los boletos para adultos cuestan $12 y los boletos para estudiantes cuestan $5. ¿Cuántos boletos para adultos y cuántos boletos de estudiante vendió Leah?

    Contestar

    84 boletos para adultos, 31 boletos para estudiantes

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Galeno vendió 810 boletos para el carnaval de su iglesia por un ingreso total de $2,820. Los boletos para niños cuestan $3 cada uno y los boletos para adultos cuestan $5 cada uno. ¿Cuántos boletos infantiles y cuántos boletos de adultos vendió?

    Contestar

    615 entradas infantiles y 195 entradas para adultos

    Resolver problemas de mezcla

    Ahora resolveremos algunas aplicaciones más generales del modelo de mezcla. En problemas de mezcla, a menudo estamos mezclando dos cantidades, como pasas y nueces, para crear una mezcla, como la mezcla de trail. En nuestras mesas tendremos una fila para cada ítem a mezclar así como una para la mezcla final.

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Henning está mezclando pasas y nueces para hacer 25 libras de mezcla de trail. Las pasas cuestan $4.50 la libra y las nueces cuestan $8 la libra. Si Henning quiere que su costo para el trail mix sea de $6.60 la libra, ¿cuántas libras de pasas y cuántas libras de nueces debe usar?

    Contestar
    Paso 1. Determinar lo que se está mezclando. Las 25 libras de mezcla de trail provendrán de mezclar pasas y nueces.
    Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. el número de libras de pasas y frutos secos
    Paso 3. Representar el número de cada tipo de ticket utilizando variables.

    Como antes, rellenamos un cuadro para organizar nuestra información.
    Ingresamos el precio por libra para cada artículo.
    Multiplicamos el número por el valor para obtener el valor total.
    Dejar x=x= número de libras de pasas.
    25−x=25−x= número de libras de nueces
    .
    Observe que la última columna de la tabla da
    la información de la cantidad total de la
    mezcla.
    Paso 4. Traducir en una ecuación. El valor de las pasas más el valor de las nueces será
    el valor de la mezcla de trail.
    Paso 5. Resuelve la ecuación. .
      .
    Encuentra el número de libras de nueces. .
    Paso 6. Cheque.
    4.5 (10) +8 (15) 45+120165=? =? =25 (6.60) 165165 ✓ 4.5 (10) +8 (15) =? 25 (6.60) 45+120=? 165165=165 ✓
     
    Paso 7. Contesta la pregunta. Henning mezcló diez libras de pasas con 15 libras de nueces.
    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    Orlando está mezclando nueces y cuadrados de cereales para hacer una mezcla de fiesta. Las nueces se venden por $7 la libra y los cuadrados de cereales se venden por $4 la libra. Orlando quiere hacer 30 libras de mezcla de fiesta a un costo de $6.50 la libra, ¿cuántas libras de nueces y cuántas libras de cuadrados de cereales debe usar?

    Responder

    Orlando mezcló cinco libras de cuadrados de cereales y 25 libras de nueces.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    Becca quiere mezclar jugo de frutas y refrescos para hacer un ponche. Ella puede comprar jugo de frutas por $3 el galón y refresco por $4 el galón. Si quiere hacer 28 galones de ponche a un costo de $3.25 el galón, ¿cuántos galones de jugo de frutas y cuántos galones de refresco debe comprar?

    Responder

    Becca mezcló 21 galones de ponche de fruta y siete galones de refresco.

    Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

    Cuando conduces por la interestatal usando tu control de crucero, la velocidad de tu auto se mantiene igual, es uniforme. Llamamos a un problema en el que la velocidad de un objeto es constante una aplicación de movimiento uniforme. Utilizaremos la fórmula de distancia, tasa y tiempo\(D=rt\), para comparar dos escenarios, como dos vehículos que viajan a diferentes tarifas o en direcciones opuestas.

    Nuestras estrategias de resolución de problemas seguirán aplicándose aquí, pero agregaremos al primer paso. El primer paso incluirá dibujar un diagrama que muestre lo que está sucediendo en el ejemplo. Dibujar el diagrama nos ayuda a entender lo que está sucediendo para que escribamos una ecuación apropiada. Entonces haremos una mesa para organizar la información, como hicimos para las aplicaciones de monedas, boletos y sellos.

