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9.7: Funciones cuadráticas de gráficos usando propiedades

Última actualización

30 oct 2022
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- 9.6E: Ejercicios
- 9.7E: Funciones Cuadráticas Gráficas Usando Propiedades (Ejercicios)

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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

Reconocer la gráfica de una función cuadrática
Encuentra el eje de simetría y vértice de una parábola
Encuentra las intercepciones de una parábola
Graficar funciones cuadráticas usando propiedades
Resolver aplicaciones máximas y mínimas

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Grafica la función $f(x)=x^{2}$ trazando puntos.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.54.
Resolver: $2 x^{2}+3 x-2=0$ .
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.45.
Evaluar $-\frac{b}{2 a}$ cuándo $a=3$ y $b=-6$ .
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.21.

Reconocer la Gráfica de una Función Cuadrática

Anteriormente miramos muy brevemente la función $f(x)=x^{2}$ , a la que llamamos la función cuadrada. Fue una de las primeras funciones no lineales que vimos. Ahora vamos a graficar funciones de la forma $f(x)=a x^{2}+b x+c$ si $a \neq 0$ . Llamamos a este tipo de función una función cuadrática.

Definición $\PageIndex{1}$

Una función cuadrática, donde $a, b$ , y $c$ son números reales y $a≠0$ , es una función de la forma

$f(x)=a x^{2}+b x+c$

Graficamos la función cuadrática $f(x)=x^{2}$ trazando puntos.

Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 4 a 4. El eje y del plano va de negativo 2 a 6. La parábola tiene un vértice en (0, 0) y también pasa por los puntos (-2, 4), (-1, 1), (1, 1) y (2, 4). A la derecha de la gráfica hay una tabla de valores con 3 columnas. La primera fila es una fila de cabecera y etiqueta cada columna, â€œxâ€, â€œf de x es igual a x cuadradaâ€, y â€œel par de orden x, f de x.â€ En la fila 2, x es igual a negativo 3, f de x es igual a x cuadrado es 9 y el par ordenado x, f de x es el par ordenado negativo 3, 9. En la fila 3, x es igual a negativo 2, f de x es igual a x cuadrado es 4 y el par ordenado x, f de x es el par ordenado negativo 2, 4. En la fila 4, x es igual a negativo 1, f de x es igual a x cuadrado es 1 y el par ordenado x, f de x es el par ordenado negativo 1, 1. En la fila 5, x es igual a 0, f de x es igual a x cuadrado es 0 y el par ordenado x, f de x es el par ordenado 0, 0. En la fila 6, x es igual a 1, f de x es igual a x cuadrado es 1 y el par ordenado x, f de x es el par ordenado 1, 1. En la fila 7, x es igual a 2, f de x es igual a x cuadrado es 4 y el par ordenado x, f de x es el par ordenado 2, 4. En la fila 8, x es igual a 3, f de x es igual a x cuadrado es 9 y el par ordenado x, f de x es el par ordenado 3, 9. — Figura 9.6.1

Cada función cuadrática tiene una gráfica que se ve así. A esta figura le llamamos parábola. Practicemos graficar una parábola trazando algunos puntos.

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Gráfica: $f(x)=x^{2}-1$ .

Solución:

Vamos a graficar la función trazando puntos.

Elija valores enteros para $x$ , sumételos en la ecuación y simplifique para encontrar $f(x)$ . Registrar los valores de los pares ordenados en el gráfico.	$.$
Trazar los puntos, y luego conectarlos con una curva suave. El resultado será la gráfica de la función $f(x)=x^{2}-1$ .	$.$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Gráfica $f(x)=-x^{2}$ .

Contestar: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (0, 0).$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Gráfica $f(x)=x^{2}-1$ .

Contestar: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (0, ấ'1).$

Todas las gráficas de funciones cuadráticas de la forma $f(x)=a x^{2}+b x+c$ son parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ver Figura 9.6.6

Esta imagen muestra 2 gráficas lado a lado. La gráfica de la izquierda muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (negativo 2, negativo 1) y pasa por los puntos (negativo 4, 3) y (0, 3). La forma general para la ecuación de esta gráfica es f de x es igual a x al cuadrado más b x más c. La ecuación de esta parábola es x al cuadrado más 4 x más 3. El coeficiente inicial, a, es mayor que 0, por lo que esta parábola se abre hacia arriba.La gráfica de la derecha muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (2, 7) y pasa por los puntos (0, 3) y (4, 3). La forma general para la ecuación de esta gráfica es f de x es igual a x al cuadrado más b x más c. La ecuación de esta parábola es negativa x cuadrada más 4 x más 3. El coeficiente principal, a, es menor que 0, por lo que esta parábola se abre hacia abajo.

Observe que la única diferencia en las dos funciones es el signo negativo antes del término cuadrático ( $x^{2}$ en la ecuación de la gráfica en la Figura 9.6.6). Cuando el término cuadrático, es positivo, la parábola se abre hacia arriba, y cuando el término cuadrático es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Definición $\PageIndex{2}$

Orientación Parábola

Para la gráfica de la función cuadrática $f(x)=a x^{2}+b x+c$ , si

$Estas imágenes muestran una lista con boletines. La primera bala señala que, si a es mayor que 0, entonces la parábola se abre hacia arriba y muestra una imagen de una parábola que se abre hacia arriba. La segunda bala señala que, si a es menor que 0, entonces la parábola se abre hacia abajo y muestra una imagen de una parábola que se abre hacia abajo.$

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Determina si cada parábola se abre hacia arriba o hacia abajo:

$f(x)=-3 x^{2}+2 x-4$
$f(x)=6 x^{2}+7 x-9$

Solución:

a. Encontrar el valor de $a$ .

