4.5: Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 112362

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables
Resolver aplicaciones usando sistemas de ecuaciones lineales con tres variables

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Evalúa$5x−2y+3z$ cuándo$x=−2, y=−4,$ y$z=3.$
si te perdiste este problema, revisa [link].
Clasificar las ecuaciones como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego declarar la solución. $ \left\{ \begin{array} {l} −2x+y=−11 \\ x+3y=9 \end{array} \right. $
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
Clasificar las ecuaciones como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego declarar la solución. $\left\{ \begin{array} {l} 7x+8y=4 \\ 3x−5y=27 \end{array} \right. $
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables

En esta sección, ampliaremos nuestro trabajo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Hasta el momento hemos trabajado con sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Ahora trabajaremos con sistemas de tres ecuaciones con tres variables. Pero primero revisemos lo que ya sabemos sobre la resolución de ecuaciones y sistemas que involucran hasta dos variables.

Aprendimos antes que la gráfica de una ecuación lineal,$ax+by=c$, es una línea. Cada punto de la línea, un par ordenado$(x,y)$, es una solución a la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones con dos variables, graficamos dos líneas. Entonces podemos ver que todos los puntos que son soluciones a cada ecuación forman una línea. Y, al encontrar lo que tienen en común las líneas, encontraremos la solución al sistema.

La mayoría de las ecuaciones lineales en una variable tienen una solución, pero vimos que algunas ecuaciones, llamadas contradicciones, no tienen soluciones y para otras ecuaciones, llamadas identidades, todos los números son soluciones

Sabemos que cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales representadas por una gráfica de dos líneas en un mismo plano, hay tres casos posibles, como se muestra.

$La figura muestra tres gráficas. En la primera se cruzan dos líneas. Las líneas que se cruzan tienen un punto en común. Hay una solución a este sistema. La gráfica está etiquetada como Independiente Consistente. En la segunda gráfica, dos líneas son paralelas. Las líneas paralelas no tienen puntos en común. No hay solución a este sistema. La gráfica está etiquetada como inconsistente. En la tercera gráfica, sólo hay una línea. Ambas ecuaciones dan la misma línea. Debido a que solo tenemos una línea, hay infinitamente muchas soluciones. Se etiqueta como dependiente consistente.$

De igual manera, para una ecuación lineal con tres variables ax+by+cz=d, ax+by+cz=d, cada solución a la ecuación es un triple ordenado, (x, y, z) (x, y, z) que hace que la ecuación sea verdadera.

Ecuación lineal en tres variables

Una ecuación lineal con tres variables, donde a, b, c y d son números reales y a, b y c no son todos 0, es de la forma

\[ ax+by+cz=d\nonumber \]

Toda solución a la ecuación es un triple ordenado,$(x,y,z)$ eso hace que la ecuación sea cierta.

Todos los puntos que son soluciones a una ecuación forman un plano en el espacio tridimensional. Y, al encontrar lo que tienen en común los aviones, encontraremos la solución al sistema.

Cuando resolvemos un sistema de tres ecuaciones lineales representadas por una gráfica de tres planos en el espacio, hay tres casos posibles.

$Se muestran ocho figuras. El primero muestra tres planos de intersección con un punto en común. Se etiqueta Sistema consistente y ecuaciones independientes. La segunda figura tiene tres planos paralelos sin puntos en común. Está etiquetado como sistema inconsistente. En la tercera figura dos planos son coincidentes y paralelos al tercer plano. Los aviones no tienen puntos en común. En la cuarta figura, dos planos son paralelos y cada uno cruza el tercer plano. Los aviones no tienen puntos en común. En la quinta figura, cada plano se cruza con los otros dos, pero los tres no comparten puntos. Los aviones no tienen puntos en común. En la sexta figura, tres planos se cruzan en una línea. Sólo hay una línea, así que hay infinitamente muchas soluciones. En la séptima figura, dos planos son coincidentes e intersectan el tercer plano en una línea. Sólo hay una línea, así que hay infinitamente muchas soluciones. En la última figura, tres planos son coincidentes. Sólo hay un plano, así que hay infinitamente muchas soluciones.$ $.$ $.$ $.$ $.$ $.$ $.$ $.$

Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones a las tres ecuaciones. En otras palabras, estamos buscando el triple ordenado$(x,y,z)$ que haga verdaderas las tres ecuaciones. A estas se les llama las soluciones del sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.

Soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables

Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones. Una solución está representada por un triple ordenado$(x,y,z)$.

Para determinar si un triple ordenado es una solución a un sistema de tres ecuaciones, sustituimos los valores de las variables en cada ecuación. Si el triple ordenado hace que las tres ecuaciones sean verdaderas, es una solución para el sistema.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema:$ \left\{ \begin{array} {l} x−y+z=2 \\ 2x−y−z=−6 \\ 2x+2y+z=−3 \end{array} \right. $

ⓐ$(−2,−1,3)$ ⓑ$(−4,−3,4)$

Responder

ⓐ

$Las ecuaciones son x menos y más z es igual a 2, 2x menos y menos z es igual a menos 6 y 2x más 2y más z es igual a menos 3. Sustituyendo menos 2 por x, menos 1 para y y 3 por z en las tres ecuaciones, encontramos que las tres son verdaderas. De ahí que menos 2, menos 1, 3 sea una solución.$

ⓑ

$Las ecuaciones son x menos y más z es igual a 2, 2x menos y menos z es igual a menos 6 y 2x más 2y más z es igual a menos 3. Sustituyendo menos menos 4 por x, menos 3 para y y 4 por z en las tres ecuaciones, encontramos que las tres son verdaderas. De ahí que menos 4, menos 3, 4 no sea una solución.$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema:$ \left\{ \begin{array} {l} 3x+y+z=2 \\ x+2y+z=−3 \\ 3x+y+2z=4 \end{array} \right. $

ⓐ$(1,−3,2)$ ⓑ$(4,−1,−5)$

Responder: ⓐ si ⓑ no

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema:$ \left\{ \begin{array} {l} x−3y+z=−5 \\ −3x−y−z=1 \\ 2x−2y+3z=1 \end{array} \right. $

ⓐ$(2,−2,3)$ ⓑ$(−2,2,3)$

Responder: ⓐ no ⓑ si

Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales con Tres Variables

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, básicamente utilizamos las mismas técnicas que usamos con sistemas que tenían dos variables. Comenzamos con dos pares de ecuaciones y en cada par eliminamos la misma variable. Esto nos dará entonces un sistema de ecuaciones con sólo dos variables y entonces ¡ya sabemos cómo resolver ese sistema!

A continuación, utilizamos los valores de las dos variables que acabamos de encontrar para volver a la ecuación original y encontrar la tercera variable. Escribimos nuestra respuesta como un triple ordenado y luego verificamos nuestros resultados.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: How to Solve a System of Equations With Three Variables by Elimination

Resuelve el sistema por eliminación:$ \left\{ \begin{array} {l} x−2y+z=3 \\ 2x+y+z=4 \\ 3x+4y+3z=−1 \end{array} \right. $