    Los pasos se enumeran aquí para una fácil referencia:

    Resolver una aplicación de movimiento uniforme.
    1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
      • Dibuja un diagrama para ilustrar lo que está sucediendo.
      • Crear una tabla para organizar la información.
        • Etiquetar las columnas tasa, tiempo, distancia.
        • Enumere los dos escenarios.
        • Escribe en la información que conozcas.
      Este gráfico tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Rate times Times is equal to Distance”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La columna Distancia tiene una fila adicional. El gráfico está vacío.
    2. Identifica lo que buscas.
    3. Nombra lo que buscas. Elija una variable para representar esa cantidad.
      • Completa la tabla.
      • Utilice expresiones variables para representar esa cantidad en cada fila.
      • Multiplique la tasa por el tiempo para obtener la distancia.
    4. Traducir en una ecuación.
      • Reafirmar el problema en una frase con toda la información importante.
      • Después, traduzca la oración en una ecuación.
    5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
    7. Contesta la pregunta con una oración completa.

    A Wayne y Dennis les gusta recorrer el carril bici desde Riverside Park hasta la playa. La velocidad de Dennis es siete millas por hora más rápida que la velocidad de Wayne, por lo que Wayne tarda dos horas en llegar a la playa mientras que Dennis tarda 1.5 horas para el viaje. Encuentra la velocidad de ambos ciclistas.

    Responder

    Paso 1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.

    Dibuja un diagrama para ilustrar lo que sucede. A continuación se muestra un boceto de lo que está sucediendo en el ejemplo.

    La figura muestra el movimiento uniforme del paseo de Dennis y Wayne por el carril bici desde Riverside Park. El camino para Dennis está representado por una flecha etiquetada como “7 millas por hora” y “1.5 horas”. El camino para Wayne está representado por una segunda flecha de la misma longitud y en la misma dirección etiquetada como “2 horas”. Un soporte representa la distancia entre Riverside Park y la playa.Crear una tabla para organizar la información.

    • Etiquete las columnas “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”.
    • Enumere los dos escenarios.
    • Escribe en la información que conozcas.
      Este gráfico tiene dos columnas y tres filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Tasa en millas por horas veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La primera columna es un encabezado y etiqueta a la segunda fila “Dennis” y a la tercera fila “Wayne”. En la fila 2, el tiempo es de 1.5 horas. En la fila 3, el tiempo es de 2 horas.

    Paso 2. Identifica lo que buscas.

    Se le pide que encuentre la velocidad de ambos ciclistas.

    Observe que la fórmula de distancia usa la palabra “tasa”, pero es más común usar “velocidad”

    cuando hablamos de vehículos en inglés cotidiano.

    Paso 3. Nombra lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.

    Completa el gráfico Usa expresiones variables para representar esa cantidad en cada fila.
    Estamos buscando la velocidad de los ciclistas. Vamos a representar r la velocidad de Wayne. Dado que la velocidad de Dennis es 7 mph más rápida, lo representamos como\(r+7\)
    \(\begin{align} r+7 &= \text{Dennis’ speed} \nonumber \\ r &= \text{Wayne’s speed} \nonumber \\ \end{align}\)
    Rellenar las velocidades en el gráfico.
    Este gráfico tiene dos columnas y tres filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Tasa en millas por horas veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La primera columna es un encabezado y etiqueta a la segunda fila “Dennis” y a la tercera fila “Wayne”. En la fila 2, la tasa es la expresión r más 7 y el tiempo es de 1.5 horas. En la fila 3, la tasa es r y el tiempo es de 2 horas.

    Multiplique la tasa por el tiempo para obtener la distancia.
    Este gráfico tiene dos columnas y tres filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Tasa en millas por horas veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La primera columna es un encabezado y etiqueta a la segunda fila “Dennis” y a la tercera fila “Wayne”. En la fila 2, la tasa es la expresión r más 7, el tiempo es 1.5 horas, y la distancia es 1.5 veces la cantidad r más 7. En la fila 3, la tasa es r, el tiempo es de 2 horas y la distancia es de 2 r.

    Paso 4. Traducir en una ecuación.

