11.5: Graficar con intercepciones (Parte 1)
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- Encuentra las intercepciones a partir de una ecuación de una línea
- Graficar una línea usando las intercepciones
- Elija el método más conveniente para graficar una línea
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Resolver: 3x + 4y = −12 para x cuando y = 0. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 9.11.6.
- ¿El punto (0, −5) está en el eje x o en el eje y? Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 11.1.5.
- ¿Qué pares ordenados son soluciones a la ecuación 2x − y = 6? (a) (6, 0) (b) (0, −6) (c) (4, −2). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 11.2.8.
Identificar las intercepciones en una gráfica
Cada ecuación lineal tiene una línea única que representa todas las soluciones de la ecuación. Al graficar una línea trazando puntos, cada persona que grafica la línea puede elegir tres puntos cualquiera, por lo que dos personas que grafiquen la línea podrían usar diferentes conjuntos de puntos.
A primera vista, sus dos líneas podrían parecer diferentes ya que tendrían diferentes puntos etiquetados. Pero si todo el trabajo se realizó correctamente, las líneas serán exactamente la misma línea. Una forma de reconocer que efectivamente son la misma línea es enfocarse en donde la línea cruza los ejes. A cada uno de estos puntos se le llama una intercepción de la línea.
Cada uno de los puntos en los que una línea cruza el eje x y el eje y se llama una intercepción de la línea.
Veamos la gráfica de las líneas que se muestran en la Figura\(\PageIndex{1}\).
Figura\(\PageIndex{1}\)
Primero, observe dónde cada una de estas líneas cruza el eje x:
| Figura: | La línea cruza el eje x en: | Par ordenado de este punto |
|---|---|---|
| Figura\(\PageIndex{1a}\) | 3 | (3,0) |
| Figura\(\PageIndex{1b}\) | 4 | (4,0) |
| Figura\(\PageIndex{1c}\) | 5 | (5,0) |
| Figura\(\PageIndex{1d}\) | 0 | (0,0) |
¿Ves un patrón?
Para cada fila, la coordenada y del punto donde la línea cruza el eje x es cero. El punto donde la línea cruza el eje x tiene la forma (a, 0); y se llama la intercepción x de la línea. La intercepción x ocurre cuando y es cero.
Ahora, veamos los puntos donde estas líneas cruzan el eje y.
| Figura: | La línea cruza el eje x en: | Par ordenado de este punto |
|---|---|---|
| Figura\(\PageIndex{1a}\) | 6 | (0, 6) |
| Figura\(\PageIndex{1b}\) | -3 | (0, -3) |
| Figura\(\PageIndex{1c}\) | -5 | (0, -5) |
| Figura\(\PageIndex{1d}\) | 0 | (0, 0) |
La intercepción x es el punto, (a, 0), donde la gráfica cruza el eje x.
La intercepción x ocurre cuando y es cero.
La intercepción y es el punto, (0, b), donde la gráfica cruza el eje y.
La intercepción y ocurre cuando x es cero.
Encuentra las intercepciones x e y de cada línea:
(a) x + 2y = 4
(b) 3x - y = 6
(c) x + y = -5
Solución
(a)
| La gráfica cruza el eje x en el punto (4, 0). | La intercepción x es (4, 0). |
| La gráfica cruza el eje y en el punto (0, 2). | La intercepción x es (0, 2). |
b)
| La gráfica cruza el eje x en el punto (2, 0). | La intercepción x es (2, 0). |
| La gráfica cruza el eje y en el punto (0, -6). | La intercepción x es (0, -6). |
c)
| La gráfica cruza el eje x en el punto (-5, 0). | La intercepción x es (-5, 0). |
| La gráfica cruza el eje y en el punto (0, -5). | La intercepción x es (0, -5). |
Encuentra las intercepciones x e y de la gráfica: x − y = 2.
- Contestar
-
intercepción x (2,0); intercepción y (0, -2)
Encuentra las intercepciones x e y de la gráfica: 2x + 3y = 6.