Responder: $Las ecuaciones son x menos 2y más z es igual a 3, 2x más y más z es igual a 4 y 3x más 4y más 3z es igual a menos 1. El paso 1 es escribir las ecuaciones en forma estándar. Ellos son. Si alguno de los coeficientes son fracciones, límpielos. No hay ninguno.$ $El paso 2 es eliminar la misma variable de dos ecuaciones. Decide qué variable vas a eliminar. Podemos eliminar las y de las ecuaciones 1 y 2 multiplicando la ecuación 2 por 2. Trabajar con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida. Multiplique una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos. Agrega las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable. La nueva ecuación que obtenemos es 5x más 3z es igual a 11.$ $El paso 3 consiste en repetir el paso 2 usando otras dos ecuaciones y eliminar la misma variable que en el paso 2. Podemos eliminar nuevamente las y usando las ecuaciones 1, 3 multiplicando la ecuación 1 por 2. Sumar las nuevas ecuaciones y el resultado será 5x más 5z es igual a 5.$ $Paso 4. Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelve este sistema. Eliminando x, obtenemos z igual a menos 3. Sustituyendo esto en una de las nuevas ecuaciones, obtenemos x igual a 4.$ $El paso 5 consiste en utilizar los valores de las dos variables que se encuentran en el paso 4 para encontrar la tercera variable. Sustituyendo valores de x y z en una de las ecuaciones originales, obtenemos y igual a menos 1.$ $El paso 6 es escribir la solución como un triple ordenado 4, menos 1, menos 3.$ $El paso 7 es verificar que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales. Hace que las tres ecuaciones sean verdaderas.$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Resuelve el sistema por eliminación:$ \left\{ \begin{array} {l} 3x+y−z=2 \\ 2x−3y−2z=1 \\ 4x−y−3z=0 \end{array} \right.$

Responder: $(2,−1,3)$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Resuelve el sistema por eliminación:$ \left\{ \begin{array} {l} 4x+y+z=−1 \\ −2x−2y+z=2 \\ 2x+3y−z=1 \end{array} \right. $

Responder: $(−2,3,4)$

Aquí se resumen los pasos.

Resuelve un sistema de ecuaciones lineales con tres variables.

Escribir las ecuaciones en forma estándar
- Si alguno de los coeficientes son fracciones, límpielos.
Elimina la misma variable de dos ecuaciones.
- Decide qué variable vas a eliminar.
- Trabajar con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida.
- Multiplique una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
- Sumar las ecuaciones resultantes del paso 2 para eliminar una variable
Repita el Paso 2 usando otras dos ecuaciones y elimine la misma variable que en el Paso 2.
Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelve este sistema.
Utilice los valores de las dos variables que se encuentran en el Paso 4 para encontrar la tercera variable.
Escribe la solución como un triple ordenado.
Verifique que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Resolver:$ \left\{ \begin{array} {l} 3x−4z=0 \\ 3y+2z=−3 \\ 2x+3y=−5 \end{array} \right. $

Responder

\[ \left\{ \begin{array} {ll} 3x−4z=0 &(1) \\ 3y+2z=−3 &(2) \\ 2x+3y=−5 &(3) \end{array} \right. \nonumber \]

Podemos eliminar$z$ de las ecuaciones (1) y (2) multiplicando la ecuación (2) por 2 y luego sumando las ecuaciones resultantes.

$Las ecuaciones son 3 x menos 4 es igual a 0, 3y más 2 z es igual a menos 3 y 2 x más 3 y es igual a menos 5. Multiplica la ecuación 2 por 2 y suma a la ecuación 1. Obtenemos 3 x más 6 y es igual a menos 6.$

Observe que las ecuaciones (3) y (4) ambas tienen las variables$x$ y$y$. Vamos a resolver este nuevo sistema para$x$ y$y$.

$Multiplica la ecuación 3 por menos 2 y suma eso a la ecuación 4. Obtenemos x igual a menos 4.$

Para resolver por y, sustituimos$x=−4$ en la ecuación (3).

$Sustituye menos 4 en la ecuación 3 y resuelve para y Obtenemos y igual a 1.$

Ahora tenemos$x=−4$ y$y=1$. Tenemos que resolver para z. Podemos sustituir$x=−4$ en la ecuación (1) para encontrar z.

$Sustituyendo menos 4 en la ecuación 1 por x, obtenemos z igual a menos 3.$

Escribimos la solución como un triple ordenado. $(−4,1,−3)$

Comprobamos que la solución hace que las tres ecuaciones sean verdaderas.