    Reafirmar el problema en una frase con toda la información importante.

    Después, traduzca la oración en una ecuación.
    La ecuación para modelar esta situación vendrá de la relación entre las distancias. Mira el diagrama que dibujamos arriba. ¿Cómo se relaciona la distancia recorrida por Dennis con la distancia recorrida por Wayne?
    Dado que ambos ciclistas salen de Riverside y viajan a la playa, recorren la misma distancia. Entonces escribimos:

    La figura muestra que la distancia recorrida por Dennis es igual a la distancia recorrida por Wayne, y cuando se traduce en una ecuación, el resultado es 1.5 veces la cantidad r más 7 es igual a 2 r.

    Paso 5. Resolver la ecuación usando técnicas de álgebra.

    Ahora resuelve esta ecuación. .
    Entonces la velocidad de Wayne es de 21 mph.
    Encuentra la velocidad de Dennis.

    .
    La velocidad de Dennis 28 mph.

    Paso 6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.

    \(\begin{align} \text{} &{28\text{ mph}(1.5\text{ hours}) } &= {42\text{ miles}\checkmark} \nonumber \\ \text{} &{21\text{ mph}(2\text{ hours})} &= {42\text{ miles}\checkmark} \nonumber \\ \end{align} \)

    Paso 7. Contesta la pregunta con una oración completa.

    Wayne cabalgó a 21 mph y Dennis cabalgó a 28 mph.

    Reafirmar el problema en una frase con toda la información importante.

    Después, traduzca la oración en una ecuación.
    La ecuación para modelar esta situación vendrá de la relación entre las distancias. Mira el diagrama que dibujamos arriba. ¿Cómo se relaciona la distancia recorrida por Dennis con la distancia recorrida por Wayne?
    Dado que ambos ciclistas salen de Riverside y viajan a la playa, recorren la misma distancia. Entonces escribimos:

    La figura muestra que la distancia recorrida por Dennis es igual a la distancia recorrida por Wayne, y cuando se traduce en una ecuación, el resultado es 1.5 veces la cantidad r más 7 es igual a 2 r.

    Un tren expreso y un tren local salen de Pittsburgh para viajar a Washington, D.C. El tren expreso puede hacer el viaje en cuatro horas y el tren local tarda cinco horas para el viaje. La velocidad del tren expreso es 12 millas por hora más rápida que la velocidad del tren local. Encuentra la velocidad de ambos trenes.

    Responder

    La velocidad del tren local es de 48 mph y la velocidad del tren expreso es de 60 mph.

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

    Jeromy puede conducir desde su casa en Cleveland a su universidad en Chicago en 4.5 horas. A su madre le toma seis horas hacer el mismo viaje. Jeromy conduce 20 millas por hora más rápido que su madre. Encuentra la velocidad de Jeromy y la velocidad de su madre.

    Responder

    Jeromy conducía a una velocidad de 80 mph y su madre manejaba 60 mph.

    En Ejemplo, tuvimos dos ciclistas recorriendo la misma distancia. En el siguiente ejemplo, dos personas conducen una hacia la otra hasta que se encuentran.

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

    Carina está conduciendo de su casa en Anaheim a Berkeley el mismo día que su hermano conduce de Berkeley a Anaheim, por lo que deciden reunirse para almorzar en el camino en Buttonwillow. La distancia de Anaheim a Berkeley es de 395 millas. Carina tarda tres horas en llegar a Buttonwillow, mientras que su hermano conduce cuatro horas para llegar allí. La velocidad promedio de Carina es 15 millas por hora más rápida que la velocidad promedio de su hermano. Encuentra las velocidades promedio de Carina y su hermano.

    Responder

    Paso 1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.

    Dibuja un diagrama para ilustrar lo que sucede. A continuación se muestra un boceto de lo que está sucediendo en el ejemplo.

    La figura muestra el movimiento uniforme de Carina y su hermano usando flechas. La flecha para Carina está etiquetada como “3 horas”. La flecha para el hermano de Carina apunta en sentido contrario y está etiquetada como “15 millas por hora” y “4 horas”. Donde se encuentran las flechas se etiqueta como “almuerzo”. El camino de Carina y su Hermano está representado por un corchete y etiquetado como “410 millas”.

