1.3: Usar el lenguaje del álgebra
- Page ID
- 110426
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Al final de esta sección, podrás:
- Usar variables y símbolos algebraicos
- Simplificar las expresiones usando el orden de las operaciones
- Evaluar una expresión
- Identificar y combinar términos similares
- Traducir una frase en inglés a una expresión algebraica
Usar variables y símbolos algebraicos
Supongamos que este año Greg tiene\(20\) años y Alex es\(23\). Sabes que Alex es\(3\) años mayor que Greg. Cuando Greg estaba\(12\), Alex lo estaba\(15\). Cuando Greg lo esté\(35\), Alex lo estará\(38\). No importa cuál sea la edad de Greg, la edad de Alex siempre será 3 años más, ¿verdad? En el lenguaje del álgebra, decimos que la edad de Greg y la edad de Alex son variables y la\(3\) es una constante. Las edades cambian (“varían”) pero los\(3\) años entre ellas siempre se mantienen iguales (“constantes”). Dado que la edad de Greg y la edad de Alex siempre diferirán por\(3\) años,\(3\) es la constante. En álgebra, utilizamos letras del alfabeto para representar variables. Entonces, si llamamos a la edad de Greg\(g\), entonces podríamos usar\(g + 3g + 3\) para representar la edad de Alex. Ver Tabla\(\PageIndex{1}\).
| La edad de Greg | La edad de Alex |
|---|---|
| \(12\) | \(15\) |
| \(20\) | \(23\) |
| \(35\) | \(38\) |
| \(g\) | \(g+3\) |
Las letras utilizadas para representar estas edades cambiantes se denominan variables. Las letras más utilizadas para las variables son\(x, y, a, b,\) y\(c\).
Una variable es una letra que representa un número cuyo valor puede cambiar.
Una constante es un número cuyo valor siempre permanece igual.
Para escribir algebraicamente, necesitamos algunos símbolos de operación así como números y variables. Hay varios tipos de símbolos que vamos a utilizar.
Existen cuatro operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. A continuación enumeraremos los símbolos utilizados para indicar estas operaciones (Tabla\(\PageIndex{2}\)). Probablemente reconocerás algunos de ellos. \(\require{enclose}\)
| Operación | Notación | Decir: | El resultado es... |
|---|---|---|---|
| Adición | \(a+b\) | \(a\)más\(b\) | la suma de\(a\) y\(b\) |
| Resta | \(a−b\) | \(a\)menos\(b\) | la diferencia de\(a\) y\(b\) |
| Multiplicación | \(a·b,ab,(a)(b),(a)b,a(b)\) | \(a\)tiempos\(b\) | el producto de\(a\) y\(b\) |
| División | \(a\div{b}, a/b,\dfrac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}\) | \(a\)dividido por\(b\) | el cociente de\(a\) y\(b\),\(a\) se llama dividendo, y\(b\) se llama divisor |
Realizamos estas operaciones en dos números. Al traducir de la forma simbólica al inglés, o del inglés a la forma simbólica, preste atención a las palabras “de” y “y”.
- La diferencia de\(9\) y\(2\) significa restar\(9\) y\(2\), en otras palabras,\(9\) menos\(2\), que escribimos simbólicamente como\(9−2\).
- El producto de\(4\) y\(8\) significa multiplicar\(4\) y\(8\), en otras palabras, los\(4\) tiempos\(8\), que escribimos simbólicamente como\(4\cdot 8\).
En álgebra, el símbolo de la cruz\(\times\),, no se utiliza para mostrar la multiplicación porque ese símbolo puede causar confusión. ¿\(3xy\)Significa\(3\times y\) ('tres\(y\) veces') o\(3\cdot x \cdot y\) (tres\(x\) veces\(y\))? Para que quede claro, use\(\cdot\) o paréntesis para multiplicar.
Cuando dos cantidades tienen el mismo valor, decimos que son iguales y las conectamos con un signo igual.
\(a = b\)se lee “\(a\)es igual a\(b\)”
El símbolo\(“=”\) se llama el signo igual.
En la recta numérica, los números se hacen más grandes a medida que van de izquierda a derecha. La línea numérica se puede utilizar para explicar los símbolos\(“<”\) y\(“>"\).
\(a<b\)se lee “\(a\)es menor que\(b\)”
\(a\)está a la izquierda de\(b\) en la línea numérica
\(a>b\)se lee "\(a\)es mayor que\(b\)”
\(a\)está a la derecha de\(b\) en la línea numérica
Las expresiones\(a < b\) o se\(a > b\) pueden leer de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, aunque en inglés solemos leer de izquierda a derecha Tabla\(\PageIndex{3}\). En general,\(a < b\) es equivalente a\(b > a\). Por ejemplo\(7 < 11\) es equivalente a\(11 > 7\). Y\(a > b\) es equivalente a\(b < a\). Por ejemplo\(17 > 4\) es equivalente a\(4 < 17\).
