4.7: Gráficas de Desigualdades Lineales
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Al final de esta sección, podrás:
- Verificar soluciones a una desigualdad en dos variables
- Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica
- Graficar desigualdades lineales
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Resolver:4x+3>23.
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 2.7.22. - Traducir del álgebra al inglés:x<5.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.3.1. - Evalúa3x−2y cuándox=1,y=−2.
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.5.28.
Verificar soluciones a una desigualdad en dos variables
Hemos aprendido a resolver las desigualdades en una variable. Ahora, veremos las desigualdades en dos variables. Las desigualdades en dos variables tienen muchas aplicaciones. Si diriges un negocio, por ejemplo, querrías que tus ingresos fueran mayores que tus costos, para que tu negocio obtuviera ganancias.
Una desigualdad lineal es una desigualdad que se puede escribir en una de las siguientes formas:
Ax+By>CAx+By≥CAx+By<CAx+By≤C
dondeA y noB son ambos cero.
¿Recuerdas que una desigualdad con una variable tenía muchas soluciones? La solución a la desigualdadx>3 es cualquier número mayor que3. Mostramos esto en la recta numérica sombreando en la recta numérica a la derecha de3, y poniendo un paréntesis abierto en3. Ver Figura4.7.1.
![La figura muestra una línea numérica que se extiende de negativo 5 a 5. Se muestra un paréntesis en el positivo 3 y una flecha se extiende desde el positivo 3 hasta el infinito positivo.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/22904/CNX_ElemAlg_Figure_04_07_001_img_new.jpg)
De igual manera, las desigualdades en dos variables tienen muchas soluciones. Cualquier par ordenado(x,y) que haga verdadera la desigualdad cuando sustituimos en los valores es una solución de la desigualdad.
Un par ordenado(x,y) es una solución de una desigualdad lineal si la desigualdad es cierta cuando sustituimos los valores dex yy.
Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdady>x+4:
- (0,0)
- (1,6)
- (2,6)
- (−5,−15)
- (−8,12)
- Contestar
- 1.
(0,0) Simplificar.
Entonces, no(0,0) es una solución paray>x+4.(1,6) Simplificar.
Entonces,(1,6) es una solución paray>x+4. - 3.
(2,6) Simplificar.
Entonces, no(2,6) es una solución paray>x+4. - 4.
(−5,−15) Simplificar.
Entonces, no(−5,−15) es una solución paray>x+4. - 5.
(−8,12) Simplificar.
Entonces,(−8,12) es una solución paray>x+4.
Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdady>x−3:
- (0,0)
- (4,9)
- (−2,1)
- (−5,−3)
- (5,1)
- Contestar
-
- si
- si
- si
- si
- no
Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdady<x+1:
- (0,0)
- (8,6)
- (−2,−1)
- (3,4)
- (−1,−4)
- Contestar
-
- si
- si
- no
- no
- si
Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica
Ahora, veremos cómo las soluciones de una desigualdad se relacionan con su gráfica.
Volvamos a pensar en la recta numérica de la Figura4.7.1. El puntox=3 separó esa recta numérica en dos partes. En un lado de3 están todos los números menores que3. En el otro lado de3 todos los números son mayores que3. Ver Figura4.7.2.
![La figura muestra una línea numérica que se extiende de negativo 5 a 5. Se muestra un paréntesis en el positivo 3 y una flecha se extiende desde el positivo 3 hasta el infinito positivo. Una flecha por encima de la recta numérica se extiende desde 3 y apunta hacia la izquierda. Está etiquetado como “números menores que 3”. Una flecha por encima de la recta numérica se extiende desde 3 y apunta hacia la derecha. Está etiquetado como “números mayores que 3”.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/35329/CNX_ElemAlg_Figure_04_07_002_img_new.jpg)
La solución ax>3 es la parte sombreada de la recta numérica a la derecha dex=3.
Del mismo modo, la líneay=x+4 separa el plano en dos regiones. En un lado de la línea hay puntos cony<x+4. Al otro lado de la línea están los puntos cony>x+4. Llamamos a la líneay=x+4 línea límite.
La línea con ecuaciónAx+By=C es la línea límite que separa la región dondeAx+By>C de la región dondeAx+By<C.
Para una desigualdad en una variable, el punto final se muestra con un paréntesis o un paréntesis dependiendo de si aa está incluido o no en la solución:
De igual manera, para una desigualdad en dos variables, la línea límite se muestra con una línea continua o discontinua para indicar si la línea está incluida o no en la solución. Esto se resume en la Tabla4.7.1.
