4.3: Gráfica con Intercepciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Al final de esta sección, podrás:
- Identificar las intercepciones x e y en una gráfica
- Encuentra las intercepciones x e y a partir de una ecuación de una línea
- Graficar una línea usando las intercepciones
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Resolver:3⋅0+4y=−2.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 2.2.13.
Identificar las intercepciones x - e y - en una gráfica
Cada ecuación lineal puede ser representada por una línea única que muestra todas las soluciones de la ecuación. Hemos visto que al graficar una línea trazando puntos, se puede utilizar cualquiera de tres soluciones para graficar. Esto significa que dos personas que grafican la línea podrían usar diferentes conjuntos de tres puntos.
A primera vista, sus dos líneas podrían no parecer iguales, ya que tendrían diferentes puntos etiquetados. Pero si todo el trabajo se realizó correctamente, las líneas deberían ser exactamente las mismas. Una forma de reconocer que efectivamente son la misma línea es mirar dónde la línea cruza el eje x y el eje y. A estos puntos se les llama las intercepciones de la línea.
Los puntos donde una línea cruza el eje x y el eje y se denominan intercepciones de una línea.
Veamos las gráficas de las líneas en la Figura4.3.1.
![Cuatro figuras, cada una mostrando una línea recta diferente en el plano de coordenadas x y. El eje x de los planos va del 7 al 7 negativo. El eje y de los planos va del negativo 7 al 7. La figura a muestra una línea recta cruzando el eje x en el punto (3, 0) y cruzando el eje y en el punto (0, 6). La gráfica está etiquetada con la ecuación 2x más y es igual a 6. La figura b muestra una línea recta cruzando el eje x en el punto (4, 0) y cruzando el eje y en el punto (0, negativo 3). La gráfica está etiquetada con la ecuación 3x menos 4y es igual a 12. La figura c muestra una línea recta cruzando el eje x en el punto (5, 0) y cruzando el eje y en el punto (0, negativo 5). La gráfica se etiqueta con la ecuación x menos y es igual a 5. La figura d muestra una línea recta que cruza el eje x y el eje y en el punto (0, 0). La gráfica se etiqueta con la ecuación y es igual a negativo 2x.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/22844/CNX_ElemAlg_Figure_04_03_001_img_new.jpg)
Primero, observe dónde cada una de estas líneas cruza el eje x negativo. Ver Figura4.3.1.
Figura | La línea cruza el eje x en: | Par ordenado de este punto |
---|---|---|
Figura (a) | 3 | (3,0) |
Figura (b) | 4 | (4,0) |
Figura (c) | 5 | (5,0) |
Figura (d) | 0 | (0,0) |
¿Ves un patrón?
Para cada fila, la coordenada y del punto donde la línea cruza el eje x es cero. El punto donde la línea cruza el eje x tiene la forma (a,0) y se denomina la intercepción x de una línea. La intercepción x ocurre cuando y es cero. Ahora, veamos los puntos donde estas líneas cruzan el eje y -. Ver Tabla4.3.2.
Figura | La línea cruza el eje x en: | Par ordenado de este punto |
---|---|---|
Figura (a) | 6 | (0,6) |
Figura (b) | −3 | (0, −3) |
Figura (c) | −5 | (0,5) |
Figura (d) | 0 | (0,0) |
¿Cuál es el patrón aquí?
En cada fila, la coordenada x del punto donde la línea cruza el eje y es cero. El punto donde la línea cruza el eje y tiene la forma (0, b) y se denomina la intercepción y de la línea. La intercepción y ocurre cuando x es cero.
La intercepción x es el punto (a,0) donde la línea cruza el eje x.
La intercepción y es el punto (0, b) donde la línea cruza el eje y.
![Sin texto Alt](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/22731/CNX_ElemAlg_Figure_04_03_022_img_new.jpg)
Encuentra las intercepciones x e y en cada gráfica.