| Símbolos de desigualdad | Palabras |
|---|---|
| \(a \neq b\) | \(a\)no es igual a\(b\) |
| \(a < b\) | \(a\)es menor que\(b\) |
| \(a \leq b\) | \(a\)es menor o igual a\(b\) |
| \(a > b\) | \(a\)es mayor que\(b\) |
| \(a \geq b\) | \(a\)es mayor o no igual a\(b\) |
Traducir de álgebra al Inglés:
- \(17 \leq 26\)
- \(8 \neq 17 - 3\)
- \(12 > 27 \div 3\)
- \(y + 7 < 19\)
- Contestar
-
- \(17 \leq 26\),\(17\) es menor o igual a\(26\)
- \(8 \neq 17 - 3\), no\(8\) es igual a\(17\) menos\(3\)
- \(12 > 27 \div 3\),\(12\) es mayor que\(27\) dividido por\(3\)
- \(y + 7 < 19\),\(y\) más\(7\) es menor que\(19\)
Traducir de álgebra al Inglés:
- \(14 \leq 27\)
- \(19 - 2 \neq 8\)
- \(12 > 4 \div 2\)
- \(x - 7 < 1\)
- Contestar
-
- \(14\)es menor o igual a\(27\)
- \(19\)menos no\(2\) es igual a\(8\)
- \(12\)es mayor que\(4\) dividido por\(2\)
- \(x\)menos\(7\) es menor que\(1\)
Traducir de álgebra al Inglés:
- \(19 \leq 15\)
- \(7 = 12 - 5\)
- \(15 \div 3 < 8\)
- \(y + 3 < 6\)
- Contestar
-
- \(19\)es mayor que o igual a\(15\)
- \(7\)es igual a\(12\) menos\(5\)
- \(15\)dividido por\(3\) es menor que\(8\)
- \(y\)más\(3\) es mayor que\(6\)
Los símbolos de agrupación en álgebra son muy parecidos a las comas, dos puntos y otros signos de puntuación en inglés. Ayudan a dejar claro qué expresiones deben mantenerse juntas y separadas de otras expresiones. Presentaremos tres tipos ahora.
\[\begin{align*} & \text{Parentheses} & & ( ) \\ & \text{Brackets} & & [ ] \\ & \text{Braces} & & \{ \} \end{align*}\]
Aquí hay algunos ejemplos de expresiones que incluyen símbolos de agrupación. Simplificaremos expresiones como estas más adelante en esta sección.
\[8(14−8) \qquad 21−3[2 + 4(9−8)] \qquad 24\div \{ 13−2[1(6−5)+4] \nonumber\}\]
¿Cuál es la diferencia en inglés entre una frase y una oración? Una frase expresa un solo pensamiento que está incompleto por sí mismo, pero una oración hace una declaración completa. “Correr muy rápido” es una frase, pero “El futbolista corría muy rápido” es una frase. Una oración tiene un sujeto y un verbo. En álgebra, tenemos expresiones y ecuaciones.
Una expresión es un número, una variable o una combinación de números y variables que utilizan símbolos de operación.
Una expresión es como una frase en inglés. Aquí hay algunos ejemplos de expresiones:
| Expresión | Palabras | Frase en inglés |
|---|---|---|
| \(3 + 5\) | \(3\)más\(5\) | la suma de tres y cinco |
| \(n − 1\) | \(n\)menos uno | la diferencia de\(n\) y uno |
| \(6\cdot 7\) | \(6\)tiempos\(7\) | el producto de seis y siete |
| \(\dfrac{x}{y}\) | \(x\)dividido por\(y\) | el cociente de\(x\) y\(y\) |
Observe que las frases en inglés no forman una oración completa porque la frase no tiene verbo. Una ecuación son dos expresiones vinculadas con un signo igual. Cuando lees las palabras que representan los símbolos en una ecuación, tienes una oración completa en inglés. El signo igual da el verbo.
Una ecuación son dos expresiones conectadas por un signo igual.
Aquí hay algunos ejemplos de ecuaciones.
| Ecuación | Sentencia en inglés |
|---|---|
| \(3+5=8\) | la suma de tres y cinco es igual a ocho |
| \(n−1=14\) | \(n\)menos uno es igual a catorce |
| \(6 \cdot 7=42\) | El producto de seis ans siete es igual a cuarenta y dos |
| \(x=53\) | \(x\)es igual a cincuenta y tres |
| \(y+9=2y−3\) | \(y\)más nueve es igual a dos\(y\) menos tres |
Determina si cada uno es una expresión o una ecuación:
- \(2(x + 3) = 10\)
- \(4(y - 1) + 1\)
- \(x \div 25\)
- \(y + 8 = 40\)
- Contestar
-
- \(2(x + 3) = 10\). Esta es una ecuación — dos expresiones están conectadas con un signo igual.
- \(4(y - 1) + 1\). Esta es una expresión —no hay signo igual.
- \(x \div 25\). Esta es una expresión —no hay signo igual.
- \(y + 8 = 40\). Esta es una ecuación — dos expresiones están conectadas con un signo igual.