Dado que el $a$ es negativo, la parábola se abrirá hacia abajo.

b. encontrar el valor de $a$ .

Como el $a$ es positivo, la parábola se abrirá hacia arriba.

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Determina si la gráfica de cada función es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo:

$f(x)=2 x^{2}+5 x-2$
$f(x)=-3 x^{2}-4 x+7$

Contestar

arriba
abajo

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Determina si la gráfica de cada función es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo:

$f(x)=-2 x^{2}-2 x-3$
$f(x)=5 x^{2}-2 x-1$

Contestar

abajo
arriba

Encuentra el eje de simetría y vértice de una parábola

Vuelva a mirar la Figura 9.6.10. ¿Ves que podríamos doblar cada parábola por la mitad y luego un lado quedaría encima del otro? La 'línea de doble' es una línea de simetría. Lo llamamos el eje de simetría de la parábola.

Mostramos las mismas dos gráficas nuevamente con el eje de simetría.

Esta imagen muestra 2 gráficas lado a lado. La gráfica de la izquierda muestra una parábola de apertura hacia arriba y una línea vertical discontinua graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (negativo 2, negativo 1) y pasa por los puntos (negativo 4, 3) y (0, 3). La ecuación de esta parábola es x cuadrado más 4 x más 3. La línea vertical pasa por el punto (negativo 2, 0) y tiene la ecuación x es igual a negativo 2. La gráfica de la derecha muestra una parábola de apertura hacia abajo y una línea vertical discontinua graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (2, 7) y pasa por los puntos (0, 3) y (4, 3). La ecuación de esta parábola es negativa x cuadrada más 4 x más 3. La línea vertical pasa por el punto (2, 0) y tiene la ecuación x es igual a 2.

La ecuación del eje de simetría se puede derivar usando la Fórmula Cuadrática. Omitiremos la derivación aquí y procederemos directamente a usar el resultado. La ecuación del eje de simetría de la gráfica de $f(x)=a x^{2}+b x+c$ es $x=-\frac{b}{2 a}$ .

Entonces, para encontrar la ecuación de simetría de cada una de las parábolas que graficamos anteriormente, sustituiremos en la fórmula $x=-\frac{b}{2 a}$ .

Comparar la función f de x es igual a x cuadrado más 4 x más 3 con la forma estándar de una función cuadrática, f de x es igual a x al cuadrado más b x más c. El eje de simetría es la línea x es igual a negativo b dividido por el producto 2 a. Sustituyendo por b y a rinde x es igual a negativo 4 dividido por el producto 2 veces 1. El eje de simetría es igual a negativo 2. A continuación, compare la función f de x es igual a negativo x cuadrado más 4 x más 3 con la forma estándar de una función cuadrática, f de x es igual a x al cuadrado más b x más c. El eje de simetría es la línea x es igual a negativo b dividido por el producto 2 a. Sustituyendo por b y a rinde x es igual a negativo 4 dividido por el producto 2 veces negativo 1. El eje de simetría es igual a 2.

Observe que estas son las ecuaciones de las líneas azules discontinuas en las gráficas.

El punto en la parábola que es el más bajo (la parábola se abre), o el más alto (la parábola se abre hacia abajo), yace en el eje de simetría. A este punto se le llama el vértice de la parábola.

Podemos encontrar fácilmente las coordenadas del vértice, porque sabemos que está en el eje de simetría. Esto significa que su
$x$ -coordenada es $-\frac{b}{2 a}$ . Para encontrar la $y$ coordenada -del vértice sustituimos el valor de la $x$ coordenada en la función cuadrática.

Para la función f de x es igual a x cuadrado más 4 x más 3, el eje de simetría es x igual a negativo 2. El vértice es el punto en la parábola con coordenada x negativa 2. Sustituir x es igual a 2 negativo en la función f de x es igual a x cuadrado más 4 x más 3. F de x es igual al cuadrado de negativo 2 más 4 veces negativo 2 más 3, así que f de x es igual a negativo 1. El vértice es el punto (negativo 2, negativo 1). Para la función f de x es igual a negativo x cuadrado más 4 x más 3, el eje de simetría es x igual a 2. El vértice es el punto en la parábola con la coordenada x 2. Sustituye x es igual a 2 en la función f de x es igual a x cuadrado más 4 x más 3. F de x equivale a 2 al cuadrado más 4 veces 2 más 3, así que f de x es igual a 7. El vértice es el punto (2, 7).

Eje de simetría y vértice de una parábola

La gráfica de la función $f(x)=a x^{2}+b x+c$ es una parábola donde:

el eje de simetría es la línea vertical $x=-\frac{b}{2 a}$ .
el vértice es un punto en el eje de simetría, por lo que su $x$ coordenada es $-\frac{b}{2 a}$
la $y$ coordenada -del vértice se encuentra sustituyendo $x=-\frac{b}{2 a}$ en la ecuación cuadrática.

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Para la gráfica de $f(x)=3 x^{2}-6 x+2$ encontrar:

el eje de simetría
el vértice

Solución:

	$.$
El eje de simetría es la línea vertical $x=-\frac{b}{2 a}$ .
Sustituir los valores $a,b$ en la ecuación.	$x=-\frac{-6}{2 \cdot 3}$
Simplificar.	$x=1$
	El eje de simetría es la línea $x=1$ .

