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LibreTexts Español

4.7: Gráficas de Desigualdades Lineales

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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

  • Verificar soluciones a una desigualdad en dos variables
  • Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica
  • Graficar desigualdades lineales
Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

  1. Resolver:4x+3>23.
    Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 2.7.22.
  2. Traducir del álgebra al inglés:x<5.
    Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.3.1.
  3. Evalúa3x2y cuándox=1,y=2.
    Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.5.28.

Verificar soluciones a una desigualdad en dos variables

Hemos aprendido a resolver las desigualdades en una variable. Ahora, veremos las desigualdades en dos variables. Las desigualdades en dos variables tienen muchas aplicaciones. Si diriges un negocio, por ejemplo, querrías que tus ingresos fueran mayores que tus costos, para que tu negocio obtuviera ganancias.

Desigualdad lineal

Una desigualdad lineal es una desigualdad que se puede escribir en una de las siguientes formas:

Ax+By>CAx+ByCAx+By<CAx+ByC

dondeA y noB son ambos cero.

¿Recuerdas que una desigualdad con una variable tenía muchas soluciones? La solución a la desigualdadx>3 es cualquier número mayor que3. Mostramos esto en la recta numérica sombreando en la recta numérica a la derecha de3, y poniendo un paréntesis abierto en3. Ver Figura4.7.1.

La figura muestra una línea numérica que se extiende de negativo 5 a 5. Se muestra un paréntesis en el positivo 3 y una flecha se extiende desde el positivo 3 hasta el infinito positivo.
Figura4.7.1

De igual manera, las desigualdades en dos variables tienen muchas soluciones. Cualquier par ordenado(x,y) que haga verdadera la desigualdad cuando sustituimos en los valores es una solución de la desigualdad.

Solución de una desigualdad lineal

Un par ordenado(x,y) es una solución de una desigualdad lineal si la desigualdad es cierta cuando sustituimos los valores dex yy.

Ejercicio4.7.1

Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdady>x+4:

  1. (0,0)
  2. (1,6)
  3. (2,6)
  4. (5,15)
  5. (8,12)
Contestar
1.
(0,0) .
. .
Simplificar. .
Entonces, no(0,0) es una solución paray>x+4.
2.
(1,6) .
. .
Simplificar. .
Entonces,(1,6) es una solución paray>x+4.
3.
(2,6) .
. .
Simplificar. .
Entonces, no(2,6) es una solución paray>x+4.
4.
(5,15) .
. .
Simplificar. .
Entonces, no(5,15) es una solución paray>x+4.
5.
(−8,12) .
. .
Simplificar. .
Entonces,(8,12) es una solución paray>x+4.
Ejercicio4.7.2

Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdady>x3:

  1. (0,0)
  2. (4,9)
  3. (2,1)
  4. (5,3)
  5. (5,1)
Contestar
  1. si
  2. si
  3. si
  4. si
  5. no
Ejercicio4.7.3

Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdady<x+1:

  1. (0,0)
  2. (8,6)
  3. (2,1)
  4. (3,4)
  5. (1,4)
Contestar
  1. si
  2. si
  3. no
  4. no
  5. si

Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica

Ahora, veremos cómo las soluciones de una desigualdad se relacionan con su gráfica.

Volvamos a pensar en la recta numérica de la Figura4.7.1. El puntox=3 separó esa recta numérica en dos partes. En un lado de3 están todos los números menores que3. En el otro lado de3 todos los números son mayores que3. Ver Figura4.7.2.

La figura muestra una línea numérica que se extiende de negativo 5 a 5. Se muestra un paréntesis en el positivo 3 y una flecha se extiende desde el positivo 3 hasta el infinito positivo. Una flecha por encima de la recta numérica se extiende desde 3 y apunta hacia la izquierda. Está etiquetado como “números menores que 3”. Una flecha por encima de la recta numérica se extiende desde 3 y apunta hacia la derecha. Está etiquetado como “números mayores que 3”.
Figura4.7.2

La solución ax>3 es la parte sombreada de la recta numérica a la derecha dex=3.