Determina si cada uno es una expresión o una ecuación:
- \(3(x - 7) = 27\)
- \(5(4y - 2) - 7\)
- Contestar
-
- ecuación
- expresión
Determina si cada uno es una expresión o una ecuación:
- \(y^{3} \div 14\)
- \(4x - 6 = 22\)
- Contestar
-
- expresión
- ecuación
Supongamos que necesitamos multiplicar nueve factores de\(2\). Podríamos escribir esto como\(2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\). Esto es tedioso y puede ser difícil hacer un seguimiento de todos esos 2s, así que usamos exponentes. Escribimos\(2\cdot 2 \cdot 2\) como\(2^{3}\) y\(2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) como\(2^{9}\). En expresiones como\(2^{3}\), el\(2\) se llama la base y el\(3\) se llama el exponente. El exponente nos dice cuántas veces necesitamos multiplicar la base.
Leemos\(2^{3}\) como “dos al tercer poder” o “dos en cubos”.
Decimos que\(2^{3}\) está en notación exponencial y\(2\cdot 2 \cdot 2\) está en notación expandida.
\(a^{n}\)significa el producto de\(n\) factores de\(a\).
La expresión\(a^{n}\) se lee\(a\) al\(n^{th}\) poder.
Si bien leemos\(a^{n}\) como “\(a\)al\(n^{th}\) poder”, solemos leer:
- \(a^{2}\)“un cuadrado”
- \(a^{3}\)“un cubo”
Veremos más adelante por qué\(a^{2}\) y\(a^{3}\) tenemos nombres especiales.
\(\PageIndex{6}\)La tabla muestra cómo leemos algunas expresiones con exponentes.
| Expresión | En palabras |
|---|---|
| \(7^{2}\) | \(7\)a la segunda potencia o\(7\) al cuadrado |
| \(5^{3}\) | \(5\)a la tercera potencia o en\(5\) cubos |
| \(9^{4}\) | \(9\)a la cuarta potencia |
| \(12^{5}\) | \(12\)a la quinta potencia |
Simplificar:\(3^{4}\)
- Contestar
-
\[\quad 3^{4}\nonumber\]
\ [\ begin {align*} & Expande la expresión & & 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\\ [5pt]
&\ text {Multiplicar de izquierda a derecha} & & 9\ cdot 3\ cdot 3\\ [5pt]
&\ text {Multiplicar} & 27\ cdot 3\ [5pt]
&\ text {Multiplicar} & & 81\ end {alinear*}\]
Simplificar:
- \(5^{3}\)
- \(1^{7}\)
- Contestar
-
- \(125\)
- \(1\)
- \(7^{2}\)
- \(0^{5}\)
- Contestar
-
- \(49\)
- \(0\)
Simplificar las expresiones usando el orden de las operaciones
Simplificar una expresión significa hacer todas las matemáticas posibles. Por ejemplo, para simplificar primero\(4\cdot 2 + 1\) multiplicaríamos\(4\cdot 2\) para obtener\(8\) y luego agregaríamos el\(1\) para obtener\(9\). Un buen hábito para desarrollar es trabajar abajo de página, escribiendo cada paso del proceso por debajo del paso anterior. El ejemplo que acabamos de describir se vería así:
\[4\cdot 2 + 1\nonumber\]
\[8 + 1\nonumber\]
\[9\nonumber\]
Al no usar un signo igual al simplificar una expresión, puede evitar confundir expresiones con ecuaciones.
Para simplificar una expresión, realice todas las operaciones en la expresión.
Hemos introducido la mayoría de los símbolos y notación utilizados en álgebra, pero ahora necesitamos aclarar el orden de las operaciones. De lo contrario, las expresiones pueden tener diferentes significados, y pueden dar como resultado valores diferentes. Por ejemplo, considere la expresión:
\[4 + 3\cdot 7\nonumber\]
Si simplificas esta expresión, ¿qué obtienes?
Algunos estudiantes dicen:\(49\)
\[4 + 3\cdot 7\nonumber\]
Ya que\(4+3\) da\(7\).
\[7 \cdot 7\nonumber\]
Y\(7\cdot 7\) es\(49\)\[49\nonumber\]
Otros dicen:\(25\)
\[4 + 3\cdot 7\nonumber\]
Ya que\(3\cdot 7\) es\(21\).
\[4 + 21\nonumber\]
Y\(21 + 4\) hace\(25\).
\[25\nonumber\]
¡Imagina la confusión en nuestro sistema bancario si cada problema tuviera varias respuestas correctas diferentes!
La misma expresión debería dar el mismo resultado. Por lo que los matemáticos desde el principio establecieron algunos lineamientos que se llaman el Orden de Operaciones.
- Paréntesis y otros símbolos de agrupación
- Simplifica todas las expresiones dentro de los paréntesis u otros símbolos de agrupación, trabajando primero en los paréntesis más internos.
- Exponentes
- Simplifica todas las expresiones con exponentes.
