2.7: Resolver desigualdades lineales

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

Graficar desigualdades en la recta numérica
Resolver desigualdades usando las Propiedades de Suma y Suma de la desigualdad
Resolver desigualdades utilizando las Propiedades de División y Multiplicación de la desigualdad
Resolver desigualdades que requieren simplificación
Traducir a una desigualdad y resolver

Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Traducir del álgebra al inglés:$15>x$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.3.1.
Resolver:$n−9=−42$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 2.1.7.
Resolver:$−5p=−23$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 2.2.1.
Resolver:$3a−12=7a−20$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 2.3.22.

Graficar desigualdades en la recta numérica

¿Recuerdas lo que significa que un número sea una solución a una ecuación? Una solución de una ecuación es un valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.

¿Qué pasa con la solución de una desigualdad? ¿Qué número haría$x > 3$ verdadera la desigualdad? ¿Estás pensando, 'x podría ser 4'? Eso es correcto, pero x podría ser 5 también, o 20, o incluso 3.001. Cualquier número mayor a 3 es una solución a la desigualdad$x > 3$.

Mostramos las soluciones a la desigualdad$x > 3$ en la recta numérica sombreando todos los números a la derecha de 3, para mostrar que todos los números mayores que 3 son soluciones. Debido a que el número 3 en sí no es una solución, ponemos un paréntesis abierto en 3. La gráfica de$x > 3$ se muestra en la Figura$\PageIndex{1}$. Tenga en cuenta que se utiliza la siguiente convención: las flechas azul claro apuntan en la dirección positiva y las flechas azul oscuro apuntan en la dirección negativa.

Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es mayor que 3 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a 3, y una línea roja que se extiende a la derecha del paréntesis. — Figura$\PageIndex{1}$: La desigualdad$x > 3$ se grafica en esta recta numérica.

La gráfica de la desigualdad$x \geq 3$ es muy parecida a la gráfica de$x > 3$, pero ahora necesitamos demostrar que 3 es una solución, también. Lo hacemos poniendo un corchete en$x = 3$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$.

Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es mayor o igual a 3 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en x es igual a 3, y una línea roja que se extiende a la derecha del corchete. — Figura$\PageIndex{2}$: La desigualdad$x \geq 3$ se grafica en esta recta numérica.

Observe que el símbolo de paréntesis abiertos, (, muestra que no se incluye el punto final de la desigualdad. El símbolo de corchete abierto, [, muestra que el punto final está incluido.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Gráfica en la recta del número:

$x\leq 1$
$x<5$
$x>−1$

Contestar

1. $x\leq 1$Esto significa que todos los números menores o iguales a 1. Sombreamos en todos los números de la línea numérica a la izquierda de 1 y ponemos un corchete en x=1 para mostrar que está incluido.
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es menor o igual a 1 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en x es igual a 1, y una línea roja que se extiende a la izquierda del corchete.$

2. $x<5$Esto significa todos los números menores que 5, pero sin incluir 5. Sombreamos todos los números en la recta numérica a la izquierda de 5 y ponemos un paréntesis en x=5 para mostrar que no está incluido.
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es menor que 5 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a 5, y una línea roja que se extiende a la derecha del paréntesis.$

3. $x>−1$Esto significa todos los números mayores que −1, pero sin incluir −1. Sombreamos todos los números en la línea numérica a la derecha de −1, luego ponemos un paréntesis en x=−1 para mostrar que no está incluido.
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es mayor que negativo 1 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a negativo 1, y una línea roja que se extiende a la derecha del paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Gráfica en la recta numérica:

$x\leq −1$
$x>2$
$x<3$

Contestar

$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es menor o igual a negativo 1 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en x es igual a 1 negativo, y una línea oscura que se extiende a la izquierda del corchete.$
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es mayor que 2 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a 2, y una línea oscura que se extiende a la derecha del paréntesis.$
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es menor que 3 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a 3, y una línea oscura que se extiende a la izquierda del paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Gráfica en la recta numérica:

$x>−2$
$x<−3$
$x\geq −1$

Contestar

$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es mayor que negativo 2 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a negativo 2, y una línea oscura que se extiende a la derecha del paréntesis.$
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es menor que negativa 3 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a negativo 3, y una línea oscura que se extiende a la izquierda del paréntesis.$
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es mayor o igual a negativo 1 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en x es igual a 1 negativo, y una línea oscura que se extiende a la derecha del corchete.$

También podemos representar desigualdades usando notación de intervalos. Como vimos anteriormente, la desigualdad$x>3$ significa todos los números mayores que 3. No hay un extremo superior para la solución a esta desigualdad. En notación de intervalos, expresamos$x>3$ como$(3, \infty)$. El símbolo$\infty$ se lee como 'infinito'. No es un número real. La figura$\PageIndex{3}$ muestra tanto la línea numérica como la notación de intervalo.

La desigualdad$x\leq 1$ significa todos los números menores o iguales a 1. No hay un extremo inferior para esos números. Escribimos$x\leq 1$ en notación de intervalos como$(-\infty, 1]$. El símbolo$-\infty$ se lee como 'infinito negativo'. La figura$\PageIndex{4}$ muestra tanto la línea numérica como la notación de intervalo.

Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es menor o igual a 1 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en x es igual a 1, y una línea roja que se extiende a la izquierda del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, coma infinita negativa 1, corchete. — Figura$\PageIndex{4}$: La desigualdad$x\leq 1$ se grafica en esta recta numérica y se escribe en notación de intervalos.

Desigualdades, líneas numéricas y notación de intervalos

$Esta figura muestra cuatro líneas numéricas, todas sin marcas de garrapata. La desigualdad x es mayor que a se grafica en la primera recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a a, y una línea roja que se extiende a la derecha del paréntesis. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, una coma infinito, paréntesis. La desigualdad x es mayor o igual que a se grafica en la segunda recta numérica, con un corchete abierto en x es igual a a, y una línea roja que se extiende a la derecha del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como corchete, una coma infinito, paréntesis. La desigualdad x es menor que a se grafica en la tercera recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a a, y una línea roja que se extiende a la izquierda del paréntesis. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, infinito negativo coma a, paréntesis. La desigualdad x es menor o igual que a se grafica en la última línea numérica, con un corchete abierto en x es igual a a, y una línea roja que se extiende a la izquierda del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, infinito negativo coma a, corchete.$

¿Se dio cuenta de cómo el paréntesis o paréntesis en la notación de intervalo coincide con el símbolo en el punto final de la flecha? Estas relaciones se muestran en la Figura$\PageIndex{5}$.

Esta figura muestra las mismas cuatro líneas numéricas que las anteriores, con las mismas etiquetas de notación de intervalo. Debajo de la notación de intervalo para cada línea numérica, hay texto que indica cómo la notación en las líneas numéricos es similar a la notación de intervalo. La primera línea numérica es una gráfica de x es mayor que a, y la notación de intervalo es paréntesis, una coma infinito, paréntesis. El siguiente texto dice: “Ambos tienen paréntesis a la izquierda”. La segunda línea numérica es una gráfica de x es mayor o igual a a, y la notación de intervalo es corchete, una coma infinito, paréntesis. El siguiente texto dice: “Ambos tienen corchete izquierdo”. La tercera línea numérica es una gráfica de x es menor que a, y la notación de intervalo es paréntesis, coma infinita negativa a, paréntesis. El siguiente texto dice: “Ambos tienen un paréntesis derecho”. La última línea numérica es una gráfica de x es menor o igual a a, y la notación de intervalo es paréntesis, coma infinita negativa a, corchete. El siguiente texto dice: “Ambos tienen corchete derecho”. — Figura$\PageIndex{5}$: La notación de desigualdades en una recta numérica y en notación de intervalos utiliza símbolos similares para expresar los extremos de los intervalos.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Gráfica en la recta numérica y escribe en notación de intervalos.