Del mismo modo, la líneay=x+4 separa el plano en dos regiones. En un lado de la línea hay puntos cony<x+4. Al otro lado de la línea están los puntos cony>x+4. Llamamos a la líneay=x+4 línea límite.

LÍNEA DE LÍNEA

La línea con ecuaciónAx+By=C es la línea límite que separa la región dondeAx+By>C de la región dondeAx+By<C.

Para una desigualdad en una variable, el punto final se muestra con un paréntesis o un paréntesis dependiendo de si aa está incluido o no en la solución:

La figura muestra dos líneas numéricos. La línea numérica de la izquierda está etiquetada como x es menor que a. La línea numérica muestra un paréntesis en a y una flecha que apunta hacia la izquierda. La línea numérica de la derecha está etiquetada como x es menor o igual a a. La línea numérica muestra un paréntesis en a y una flecha que apunta a la izquierda.

De igual manera, para una desigualdad en dos variables, la línea límite se muestra con una línea continua o discontinua para indicar si la línea está incluida o no en la solución. Esto se resume en la Tabla4.7.1.

Ax+By<C Ax+ByC
Ax+By>C Ax+ByC
La línea límite no está incluida en la solución. La línea límite está incluida en la solución.
La línea límite está discontinua. La línea límite es sólida.
Mesa4.7.1

Ahora, echemos un vistazo a lo que encontramos en Ejercicio4.7.1. Empezaremos graficando la líneay=x+4, y luego trazaremos los cinco puntos que probamos. Ver Figura4.7.3.

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a x más 4 se traza como una flecha que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha. Los siguientes puntos se trazan y etiquetan (negativo 8, 12), (1, 6), (2, 6), (0, 0) y (negativo 5, negativo 15).
Figura4.7.3

En Ejercicio4.7.1 encontramos que algunos de los puntos eran soluciones a la desigualdady>x+4 y otros no.

¿Cuáles de los puntos que trazamos son soluciones a la desigualdady>x+4? Los puntos(1,6) y(8,12) son soluciones a la desigualdady>x+4. Observe que ambos están en el mismo lado de la línea de límitey=x+4.

Los dos puntos(0,0) y(5,15) están al otro lado de la línea limítrofey=x+4, y no son soluciones a la desigualdady>x+4. Para esos dos puntos,y<x+4.

¿Qué pasa con el punto(2,6)? Porque6=2+4, el punto es una solución a la ecuacióny=x+4. Entonces el punto(2,6) está en la línea límite.

Tomemos otro punto del lado izquierdo de la línea límite y probemos si es o no una solución a la desigualdady>x+4. El punto(0,10) claramente parece estar a la izquierda de la línea fronteriza, ¿no? ¿Es una solución a la desigualdad?

y>x+410?>0+410>4So, (0,10) is a solution to y>x+4.

Cualquier punto que elija en el lado izquierdo de la línea de límite es una solución a la desigualdady>x+4. Todos los puntos de la izquierda son soluciones.

De igual manera, todos los puntos del lado derecho de la línea límite, el lado con(0,0) y(5,15), no son soluciones ay>x+4. Ver Figura4.7.4.

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a x más 4 se traza como una flecha que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha. Los siguientes puntos se trazan y etiquetan (negativo 8, 12), (1, 6), (2, 6), (0, 0) y (negativo 5, negativo 15). A la parte superior izquierda de la línea está la desigualdad y es mayor que x más 4. A la derecha de la línea está la desigualdad y es menor que x más 4.
Figura4.7.4

La gráfica de la desigualdady>x+4 se muestra en la Figura4.7.5 siguiente. La líneay=x+4 divide el plano en dos regiones. El lado sombreado muestra las soluciones a la desigualdady>x+4.