- Multiplicación y división
- Realiza toda la multiplicación y división en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen igual prioridad.
- Suma y resta
- Realizar todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen igual prioridad.
Hacer la actividad de Matemáticas Manipulativas “Juego de 24” te dará práctica usando el orden de las operaciones.
Los estudiantes a menudo preguntan: “¿Cómo voy a recordar el orden?” Aquí hay una manera de ayudarte a recordar: Toma la primera letra de cada palabra clave y sustituye la tonta frase: “Por favor, disculpe a mi querida tía Sally”.
\ [\ begin {align*} &\ textbf {P}\ text {arentheses} & &\ textbf {P}\ text {lease}\\ [5pt]
&\ textbf {E}\ text {xponents} &\ textbf {E}\ text {xcuse}\\ [5pt]
&\ textbf {M}\ texto {ultiplicación}\ espacio\ textbf {D}\ texto {ivision} &\ textbf {M}\ texto {y}\ espacio\ textbf {D}\ texto {oreja}\\ [5pt]
&\ textbf {A}\ texto {ddition}\ espacio\ textbf {S}\ texto {ubtracción} & &\ textbf {A}\ texto {unt}\ espacio\ textbf {S}\ texto {aliado}\ end {align*}\]
Es bueno que “\(\textbf{M}\text{y}\space\textbf{D}\text{ear}\)” vaya de la mano, ya que esto nos recuerda que m ultiplicación y d ivisión tienen igual prioridad. No siempre hacemos multiplicación antes de la división o siempre hacemos división antes de multiplicar. Los hacemos en orden de izquierda a derecha.
De igual manera, “\(\textbf{A}\text{unt}\space\textbf{S}\text{ally}\)” va de la mano y así nos recuerda que una ddición y una sustracción también tienen igual prioridad y las hacemos en orden de izquierda a derecha.
Vamos a probar un ejemplo.
Simplificar:
- \(4 + 3\cdot 7\)
- \((4 + 3)\cdot 7\)
- Contestar
- 1.
\(4 + 3 \cdot 7\) ¿Hay alguna p arentesis? No. ¿Hay algunos ejemplos? No. ¿Hay alguna m ultiplicación o d ivisión? Sí. Multiplicar primero. \(4 + {\color{red}{3 \cdot 7}}\) Agregar. \(4+21\) \(25\) 2.
\((4 + 3)\cdot 7\) ¿Hay alguna p arentesis? Sí. \({\color{red}{(4 + 3)}}\cdot 7\) Simplifica dentro de los paréntesis. \(({\color{red}{7}})7\) ¿Hay algunos ejemplos? No. ¿Hay alguna m ultiplicación o d ivisión? Sí. Multiplicar. \(49\)
Simplificar:
- \(12 - 5\cdot 2\)
- \((12 - 5)\cdot 2\)
- Contestar
-
- \(2\)
- \(14\)
Simplificar:
- \(8 + 3\cdot 9\)
- \((8 + 3)\cdot 9\)
- Contestar
-
- \(35\)
- \(99\)
Simplificar:\(18\div 6 + 4(5 - 2)\)
- Contestar
-
¿Paréntesis? Sí, restar primero. \(18\div 6 + 4(5 - 2)\)
\(18\div 6 + 4(3)\)¿Exponentes? No. ¿Multiplicación o división? Sí. \({\color{red}{18\div 6}} + {\color{red}{4(3)}}\) Dividir primero porque multiplicamos y dividimos de izquierda a derecha. \(3+{\color{red}{4(3)}}\) ¿Alguna otra multiplicación o división? Sí. Multiplicar. \(3 + 12\) ¿Alguna otra multiplicación o división? No. ¿Alguna suma o resta? Sí. \(15\)
Simplificar:\(30\div 5 + 10(3 - 2)\)
- Contestar
-
\(16\)
Simplificar:\(70\div 10 + 4(6 - 2)\)
- Contestar
-
\(23\)
Cuando hay múltiples símbolos de agrupación, simplificamos primero los paréntesis más internos y trabajamos hacia afuera.
Simplificar:\(5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]\).
- Contestar
-
\(5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]\) ¿Hay paréntesis (u otro símbolo de agrupación)? Sí. Enfócate en los paréntesis que están dentro de los corchetes. \(5 + 2^{3} + 3[6 - 3{\color{red}{(4 - 2)}}]\) Restar. \(5 + 2^{3} + 3[6 - {\color{red}{3(2)}}]\) Continuar dentro de los corchetes y multiplicar. \(5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{6 - 6}}]\) Continuar dentro de los corchetes y restar. \(5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{0}}]\) La expresión dentro de los corchetes no requiere más simplificación. ¿Hay exponentes? Sí. \(5 + {\color{red}{2^{3}}}+ 3[0]\) Simplifica los exponentes. \(5 + 8 + {\color{red}{3[0]}}\) ¿Hay alguna multiplicación o división? Sí. Multiplicar. \({\color{red}{5 + 8}}+0\) ¿Hay alguna suma o resta? Sí. Agregar. \({\color{red}{13 + 0}}\) Agregar. \(13\)
Simplificar:\(9 + 5^{3} - [4(9 + 3)]\).