    Crear una tabla para organizar la información.

    • Etiquetar las columnas tasa, tiempo, distancia.
    • Enumere los dos escenarios.
    • Escribe en la información que conozcas.
      Este gráfico tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Tasa en millas por horas veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La primera columna es un encabezado y etiqueta a la segunda fila “Carina” y a la tercera fila “Hermano”. En la fila 2, el tiempo es de 3 horas. En la fila 3, el tiempo es de 4 horas. En la fila 4, la distancia es de 410 millas.

    Paso 2. Identificar lo que estamos buscando.

    Se nos pide encontrar las velocidades promedio de Carina y su hermano.

    Paso 3. Nombra lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.

    Completa la tabla. Utilice expresiones variables para representar esa cantidad en cada fila.
    Estamos buscando sus velocidades promedio. Vamos a representar r la velocidad promedio de Carina. Dado que la velocidad del hermano es 15 mph más rápida, lo representamos como\(r+15\).
    Rellene las velocidades en el gráfico. Multiplique la tasa por el tiempo para obtener la distancia.

    Este gráfico tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Tasa en millas por horas veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La primera columna es un encabezado y etiqueta a la segunda fila “Carina” y a la tercera fila “Hermano”. En la fila 2, la tasa es r, el tiempo es de 3 horas y la distancia es 3 r. En la fila 3, la tasa es la expresión r más 15, el tiempo es de 4 horas y la distancia es 4 veces la cantidad r más 15. En la fila 4, la distancia es de 410 millas.

    Paso 4. Traducir en una ecuación.

    Reafirmar el problema en una frase con toda la información importante. Después, traduzca la oración en una ecuación.
    Nuevamente, necesitamos identificar una relación entre las distancias para poder escribir una ecuación. Mira el diagrama que creamos arriba y observa la relación entre la distancia que recorrió Carina y la distancia que recorrió su hermano.
    La distancia que recorrió Carina más la distancia que recorre su hermano deben sumar 410 millas. Entonces escribimos:

    La figura muestra que la distancia recorrida por Carina más la distancia recorrida por su hermano es igual a 410, y al traducirse en una ecuación, el resultado es 3 r más 4 veces la cantidad r más 15 es igual a 410.

    Paso 5. Resolver la ecuación usando técnicas de álgebra.

    Ahora resuelve esta ecuación. .
    Entonces la velocidad del hermano de Carina era de 50 mph.
    La velocidad de Carina es de r+15.r+15. .
    La velocidad de su hermano era de 65 mph.

    Paso 6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.

    \(\begin{array} {llll} \text{Carina drove} &{65\text{ mph}(3\text{ hours})} &= &{\underline{195 \text{ miles}}} \\ \text{Her brother drove} &{50\text{ mph}(4\text{ hours})} &= &{\underline{200 \text{ miles}}} \\ {} &{} &{} &{395\text{ miles}\checkmark} \\ \end{array} \)

    Paso 7. Contesta la pregunta con una oración completa.

    Carina manejaba 65 mph y su hermano 50 mph.

    mi manejaba a una velocidad de 80 mph y su madre manejaba 60 mph.

    Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

    Christopher y sus padres viven a 115 millas de distancia. Se conocieron en un restaurante entre sus casas para celebrar el cumpleaños de su madre. Christopher manejaba una hora y media mientras sus padres manejaban una hora para llegar al restaurante. La velocidad promedio de Christopher era diez millas por hora más rápida que la velocidad promedio de sus padres. ¿Cuáles fueron las velocidades promedio de Christopher y de sus padres mientras conducían al restaurante?

    Responder

    La velocidad de Christopher era de 50 mph y la de sus padres era de 40 mph.

    Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

    Ashley va a la universidad en Minneapolis, a 234 millas de su casa en Sioux Falls. Ella quiere que sus padres le traigan más ropa de invierno, por lo que deciden reunirse en un restaurante en la carretera entre Minneapolis y Sioux Falls. Ashley y sus padres condujeron dos horas hasta el restaurante. La velocidad promedio de Ashley era siete millas por hora más rápida que la velocidad promedio de sus padres. Encuentra la velocidad promedio de Ashley y sus padres.