- Contestar
-
intercepción x (3,0); intercepción en y (0,2)
Encuentra las Intercepciones a partir de una Ecuación de una Línea
Reconocer que la intercepción x ocurre cuando y es cero y que la intercepción y ocurre cuando x es cero nos da un método para encontrar las intercepciones de una línea a partir de su ecuación. Para encontrar la intercepción x, deje y = 0 y resuelva para x. Para encontrar la intercepción y, deje x = 0 y resuelva para y.
Usa la ecuación para encontrar:
- la intercepción x de la línea, dejar y = 0 y resolver para x.
- la intercepción y de la línea, let x = 0 y resolver para y
| x | y |
|---|---|
| 0 | |
| 0 |
Encuentra las intercepciones de 2x + y = 6
Solución
Vamos a rellenar Figura\(\PageIndex{2}\).
Figura\(\PageIndex{2}\)
Para encontrar la intercepción x, vamos y = 0:
| Sustituir 0 por y. | \(2x + \textcolor{red}{0} = 6\) |
| Agregar. | 2x = 6 |
| Dividir por 2. | x = 3 |
La intercepción x es (3, 0).
Para encontrar la intercepción y, vamos x = 0:
| Sustituye 0 por x. | \(2 \cdot \textcolor{red}{0} + y = 6\) |
| Multiplicar. | 0 + y = 6 |
| Agregar. | y = 6 |
La intercepción y es (0, 6).
| 2x + y = 6 | |
|---|---|
| x | y |
| 3 | 0 |
| 0 | 6 |
Figura\(\PageIndex{3}\)
Los interceptos son los puntos (3, 0) y (0, 6).
Encuentra las intercepciones: 3x + y = 12.
- Contestar
-
intercepción x (4,0); intercepción y (0,12)
Encuentra las intercepciones: x + 4y = 8.
- Contestar
-
intercepción x (8,0); intercepción y (0,2)
Encuentra las intercepciones de 4x−3y = 12.
Solución
Para encontrar la intercepción x, vamos y = 0.
| Sustituir 0 por y. | 4x − 3 • 0 = 12 |
| Multiplicar. | 4x − 0 = 12 |
| Restar. | 4x = 12 |
| Dividir por 4. | x = 3 |
La intercepción y es (0, −4). Las intercepciones son los puntos (−3, 0) y (0, −4).
| 4x - 3 años = 12 | |
|---|---|
| x | y |
| 3 | 0 |
| 0 | -4 |
Encuentra las intercepciones de la línea: 3x−4y = 12.
- Contestar
-
intercepción x (4,0); intercepción y (0, -3)
Encuentra las intercepciones de la línea: 2x−4y = 8.
- Contestar
-
intercepción x (4,0); intercepción y (0, -2)
Graficar una línea usando las intercepciones
Para graficar una ecuación lineal trazando puntos, puedes usar las intercepciones como dos de tus tres puntos. Encuentra las dos intercepciones, y luego un tercer punto para asegurar la precisión, y dibuja la línea. Este método suele ser la forma más rápida de graficar una línea.
Gráfica −x + 2y = 6 usando intercepciones.
Solución
Primero, encuentra la intercepción x. Dejar y = 0,
\[\begin{split} -x + 2y &= 6 \\ -x + 2(0) &= 6 \\ -x &= 6 \\ x &= -6 \end{split}\]
La intercepción x es (—6, 0).
Ahora encuentra la intercepción y. Dejar x = 0.
\[\begin{split} -x + 2y &= 6 \\ -0 + 2y &= 6 \\ 2y &= 6 \\ y &= 3 \end{split}\]
La intercepción y es (0, 3).
Encuentra un tercer punto. Usaremos x = 2,
\[\begin{split} -x + 2y &= 6 \\ -2 + 2y &= 6 \\ 2y &= 8 \\ y &= 4 \end{split}\]
Una tercera solución a la ecuación es (2, 4).