- Contestar
-
\(86\)
Simplificar:\(7^{2} - 2[4(5 + 1)]\).
- Contestar
-
\(1\)
Evaluar una expresión
En los últimos ejemplos, simplificamos las expresiones usando el orden de las operaciones. Ahora evaluaremos algunas expresiones, nuevamente siguiendo el orden de las operaciones. Evaluar una expresión significa encontrar el valor de la expresión cuando la variable es reemplazada por un número dado.
Evaluar una expresión significa encontrar el valor de la expresión cuando la variable es reemplazada por un número dado.
Para evaluar una expresión, sustituya ese número por la variable en la expresión y luego simplifique la expresión.
Evaluar\(7x - 4\), cuando
- \(x = 5\)
- \(x = 1\)
- Contestar
-
1.
cuando\(x = {\color{red}{5}}\) \(7x - 4\) \(7({\color{red}{5}}) - 4\) Multiplicar. \(35 - 4\) Restar. \(31\) 2.
cuando\(x = {\color{red}{1}}\) \(7x - 4\) \(7({\color{red}{1}}) - 4\) Multiplicar. \(7 - 4\) Restar. \(3\)
Evaluar\(8x - 3\), cuando
- \(x = 2\)
- \(x = 1\)
- Contestar
-
- \(13\)
- \(5\)
Evaluar\(4y - 4\), cuando
- \(y = 3\)
- \(y = 5\)
- Contestar
-
- \(8\)
- \(16\)
Evaluar\(x = 4\), cuando
- \(x^{2}\)
- \(3^{x}\)
- Contestar
-
1.
\(x^{2}\) Reemplazar\(x\) con\({\color{red}{4}}\). \(({\color{red}{4}})^{2}\) Usar definición de exponente. \(4\cdot 4\) Simplificar. \(16\) 2.
\(3^{x}\) Reemplazar\(x\) con\({\color{red}{4}}\). \(3^ ParseError: invalid DekiScript (click for details)\)Callstack: at (Matematicas/Algebra/Libro:_Algebra_elemental_(OpenStax)/01:_Fundaciones/1.03:_Usar_el_lenguaje_del_álgebra), /content/body/div[4]/div[5]/div/dl/dd/table[2]/tbody/tr[2]/td[2]/span/span, line 1, column 1Usar definición de exponente. \(3\cdot3\cdot3\cdot3\) Simplificar. \(81\)
Evaluar\(x = 3\), cuando
- \(x^{2}\)
- \(4^{x}\)
- Contestar
-
- \(9\)
- \(64\)
Evaluar\(x = 6\), cuando
- \(x^{3}\)
- \(2^{x}\)
- Contestar
-
- \(216\)
- \(64\)
Evaluar\(2x^{2} + 3x + 8\) cuándo\(x = 4\).
- Contestar
-
\(2x^{2} + 3x + 8\) Sustituto\(x = {\color{red}{4}}\). \(\small{2x^{2} + 3x + 8}\)
\(2({\color{red}{4}})^{2} + 3({\color{red}{4}}) + 8\)Seguir el orden de las operaciones. \(2(16)+3(4)+8\) \(32+12+8\) \(52\)
Evaluar\(3x^{2} + 4x + 1\) cuándo\(x = 3\).
- Contestar
-
\(40\)
Evaluar\(6x^{2} - 4x - 7\) cuándo\(x = 2\).
- Contestar
-
\(9\)
Identificar y combinar términos similares
Las expresiones algebraicas están compuestas por términos. Un término es una constante, o el producto de una constante y una o más variables.
Un término es una constante, o el producto de una constante y una o más variables.
Ejemplos de términos son\(7, y, 5x^{2}, 9a\), y\(b^{5}\).
La constante que multiplica la variable se llama coeficiente.
El coeficiente de un término es la constante que multiplica la variable en un término.
Piense en el coeficiente como el número frente a la variable. El coeficiente del término\(3x\) es\(3\). Cuando escribimos\(x\), el coeficiente es\(1\), ya que\(x=1\cdot x\).
Identificar el coeficiente de cada término:
- \(14y\)
- \(15x^{2}\)
- \(a\)
- Contestar
-
- El coeficiente de\(14y\) es\(14\)
- El coeficiente de\(15x^{2}\) es\(15\)
- El coeficiente de\(a\) es\(1\) desde\(a=1a\).
Identificar el coeficiente de cada término:
- \(17x\)
- \(41b^{2}\)
- \(z\)
- Contestar
-
- \(14\)
- \(41\)
- \(1\)
Identificar el coeficiente de cada término:
- \(9p\)
- \(13a^{2}\)
- \(y^{3}\)
- Contestar
-
- \(9\)
- \(13\)
- \(1\)
Algunos términos comparten rasgos comunes. Mira los siguientes 6 términos. ¿Cuáles parecen tener rasgos en común?
\[5x \qquad 7 \qquad n^{2} \qquad 4 \qquad 3x \qquad 9n^{2}\nonumber\]
El\(7\) y el\(4\) son ambos términos constantes.