    Responder

    Los padres de Ashley manejaban 55 mph y Ashley conducía 62 mph.

    Al leer el siguiente ejemplo, piense en la relación de las distancias recorridas. ¿Cuál de los dos ejemplos anteriores es más similar a esta situación?

    Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

    Dos camioneros dejan un área de descanso en la interestatal al mismo tiempo. Un camión viaja hacia el este y el otro viaja hacia el oeste. El camión que viaja hacia el oeste viaja a 70 mph y el camión que viaja hacia el este tiene una velocidad promedio de 60 mph. ¿Cuánto tiempo viajarán antes de que estén a 325 millas de distancia?

    Responder

    Paso 1. Lee el problema. Hacer que se entiendan todas las palabras e ideas.

    Dibuja un diagrama para ilustrar lo que sucede.
    La figura muestra el movimiento uniforme de dos camioneros usando flechas. La flecha para el camionero que viaja hacia el oeste está etiquetada como “70 millas por hora”. La flecha para el camionero que viaja hacia el este apunta en sentido contrario y está etiquetada como “60 millas por hora”. Donde se encuentran las flechas se etiqueta como “Parada de descanso”. El camino de los camioneros está representado por un soporte y etiquetado como “325 millas”.

    Crear una tabla para organizar la información.

    • Etiquetar las columnas tasa, tiempo, distancia.
    • Enumere los dos escenarios.
    • Escribe en la información que conozcas.

      El gráfico tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Tasa en millas por hora veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La primera columna es una columna de encabezado y etiqueta a la segunda fila “Oeste” y la tercera fila “Este” La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La cuarta fila sólo da la distancia total que recorrieron los camioneros. En la fila 2, el camionero que viaja hacia el oeste tiene una tarifa de 70 millas por hora. En la fila 3, chofer de camión que viaja hacia el este tiene una tarifa de 60 millas por hora. En la fila 4, la distancia total recorrida por los camioneros es de 325.

    Paso 2. Identificar lo que estamos buscando.

    Se nos pide encontrar la cantidad de tiempo que viajarán los camiones hasta que estén a 325 millas de distancia.

    Paso 3. Nombra lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.

    Completa la tabla. Utilice expresiones variables para representar esa cantidad en cada fila.
    Estamos buscando el tiempo viajado. Ambos camiones viajarán la misma cantidad de tiempo.
    Llamemos al tiempo t. Dado que sus velocidades son diferentes, recorrerán diferentes distancias.

    Multiplique la tasa por el tiempo para obtener la distancia.

    El gráfico tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Tasa en millas por hora veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La primera columna es una columna de encabezado y etiqueta a la segunda fila “Oeste” y la tercera fila “Este” La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La cuarta fila sólo da la distancia total que recorrieron los camioneros. En la fila 2, el camionero que viaja hacia el oeste tiene una tarifa de 70 millas por hora, un tiempo t horas y una distancia de 70 t. En la fila 3, el camionero que viaja hacia el este tiene una tarifa de 60 millas por hora, un tiempo t y una distancia de 60 t. En la fila 4, la distancia total recorrida por los camioneros es de 325.

    Paso 4. Traducir en una ecuación.

    Reafirmar el problema en una frase con toda la información importante. Después, traduzca la oración en una ecuación.
    Necesitamos encontrar una relación entre las distancias para poder escribir una ecuación. Mirando el diagrama, ¿cuál es la relación entre las distancias que recorrerá cada uno de los camiones?
    La distancia recorrida por el camión que va hacia el oeste más la distancia recorrida por el camión que va hacia el este deben sumar 325 millas. Entonces escribimos:

    La figura muestra que la distancia recorrida por el camión en dirección oeste más la distancia recorrida por el camión en dirección este es igual a 325, y cuando se traduce en una ecuación, el resultado es 70 t más 60 t es igual a 325.

    Paso 5. Resolver la ecuación usando técnicas de álgebra.

    \( \quad \text{Now solve this equation} \qquad\begin{align} 70t+60t &= 325 \nonumber\\ 130t &= 325 \nonumber\\ t &= 2.5 \nonumber\\ \end{align} \)

    Por lo que les tomará\(2.5\) horas a los camiones estar a 325 millas de distancia.

    Paso 6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.