$x \geq -3$
$x<2.5$
$x\leq \frac{3}{5}$

Contestar

	$.$
Sombra a la derecha de −3 y coloque un soporte en −3.	$.$
Escribir en notación de intervalos.	$.$

	$.$
Sombra a la izquierda de 2.5, y ponga un paréntesis en 2.5.	$.$
Escribir en notación de intervalos.	$.$

	$.$
Sombra a la izquierda de$-\frac{3}{5}$, y poner un soporte en$-\frac{3}{5}$.	$.$
Escribir en notación de intervalos.	$.$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Gráfica en la recta numérica y escribe en notación de intervalo:

$x>2$
$x\leq −1.5$
$x\geq \frac{3}{4}$

Contestar

$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es mayor que 2 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a 2, y una línea oscura que se extiende a la derecha del paréntesis. La desigualdad también se escribe en notación de intervalo como paréntesis, 2 coma infinito, paréntesis.$
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es menor o igual a negativo 1.5 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en x es igual a 1.5 negativo, y una línea oscura que se extiende a la izquierda del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, infinito negativo coma negativo 1.5, paréntesis.$
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es mayor o igual a 3/4 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en x es igual a 3/4, y una línea oscura que se extiende a la derecha del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como corchete, 3/4 coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Gráfica en la recta numérica y escribe en notación de intervalo:

$x\leq −4$
$x\geq 0.5$
$x<-\frac{2}{3}$

Contestar

$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es menor o igual a negativo 4 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en x es igual a 4 negativo, y una línea oscura que se extiende a la izquierda del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, infinito negativo coma negativo 4, paréntesis.$
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es mayor o igual a 0.5 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en x es igual a 0.5, y una línea oscura que se extiende a la derecha del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalo como corchete, o.5 coma infinito, paréntesis.$
$Esta cifra es una línea numéricaque va del 5 al 5 negativo con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad x es menor que negativa 2/3 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a 2/3 negativo, y una línea oscura que se extiende a la izquierda del paréntesis. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, infinito negativo coma negativo 2/3, paréntesis.$

Resolver desigualdades usando las propiedades de resta y suma de la desigualdad

Las Propiedades de Suma y Suma de Igualdad establecen que si dos cantidades son iguales, cuando sumamos o restamos la misma cantidad de ambas cantidades, los resultados serán iguales.

PROPIEDADES DE IGUAL

\[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Equality } } & { \textbf { Addition Property of Equality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if } \qquad \quad a = b , } & { \text { if } \qquad \quad a = b } \\ { \text { then } a - c = b - c . } & { \text { then } a + c = b + c } \end{array}\]

Propiedades similares son ciertas para las desigualdades.

Mesa$\PageIndex{1}$
Por ejemplo, sabemos que −4 es menor que 2.	$.$
Si restamos 5 de ambas cantidades, ¿el lado izquierdo sigue siendo menor que el lado derecho?	$.$
Obtenemos −9 a la izquierda y −3 a la derecha.	$.$
Y sabemos que −9 es menor que −3.	$.$
	El signo de desigualdad se mantuvo igual.

De igual manera podríamos demostrar que la desigualdad también se mantiene igual para la suma.

Esto nos lleva a las Propiedades de Suma y Suma de la Desigualdad.

PROPIEDADES DE LA IN

\[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Inequality } } & { \textbf { Addition Property of Inequality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if }\qquad \quad a b } & { \text { if } \qquad \quad a > b } \\ { \text { then } a - c > b - c . } & { \text { then } a + c > b + c } \end{array}\]

Utilizamos estas propiedades para resolver desigualdades, dando los mismos pasos que usamos para resolver ecuaciones. Resolviendo la desigualdad$x+5>9$, los pasos se verían así:

\[\begin{array}{rrll} {} &{x + 5} &{ >} &{9} \\ {\text{Subtract 5 from both sides to isolate }x.} &{x + 5 - 5} &{ >} &{9 - 5} \\{} &{x} &{ >} &{4} \\ \end{array}\]

Cualquier número mayor a 4 es una solución a esta desigualdad.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Resuelva la desigualdad$n - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{8}$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar

	$.$
Agregar$\frac{1}{2}$ a ambos lados de la desigualdad.	$.$
Simplificar.	$.$
Grafique la solución en la recta numérica.	$.$
Escribe la solución en notación de intervalos.