	$f(x)=3 x^{2}-6 x+2$
El vértice es un punto en la línea de simetría, por lo que su $x$ coordenada será $x=1$ . Encuentra $f(1)$ .	$.$
Simplificar.	$.$
El resultado es la $y$ coordenada -.	$f(1)=-1$
	El vértice es $(1,-1)$ .

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Para la gráfica de $f(x)=2 x^{2}-8 x+1$ encontrar:

el eje de simetría
el vértice

Contestar

$x=2$
$(2,-7)$

Ejercicio $\PageIndex{6}$

Para la gráfica de $f(x)=2 x^{2}-4 x-3$ encontrar:

el eje de simetría
el vértice

Contestar

$x=1$
$(1,-5)$

Encuentra las intercepciones de una parábola

Cuando representamos ecuaciones lineales, a menudo usamos las $x$ -y $y$ -intercepciones para ayudarnos a graficar las líneas. Encontrar las coordenadas de las intercepciones nos ayudará a graficar las parábolas, también.

Recuerde, en la $y$ -intercepción el valor de $x$ es cero. Entonces, para encontrar la $y$ -intercepción, sustituimos $x=0$ en la función.

Encontremos los $y$ -interceptos de las dos parábolas que se muestran en la Figura 9.6.20.

Un $x$ -intercept resulta cuando el valor de $f(x)$ es cero. Para encontrar una $x$ -intercepción, dejamos $f(x)=0$ . En otras palabras, tendremos que resolver la ecuación $0=a x^{2}+b x+c$ para $x$ .

$\begin{aligned} f(x) &=a x^{2}+b x+c \\ 0 &=a x^{2}+b x+c \end{aligned}$

¡Resolver ecuaciones cuadráticas como esta es exactamente lo que hemos hecho anteriormente en este capítulo!

Ahora podemos encontrar los $x$ -interceptos de las dos parábolas que miramos. Primero encontraremos las $x$ -intercepciones de la parábola cuya función es $f(x)=x^{2}+4 x+3$ .

	$f(x)=x^{2}+4 x+3$
Vamos $f(x)=0$ .	$\color{red}0\color{black}=x^{2}+4 x+3$
Factor.	$0=(x+1)(x+3)$
Utilice la Propiedad de Producto Cero.	$x+1=0 \quad x+3=0$
Resolver.	$x=-1 \quad x=-3$
	Los $x$ -interceptos son $(-1,0)$ y $(-3,0)$ .

Ahora encontraremos las $x$ -intercepciones de la parábola cuya función es $f(x)=-x^{2}+4 x+3$ .

	$f(x)=-x^{2}+4 x+3$
Vamos $f(x)=0$ .	$\color{red}0 \color{black}=-x^{2}+4 x+3$
Esta cuadrática no factoriza, por lo que utilizamos la Fórmula Cuadrática.	$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$a=-1, b=4, c=3$	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4(-1)(3)}}{2(-1)}$
Simplificar.	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{28}}{-2}$
	$x=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{7}}{-2}$
	$x=\frac{-2(2 \pm \sqrt{7})}{-2}$
	$x=2 \pm \sqrt{7}$
	Los $x$ -interceptos son $(2+\sqrt{7}, 0)$ y $(2-\sqrt{7}, 0)$ .

Usaremos las aproximaciones decimales de las $x$ -intercepciones, para que podamos ubicar estos puntos en la gráfica,

$(2+\sqrt{7}, 0) \approx(4.6,0) \quad(2-\sqrt{7}, 0) \approx(-0.6,0)$

¿Estos resultados concuerdan con nuestras gráficas? Ver Figura 9.6.34

Esta imagen muestra 2 gráficas lado a lado. La gráfica de la izquierda muestra la parábola de apertura hacia arriba definida por la función f de x es igual a x cuadrado más 4 x más 3 y una línea vertical discontinua, x es igual a negativo 2, graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (negativo 2, negativo 1). La intercepción y es (0, 3) y las intercepciones x son (negativas 1, 0) y (negativas 3, 0). La gráfica de la derecha muestra la parábola de apertura hacia abajo definida por la función f de x es igual a negativo x cuadrado más 4 x más 3 y una línea vertical discontinua, x es igual a 2, graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (2, 7). La intercepción y es (0, 3) y las intercepciones x son (2 más raíz cuadrada 7, 0), aproximadamente (4.6, 0) y (2 menos raíz cuadrada, 0), aproximadamente (negativo 0.6, 0).

Encuentra las intercepciones de una parábola

Para encontrar las intercepciones de una parábola cuya función es $f(x)=a x^{2}+b x+c$ :

$y$ -interceptar

Dejar $x=0$ y resolver para $f(x)$ .

$x$ -intercepta

Deje $f(x)=0$ y resuelva para $x$

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Encuentra las intercepciones de la parábola cuya función es $f(x)=x^{2}-2 x-8$ .

Solución:

Para encontrar la $y$ -intercepción, dejar $x=0$ y resolver para $f(x)$ .	$f(x)=x^{2}-2 x-8$
	$f(0)=\color{red}0\color{black}^{2}-2 \cdot \color{red}0 \color{black}-8$
	$f(0)=-8$
	Cuando $x=0$ , entonces $f(0)=-8$ . El $y$ -intercepto es el punto $(0,-8)$ .
Para encontrar la $x$ -intercepción, dejar $f(x)=0$ y resolver para $x$ .	$f(x)=x^{2}-2 x-8$
	$0=x^{2}-2 x-8$
Resolver factorizando.	$0=(x-4)(x+2)$
	$0=x-4 \quad 0=x+2$
	$4=x \quad-2=x$
	Cuando $f(x)=0$ , entonces $x=4$ o $x=-2$ . Los $x$ -interceptos son los puntos $(4,0)$ y $(-2,0)$ .