    \(\begin{array} {llll} \text{Truck going West} &{70\text{ mph}(2.5\text{ hours})} &= &{\space175\text{ miles}\space} \\ \text{Truck going East} &{60\text{ mph}(2.5\text{ hours})} &= &{\underline{\space150\text{ miles}\space}} \\ {} &{} &{} &{325\text{ miles}\checkmark} \\ \end{array}\)

    Paso 7. Contesta la pregunta con una oración completa.
    Los camiones tardarán 2.5 horas en estar a 325 millas de distancia.

    Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

    Pierre y Monique salen de su casa en Portland al mismo tiempo. Pierre conduce hacia el norte por la autopista de peaje a una velocidad de 75 millas por hora, mientras que Monique conduce hacia el sur a una velocidad de 68 millas por hora. ¿Cuánto tiempo les llevará estar a 429 millas de distancia?

    Responder

    Pierre y Monique estarán a 429 millas de distancia en 3 horas.

    Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

    Thanh y Nhat dejan su oficina en Sacramento al mismo tiempo. Thanh conduce hacia el norte por la I-5 a una velocidad de 72 millas por hora. Nhat conduce hacia el sur por la I-5 a una velocidad de 76 millas por hora. ¿Cuánto tiempo les llevará estar a 330 millas de distancia?

    Responder

    Thanh y Nhat estarán a 330 millas de distancia en 2.2 horas.

    Es importante asegurarse de que las unidades coincidan cuando usamos la fórmula de tasa de distancia y tiempo. Por ejemplo, si la tarifa está en millas por hora, entonces el tiempo debe ser en horas.

    Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

    Cuando Naoko camina a la escuela, le toma 30 minutos. Si monta su bicicleta, le toma 15 minutos. Su velocidad es tres millas por hora más rápida cuando monta su bicicleta que cuando camina. ¿Cuál es su velocidad caminando y su velocidad montando su bicicleta?

    Responder

    En primer lugar, dibujamos un diagrama que representa la situación para ayudarnos a ver lo que está sucediendo.

    La figura muestra el movimiento del uniforme cuando Naoko camina a la escuela y cuando monta su bicicleta a la escuela. Su caminata a la escuela está representada por una flecha etiquetada como “30 minutos”. Su viaje a la escuela está representado por una segunda flecha de la misma longitud y en la misma dirección etiquetada como “3 millas por hora más rápido” y “15 minutos”. Un soporte representa la distancia entre su casa y la escuela.

    Se nos pide que encuentre su velocidad caminando y montando su bicicleta. Llamémosla velocidad de caminar r. Dado que su velocidad en bicicleta es tres millas por hora más rápida, a eso lo llamaremos velocidad\(r+3\). Escribimos las velocidades en el gráfico.

    La velocidad es en millas por hora, así que necesitamos expresar los tiempos en horas, también, para que las unidades sean las mismas. Recuerda, 1 hora son 60 minutos. Entonces:

    \[\begin{array} {l} {} \\ \text{30 minutes is } \frac{30}{60} \text{ or }\frac{1}{2}\text{ hour} \\ \text{15 minutes is } \frac{15}{60} \text{ or }\frac{1}{4}\text{ hour} \\ \nonumber \end{array}\]

    Escribimos los tiempos en el gráfico.

    A continuación, multiplicamos la tasa por tiempo para rellenar la columna de distancia.

    Este gráfico tiene dos columnas y tres filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Tasa en millas por horas veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La primera columna es un encabezado y etiqueta la segunda fila “Walk” y la tercera fila “Bike”. En la fila 2, la tasa es r, el tiempo es media hora y la distancia es media r. En la fila 3, la tasa es la expresión r más 3, el tiempo es una cuarta hora y la distancia es un cuarto por la cantidad r más 3.

    La ecuación vendrá del hecho de que la distancia de la casa de Naoko a su escuela es la misma ya sea caminando o montando su bicicleta.
    Entonces decimos:

      .
    Traducir a una ecuación. .
    Resuelve esta ecuación. .
    Despeja las fracciones multiplicando por la LCD de todas las fracciones de la ecuación. .
    Simplificar. .
      6

    Comprobemos si esto funciona.