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Resuelva la desigualdad, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

$p - \frac{3}{4} \geq \frac{1}{6}$

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad p es mayor o igual a 11/12. Por debajo de esta desigualdad se encuentra la desigualdad graficada en una recta numérica que va del 0 al 4, con marcas de garrapata en cada entero. Hay un corchete en p es igual a 11/12, y una línea oscura se extiende hacia la derecha desde 11/12. Debajo de la recta numérica está la solución escrita en notación de intervalo: corchete, 11/12 coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Resuelva la desigualdad, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

$r - \frac{1}{3} \leq \frac{7}{12}$

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad r es menor o igual a 11/12. Por debajo de esta desigualdad se encuentra la desigualdad graficada en una recta numérica que va del 0 al 4, con marcas de garrapata en cada entero. Hay un corchete en r es igual a 11/12, y una línea oscura se extiende hacia la izquierda desde 11/12. Debajo de la recta numérica se encuentra la solución escrita en notación de intervalos: paréntesis, coma infinita negativa 11/12, corchete.$

Resolver desigualdades utilizando las propiedades de división y multiplicación de la desigualdad

Las Propiedades de División y Multiplicación de Igualdad establecen que si dos cantidades son iguales, cuando dividimos o multiplicamos ambas cantidades por la misma cantidad, los resultados también serán iguales (siempre que no dividamos por 0).

PROPIEDADES DE IGUAL

\[\begin{array}{ll} {\textbf{Division Property of Equality}} &{\textbf{MUltiplication Property of Equality}} \\ {\text{For any numbers a, b, c, and c} \neq 0} &{\text{For any numbers a, b, c}} \\ {\text{if } \qquad a = b} &{\text{if} \qquad \quad a = b} \\ {\text{then }\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c}} &{\text{then } \quad ac = bc} \end{array}\]

¿Existen propiedades similares para las desigualdades? ¿Qué pasa con una desigualdad cuando dividimos o multiplicamos ambos lados por una constante?

Considera algunos ejemplos numéricos.

Mesa$\PageIndex{2}$
	$.$		$.$
Divide ambos lados por 5.	$.$	Multiplica ambos lados por 5.	$.$
Simplificar.	$.$		$.$
Rellenar los signos de desigualdad.	$.$		$.$

Los signos de desigualdad permanecieron igual.

¿La desigualdad permanece igual cuando dividimos o multiplicamos por un número negativo?

Mesa$\PageIndex{3}$
	$.$		$.$
Divide ambos lados por -5.	$.$	Multiplica ambos lados por -5.	$.$
Simplificar.	$.$		$.$
Rellenar los signos de desigualdad.	$.$		$.$

Los signos de desigualdad invirtieron su rumbo.

Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número positivo, el signo de desigualdad permanece igual. Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte.

Aquí están las Propiedades de División y Multiplicación de la Desigualdad para una fácil referencia.

DIVISIÓN Y MULTIPLACIÓN PROPIEDADES

Para cualquier número real a, b, c

\[\begin{array}{ll} {\text{if } a 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \end{array}\]

Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un:

número positivo, la desigualdad se mantiene igual.
número negativo, la desigualdad se invierte.

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Resuelva la desigualdad$7y<42$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar

	$.$
Dividir ambos lados de la desigualdad entre 7. Ya que$7>0$, la desigualdad se mantiene igual.	$.$
Simplificar.	$.$
Grafique la solución en la recta numérica.	$.$
Escribe la solución en notación de intervalos.	$.$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Resuelva la desigualdad, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

$9c>72$

Contestar

$c>8$

$Esta cifra es una línea numérica que va del 6 al 10 con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad c es mayor que 8 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en c es igual a 8, y una línea oscura que se extiende a la derecha del paréntesis.$

$(8, \infty)$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Resuelva la desigualdad, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

$12d\leq 60$

Contestar

$d\leq 5$

$Esta cifra es una línea numérica que va de 3 a 7 con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad d es menor o igual a 5 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en d igual a 5, y una línea oscura que se extiende a la izquierda del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, coma infinita negativa 5, corchete.$

$(-\infty, 5]$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Resuelva la desigualdad$−10a\geq 50$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar

	$.$
Dividir ambos lados de la desigualdad entre −10. Ya que$−10<0$, la desigualdad revierte.	$.$
Simplificar.	$.$
Grafique la solución en la recta numérica.	$.$
Escribe la solución en notación de intervalos.	$.$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalos.