Ejercicio $\PageIndex{7}$

Encuentra las intercepciones de la parábola cuya función es $f(x)=x^{2}+2 x-8$ .

Contestar: $y$ -interceptar: $(0,-8) x$ -intercepta $(-4,0),(2,0)$

Ejercicio $\PageIndex{8}$

Encuentra las intercepciones de la parábola cuya función es $f(x)=x^{2}-4 x-12$ .

Contestar: $y$ -interceptar: $(0,-12) x$ -intercepta $(-2,0),(6,0)$

En este capítulo, hemos estado resolviendo ecuaciones cuadráticas de la forma $a x^{2}+b x+c=0$ . Resolvimos $x$ y los resultados fueron las soluciones a la ecuación.

Ahora estamos viendo las funciones cuadráticas de la forma $f(x)=a x^{2}+b x+c$ . Las gráficas de estas funciones son parábolas. Las $x$ - intercepciones de las parábolas ocurren donde $f(x)=0$ .

Por ejemplo:

Ecuación cuadrática

$\begin{aligned}x^{2}-2 x-15 & =0\quad \text{Let}\:f(x)=0 \\ (x-5)(x+3) &=0 \\ x-5=0\:\:x+3 & =0 \\ x=5\:\:\:x&=-3\end{aligned}$

Función cuadrática

$\begin{aligned} f(x) &=x^{2}-2 x-15 \\ 0 &=x^{2}-2 x-15 \\ 0 &=(x-5)(x+3) \\ x-5 &=0 \quad x+3=0 \\ x &=5 \quad x=-3 \\(5,0) & \text { and }(-3,0) \\& x\text { -intercepts } \end{aligned}$

Las soluciones de la función cuadrática son los $x$ valores de las $x$ - intercepciones.

Anteriormente, vimos que las ecuaciones cuadráticas tienen $2, 1$ , o $0$ soluciones. Las gráficas siguientes muestran ejemplos de parábolas para estos tres casos. Dado que las soluciones de las funciones dan las $x$ -intercepciones de las gráficas, el número de $x$ -intercepciones es el mismo que el número de soluciones.

Anteriormente, se utilizó el discriminante para determinar el número de soluciones de una función cuadrática de la forma $a x^{2}+b x+c=0$ . Ahora podemos usar el discriminante para decirnos cuántas $x$ -intercepciones hay en la gráfica.

Esta imagen muestra tres gráficas lado a lado. La gráfica de la izquierda muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El vértice de la parábola se encuentra debajo del eje x y la parábola cruza el eje x en dos puntos diferentes. Si b al cuadrado menos 4 a c es mayor que 0, entonces la ecuación cuadrática a x al cuadrado más b x más c es igual a 0 tiene dos soluciones, y la gráfica de la parábola tiene 2 intercepciones x. La gráfica en el medio muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El vértice de la parábola se encuentra en el eje x, el único punto de intersección entre la parábola y el eje x. Si b al cuadrado menos 4 a c es igual a 0, entonces la ecuación cuadrática a x al cuadrado más b x más c es igual a 0 tiene una solución, y la gráfica de la parábola tiene 1 intercepción x. La gráfica de la derecha muestra una parábola de apertura ascendente graficada en el plano de la coordenada x y. El vértice de la parábola se encuentra por encima del eje x y la parábola no cruza el eje x. Si b al cuadrado menos 4 a c es menor que 0, entonces la ecuación cuadrática a x al cuadrado más b x más c es igual a 0 no tiene soluciones, y la gráfica de la parábola no tiene intercepciones x.

Antes de encontrar los valores de las $x$ -intercepciones, es posible que desee evaluar al discriminante para que sepa cuántas soluciones esperar.

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Encuentra las intercepciones de la parábola para la función $f(x)=5 x^{2}+x+4$ .

Solución:

	$.$
Para encontrar la $y$ -intercepción, dejar $x=0$ y resolver para $f(x)$ .	$.$
	$.$
	Cuando $x=0$ , entonces $f(0)=4$ . El $y$ -intercepto es el punto $(0,4)$ .
Para encontrar la $x$ -intercepción, dejar $f(x)=0$ y resolver para $x$ .	$.$
	$.$
Encontrar el valor del discriminante para predecir el número de soluciones que es también el número de $x$ -intercepciones.
$\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {1^{2}-4 \cdot 5 \cdot 4} \\ {1-80} \\ {-79}\end{array}$
	Dado que el valor del discriminante es negativo, no hay una solución real a la ecuación. No hay $x$ -intercepciones.

Ejercicio $\PageIndex{9}$

Encuentra las intercepciones de la parábola cuya función es $f(x)=3 x^{2}+4 x+4$ .

Contestar: $y$ -interceptar: $(0,4)$ no $x$ -interceptar

Ejercicio $\PageIndex{10}$

Encuentra las intercepciones de la parábola cuya función es $f(x)=x^{2}-4 x-5$

Contestar: $y$ -interceptar: $(0,-5)$ $x$ -intercepta $(-1,0),(5,0)$

Gráfica funciones cuadráticas usando propiedades

Ahora tenemos todas las piezas que necesitamos para poder graficar una función cuadrática. Sólo tenemos que juntarlos. En el siguiente ejemplo veremos cómo hacer esto.