$\begin{array} {lll} {3x-4z=0 \space (1)} &{3y+2z=−3 \space (2)} &{2x+3y=−5 \space (3)} \\ {3(−4)−4(−3)\overset{?}{=} 0} &{3(1)+2(−3)\overset{?}{=} −3} &{2(−4)+3(1)\overset{?}{=} −5} \\ {0=0 \checkmark} &{−3=−3 \checkmark} &{−5=−5 \checkmark} \\ {} &{} &{\text{The solution is }(−4,1,−3)} \end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Resolver:$ \left\{ \begin{array} {l} 3x−4z=−1 \\ 2y+3z=2 \\ 2x+3y=6 \end{array} \right. $

Responder: $(−3,4,−2)$

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Resolver:$ \left\{ \begin{array} {l} 4x−3z=−5 \\ 3y+2z=7 \\ 3x+4y=6 \end{array} \right. $

Responder: $(−2,3,−1)$

Cuando resolvemos un sistema y terminamos sin variables y una declaración falsa, sabemos que no hay soluciones y que el sistema es inconsistente. El siguiente ejemplo muestra un sistema de ecuaciones que es inconsistente.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Resolver el sistema de ecuaciones:$ \left\{ \begin{array} {l} x+2y−3z=−1 \\ x−3y+z=1 \\ 2x−y−2z=2 \end{array} \right. $

Responder

\[\left\{ \begin{array} {ll} x+2y−3z=−1 &(1) \\ x−3y+z=1 &(2) \\ 2x−y−2z=2 &(3) \end{array} \right.\nonumber \]

Utilice las ecuaciones (1) y (2) para eliminar z.

$Las ecuaciones son x más 2y menos 3z es igual a menos 1, x menos 3y más z es igual a 1 y 2x menos y menos 2z es igual a 2.$

Use (2) y (3) para eliminar de$z$ nuevo.

$Multiplicando la ecuación 2 por 3 y sumando a la ecuación 1, obtenemos la ecuación 4, 4x menos 7y es igual a 2. Multiplicando la ecuación 2 por 2 y sumando a la ecuación 3, obtenemos la ecuación 5, 4x menos 7y es igual a 4.$

Utilizar (4) y (5) para eliminar una variable.

$Las ecuaciones 4 y 5 tienen 2 variables. Multiplica la ecuación 5 por menos 1 y agrégala a la ecuación 4. Obtenemos 0 igual a menos 2, que es falso.$

No hay solución.

Nos quedamos con una declaración falsa y esto nos dice que el sistema es inconsistente y no tiene solución.

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Resolver el sistema de ecuaciones:$ \left\{ \begin{array} {l} x+2y+6z=5 \\ −x+y−2z=3 \\ x−4y−2z=1 \end{array} \right. $

Responder: sin solución

Ejemplo$\PageIndex{12}$

Resolver el sistema de ecuaciones:$ \left\{ \begin{array} {l} 2x−2y+3z=6 \\ 4x−3y+2z=0 \\ −2x+3y−7z=1 \end{array} \right. $

Responder: sin solución

Cuando resolvemos un sistema y terminamos sin variables sino con una afirmación verdadera, sabemos que hay infinitamente muchas soluciones. El sistema es consistente con ecuaciones dependientes. Nuestra solución mostrará cómo dos de las variables dependen de la tercera.

Ejemplo$\PageIndex{13}$

Resolver el sistema de ecuaciones:$ \left\{ \begin{array} {l} x+2y−z=1 \\ 2x+7y+4z=11 \\ x+3y+z=4 \end{array} \right. $

Responder

\[\left\{ \begin{array} {ll} x+2y−z=1 &(1) \\ 2x+7y+4z=11 &(2) \\ x+3y+z=4 &(3) \end{array} \right.\nonumber \]

Utilice las ecuaciones (1) y (3) para eliminar x.