![Tres figuras, cada una mostrando una línea recta diferente en el plano de coordenadas x y. El eje x de los planos va del 7 al 7 negativo. El eje y de los planos va del negativo 7 al 7. La figura a muestra una línea recta que atraviesa los puntos (negativo 6, 5), (negativo 4, 4), (negativo 2, 3), (0, 2), (2, 1), (4, 0), y (6, negativo 1). La figura b muestra una línea recta que atraviesa los puntos (0, negativo 6), (1, negativo 3), (2, 0), (3, 3) y (4, 6). La figura c muestra una línea recta que atraviesa los puntos (negativo 6, 1), (negativo 5, 0), (negativo 4, negativo 1), (negativo 3, negativo 2), (negativo 2, negativo 3), (negativo 1, negativo 4), (0, negativo 5) y (1, negativo 6).](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/22934/CNX_ElemAlg_Figure_04_03_002_img_new.jpg)
- Contestar
-
(a) La gráfica cruza el eje x en el punto (4,0). La intercepción x es (4,0).
La gráfica cruza el eje y en el punto (0,2). La intercepción y es (0,2).
b) La gráfica cruza el eje x en el punto (2,0). La intercepción x es (2,0)
La gráfica cruza el eje y en el punto (0, −6). La intercepción y es (0, −6).
(c) La gráfica cruza el eje x en el punto (−5,0). La intercepción x es (−5,0).
La gráfica cruza el eje y en el punto (0, −5). La intercepción y es (0, −5).
Encuentra las intercepciones x e y en la gráfica.
- Contestar
-
x - intercepción: (2,0); y - intercepción: (0, −2)
Encuentra las intercepciones x e y en la gráfica.
- Contestar
-
x - intercepción: (3,0), y - intercepción: (0,2)
Encuentra las intercepciones x - e y - a partir de una ecuación de una línea
Al reconocer que la intercepción x ocurre cuando y es cero y que la y - intercepción ocurre cuando x es cero, nos da un método para encontrar las intercepciones de una línea a partir de su ecuación. Para encontrar la x - intercepción, deje y=0 y resuelva para x. Para encontrar la intercepción y, deje x=0 y resuelva para y.
Usa la ecuación de la línea. Para encontrar:
- la x - intercepción de la línea, dejar y=0 y resolver para x.
- la y - intercepción de la línea, dejar x=0 y resolver para y.
Encuentra las intercepciones de 2x+y=6.
- Contestar
-
Vamos a dejar y=0 para encontrar la x - interceptar, y dejar x=0 para encontrar la y - interceptar. Llenaremos la tabla, lo que nos recuerda lo que necesitamos encontrar.
-
Para encontrar la intercepción x, vamos y=0.
Mesa4.3.3 Dejar y = 0. Simplificar. La intercepción x es (3, 0) Para encontrar la intercepción y, vamos x = 0. Dejar x = 0. Simplificar. La intercepción y es (0, 6) - Las intercepciones son los puntos (3,0) y (0,6) como se muestra en la Tabla4.3.4.
Mesa4.3.4 2x+y=6 x y 3 0 0 6
Encuentra las intercepciones de 3x+y=12.
- Contestar
-
x - intercepción: (4,0), y - intercepción: (0,12)
Encuentra las intercepciones de x+4y=8.
- Contestar
-
x - intercepción: (8,0), y - intercepción: (0,2)
Encuentra las intercepciones de 4x—3y=12.
- Contestar
-
Para encontrar la intercepción x, vamos y = 0. Dejar y = 0. Simplificar. La intercepción x es (3, 0) Para encontrar la intercepción y, vamos x = 0. Dejar x = 0. Simplificar. La intercepción y es (0, −4) - Mesa4.3.5
-
Las intercepciones son los puntos (3, 0) y (0, −4) como se muestra en la siguiente tabla.
Mesa4.3.6 4x−3y=12 x y 3 0 0 −4
Encuentra las intercepciones de 3x—4y=12.
- Contestar
-
x - intercepción: (4,0), y - intercepción: (0, −3)
Encuentra las intercepciones de 2x—4y=8.