    \(\begin{array} {lll} {\text{Walk }3\text{ mph }(0.5\text{ hour})} &= &{1.5\text{ miles}} \\ {\text{Bike }6\text{ mph }(0.25\text{ hour})} &= &{1.5\text{ miles}} \\ \end{array}\)

    Sí, de cualquier manera Naoko viaja 1.5 millas a la escuela.

    La velocidad de marcha de Naoko es de 3 mph y su velocidad en bicicleta es de 6 mph.

    Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

    Suzy tarda 50 minutos en caminar cuesta arriba desde el estacionamiento hasta la torre de vigilancia. Le toma 30 minutos volver a caminar hasta el estacionamiento. Su velocidad cuesta abajo es 1.2 millas por hora más rápida que su velocidad cuesta arriba. Encuentra las velocidades cuesta arriba y cuesta abajo de Suzy.

    Responder

    La velocidad de Suzy cuesta arriba es de 1.81.8 mph y el descenso es de tres mph.

    Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

    Llewyn tarda 45 minutos en conducir su bote río arriba desde el muelle hasta su lugar de pesca favorito. Le toma 30 minutos conducir el bote de regreso río abajo hasta el muelle. La velocidad del barco que va río abajo es cuatro millas por hora más rápida que su velocidad que va aguas arriba. Encuentra las velocidades aguas arriba y aguas abajo de la embarcación.

    Responder

    La velocidad del barco aguas arriba es de ocho mph y aguas abajo es de 12 mph.

    En la fórmula de distancia, tasa y tiempo, el tiempo representa la cantidad real de tiempo transcurrido (en horas, minutos, etc.). Si algún problema nos da tiempos de inicio y finalización como tiempos de reloj, debemos encontrar el tiempo transcurrido para poder usar la fórmula.

    Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

    Cruz se está entrenando para competir en un triatlón. Salió de su casa a las 6:00 y corrió hasta las 7:30. Después montó su bicicleta hasta las 9:45. Cubrió una distancia total de 51 millas. Su velocidad al andar en bicicleta era 1.6 veces su velocidad al correr. Encuentra las velocidades de ciclismo y carrera de Cruz.

    Responder

    Un diagrama nos ayudará a modelar este viaje.

    En la figura se muestra el movimiento uniforme del entrenamiento de Cruz para un triatlón. El camino de Cruz está representado por una flecha etiquetada como “correr” que comienza a las 6 a m y se extiende hasta las 7:30 a m y una segunda flecha etiquetada como “montó” y “1.6 veces más rápido” que comienza a las 7:30 a m y se extiende hasta las 9:45 a m. Un corchete representa la distancia que cubre Cruz y se etiqueta como “51 millas”.

    A continuación, creamos una tabla para organizar la información. Sabemos que la distancia total es de 51 millas. Estamos buscando la tasa de velocidad para cada parte del viaje. La tasa mientras se monta en bicicleta es 1.6 veces la tasa de carrera a pie. Si dejamos que r = la velocidad corriendo, entonces la tasa de ciclismo es 1.6 r.

    Los tiempos aquí se dan como tiempos de reloj. Cruz comenzó desde su casa a las 6:00 a.m. y comenzó a andar en bicicleta a las 7:30 a.m., por lo que pasó 1.5 horas corriendo. Después viajó en bicicleta desde las 7:30 de la mañana hasta las 9:45 horas por lo que pasó 2.25 horas en bicicleta.

    Ahora, multiplicamos las tasas por los tiempos.

    El gráfico tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Tasa en millas por hora veces El tiempo en horas es igual a Distancia en millas”. La primera columna es una columna de encabezado y etiqueta a la segunda fila “correr” y a la tercera fila “bicicleta” La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La cuarta fila sólo da la distancia total recorrida. En la fila 2, la tasa es r, el tiempo es 1.5 horas y la distancia es 1.5 r. En la fila 3, la tasa es 1.6, el tiempo es 2.25 horas y la distancia es 2.25 veces 1.6 r. En la fila 4, la distancia total recorrida es de 51 millas.

    Al mirar el diagrama, podemos ver que la suma de la distancia recorrida y la distancia en bicicleta es de 255 millas.

      .
    Traducir a una ecuación. .
    Resuelve esta ecuación. .

    Cheque.