Los puntos en la línea límite, aquellos dondey=x+4, no son soluciones a la desigualdady>x+4, por lo que la línea en sí no es parte de la solución. Lo demostramos haciendo la línea discontinua, no sólida.

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a x más 4 se traza como una flecha discontinua que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha. El plano de coordenadas a la parte superior izquierda de la línea está sombreado.
Figura4.7.5: La gráfica de la desigualdad y>x+4.
Ejercicio4.7.4

La línea límite que se muestra esy=2x1. Escribe la desigualdad que muestra la gráfica.

Contestar

La líneay=2x1 es la línea límite. En un lado de la línea están los puntos cony>2x1 y en el otro lado de la línea están los puntos cony<2x1.

Probemos el punto(0,0) y veamos qué desigualdad describe su lado de la línea límite.

At(0,0), que la desigualdad es verdadera:

y>2x1 or y<2x1?y>2x1y<2x10>2010<2010>1 True 0<1 False 

Ya quey>2x1 es cierto, el lado de la línea con(0,0), es la solución. La región sombreada muestra la solución de la desigualdady>2x1.

Dado que la línea límite se grafica con una línea continua, la desigualdad incluye el signo igual.

La gráfica muestra la desigualdady2x1.

Podríamos usar cualquier punto como punto de prueba, siempre que no esté en la línea. ¿Por qué elegimos(0,0)? Porque es lo más fácil de evaluar. Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y verificarloy<2x1.

Ejercicio4.7.5

Escribe la desigualdad que muestra la gráfica con la línea límitey=2x+3.

Contestar

y2x+3

Ejercicio4.7.6

Escribe la desigualdad que muestra la gráfica con la línea límitey=12x4.

Contestar

y12x4

Ejercicio4.7.7

La línea límite que se muestra es2x+3y=6. Escribe la desigualdad que muestra la gráfica.

Contestar

La línea2x+3y=6 es la línea límite. En un lado de la línea están los puntos con2x+3y>6 y en el otro lado de la línea están los puntos con2x+3y<6.

Probemos el punto(0,0) y veamos qué desigualdad describe su lado de la línea límite.

At(0,0), que la desigualdad es verdadera:

2x+3y>6 or 2x+3y<6?2x+3y>62x+3y<62(0)+3(0)>62(0)+3(0)<60>6 False 0<6 True 

Entonces el lado con(0,0) es el lado donde2x+3y<6.

(Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y verificarlo)2x+3y>6.

Dado que la línea límite se grafica como una línea discontinua, la desigualdad no incluye un signo igual.

La gráfica muestra la solución a la desigualdad2x+3y<6.

Ejercicio4.7.8

Escribe la desigualdad que muestra la región sombreada en la gráfica con la línea límitex4y=8.

Contestar

x4y8

Ejercicio4.7.9

Escribe la desigualdad que muestra la región sombreada en la gráfica con la línea límite3xy=6.

Contestar

3xy6

Graficar desigualdades lineales

Ahora, estamos listos para juntar todo esto para graficar las desigualdades lineales.

Ejercicio4.7.10: How to Graph Linear Inequalities

Grafica la desigualdad linealy34x2.