$−8q<32$

Contestar

$q>−4$

$Esta cifra es una línea numéricaque va desde el 6 negativo hasta el 3 negativo con marcas para cada entero. La desigualdad q es mayor que negativa 4 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en q es igual a 4 negativo, y una línea oscura que se extiende a la derecha del paréntesis. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, negativo 4 coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalos.

$−7r\leq −70$

Contestar: $Esta cifra es una línea numérica que va del 9 al 13 con marcas de verificación para cada entero. La desigualdad r es mayor o igual a 10 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en r es igual a 10, y una línea oscura que se extiende a la derecha del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, 10 comas infinitas, paréntesis.$

RESOLVAR LAS

A veces al resolver una desigualdad, la variable termina por la derecha. Podemos reescribir la desigualdad a la inversa para obtener la variable a la izquierda.

\[\begin{array}{l} x > a\text{ has the same meaning as } a < x \end{array}\]

Piénsalo como “Si Xavier es más alto que Alex, entonces Alex es más bajo que Xavier”.

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Resuelva la desigualdad$-20 < \frac{4}{5}u$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar

	$.$
Multiplicar ambos lados de la desigualdad por$\frac{5}{4}$. Ya que$\frac{5}{4} > 0$, la desigualdad se mantiene igual.	$.$
Simplificar.	$.$
Reescribe la variable de la izquierda.	$.$
Grafique la solución en la recta numérica.	$.$
Escribe la solución en notación de intervalos.	$.$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Resuelva la desigualdad, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

$24 \leq \frac{3}{8}m$

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad m es mayor o igual a 64. Por debajo de esta desigualdad hay una recta numéricaque va del 63 al 67 con marcas de garrapata para cada entero. La desigualdad m es mayor o igual a 64 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en m igual a 64, y una línea oscura que se extiende a la derecha del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como corchete, 64 coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Resuelva la desigualdad, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

$-24 < \frac{4}{3}n$

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad n es mayor que negativa 18. Por debajo de esta desigualdad hay una recta numérica que va desde el 20 negativo hasta el 16 negativo con marcas de selección para cada entero. La desigualdad n es mayor que negativa 18 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en n es igual a 18 negativo, y una línea oscura que se extiende a la derecha del paréntesis. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, negativo 18 coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Resuelva la desigualdad$\frac{t}{-2} \geq 8$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar

	$.$
Multiplique ambos lados de la desigualdad por −2. Ya que$−2<0$, la desigualdad revierte.	$.$
Simplificar.	$.$
Grafique la solución en la recta numérica.	$.$
Escribe la solución en notación de intervalos.	$.$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Resuelva la desigualdad, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

$\frac{k}{-12}\leq 15$

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad k es mayor o igual a 180 negativos. Por debajo de esta desigualdad hay una recta numérica que va desde el 181 negativo hasta el 177 negativo con marcas de selección para cada entero. La desigualdad k es mayor o igual a negativo 180 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en n igual a 180 negativo, y una línea oscura que se extiende a la derecha del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, negativo 180 coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Resuelva la desigualdad, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

$\frac{u}{-4}\geq -16$

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad u es menor o igual a 64. Por debajo de esta desigualdad hay una recta numéricaque va del 62 al 66 con marcas de garrapata para cada entero. La desigualdad u es menor o igual a 64 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en u igual a 64, y una línea oscura que se extiende a la izquierda del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, coma infinita negativa 64, corchete.$

Resolver desigualdades que requieren simplificación

La mayoría de las desigualdades tardarán más de un paso en resolverse. Seguimos los mismos pasos que usamos en la estrategia general para resolver ecuaciones lineales, pero asegúrese de prestar mucha atención durante la multiplicación o división.