- Contestar
-
x - intercepción: (4,0), y - intercepción: (0, −2)
Graficar una línea usando las intercepciones
Para graficar una ecuación lineal trazando puntos, es necesario encontrar tres puntos cuyas coordenadas sean soluciones a la ecuación. Puedes usar las intercepciones x - e y - como dos de tus tres puntos. Encuentra las intercepciones y luego encuentra un tercer punto para garantizar la precisión. Asegúrese de que los puntos se alineen hacia arriba y luego dibuje la línea. Este método suele ser la forma más rápida de graficar una línea.
Gráfica —x+2y=6 usando las intercepciones.
- Contestar
-
Gráfica x—2y=4 usando las intercepciones.
- Contestar
-
Gráfica —x+3y=6 usando las intercepciones.
- Contestar
-
Los pasos para graficar una ecuación lineal usando las intercepciones se resumen a continuación.
- Encuentra las intercepciones x e y de la línea.
- Dejar y=0 y resolver para x
- Deje x=0 y resuelva para y.
- Encuentra una tercera solución a la ecuación.
- Trazar los tres puntos y verificar que se alineen.
- Dibuja la línea.
Gráfica 4x—3y=12 usando las intercepciones.
- Contestar
-
Encuentra las intercepciones y un tercer punto.
Enlistamos los puntos en Tabla4.3.7 y mostramos la gráfica a continuación.
4x−3y=12 x y (x, y) 3 0 (3,0) 0 −4 (0, −4) 6 4 (6,4) - Mesa4.3.7
-
Gráfica 5x—2y=10 usando las intercepciones.
- Contestar
-
Gráfica 3x—4y=12 usando las intercepciones.
- Contestar
-
Gráfica y=5x usando las intercepciones.
- Contestar
-
Esta línea tiene sólo una interceptación. Es el punto (0,0).
Para asegurar la precisión necesitamos trazar tres puntos. Dado que las intercepciones x - e y - son el mismo punto, necesitamos dos puntos más para graficar la línea.
Ver Tabla4.3.8.
y=5x x y (x, y) (0,0) (1,5) −1 −5 (−1, −5) - Mesa4.3.8
-
Trazar los tres puntos, verificar que se alineen y trazar la línea.
Gráfica y=4x usando las intercepciones.
- Contestar
-
Gráfica y=−x las intercepciones.
- Contestar
-
Conceptos clave
- Encuentra las intercepciones x - e y - a partir de la ecuación de una línea
- Usa la ecuación de la línea para encontrar la x - intercepción de la línea, deja y=0 y resuelve para x.
- Usa la ecuación de la línea para encontrar la y - intercepción de la línea, deja x=0 y resuelve para y.
- Graficar una Ecuación Lineal usando las Intercepciones
- Encuentra las intercepciones x e y de la línea.
Deje y=0 y resuelva para x.
Deje x=0 y resuelva para y. - Encuentra una tercera solución a la ecuación.
- Trazar los tres puntos y luego verificar que se alineen.
- Dibuja la línea.
- Encuentra las intercepciones x e y de la línea.
- Estrategia para elegir el método más conveniente para graficar una línea:
- Considera la forma de la ecuación.
- Si sólo tiene una variable, es una línea vertical u horizontal.
x=a es una línea vertical que pasa por el eje x - en a
y=b es una línea horizontal que pasa por el eje y - en b. - Si y se aísla en un lado de la ecuación, grafica trazando puntos.
- Elija tres valores cualesquiera para x y luego resuelva para los valores y - correspondientes.
- Si la ecuación es de la forma ax+por=c, encuentra las intercepciones. Encuentra las intercepciones x - e y - y luego un tercer punto.
Glosario
- intercepciones de una línea
- Los puntos donde una línea cruza el eje x y el eje y se denominan las intercepciones de la línea.
- x - interceptar
- El punto (a,0) donde la línea cruza el eje x -; la intercepción x ocurre cuando y es cero.
- y -interceptar
- El punto (0, b) donde la línea cruza el eje y; la intercepción y ocurre cuando x es cero.