$Las ecuaciones son x más 2y menos z es igual a 1, 2x más 7y más 4z es igual a 11 y x más 3y más z es igual a 4. Multiplica la ecuación 1 con menos 1 y agrégala a la ecuación 3. Obtenemos la ecuación 4, y más 2z es igual a 3.$

Usa las ecuaciones (1) y (2) para eliminar x nuevamente.

$Multiplica la ecuación 1 con menos 2 y agrégala a la ecuación 2. Obtenemos la ecuación 5, 3y más 6z es igual a 9.$

Utilice las ecuaciones (4) y (5) para eliminar$y$.

$Multiplica la ecuación 4 con menos 3 y agrégala a la ecuación 5. Obtenemos 0 igual a 0. Hay infinitas soluciones. Resolviendo la ecuación 4 para y, obtenemos y igual a menos 2z más 3. Sustituyendo esto en la ecuación 1, obtenemos x igual a 5z menos 5. La verdadera afirmación 0 igual a 0 nos dice que este es un sistema dependiente que tiene infinitamente muchas soluciones. Las soluciones son de la forma x, y, z donde x es 5z menos 5, y es menos 2z más 3 y z es cualquier número real.$

	Hay infinitamente muchas soluciones.
Resolver la ecuación (4) para y.	Representar la solución mostrando cómo x e y son dependientes de z. $ \begin{aligned} y+2z &= 3 \\ y &= −2z+3 \end{aligned} $
Utilice la ecuación (1) para resolver para x.	$ x+2y−z=1$
Sustituto$y=−2z+3$.	$ \begin{aligned} x+2(−2z+3)−z &= 1 \\ x−4z+6−z &= 1 \\ x−5z+6 &= 1 \\ x &= 5z−5 \end{aligned} $

La verdadera afirmación nos$0=0$ dice que se trata de un sistema dependiente que tiene infinitamente muchas soluciones. Las soluciones son de la forma (x, y, z) (x, y, z) donde$x=5z−5;\space y=−2z+3$ y z es cualquier número real.

Ejemplo$\PageIndex{14}$

Resolver el sistema por ecuaciones:$ \left\{ \begin{array} {l} x+y−z=0 \\ 2x+4y−2z=6 \\ 3x+6y−3z=9 \end{array} \right. $

Responder: infinitamente muchas soluciones$(x,3,z)$ donde$x=z−3;\space y=3;\space z$ está cualquier número real

Ejemplo$\PageIndex{15}$

Resolver el sistema por ecuaciones:$ \left\{ \begin{array} {l} x−y−z=1 \\ −x+2y−3z=−4 \\ 3x−2y−7z=0 \end{array} \right. $

Responder: infinitamente muchas soluciones$(x,y,z)$ donde$x=5z−2;\space y=4z−3;\space z$ está cualquier número real

Resolver Aplicaciones usando Sistemas de Ecuaciones Lineales con Tres Variables

Las aplicaciones que son modeladas por un sistema de ecuaciones se pueden resolver utilizando las mismas técnicas que usamos para resolver los sistemas. Muchas de las aplicaciones son solo extensiones a tres variables de los tipos que hemos resuelto anteriormente.

Ejemplo$\PageIndex{16}$

El departamento de teatro de community college vendió tres tipos de boletos para su última producción teatral. Los boletos para adultos se vendieron por $15, los boletos de estudiante por $10 y los boletos para niños por $8. El departamento de teatro estaba encantado de haber vendido 250 boletos y traído $2,825 en una noche. El número de boletos de estudiante vendidos es el doble del número de boletos de adultos vendidos. ¿Cuántos de cada tipo vendió el departamento?