El\(5x\) y el\(3x\) son ambos términos con\(x\).
El\(n^{2}\) y el\(9n^{2}\) son ambos términos con\(n^{2}\).
Cuando dos términos son constantes o tienen la misma variable y exponente, decimos que son como términos.
- \(7\)y\(4\) son como términos.
- \(5x\)y\(3x\) son como términos.
- \(x^{2}\)y\(9x^{2}\) son como términos.
Los términos que son constantes o tienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias se denominan términos similares.
Identificar los términos similares:\(y^{3},7x^{2}, 14, 23, 4y^{3}, 9x, 5x^{2}\).
- Contestar
-
\(y^{3}\)y\(4y^{3}\) son como términos porque ambos tienen\(y^{3}\); la variable y el exponente coinciden.
\(7x^{2}\)y\(5x^{2}\) son como términos porque ambos tienen\(x^{2}\); la variable y el exponente coinciden.
\(14\)y\(23\) son como términos porque ambos son constantes.
No hay otro término como\(9x\).
Identificar los términos similares:\(9, 2x^{3},y^{2}, 8x^{3}, 15, 9y, 11y^{2}\).
- Contestar
-
\(9\)y\(15\),\(y^{2}\) y\(11y^{2}\),\(2x^{3}\) y\(8x^{3}\)
Identificar los términos similares:\(4x^{3},8x^{2}, 19, 3x^{3}, 24, 6x^{3}\).
- Contestar
-
\(19\)y\(24\),\(8x^{2}\) y\(3x^{2}\),\(4x^{3}\) y\(6x^{3}\)
Identificar los términos en cada expresión.
- \(9x^{2}+7x+12\)
- \(8x+3y\)
- Contestar
-
- Los términos de\(9x^{2}+7x+12\) son\(9x^{2}, 7x\), y\(12\).
- Los términos de\(8x+3y\) son\(8x\) y\(3y\).
Identificar los términos en la expresión\(4x^{2}+5x+17\).
- Contestar
-
\(4x^{2}, 5x, 17\)
Identificar los términos en la expresión\(5x+2y\).
- Contestar
-
\(5x, 2y\)
Si hay términos similares en una expresión, puede simplificar la expresión combinando los términos similares. ¿Qué crees que\(4x+7x+x\) simplificaría? Si pensaras\(12x\), ¡tendrías razón!
\[\begin{array} { c } { 4 x + 7 x + x } \\ { x + x + x + x \quad + x + x + x + x + x + x + x \quad+ x } \\ { 12 x } \end{array}\]
Sumar los coeficientes y mantener la misma variable. No importa qué sea x, si tienes 4 de algo y agregas 7 más de lo mismo y luego agregas 1 más, el resultado son 12 de ellos. Por ejemplo, 4 naranjas más 7 naranjas más 1 naranja son 12 naranjas. Discutiremos las propiedades matemáticas detrás de esto más adelante.
Simplificar:\(4x+7x+x\)
Sumar los coeficientes. \(12x\)
Simplificar:\(2x^{2} + 3x + 7 + x^{2} + 4x + 5\)
- Contestar
-
Simplificar:\(3x^{2} + 7x + 9 + 7x^{2} + 9x + 8\).
- Contestar
-
\(10x^{2}+16x+17\)
Simplificar:\(4y^{2} + 5y + 2 + 8y^{2} + 4y + 5\).
- Contestar
-
\(12y^{2}+9y+7\)
- Identificar términos similares.
- Reorganice la expresión para que los términos estén juntos.
- Sumar o restar los coeficientes y mantener la misma variable para cada grupo de términos similares.
Traducir una frase en inglés a una expresión algebraica
En la última sección, enumeramos muchos símbolos de operación que se utilizan en álgebra, luego traducimos expresiones y ecuaciones a frases y oraciones en inglés. Ahora invertiremos el proceso. Traduciremos frases en inglés a expresiones algebraicas. Los símbolos y variables de los que hemos hablado nos ayudarán a lograrlo. Tabla\(\PageIndex{7}\) los resume.
| Operación | Frase | Expresión |
|---|---|---|
| Adición | \(a\)más\(b\) la suma de\(a\) y\(b\) \(a\) aumentado en\(b\) \(b\) más que\(a\) el total de\(a\) y\(b\) \(b\)agregado a\(a\) |
\[a+b\] |
| Resta | \(a\)menos\(b\) la diferencia de\(a\) y\(b\) \(a\) disminuyó en\(b\) \(b\) menos de\(a\) \(b\) restado de\(a\) |
\[a−b\] |
| Multiplicación | \(a\)veces\(b\) el producto de\(a\) y\(b\) dos veces\(a\) |
\[a\cdot b, ab, a(b), (a)(b)\] \[2a\] |
| División | \(a\)dividido por\(b\) el cociente de\(a\) y\(b\) la proporción de\(a\) y\(b\) \(b\) dividido en\(a\) |
\[a\div b, a/b, \frac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}\] |
Observa de cerca estas frases usando las cuatro operaciones:
Cada frase nos dice que operemos en dos números. Busca las palabras de y y para encontrar los números.