Contestar

Esta figura es una tabla que tiene tres columnas y tres filas. La primera columna es una columna de encabezado, y contiene los nombres y números de cada paso. La segunda columna contiene instrucciones escritas adicionales. La tercera columna contiene matemáticas. En la fila superior de la tabla, la primera celda de la izquierda dice: “Paso 1. Identificar y graficar la línea límite. Si la desigualdad es menor o igual o mayor que o igual a, la línea límite es sólida. Si la desigualdad es menor o mayor que, la línea límite se discontinua. El texto en la segunda celda dice: “Reemplazar el signo de desigualdad por un signo igual para encontrar la línea límite. Grafica la línea límite y es igual a tres cuartas partes x menos 2. El signo de desigualdad es mayor o igual a, por lo que trazamos una línea sólida. La tercera celda contiene el gráfico de la línea tres cuartos x menos 2 en un plano de coordenadas.En la segunda fila de la tabla, la primera celda dice: “Paso 2. Pruebe un punto que no esté en la línea límite. ¿Es una solución de la desigualdad? En la segunda celda, las instrucciones dicen: “Vamos a probar (0, 0). ¿Es una solución de la desigualdad?” La tercera celda pregunta: At (0, 0), ¿y es mayor o igual a tres cuartas partes x menos 2? Debajo de eso está la desigualdad 0 es mayor o igual a tres cuartos 0 menos 2, con un signo de interrogación por encima del símbolo de desigualdad. Por debajo de eso está la desigualdad 0 es mayor o igual a negativo 2. Debajo de eso está: “Entonces (0, 0) es una solución.En la tercera fila de la tabla, la primera celda dice: “Paso 3. Sombra en un lado de la línea límite. Si el punto de prueba es una solución, sombra en el lado que incluye el punto. Si el punto de prueba no es una solución, sombree en el lado opuesto. En la segunda celda, las instrucciones dicen: El punto de prueba (0, 0) es una solución a y es mayor o igual a tres cuartos x menos 2. Entonces sombreamos en ese lado”. En la tercera celda se encuentra la gráfica de la línea tres cuartos x menos 2 en un plano de coordenadas con la región por encima de la línea sombreada.

Ejercicio4.7.11

Grafica la desigualdad linealy52x4.

Contestar

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a cinco mitades x menos 4 se traza como una flecha sólida que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha. La región por encima de la línea está sombreada.

Ejercicio4.7.12

Grafica la desigualdad linealy<23x5.

Contestar

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a dos tercios x menos 5 se traza como una flecha discontinua que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha. La región debajo de la línea está sombreada.

Aquí se resumen los pasos que damos para graficar una desigualdad lineal.

GRÁFICA UNA Desigualdad Line
  1. Identificar y graficar la línea límite.
    • Si la desigualdad es o, la línea límite es sólida.
    • Si la desigualdad es< o>, la línea límite es discontinua.
  2. Pruebe un punto que no esté en la línea límite. ¿Es una solución de la desigualdad?
  3. Sombra en un lado de la línea límite.
    • Si el punto de prueba es una solución, sombra en el lado que incluye el punto.
    • Si el punto de prueba no es una solución, sombree en el lado opuesto.
Ejercicio4.7.13

Grafica la desigualdad linealx2y<5.

Contestar

Primero graficamos la línea límitex2y=5. La desigualdad es< así que trazamos una línea discontinua.

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea x menos 2 y es igual a 5 se traza como una flecha discontinua que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha.

Entonces probamos un punto. Volveremos a usar(0,0) porque es fácil de evaluar y no está en la línea límite.

Es(0,0) una solución dex2y<5?

La figura muestra que la desigualdad 0 menos 2 veces 0 entre paréntesis es menor que 5, con un signo de interrogación por encima del símbolo de desigualdad. La siguiente línea muestra 0 menos 0 es menor que 5, con un signo de interrogación sobre el símbolo de desigualdad. La tercera línea muestra 0 es menor que 5.

El punto(0,0) es una solución dex2y<5, así que sombreamos en ese lado de la línea limítrofe.

Ejercicio4.7.14

Grafica la desigualdad lineal2x3y6.

Contestar

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea 2 x menos 3 y es igual a 6 se traza como una flecha sólida que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha. La región por encima de la línea está sombreada.

Ejercicio4.7.15

Grafica la desigualdad lineal2xy>3.

Contestar

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea 2 x menos y es igual a 3 se traza como una flecha discontinua que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha. La región debajo de la línea está sombreada.