Ejemplo $\PageIndex{6}$ How to Graph a Quadratic Function Using Properties

$f(x)=x^{2}-6x+8$ Gráfica usando sus propiedades.

Solución:

Paso 1: Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.	Mira $a$ en la ecuación $f(x)=x^{2}-6x+8$ Como $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.	$f(x)=x^{2}-6x+8$ $\color{red}{a=1, b=-6, c=8}$ La parábola se abre hacia arriba.
Paso 2: Encuentra el eje de simetría.	$f(x)=x^{2}-6x+8$ El eje de simetría es la línea $x=-\frac{b}{2 a}$ .	Eje de simetría $x=-\frac{b}{2 a}$ $x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}$ $x=3$ El eje de simetría es la línea $x=3$ .
Paso 3: Encuentra el vértice.	El vértice está en el eje de simetría. Sustituir $x=3$ a la función.	Vertex $f(x)=x^{2}-6x+8$ $f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8$ $f(3)=-1$ El vértice es $(3,-1)$ .
Paso 4: Encuentra la $y$ -intercepción. Encuentra el punto simétrico a la $y$ -intercepción a través del eje de simetría.	Nos encontramos $f(0)$ . Utilizamos el eje de simetría para encontrar un punto simétrico a la $y$ -intercepción. La $y$ -intercepción es $3$ unidades a la izquierda del eje de simetría, $x=3$ . A $3$ unidades de punto a la derecha del eje de simetría tiene $x=6$ .	$y$ -interceptar $f(x)=x^{2}-6 x+8$ $f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8$ $f(0)=8$ El $y$ -intercepto es $(0,8)$ . Punto simétrico a $y$ -intercepción: El punto es $(6,8)$ .
Paso 5: Encuentra las $x$ -intercepciones. Encuentra puntos adicionales si es necesario.	Resolvemos $f(x)=0$ . Podemos resolver esta ecuación cuadrática factorizando.	$x$ -intercepta $f(x)=x^{2}-6 x+8$ $\color{red}{0}\color{black}{=}x^{2}-6x+8$ $\color{red}{0}\color{black}{=}(x-2)(x-4)$ $x=2 or x=4$ Los $x$ -interceptos son $(2,0)$ y $(4,0)$ .
Paso 6: Grafica la parábola.	Gráficamos el vértice, las intercepciones y el punto simétrico a la $y$ -intercepción. Conectamos estos $5$ puntos para bosquejar la parábola.	$Captura de pantalla (1) .png$

Ejercicio $\PageIndex{11}$

$f(x)=x^{2}+2x-8$ Gráfica usando sus propiedades.

Contestar: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. El eje de simetría, x es igual a negativo 1, se grafica como una línea discontinua. La parábola tiene un vértice en (negativo 1, negativo 9). La intercepción y de la parábola es el punto (0, negativo 8). Las intercepciones x de la parábola son los puntos (negativo 4, 0) y (4, 0).$

Ejercicio $\PageIndex{12}$

$f(x)=x^{2}-8x+12$ Gráfica usando sus propiedades.

Contestar: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 15. El eje de simetría, x es igual a 4, se grafica como una línea discontinua. La parábola tiene un vértice en (4, negativo 4). La intercepción y de la parábola es el punto (0, 12). Las intercepciones x de la parábola son los puntos (2, 0) y (6, 0).$

Aquí enumeramos los pasos a seguir para graficar una función cuadrática.

Para graficar una función cuadrática mediante propiedades

Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
Encuentra la ecuación del eje de simetría.
Encuentra el vértice.
Encuentra la $y$ -intercepción. Encuentra el punto simétrico a la $y$ -intercepción a través del eje de simetría.
Encuentra las $x$ -intercepciones. Encuentra puntos adicionales si es necesario.
Grafica la parábola.

Pudimos encontrar las $x$ -intercepciones en el último ejemplo factorizando. Encontramos las $x$ -intercepciones en el siguiente ejemplo factorizando, también.

Ejemplo $\PageIndex{7}$

$f(x)=-x^{2}+6 x-9$ Gráfica usando sus propiedades.

Solución:

	$.$
Ya que $a$ es $-1$ , la parábola se abre hacia abajo.
	$.$
Para encontrar la ecuación del eje de simetría, utilice $x=-\frac{b}{2 a}$ .	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{6}{2(-1)}$
	$x=3$
	El eje de simetría es $x=3$ . El vértice está en la línea $x=3$ .
	$.$
Encuentra $f(3)$ .	$f(x)=-x^{2}+6 x-9$
	$.$
	$f(3)=-9+18-9$
	$f(3)=0$
	El vértice es $(3,0)$ .
	$.$
La $y$ -intercepción ocurre cuando $x=0$ . Encuentra $f(0)$ .	$f(x)=-x^{2}+6 x-9$
Sustituto $x=0$ .	$.$
Simplificar.	$f(0)=-9$
El punto $(0,-9)$ está a tres unidades a la izquierda de la línea de simetría. El punto tres unidades a la derecha de la línea de simetría es $(6,-9)$ .	$.$
	Punto simétrico a la $y$ -intercepción es $(6,-9)$
La $x$ -intercepción ocurre cuando $f(x)=0$ .	$.$
Encuentra $f(x)=0$ .	$.$
Factorizar el GCF.	$.$
Facturar el trinomio.	$.$
Resolver para $x$ .	$.$
Conecta los puntos para graficar la parábola.	$.$

Ejercicio $\PageIndex{13}$

$f(x)=3 x^{2}+12 x-12$ Gráfica usando sus propiedades.