    \(\begin{array} {lll} {\text{Run }10\text{ mph }(1.5\text{ hour})} &= &{15\text{ mi}} \\ {\text{Bike }16\text{ mph }(2.25\text{ hour})} &= &{\underline{36\text{ mi}}} \\ {} &{} &{} &{51\text{ mi}} \\ \end{array}\)

     
    Ejemplo\(\PageIndex{26}\)

    A Hamilton le encanta viajar a Las Vegas, a 255 millas de su casa en el condado de Orange. En su último viaje, salió de su casa a las 2:00 de la tarde La primera parte de su viaje fue en autopistas congestionadas de la ciudad. A las 4:00 de la noche, el tránsito se despejó y pudo conducir por el desierto a una velocidad 1.75 veces más rápida que cuando manejaba en la zona congestionada. Llegó a Las Vegas a las 6:30 p.m. ¿Qué tan rápido conducía durante cada parte de su viaje?

    Responder

    Hamilton condujo 40 mph en la ciudad y 70 mph en el desierto.

    Ejemplo\(\PageIndex{27}\)

    Phuong salió de casa en su bicicleta a las 10:00. Cabalgó en la calle plana hasta las 11:15, luego cabalgó cuesta arriba hasta las 11:45. Recorró un total de 31 millas. Su velocidad al andar cuesta arriba era 0.6 veces su velocidad en la calle plana. Encuentra su bicicleta de velocidad cuesta arriba y en la calle plana.

    Responder

    Phuong montó cuesta arriba a una velocidad de 12 mph y en la calle plana a 20 mph.

    Conceptos clave

    • Valor total de las monedas
      Para el mismo tipo de moneda, el valor total de un número de monedas se encuentra utilizando el
      número de modelo·valor=totalvaluenumerber·valor=totalvalue
      • número es el número de monedas
      • valor es el valor de cada moneda
      • el valor total es el valor total de todas las monedas
    • Cómo resolver problemas de palabras de monedas.
      1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
        Determinar los tipos de monedas involucradas.
        Crear una tabla para organizar la información.
        Etiquete las columnas “tipo”, “número”, “valor”, “valor total”.
        Enumere los tipos de monedas.
        Escribe en el valor de cada tipo de moneda.
        Escribe en el valor total de todas las monedas.
        Este gráfico tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta la primera columna “Tipo” y la segunda columna “Número veces El valor en dólares es igual al Valor Total en dólares”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para el “número”, “valor” y “valor total”. La columna de valor total tiene una fila adicional. El gráfico está vacío.
      2. Identifica lo que buscas.
      3. Nombra lo que buscas. Elija una variable para representar esa cantidad.
        Usa expresiones variables para representar el número de cada tipo de moneda y escríbelas en la tabla.
        Multiplique el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.
      4. Traducir en una ecuación.
        Puede ser útil reafirmar el problema en una oración con toda la información importante. Después, traduzca la oración en una ecuación.
        Escribe la ecuación sumando los valores totales de todos los tipos de monedas.
      5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
      6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
      7. Contesta la pregunta con una oración completa.
    • Cómo resolver una aplicación de movimiento uniforme
      1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
        Dibuja un diagrama para ilustrar lo que sucede.
        Crear una tabla para organizar la información.
        Etiquetar las columnas tasa, tiempo, distancia.
        Enumere los dos escenarios.
        Escribe en la información que conozcas.
        Este gráfico tiene dos columnas y cuatro filas. La primera fila es un encabezado y etiqueta a la segunda columna “Rate times Times is equal to Distance”. La segunda columna de encabezado se subdivide en tres columnas para “Tasa”, “Tiempo” y “Distancia”. La columna Distancia tiene una fila adicional. El gráfico está vacío.
      2. Identifica lo que buscas.
      3. Nombra lo que buscas. Elija una variable para representar esa cantidad.
        Completa la tabla.
        Utilice expresiones variables para representar esa cantidad en cada fila.
        Multiplique la tasa por el tiempo para obtener la distancia.
      4. Traducir en una ecuación.
        Reafirmar el problema en una frase con toda la información importante.
        Después, traduzca la oración en una ecuación.
      5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
      6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
      7. Contesta la pregunta con una oración completa.

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