Traduce cada frase en inglés en una expresión algebraica:
- la diferencia de\(17x\) y\(5\)
- el cociente de\(10x^{2}\) y\(7\).
- Contestar
-
- La palabra clave es diferencia, que nos dice que la operación es resta. Busca las palabras de y y t o encuentra los números para restar.
- La palabra clave es “cociente”, que nos dice que la operación es división.
Esto también se puede escribir\(10x^{2}/7\) o\(\dfrac{10x^{2}}{7}\).
- La palabra clave es diferencia, que nos dice que la operación es resta. Busca las palabras de y y t o encuentra los números para restar.
Traduce cada frase en inglés en una expresión algebraica:
- la diferencia de\(14x^{2}\) y\(13\)
- el cociente de\(12x\) y\(2\).
- Contestar
-
- \(14x^{2} - 13\)
- \(12x \div 2\)
Traduce cada frase en inglés en una expresión algebraica:
- la suma de\(17y^{2}\) y\(19\)
- el producto de\(7\) y\(y\).
- Contestar
-
- \(17y^{2} + 19\)
- \(7y\)
¿Cuántos años vas a tener en ocho años? ¿Qué edad es ahora ocho años más que tu edad? ¿Agregaste 8 a tu edad actual? Ocho “más que” significa 8 agregados a tu edad actual. ¿Cuántos años tenía hace siete años? Esto es 7 años menos que tu edad ahora. Restas 7 de tu edad actual. Siete “menos que” significa 7 restados de su edad actual.
Traducir la frase en inglés en una expresión algebraica:
- Diecisiete más de\(y\)
- Nueve menos que\(9x^{2}\).
- Contestar
-
- Las palabras clave son más que. Nos dicen que la operación es suma. Más que significa “agregado a”.
\(\begin{array} { c } { \text { Seventeen more than } y } \\ { \text { Seventeen added to } y } \\ { y + 17 } \end{array}\)
- Las palabras clave son menores que. Nos dicen que restemos. Menos que significa “restado de”.
\(\begin{array} { c } { \text { Nine less than } 9 x ^ { 2 } } \\ { \text { Nine subtracted from } 9 x ^ { 2 } } \\ { 9 x ^ { 2 } - 9 } \end{array}\)
- Las palabras clave son más que. Nos dicen que la operación es suma. Más que significa “agregado a”.
Traducir la frase en inglés en una expresión algebraica:
- Once más que x
- Catorce menos que\(11a\).
- Contestar
-
- \(x+11\)
- \(11a−14\)
Traducir la frase en inglés en una expresión algebraica:
- \(13\)más de\(z\)
- \(18\)menos de\(8x\).
- Contestar
-
1. \(z+13\)
2. \(8x−18\)
Traducir la frase en inglés en una expresión algebraica:
- cinco veces la suma de\(m\) y\(n\)
- la suma de cinco veces\(m\) y\(n\).
- Contestar
-
Hay dos palabras de operación: los tiempos nos dicen que nos multipliquemos y la suma nos dice que agreguemos.
1. Porque estamos\(5\) multiplicando por la suma necesitamos paréntesis alrededor de la suma de\(m\) y\(n\),\((m+n)\). Esto nos obliga a determinar primero la suma. (Recordar el orden de las operaciones.)\[\begin{array} { c } { \text { five times the sum of } m \text { and } n } \\ { 5 ( m + n ) } \end{array}\]
2. Para tomar una suma, buscamos las palabras “de” y “y” para ver qué se está agregando. Aquí estamos tomando la suma de cinco veces\(m\) y\ (n\.)\[\begin{array} { c } { \text { the sum of five times } m \text { and } n } \\ { 5 m + n } \end{array}\]
Traducir la frase en inglés en una expresión algebraica:
- cuatro veces la suma de\(p\) y\(q\)
- la suma de cuatro veces\(p\) y\(q\).
- Contestar
-
- \(4(p+q)\)
- \(4p+q\)
Traducir la frase en inglés en una expresión algebraica:
- la diferencia de dos veces x y\(8\),
- dos veces la diferencia de x y\(8\).
- Contestar
-
- \(2x−8\)
- \(2(x−8)\)
Más adelante en este curso, aplicaremos nuestras habilidades en álgebra para resolver aplicaciones. El primer paso será traducir una frase en inglés a una expresión algebraica. Veremos cómo hacer esto en los siguientes dos ejemplos.
La longitud de un rectángulo es\(6\) menor que el ancho. Dejar\(w\) representar el ancho del rectángulo. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.