Ax+By<C | Ax+By≤C |
Ax+By>C | Ax+By≥C |
La línea límite no está incluida en la solución. | La línea límite está incluida en la solución. |
La línea límite está discontinua. | La línea límite es sólida. |
Ahora, echemos un vistazo a lo que encontramos en Ejercicio4.7.1. Empezaremos graficando la líneay=x+4, y luego trazaremos los cinco puntos que probamos. Ver Figura4.7.3.
![La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a x más 4 se traza como una flecha que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha. Los siguientes puntos se trazan y etiquetan (negativo 8, 12), (1, 6), (2, 6), (0, 0) y (negativo 5, negativo 15).](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/23055/CNX_ElemAlg_Figure_04_07_003_img_new.jpg)
En Ejercicio4.7.1 encontramos que algunos de los puntos eran soluciones a la desigualdady>x+4 y otros no.
¿Cuáles de los puntos que trazamos son soluciones a la desigualdady>x+4? Los puntos(1,6) y(−8,12) son soluciones a la desigualdady>x+4. Observe que ambos están en el mismo lado de la línea de límitey=x+4.
Los dos puntos(0,0) y(−5,−15) están al otro lado de la línea limítrofey=x+4, y no son soluciones a la desigualdady>x+4. Para esos dos puntos,y<x+4.
¿Qué pasa con el punto(2,6)? Porque6=2+4, el punto es una solución a la ecuacióny=x+4. Entonces el punto(2,6) está en la línea límite.
Tomemos otro punto del lado izquierdo de la línea límite y probemos si es o no una solución a la desigualdady>x+4. El punto(0,10) claramente parece estar a la izquierda de la línea fronteriza, ¿no? ¿Es una solución a la desigualdad?
y>x+410?>0+410>4So, (0,10) is a solution to y>x+4.
Cualquier punto que elija en el lado izquierdo de la línea de límite es una solución a la desigualdady>x+4. Todos los puntos de la izquierda son soluciones.
De igual manera, todos los puntos del lado derecho de la línea límite, el lado con(0,0) y(−5,−15), no son soluciones ay>x+4. Ver Figura4.7.4.
![La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a x más 4 se traza como una flecha que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha. Los siguientes puntos se trazan y etiquetan (negativo 8, 12), (1, 6), (2, 6), (0, 0) y (negativo 5, negativo 15). A la parte superior izquierda de la línea está la desigualdad y es mayor que x más 4. A la derecha de la línea está la desigualdad y es menor que x más 4.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/23212/CNX_ElemAlg_Figure_04_07_004_img_new.jpg)
La gráfica de la desigualdady>x+4 se muestra en la Figura4.7.5 siguiente. La líneay=x+4 divide el plano en dos regiones. El lado sombreado muestra las soluciones a la desigualdady>x+4.
Los puntos en la línea límite, aquellos dondey=x+4, no son soluciones a la desigualdady>x+4, por lo que la línea en sí no es parte de la solución. Lo demostramos haciendo la línea discontinua, no sólida.
![La gráfica muestra el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van cada uno de los negativos 10 a 10. La línea y es igual a x más 4 se traza como una flecha discontinua que se extiende desde la parte inferior izquierda hacia la parte superior derecha. El plano de coordenadas a la parte superior izquierda de la línea está sombreado.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/23059/CNX_ElemAlg_Figure_04_07_005_img_new.jpg)
La línea límite que se muestra esy=2x−1. Escribe la desigualdad que muestra la gráfica.
- Contestar
-
La líneay=2x−1 es la línea límite. En un lado de la línea están los puntos cony>2x−1 y en el otro lado de la línea están los puntos cony<2x−1.
Probemos el punto(0,0) y veamos qué desigualdad describe su lado de la línea límite.
At(0,0), que la desigualdad es verdadera:
y>2x−1 or y<2x−1?y>2x−1y<2x−10>2⋅0−10<2⋅0−10>−1 True 0<−1 False
Ya quey>2x−1 es cierto, el lado de la línea con(0,0), es la solución. La región sombreada muestra la solución de la desigualdady>2x−1.
Dado que la línea límite se grafica con una línea continua, la desigualdad incluye el signo igual.
La gráfica muestra la desigualdady≥2x−1.
Podríamos usar cualquier punto como punto de prueba, siempre que no esté en la línea. ¿Por qué elegimos(0,0)? Porque es lo más fácil de evaluar. Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y verificarloy<2x−1.
Escribe la desigualdad que muestra la gráfica con la línea límitey=−2x+3.
- Contestar
-
y≥−2x+3
Escribe la desigualdad que muestra la gráfica con la línea límitey=12x−4.
- Contestar
-
y≤12x−4
La línea límite que se muestra es2x+3y=6. Escribe la desigualdad que muestra la gráfica.