Resumir los tres puntos en una tabla y luego trazarlos en una gráfica.
| -x + 2y = 6 | ||
|---|---|---|
| x | y | (x, y) |
| -6 | 0 | (−6, 0) |
| 0 | 3 | (0, 3) |
| 2 | 4 | (2, 4) |
¿Los puntos se alinean? Sí, así que dibuja la línea a través de los puntos.
Grafica la línea usando las intercepciones: x−2y = 4.
- Contestar
Grafica la línea usando las intercepciones: −x + 3y = 6.
- Contestar
-
Paso 1. Encuentra las intercepciones x e y de la línea.
- Dejar y = 0 y resolver para x.
- Dejar x = 0 y resolver para y.
Paso 2. Encuentra una tercera solución a la ecuación.
Paso 3. Trazar los tres puntos y luego verificar que se alineen.
Paso 4. Dibuja la línea.
Gráfica 4x−3y = 12 usando intercepciones.
Solución
Encuentra las intercepciones y un tercer punto.
| $$\ begin {split} x-intercept,\; &let\; y = 0\\ 4x - 3y &= 12\\ 4x - 3 (\ textcolor {rojo} {0}) &= 12\\ 4x &= 12\\ x &= 3\ end {split} $$ | $$\ begin {split} y-interceptar,\; &let\; x = 0\\ 4x - 3y &= 12\\ 4 (\ textcolor {rojo} {0}) - 3y &= 12\\ 4x - 3 (\ textcolor {rojo} {4}) &= 12\\ -3y &= 12\\ y &= -4\ end {split} $$ | $$\ begin {split} tercer\; punto,\; &let\; y = 4\\ 4x - 3y &= 12\\ 4x - 12 &= 12\\ 4x &= 24\\ x &= 6\ end {split} $$ |
Enumeramos los puntos y mostramos la gráfica.
| 4x - 3 años = 12 | ||
|---|---|---|
| x | y | (x. y) |
| 3 | 0 | (3, 0) |
| 0 | -4 | (0, −4) |
| 6 | 4 | (6, 4) |
Grafica la línea usando las intercepciones: 5x−2y = 10.
- Contestar
-
Grafica la línea usando las intercepciones: 3x−4y = 12.
- Contestar
-
Gráfica\(y = 5x\) usando las intercepciones.
Solución
| $$\ begin {split} x-intercept;\; &Let\; y = 0\ ldotp\\ y &= 5x\\\ textcolor {rojo} {0} &= 5x\\ 0 &= x\\ x &= 0\\ El\; x-intercept\; &is\; (0, 0)\ ldotp\ end {split} $$ | $$\ begin {split} y-interceptar;\; &Let\; x = 0\ ldotp\\ y &= 5x\\ y &= 5 (\ textcolor {rojo} {0})\\ y &= 0\\ El\; y-intercept\; &is\; (0, 0)\ ldotp\ end {split} $$ |
¡Esta línea solo tiene una intercepción! Es el punto (0, 0).
Para garantizar la precisión, necesitamos trazar tres puntos. Dado que las intercepciones son el mismo punto, necesitamos dos puntos más para graficar la línea. Como siempre, podemos elegir cualquier valor para x, así que dejaremos que x sea 1 y −1.
| $$\ begin {split} x &= 1\\ y &= 5x\\ y &= 5 (\ textcolor {rojo} {1})\\ y &= 5\\ (1, &-5)\ end {split} $$ | $$\ begin {split} x &= -1\\ y &= 5x\\ y &= 5 (\ textcolor {rojo} {-1})\\ y &= -5\\ (-1, &-5)\ end {split} $$ |
Organizar los puntos en una tabla.
| y = 5x | ||
|---|---|---|
| x | y | (x, y) |
| 0 | 0 | (0, 0) |
| 1 | 5 | (1, 5) |
| -1 | -5 | (−1, −5) |
Trazar los tres puntos, verificar que se alineen y trazar la línea.
Gráfica usando las intercepciones:\(y = 3x\).
- Contestar
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Gráfica usando las intercepciones:\(y = − x\).
- Contestar
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