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Resuelva la desigualdad$4m\leq 9m+17$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar

	$.$
Restar 9m de ambos lados para recoger las variables de la izquierda.	$.$
Simplificar.	$.$
Dividir ambos lados de la desigualdad por −5 e invertir la desigualdad.	$.$
Simplificar.	$.$
Grafique la solución en la recta numérica.	$.$
Escribe la solución en notación de intervalos.	$.$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

Resuelva la desigualdad$3q\geq 7q−23$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad q es menor o igual a 23/4. Por debajo de esta desigualdad hay una línea numéricaque va del 4 al 8 con marcas de garrapata para cada entero. La desigualdad q es menor o igual a 23/4 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en q es igual a 23/4 (escrito en), y una línea oscura que se extiende a la izquierda del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, coma infinita negativa 23/4, corchete.$

Ejercicio$\PageIndex{24}$

Resuelva la desigualdad$6x<10x+19$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad x es mayor que negativa 19/4. Por debajo de esta desigualdad se encuentra una recta numérica que va desde el 7 negativo hasta el 3 negativo, con marcas de selección para cada entero. La desigualdad x es mayor que negativa 19/4 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en x es igual a 19/4 negativo (escrito en), y una línea oscura que se extiende a la derecha del paréntesis. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, negativo 19/4 coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

Resolver la desigualdad$8p+3(p−12)>7p−28$ grafica la solución en la recta numérica, y escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar

Simplifica cada lado tanto como sea posible.	8p+3 (p−12) >7p−28
Distribuir.	8p+3p−36>7p−28
Combina términos similares.	11p−36>7p−28
Restar 7p de ambos lados para recoger las variables de la izquierda.	11p−36−7p>7p−28−7p
Simplificar.	4p−36>−28
Agrega 36 a ambos lados para recoger las constantes de la derecha.	4p−36+36>−28+36
Simplificar.	4p>8
Dividir ambos lados de la desigualdad por 4; la desigualdad permanece igual.	$\frac{4p}{4}>84$
Simplificar.	$p>2$
Grafique la solución en la recta numérica.	$.$
Escribe la solución en notación de intervalos.	$(2, \infty)$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

Resuelva la desigualdad$9y+2(y+6)>5y−24$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad y es mayor que negativa 6. Por debajo de esta desigualdad hay una recta numérica que va desde el 7 negativo hasta el 3 negativo con marcas de selección para cada entero. La desigualdad y es mayor que negativa 6 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en y es igual a 6 negativo, y una línea oscura que se extiende a la derecha del paréntesis. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, negativo 6 coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

Resuelva la desigualdad$6u+8(u−1)>10u+32$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad u es mayor a 10. Por debajo de esta desigualdad hay una línea numéricaque va del 9 al 13 con marcas de garrapata para cada entero. La desigualdad u es mayor que 10 se grafica en la recta numérica, con un paréntesis abierto en u es igual a 10, y una línea oscura que se extiende a la derecha del paréntesis. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, 10 coma infinito, paréntesis.$

Así como algunas ecuaciones son identidades y otras son contradicciones, las desigualdades pueden ser identidades o contradicciones, también. Reconocemos estas formas cuando solo nos quedan constantes a medida que resolvemos la desigualdad. Si el resultado es una declaración verdadera, tenemos una identidad. Si el resultado es una declaración falsa, tenemos una contradicción.

Ejercicio$\PageIndex{28}$

Resuelva la desigualdad$8x−2(5−x)<4(x+9)+6x$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar

Simplifica cada lado tanto como sea posible.	8x−2 (5−x) <4 (x+9) +6x
Distribuir.	8x−10+2x<4x+36+6x
Combina términos similares.	10x−10<10x+36
Restar 10x de ambos lados para recoger las variables de la izquierda.	10x−10−10x<10x+36−10x
Simplificar.	−10<36
Los xx se han ido, y tenemos una declaración verdadera.	La desigualdad es una identidad. La solución son todos los números reales.
Grafique la solución en la recta numérica.	$.$
Escribe la solución en notación de intervalos.	$(-\infty, \infty)$