Responder

Usaremos un gráfico para organizar la información.	$.$
Número de alumnos es el doble número de adultos.
Reescribir la ecuación en forma estándar.	$\begin{aligned} y &= 2x \\ 2x−y &= 0 \end{aligned} $
$.$
Utilice las ecuaciones (1) y (2) para eliminar z.
$.$
Use (3) y (4) para eliminar$y$.
$.$
Resolver para x.	$x=75 $boletos para adultos
Utilice la ecuación (3) para encontrar y.	$−2x+y=0$
Sustituto$x=75$.	$\begin{aligned} −2(75)+y &= 0 \\ −150+y &= 0 \\ y &= 150\text{ student tickets}\end{aligned} $
Usa la ecuación (1) para encontrar z.	$x+y+z=250$
Sustituto en los valores $x=75, \space y=150.$	$\begin{aligned} 75+150+z &= 250 \\ 225+z &= 250 \\ z &= 25\text{ child tickets} \end{aligned} $
Escribe la solución.	El departamento de teatro vendió 75 boletos para adultos, 150 boletos para estudiantes y 25 boletos para niños.

Ejemplo$\PageIndex{17}$

El departamento de bellas artes de community college vendió tres tipos de boletos para su última presentación de baile. Los boletos para adultos se vendieron por $20, los boletos de estudiante por 12 dólares y los boletos para niños por 10.El departamento de bellas artes se emocionó de haber vendido 350 boletos y traído $4,650 en una noche. El número de boletos infantiles vendidos es el mismo que el número de boletos de adulto vendidos. ¿Cuántos de cada tipo vendió el departamento?

Responder: El departamento de bellas artes vendió 75 boletos para adultos, 200 boletos para estudiantes y 75 boletos para niños.

Ejemplo$\PageIndex{18}$

El equipo de futbol community college vendió tres tipos de boletos para su último juego. Los boletos para adultos se vendieron por $10, los boletos de estudiante por $8 y los boletos infantiles por $5. El equipo de futbol estaba encantado de haber vendido 600 boletos y traído $4,900 para un juego. El número de boletos para adultos es el doble del número de boletos infantiles. ¿Cuántos de cada tipo vendió el equipo de futbol?

Responder: El equipo de futbol vendió 200 boletos para adultos, 300 boletos para estudiantes y 100 boletos para niños.

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la resolución de un sistema lineal en tres variables sin soluciones o infinitas.

Resolver un sistema lineal en tres variables sin soluciones o infinitas
3 Aplicación Variable

Conceptos clave

Ecuación lineal en tres variables: Una ecuación lineal con tres variables, donde a, b, c y d son números reales y a, b y c no son todos 0, es de la forma
\[ax+by+cz=d\nonumber \]

Toda solución a la ecuación es un triple ordenado,$(x,y,z)$ eso hace que la ecuación sea cierta.
Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables.
1. Escribe las ecuaciones en forma estándar
  Si alguno de los coeficientes son fracciones, límpialas.
2. Elimina la misma variable de dos ecuaciones.
  Decide qué variable vas a eliminar.
  Trabajar con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida.
  Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
  Sumar las ecuaciones resultantes del paso 2 para eliminar una variable
3. Repita el Paso 2 usando otras dos ecuaciones y elimine la misma variable que en el Paso 2.
4. Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelve este sistema.
5. Utilice los valores de las dos variables que se encuentran en el Paso 4 para encontrar la tercera variable.
6. Escribe la solución como un triple ordenado.
7. Verifique que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales.

Glosario

soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables: Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones; una solución está representada por un triple ordenado (x, y, z).

	Hay infinitamente muchas soluciones.
Resolver la ecuación (4) para y.	Representar la solución mostrando cómo x e y son dependientes de z. \( \begin{aligned} y+2z &= 3 \\ y &= −2z+3 \end{aligned} \)
Utilice la ecuación (1) para resolver para x.	\( x+2y−z=1\)
Sustituto\(y=−2z+3\).	\( \begin{aligned} x+2(−2z+3)−z &= 1 \\ x−4z+6−z &= 1 \\ x−5z+6 &= 1 \\ x &= 5z−5 \end{aligned} \)

Search

Ecuación lineal en tres variables

Soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): How to Solve a System of Equations With Three Variables by Elimination

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resuelve un sistema de ecuaciones lineales con tres variables.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

Ejemplo\(\PageIndex{18}\)