¿Y si la línea límite pasa por el origen? Entonces no podremos usar(0,0) como punto de prueba. No hay problema, solo elegiremos algún otro punto que no esté en la línea límite.

Ejercicio4.7.16

Grafica la desigualdad linealy4x.

Contestar

Primero graficamos la línea límitey=4x. Está en forma de pendiente—intercepción, conm=4 yb=0. La desigualdad es así que trazamos una línea sólida.

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea s y es igual a 4 x negativo se traza como una flecha sólida que se extiende desde la parte superior izquierda hacia la parte inferior derecha.

Ahora, necesitamos un punto de prueba. Podemos ver que el punto no(1,0) está en la línea limítrofe.

Es(1,0) una solución dey4x?

La figura muestra 0 es menor o igual a negativo 4 veces 1 entre paréntesis, con un signo de interrogación por encima del símbolo de desigualdad. La siguiente línea muestra 0 no es menor o igual a negativo 4.

El punto no(1,0) es una solución paray4x, así que sombreamos en el lado opuesto de la línea limítrofe. Ver Figura4.7.6.

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a 4 x negativo se traza como una flecha sólida que se extiende desde la parte superior izquierda hacia la parte inferior derecha. El punto (1, 0) está trazado, pero no etiquetado. La región a la izquierda de la línea está sombreada.
Figura4.7.6
Ejercicio4.7.17

Grafica la desigualdad linealy>3x.

Contestar

La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a 3 x negativo se traza como una flecha discontinua que se extiende desde la parte superior izquierda hacia la parte inferior derecha. La región a la derecha de la línea está sombreada.

Ejercicio4.7.18

Grafica la desigualdad linealy2x.

Contestar

La gráfica muestra el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a 2 x negativo se traza como una flecha sólida que se extiende desde la parte superior izquierda hacia la parte inferior derecha. La región a la derecha de la línea está sombreada.

Algunas desigualdades lineales tienen sólo una variable. Pueden tener unx pero noy, o uny pero nox. En estos casos, la línea límite será una línea vertical u horizontal. ¿Te acuerdas?

x=a vertical line y=b horizontal line 

Ejercicio4.7.19

Grafica la desigualdad linealy>3.

Contestar

Primero graficamos la línea límitey=3. Se trata de una línea horizontal. La desigualdad es> así que trazamos una línea discontinua.

Probamos el punto(0,0).

y>303

(0,0)no es una solución paray>3.

Entonces sombreamos el lado que no incluye(0,0).

Ejercicio4.7.20

Grafica la desigualdad linealy<5.

Contestar

La gráfica muestra el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a 5 se traza como una flecha discontinua horizontalmente a través del plano. La región por encima de la línea está sombreada.

Ejercicio4.7.21

Grafica la desigualdad linealy1.

Contestar

La gráfica muestra el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a 1 negativo se traza como una flecha discontinua horizontalmente a través del plano. La región debajo de la línea está sombreada.

Conceptos clave

  • Para graficar una desigualdad lineal
    1. Identificar y graficar la línea límite.
      Si la desigualdad es o, la línea límite es sólida.
      Si la desigualdad es< o>, la línea límite es discontinua.
    2. Pruebe un punto que no esté en la línea límite. ¿Es una solución de la desigualdad?
    3. Sombra en un lado de la línea límite.
      Si el punto de prueba es una solución, sombra en el lado que incluye el punto.
      Si el punto de prueba no es una solución, sombree en el lado opuesto.

Glosario

línea límite
La línea con ecuaciónAx+By=C que separa la región dondeAx+By>C de la región dondeAx+By<C.
desigualdad lineal
Una desigualdad que se puede escribir en una de las siguientes formas:

Ax+By>CAx+ByCAx+By<CAx+ByC

dondeA y noB son ambos cero.
solución de una desigualdad lineal
Un par ordenado(x,y) es una solución a una desigualdad lineal la desigualdad es cierta cuando sustituimos los valores dex yy.

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