Contestar: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 15 a 10. La parábola tiene un vértice en (2, 0). Se traza la intercepción y (0, negativo 12) así como el eje de simetría, x es igual a 2.$

Ejercicio $\PageIndex{14}$

$f(x)=4 x^{2}+24 x+36$ Gráfica usando sus propiedades.

Responder: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 30 a 20. El eje y del plano va de negativo 10 a 40. La parábola tiene un vértice en (negativo 3, 0). Se traza la intercepción y (0, 36) así como el eje de simetría, x es igual a negativo 3.$

Para la gráfica de $f(x)=-x^{2}+6 x-9$ , el vértice y la $x$ -intercepción fueron el mismo punto. ¿Recuerdas cómo el discriminante determina el número de soluciones de una ecuación cuadrática? El discriminante de la ecuación $0=-x^{2}+6x-9$ es $0$ , por lo que sólo hay una solución. Eso significa que solo hay una $x$ intercepción, y es el vértice de la parábola.

¿Cuántas $x$ -intercepciones esperarías ver en la gráfica de $f(x)=x^{2}+4 x+5$ ?

Ejemplo $\PageIndex{8}$

$f(x)=x^{2}+4 x+5$ Gráfica usando sus propiedades.

Solución:

	$.$
Ya que $a$ es $-1$ , la parábola se abre hacia abajo.
	$.$
Para encontrar la ecuación del eje de simetría, utilice $x=-\frac{b}{2 a}$ .	$.$
	$.$
	$.$
	La ecuación del eje de simetría es\ (x=-2).
	$.$
El vértice está en la línea $x=-2$ .
Encuentra $f(x)$ cuándo $x=-2$ .	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
	El vértice es $(-2,1)$ .
	$.$
La $y$ -intercepción ocurre cuando $x=0$ .	$.$
Encuentra $f(0)$ .	$.$
Simplificar.	$.$
	El $y$ -intercepto es $(0,5)$ .
El punto $(-4,5)$ está a dos unidades a la izquierda de la línea de simetría. El punto a unidades a la derecha de la línea de simetría es\ ((0,5)\.	$.$
	Punto simétrico a la $y$ -intercepción es $(-4,5)$ .
La $x$ -intercepción ocurre cuando $f(x)=0$ .	$.$
Encuentra $f(x)=0$ .	$.$
Prueba al discriminante.
	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
Dado que el valor del discriminante es negativo, no hay una solución real y por lo tanto no hay $x$ -intercepción.
Conecta los puntos para graficar la parábola. Es posible que desee elegir dos puntos más para una mayor precisión.	$.$

Ejercicio $\PageIndex{15}$

$f(x)=x^{2}-2 x+3$ Gráfica usando sus propiedades.

Responder: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 2 a 4. El eje y del plano va de negativo 1 a 5. La parábola tiene un vértice en (1, 2). La intercepción y (0, 3) se traza como es la línea de simetría, x es igual a 1.$

Ejercicio $\PageIndex{16}$

$f(x)=-3x^{2}-6 x-4$ Gráfica usando sus propiedades.

Responder: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 4 a 2. El eje y del plano va de negativo 5 a 1. La parábola tiene un vértice en (negativo 1, negativo 2). La intercepción y (0, negativo 4) se traza como es la línea de simetría, x es igual a negativo 1.$

Encontrar la $y$ -intercepción encontrando $f(0)$ es fácil, ¿no? A veces necesitamos usar la Fórmula Cuadrática para encontrar las $x$ -intercepciones.

Ejemplo $\PageIndex{9}$

$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$ Gráfica usando sus propiedades.

Solución:

	$.$
Ya que $a$ es $2$ , la parábola se abre hacia arriba.	$.$
Para encontrar la ecuación del eje de simetría, utilice $x=-\frac{b}{2 a}$ .	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{-4}{2 \cdot 2}$
	$x=1$
	La ecuación del eje de simetría es $x=1$ .
El vértice está en la línea $x=1$ .	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Encuentra $f(1)$ .	$.$
	$f(1)=2-4-3$
	\ (\ f (1) =-5)
	El vértice es $(1,-5)$ .
La $y$ -intercepción ocurre cuando $x=0$ .	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Encuentra $f(0)$ .	$.$
Simplificar.	$f(0)=-3$
	El $y$ -intercepto es $(0,-3)$ .
El punto $(0,-3)$ es una unidad a la izquierda de la línea de simetría.	Punto simétrico a la $y$ -intercepción es $(2,-3)$
El punto una unidad a la derecha de la línea de simetría es $(2,3)$ .
La $x$ -intercepción ocurre cuando $y=0$ .	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Encuentra $f(x)=0$ .	$.$
Usa la Fórmula Cuadrática.	$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
Sustituto en los valores de $a,b$ y $c$ .	$x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}$
Simplificar.	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{4}$
Simplifica dentro del radical.	$x=\frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}$
Simplifica lo radical.	$x=\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$
Factorizar el GCF.	$x=\frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{4}$
Eliminar factores comunes.	$x=\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$
Escribe como dos ecuaciones.	$x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}, \quad x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$
Aproximar los valores.	$x \approx 2.5, \quad x \approx-0.6$
	Los valores aproximados de las $x$ -intercepciones son $(2.5,0)$ y $(-0.6,0)$ .
Grafica la parábola usando los puntos encontrados.	$.$

Ejercicio $\PageIndex{17}$

$f(x)=5 x^{2}+10 x+3$ Gráfica usando sus propiedades.