Ejercicio$\PageIndex{29}$

Resuelva la desigualdad$4b−3(3−b)>5(b−6)+2b$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar: $Esta figura muestra una desigualdad que es una identidad. Por debajo de esta desigualdad hay una línea numéricaque va desde el 2 negativo hasta el 2 con marcas para cada entero. La identidad se grafica en la recta numérica, con una línea oscura que se extiende en ambas direcciones. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, infinito negativo coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{30}$

Resuelva la desigualdad$9h−7(2−h)<8(h+11)+8h$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar: $Esta figura muestra una desigualdad que es una identidad. Por debajo de esta desigualdad hay una línea numéricaque va desde el 2 negativo hasta el 2 con marcas para cada entero. La identidad se grafica en la recta numérica, con una línea oscura que se extiende en ambas direcciones. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, infinito negativo coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{31}$

Resuelva la desigualdad$\frac{1}{3}a - \frac{1}{8}a > \frac{5}{24}a + \frac{3}{4}$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar

	$.$
Multiplica ambos lados por la LCD, 24, para borrar las fracciones.	$.$
Simplificar.	$.$
Combina términos similares.	$.$
Restar 5a de ambos lados para recoger las variables de la izquierda.	$.$
Simplificar.	$.$
¡El enunciado es falso!	La desigualdad es una contradicción.
	No hay solución.
Grafique la solución en la recta numérica.	$.$
Escribe la solución en notación de intervalos.	No hay solución.

Ejercicio$\PageIndex{32}$

Resuelva la desigualdad$\frac{1}{4}x - \frac{1}{12}x > \frac{1}{6}x + \frac{7}{8}$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar: $Esta figura muestra una desigualdad que es una contradicción. Debajo de esto hay una línea numéricaque va desde el 2 negativo hasta el 2 con marcas de verificación para cada entero. No se grafica ninguna desigualdad en la recta numérica. Debajo de la línea numérica se encuentra el enunciado: “No hay solución”.$

Ejercicio$\PageIndex{33}$

Resuelva la desigualdad$\frac{2}{5}z - \frac{1}{3}z < \frac{1}{15}z - \frac{3}{5}$, grafique la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalos.

Contestar: $Esta figura muestra una desigualdad que es una contradicción. Debajo de esto hay una línea numéricaque va desde el 2 negativo hasta el 2 con marcas de verificación para cada entero. No se grafica ninguna desigualdad en la recta numérica. Debajo de la línea numérica se encuentra el enunciado: “No hay solución”.$

Traducir a una Desigualdad y Resolver

Para traducir frases en inglés en desigualdades, necesitamos reconocer las frases que indican la desigualdad. Algunas palabras son fáciles, como 'más que' y 'menos que'. Pero otros no son tan obvios.

Piensa en la frase 'al menos' — ¿qué significa tener 'al menos 21 años'? Significa 21 o más. La frase 'al menos' es la misma que 'mayor o igual a'.

$\PageIndex{4}$[1]La tabla muestra algunas frases comunes que indican desigualdades.

Mesa$\PageIndex{4}$
>	$\geq$	<	$\leq$
“data-valign="middle” class="lt-math-15134">es mayor que	\ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">es mayor o igual a	es menor que	\ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">es menor o igual a
“data-valign="middle” class="lt-math-15134">es más que	\ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">es al menos	es menor que	\ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">es como máximo
“data-valign="middle” class="lt-math-15134">es mayor que	\ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">no es menor que	tiene menos de	\ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">no es más que
“data-valign="middle” class="lt-math-15134">supera	\ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">es el mínimo	es menor que	\ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">es el máximo

Ejercicio$\PageIndex{34}$

Traducir y resolver. Después escribe la solución en notación de intervalos y grafica en la recta numérica.

Doce veces c no es más de 96.

Contestar

Traducir.	$.$
Solucionar: divide ambos lados por 12.	$.$
Simplificar.	$.$
Escribir en notación de intervalos.	$.$
Gráfica en la recta numérica.	$.$

Ejercicio$\PageIndex{35}$

Traducir y resolver. Después escribe la solución en notación de intervalos y grafica en la recta numérica.