- Contestar
-
\[\begin{array} { l l } { \text { Write a phrase about the length of the rectangle. } } &{ 6 \text { less than the width } } \\ { \text { Substitute } w \text { for "the width." } } &{\text{6 less then w}} \\ { \text { Rewrite "less than" as "subtracted from." } } &{\text{6 subtracted from w}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{w - 6} \end{array}\]
La longitud de un rectángulo es\(7\) menor que el ancho. Dejar\(w\) representar el ancho del rectángulo. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.
- Contestar
-
\(w - 7\)
El ancho de un rectángulo es\(6\) menor que la longitud. Dejar\(l\) representar la longitud del rectángulo. Escribe una expresión para el ancho del rectángulo.
- Contestar
-
\(l - 6\)
June tiene dimes y cuartos en su bolso. El número de dimes es tres menos de cuatro veces el número de trimestres. Dejar\(q\) representar el número de trimestres. Escribe una expresión para el número de dimes.
- Contestar
-
\[\begin{array} { ll } { \text { Write the phrase about the number of dimes. } } &{\text{three less than four times the number of quarters}} \\ { \text { Substitute } q \text { for the number of quarters. } } &{\text{3 less than 4 times q}} \\ { \text { Translate "4 times } q \text { ." } } &{\text{3 less than 4q}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{\text{4q - 3}} \end{array}\]
Geoffrey tiene dimes y cuartos en el bolsillo. El número de dimes es ocho menos de cuatro veces el número de trimestres. Dejar\(q\) representar el número de trimestres. Escribe una expresión para el número de dimes.
- Contestar
-
\(4q - 8\)
Lauren tiene diez y cinco dólares en su bolso. El número de dimes es de tres más de siete veces el número de nickels. Dejar\(n\) representar el número de nickels. Escribe una expresión para el número de dimes.
- Contestar
-
\(7n + 3\)
Conceptos clave
- Notación El resultado es...
\(\begin{array} { l l } {\bullet \space a + b } &{ \text { the sum of } a \text { and } b } \\ { \bullet \space a - b } &{ \text { the difference of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \cdot b , a b , ( a ) ( b ) ( a ) b , a ( b ) } &{ \text { the product of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \div b , a / b , \frac { a } { b } , b ) \overline{a} } &{ \text { the quotient of } a \text { and } b } \end{array}\) - Desigualdad
\(\begin{array} { l l } { \bullet \space a < b \text { is read "a is less than } b ^ { \prime \prime } } &{a \text { is to the left of } b \text { on the number line } } \\ { \bullet \space a > b \text { is read "a is greater than } b ^ { \prime \prime } } & { a \text { is to the right of } b \text { on the number line } } \end{array}\) - Desigualdad Símbolos Palabras
\(\begin{array} {ll} { \bullet a \neq b } &{ a \text { is not equal to } b } \\ { \bullet a < b } &{ a \text { is less than } b } \\ { \bullet a \leq b } &{ a \text { is less than or equal to } b } \\ { \bullet a > b } & { a \text { is greater than } b } \\ { \bullet a \geq b } & { a \text { is greater than or equal to } b } \end{array}\) - Agrupar símbolos
- Paréntesis ()
- Soportes []
- Frenos {}
- Notación exponencial
- \(a^{n}\)significa el producto de\(n\) factores de\(a\). La expresión\(a^{n}\) se lee\(a\) al\(n^{th}\) poder.
- Orden de Operaciones: Al simplificar expresiones matemáticas, realice las operaciones en el siguiente orden:
- Paréntesis y otros símbolos de agrupación: Simplifique todas las expresiones dentro de los paréntesis u otros símbolos de agrupación, trabajando primero en los paréntesis más internos.
- Exponentes: Simplifica todas las expresiones con exponentes.
- Multiplicación y División: Realiza todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen igual prioridad.
- Suma y resta: Realiza todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen igual prioridad.
- Combinar términos similares
- Identificar términos similares.
- Reorganice la expresión para que los términos estén juntos.
- Sumar o restar los coeficientes y mantener la misma variable para cada grupo de términos similares.
Glosario
- coeficiente
- El coeficiente de un término es la constante que multiplica la variable en un término.
- constante
- Una constante es un número cuyo valor siempre permanece igual.
- símbolo de igualdad
- El símbolo “\(=\)” se llama el signo igual. Leemos\(a=b\) como “\(a\)es igual a”\(b\).
- ecuación
- Una ecuación son dos expresiones conectadas por un signo igual.
- evaluar una expresión
- Evaluar una expresión significa encontrar el valor de la expresión cuando la variable es reemplazada por un número dado.
- expresión
- Una expresión es un número, una variable o una combinación de números y variables que utilizan símbolos de operación.
- términos similares
- Los términos que son constantes o tienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias se denominan términos similares.
- simplificar una expresión
- Para simplificar una expresión, realice todas las operaciones en la expresión.
- término
- Un término es una constante o producto de una constante y una o más variables.
- variable
- Una variable es una letra que representa un número cuyo valor puede cambiar.