Responder: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 4 a 4. El eje y del plano va de negativo 4 a 4. El eje de simetría, x es igual a negativo 1, se grafica como una línea discontinua. La parábola tiene un vértice en (negativo 1, negativo 2). La intercepción y de la parábola es el punto (0, 3). Las intercepciones x de la parábola son aproximadamente (negativo 1.6, 0) y (negativo 0.4, 0).$

Ejercicio $\PageIndex{18}$

$f(x)=-3 x^{2}-6 x+5$ Gráfica usando sus propiedades.

Responder: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 10 a 10. El eje y del plano va de negativo 10 a 10. El eje de simetría, x es igual a negativo 1, se grafica como una línea discontinua. La parábola tiene un vértice en (negativo 1, 8). La intercepción y de la parábola es el punto (0, 5). Las intercepciones x de la parábola son aproximadamente (negativo 2.6, 0) y (0.6, 0).$

Resolver aplicaciones máximas y mínimas

Saber que el vértice de una parábola es el punto más bajo o más alto de la parábola nos da una manera fácil de determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática. La coordenada y del vértice es el valor mínimo de una parábola que se abre hacia arriba. Es el valor máximo de una parábola que se abre hacia abajo. Ver Figura 9.6.124.

Esta figura muestra 2 gráficas una al lado de la otra. La gráfica izquierda muestra una parábola de apertura hacia abajo trazada en el plano x y. Una flecha apunta al vértice con el máximo de etiqueta. La gráfica derecha muestra una parábola de apertura hacia arriba trazada en el plano x y. Una flecha apunta al vértice con el mínimo de etiqueta. — Figura 9.6.124

Valores mínimos o máximos de una función cuadrática

La coordenada y del vértice de la gráfica de una función cuadrática es la

valor mínimo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia arriba.
valor máximo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo $\PageIndex{10}$

Encuentra el valor mínimo o máximo de la función cuadrática $f(x)=x^{2}+2 x-8$ .

Solución:

	$f(x)=x^{2}+2 x-8$
Como $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba. La ecuación cuadrática tiene un mínimo.
Encuentra la ecuación del eje de simetría.	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{2}{2 \times 1}$
	$x=-1$
	La ecuación del eje de simetría es $x=-1$ .
El vértice está en la línea $x=-1$ .	$f(x)=x^{2}+2 x-8$
Encuentra $f(-1)$ .	$.$
	$f(-1)=1-2-8$
	$f(-1)=-9$
	El vértice es $(-1,-9)$ .
Dado que la parábola tiene un mínimo, la $y$ coordenada -del vértice es el $y$ valor mínimo de la ecuación cuadrática. El valor mínimo de la cuadrática es $-9$ y ocurre cuando $x=-1$ .
	$.$

Mostrar la gráfica para verificar el resultado.

Ejercicio $\PageIndex{19}$

Encuentra el valor máximo o mínimo de la función cuadrática $f(x)=x^{2}-8 x+12$ .

Responder: El valor mínimo de la función cuadrática es $−4$ y ocurre cuando $x=4$ .

Ejercicio $\PageIndex{20}$

Encuentra el valor máximo o mínimo de la función cuadrática $f(x)=-4 x^{2}+16 x-11$ .

Responder: El valor máximo de la función cuadrática es $5$ y ocurre cuando $x=2$ .

Hemos utilizado la fórmula

$h(t)=-16 t^{2}+v_{0} t+h_{0}$

para calcular la altura en pies, $h$ , de un objeto disparado hacia arriba al aire con velocidad inicial, $v_{0}$ , después de $t$ segundos.

Esta fórmula es una función cuadrática, por lo que su gráfica es una parábola. Al resolver para las coordenadas del vértice $(t,h)$ , podemos encontrar cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar su altura máxima. Entonces podemos calcular la altura máxima.

Ejemplo $\PageIndex{11}$

La ecuación cuadrática $h(t)=-16 t^{2}+176 t+4$ modela la altura de un golpe de voleibol recto hacia arriba con velocidad $176$ pies por segundo desde una altura de $4$ pies.

¿Cuántos segundos tardará el voleibol en alcanzar su máxima altura?
Encuentra la altura máxima del voleibol.

Solución:

$h(t)=-16 t^{2}+176 t+4$

Como $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo. La función cuadrática tiene un máximo.

a. Encuentra la ecuación del eje de simetría.

$\begin{array}{l}{t=-\frac{b}{2 a}} \\ {t=-\frac{176}{2(-16)}} \\ {t=5.5}\end{array}$

La ecuación del eje de simetría es $t=5.5$ .

El vértice está en la línea $t=5.5$ .

El máximo ocurre cuando los $t=5.5$ segundos.

b. Encontrar $h(5.5)$ .

$\begin{array}{l}{h(t)=-16 t^{2}+176 t+4} \\ {h(t)=-16(5.5)^{2}+176(5.5)+4}\end{array}$

Use una calculadora para simplificar.

$h(t)=488$

El vértice es $(5.5,488)$ .

Dado que la parábola tiene un máximo, la $h$ coordenada -del vértice es el valor máximo de la función cuadrática.