Veinte veces y es como máximo 100

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad 20y es menor o igual a 100, y luego su solución: y es menor o igual a 5. Por debajo de esta desigualdad hay una línea numéricaque va del 4 al 8 con marcas de garrapata para cada entero. La desigualdad y es menor o igual a 5 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en y es igual a 5, y una línea oscura que se extiende a la izquierda del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, coma infinita negativa 5, corchete.$

Ejercicio$\PageIndex{36}$

Traducir y resolver. Después escribe la solución en notación de intervalos y grafica en la recta numérica.

Nueve veces z no es menos de 135

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad 9z es mayor o igual a 135, y luego su solución: z es mayor o igual a 15. Por debajo de esta desigualdad hay una recta numéricaque va del 14 al 18 con marcas de garrapata para cada entero. La desigualdad z es mayor o igual a 15 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en z igual a 15, y una línea oscura que se extiende a la derecha del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, 15 comas infinitas, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{37}$

Traducir y resolver. Después escribe la solución en notación de intervalos y grafica en la recta numérica.

Treinta menos que x es al menos 45.

Contestar

Traducir.	$.$
Solve: agregue 30 a ambos lados.	$.$
Simplificar.	$.$
Escribir en notación de intervalos.	$.$
Gráfica en la recta numérica.	$.$

Ejercicio$\PageIndex{38}$

Traducir y resolver. Después escribe la solución en notación de intervalos y grafica en la recta numérica.

Diecinueve menos que p no es menor que 47

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad p menos 19 es mayor o igual a 47, y luego su solución: p es mayor o igual a 66. Por debajo de esta desigualdad hay una recta numéricaque va del 65 al 69 con marcas de garrapata para cada entero. La desigualdad p es mayor o igual a 66 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto en p igual a 66, y una línea oscura que se extiende a la derecha del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como corchete, 66 coma infinito, paréntesis.$

Ejercicio$\PageIndex{39}$

Traducir y resolver. Después escribe la solución en notación de intervalos y grafica en la recta numérica.

Cuatro más que un es como máximo 15.

Contestar: $Esta figura muestra que la desigualdad a más 4 es menor o igual a 15, y luego su solución: a es menor o igual a 11. Por debajo de esta desigualdad hay una línea numéricaque va del 10 al 14 con marcas de garrapata para cada entero. La desigualdad a es menor o igual a 11 se grafica en la recta numérica, con un corchete abierto a igual a 11, y una línea oscura que se extiende a la izquierda del corchete. La desigualdad también se escribe en notación de intervalos como paréntesis, infinito negativo 11, paréntesis.$

Conceptos clave

Propiedad de resta de desigualdad
Para cualquier número a, b y c,
si ab entonces a−c>b−c.
Adición Propiedad de Desigualdad
Para cualquier número a, b y c,
si ab entonces a+c>b+c.
División y Multiplicación Propiedades de Inequalit y
Para cualquier número a, b, y c,
si a 0, entonces ac <bc and ac>bc.
si a>b y c>0, entonces ac>bc y ac>bc.
si a y ac>bc.
si a>b y c<0, entonces ac<bc y ac<bc.
Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un:
- número positivo, la desigualdad se mantiene igual.
- número negativo, la desigualdad se invierte.

	$.$
Sombra a la izquierda de\(-\frac{3}{5}\), y poner un soporte en\(-\frac{3}{5}\).	$.$
Escribir en notación de intervalos.	$.$

	$.$
Agregar\(\frac{1}{2}\) a ambos lados de la desigualdad.	$.$
Simplificar.	$.$
Grafique la solución en la recta numérica.	$.$
Escribe la solución en notación de intervalos.

Objetivos de aprendizaje

Nota

Graficar desigualdades en la recta numérica

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Desigualdades, líneas numéricas y notación de intervalos

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Resolver desigualdades usando las propiedades de resta y suma de la desigualdad

PROPIEDADES DE IGUAL

PROPIEDADES DE LA IN

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Resolver desigualdades utilizando las propiedades de división y multiplicación de la desigualdad

PROPIEDADES DE IGUAL

DIVISIÓN Y MULTIPLACIÓN PROPIEDADES

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

RESOLVAR LAS

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Resolver desigualdades que requieren simplificación

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

Traducir a una Desigualdad y Resolver

Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

Conceptos clave