El valor máximo de la cuadrática es $488$ pies y ocurre cuando $t=5.5$ segundos.

Después de $5.5$ segundos, el voleibol alcanzará su máxima altura de $488$ pies.

Ejercicio $\PageIndex{21}$

Resuelve, redondeando las respuestas a la décima más cercana.

La función cuadrática $h(t)=-16 t^{2}+128 t+32$ se utiliza para encontrar la altura de una piedra lanzada hacia arriba desde una altura de $32$ pies a una velocidad de $128$ pies/seg. ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en alcanzar su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima?

Responder: Tomará $4$ segundos para que la piedra alcance su altura máxima de $288$ pies.

Ejercicio $\PageIndex{22}$

Un camino de un cohete de juguete lanzado hacia arriba desde el suelo a una velocidad de $208$ pies/seg es modelado por la función cuadrática de $h(t)=-16 t^{2}+208 t$ . ¿Cuándo alcanzará el cohete su altura máxima? ¿Cuál será la altura máxima?

Responder: El cohete tardará $6.5$ segundos en alcanzar su altura máxima de $676$ pies.

Conceptos clave

Orientación Parábola
- Para la gráfica de la función cuadrática $f(x)=a x^{2}+b x+c$ , si
  - $a>0$ , la parábola se abre hacia arriba.
  - $a<0$ , la parábola se abre hacia abajo.
Eje de simetría y vértice de una parábola La gráfica de la función $f(x)=a x^{2}+b x+c$ es una parábola donde:
- el eje de simetría es la línea vertical $x=-\frac{b}{2 a}$ .
- el vértice es un punto en el eje de simetría, por lo que su $x$ coordenada es $-\frac{b}{2 a}$ .
- la $y$ coordenada -del vértice se encuentra sustituyendo $x=-\frac{b}{2 a}$ en la ecuación cuadrática.
Encuentra las intercepciones de una parábola
- Para encontrar las intercepciones de una parábola cuya función es $f(x)=a x^{2}+b x+c$ :
  - $y$ -interceptar
    - Dejar $x=0$ y resolver para $f(x)$ .
  - $x$ -intercepta
    - Deje$f(x)=0$ y resuelva para $x$ .
Cómo graficar una función cuadrática usando propiedades.
1. Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
2. Encuentra la ecuación del eje de simetría.
3. Encuentra el vértice.
4. Encuentra la $y$ -intercepción. Encuentra el punto simétrico a la intercepción y a través del eje de simetría.
5. Encuentra las $x$ -intercepciones. Encuentra puntos adicionales si es necesario.
6. Grafica la parábola.
Valores mínimos o máximos de una ecuación cuadrática
- La $y$ coordenada -del vértice de la gráfica de una ecuación cuadrática es la
- valor mínimo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia arriba.
- valor máximo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia abajo.

Glosario

función cuadrática: Una función cuadrática, donde $a, b$ , y $c$ son números reales y $a≠0$ , es una función de la forma $f(x)=ax^{2}+bx+c$ .

Objetivos de aprendizaje

Reconocer la Gráfica de una Función Cuadrática

Definición9.7.1\PageIndex{1}

Ejemplo9.7.1\PageIndex{1}

Ejercicio9.7.1\PageIndex{1}

Ejercicio9.7.2\PageIndex{2}

Definición9.7.2\PageIndex{2}

Ejemplo9.7.2\PageIndex{2}

Ejercicio9.7.3\PageIndex{3}

Ejercicio9.7.4\PageIndex{4}

Encuentra el eje de simetría y vértice de una parábola

Eje de simetría y vértice de una parábola

Ejemplo9.7.3\PageIndex{3}

Ejercicio9.7.5\PageIndex{5}

Ejercicio9.7.6\PageIndex{6}

Encuentra las intercepciones de una parábola

Encuentra las intercepciones de una parábola

Ejemplo9.7.4\PageIndex{4}

Ejercicio9.7.7\PageIndex{7}

Ejercicio9.7.8\PageIndex{8}

Ejemplo9.7.5\PageIndex{5}

Ejercicio9.7.9\PageIndex{9}

Ejercicio9.7.10\PageIndex{10}

Gráfica funciones cuadráticas usando propiedades

Ejemplo9.7.6\PageIndex{6} How to Graph a Quadratic Function Using Properties

Ejercicio9.7.11\PageIndex{11}

Ejercicio9.7.12\PageIndex{12}

Para graficar una función cuadrática mediante propiedades

Ejemplo9.7.7\PageIndex{7}

Ejercicio9.7.13\PageIndex{13}

Ejercicio9.7.14\PageIndex{14}

Ejemplo9.7.8\PageIndex{8}

Ejercicio9.7.15\PageIndex{15}

Ejercicio9.7.16\PageIndex{16}

Ejemplo9.7.9\PageIndex{9}

Ejercicio9.7.17\PageIndex{17}

Ejercicio9.7.18\PageIndex{18}

Resolver aplicaciones máximas y mínimas

Valores mínimos o máximos de una función cuadrática

Ejemplo9.7.10\PageIndex{10}

Ejercicio9.7.19\PageIndex{19}

Ejercicio9.7.20\PageIndex{20}

Ejemplo9.7.11\PageIndex{11}

Ejercicio9.7.21\PageIndex{21}

Ejercicio9.7.22\PageIndex{22}

Conceptos clave

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Ejercicio $\PageIndex{21}$

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