- Contestar
-
La línea2x+3y=6 es la línea límite. En un lado de la línea están los puntos con2x+3y>6 y en el otro lado de la línea están los puntos con2x+3y<6.
Probemos el punto(0,0) y veamos qué desigualdad describe su lado de la línea límite.
At(0,0), que la desigualdad es verdadera:
2x+3y>6 or 2x+3y<6?2x+3y>62x+3y<62(0)+3(0)>62(0)+3(0)<60>6 False 0<6 True
Entonces el lado con(0,0) es el lado donde2x+3y<6.
(Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y verificarlo)2x+3y>6.
Dado que la línea límite se grafica como una línea discontinua, la desigualdad no incluye un signo igual.
La gráfica muestra la solución a la desigualdad2x+3y<6.
Escribe la desigualdad que muestra la región sombreada en la gráfica con la línea límitex−4y=8.
- Contestar
-
x−4y≤8
Escribe la desigualdad que muestra la región sombreada en la gráfica con la línea límite3x−y=6.
- Contestar
-
3x−y≤6
Graficar desigualdades lineales
Ahora, estamos listos para juntar todo esto para graficar las desigualdades lineales.
Grafica la desigualdad linealy≥34x−2.
- Contestar
-
Grafica la desigualdad linealy≥52x−4.
- Contestar
-
Grafica la desigualdad linealy<23x−5.
- Contestar
-
Aquí se resumen los pasos que damos para graficar una desigualdad lineal.
- Identificar y graficar la línea límite.
- Si la desigualdad es≤ o≥, la línea límite es sólida.
- Si la desigualdad es< o>, la línea límite es discontinua.
- Pruebe un punto que no esté en la línea límite. ¿Es una solución de la desigualdad?
- Sombra en un lado de la línea límite.
- Si el punto de prueba es una solución, sombra en el lado que incluye el punto.
- Si el punto de prueba no es una solución, sombree en el lado opuesto.
Grafica la desigualdad linealx−2y<5.
- Contestar
-
Primero graficamos la línea límitex−2y=5. La desigualdad es< así que trazamos una línea discontinua.
-
Entonces probamos un punto. Volveremos a usar(0,0) porque es fácil de evaluar y no está en la línea límite.
Es(0,0) una solución dex−2y<5?
El punto(0,0) es una solución dex−2y<5, así que sombreamos en ese lado de la línea limítrofe.
Grafica la desigualdad lineal2x−3y≤6.
- Contestar
-
Grafica la desigualdad lineal2x−y>3.
- Contestar
-
¿Y si la línea límite pasa por el origen? Entonces no podremos usar(0,0) como punto de prueba. No hay problema, solo elegiremos algún otro punto que no esté en la línea límite.
Grafica la desigualdad linealy≤−4x.
- Contestar
-
Primero graficamos la línea límitey=−4x. Está en forma de pendiente—intercepción, conm=−4 yb=0. La desigualdad es≤ así que trazamos una línea sólida.
Ahora, necesitamos un punto de prueba. Podemos ver que el punto no(1,0) está en la línea limítrofe.
Es(1,0) una solución dey≤−4x?
El punto no(1,0) es una solución paray≤−4x, así que sombreamos en el lado opuesto de la línea limítrofe. Ver Figura4.7.6.
Figura4.7.6
Grafica la desigualdad linealy>−3x.
- Contestar
-
Grafica la desigualdad linealy≥−2x.
- Contestar
-
Algunas desigualdades lineales tienen sólo una variable. Pueden tener unx pero noy, o uny pero nox. En estos casos, la línea límite será una línea vertical u horizontal. ¿Te acuerdas?
x=a vertical line y=b horizontal line
Grafica la desigualdad linealy>3.
- Contestar
-
Primero graficamos la línea límitey=3. Se trata de una línea horizontal. La desigualdad es> así que trazamos una línea discontinua.
Probamos el punto(0,0).
y>30≯3
(0,0)no es una solución paray>3.
Entonces sombreamos el lado que no incluye(0,0).
Grafica la desigualdad linealy<5.
- Contestar
-
Grafica la desigualdad linealy≤−1.
- Contestar
-
Conceptos clave
- Para graficar una desigualdad lineal
- Identificar y graficar la línea límite.
Si la desigualdad es≤ o≥, la línea límite es sólida.
Si la desigualdad es< o>, la línea límite es discontinua. - Pruebe un punto que no esté en la línea límite. ¿Es una solución de la desigualdad?
- Sombra en un lado de la línea límite.
Si el punto de prueba es una solución, sombra en el lado que incluye el punto.
Si el punto de prueba no es una solución, sombree en el lado opuesto.
- Identificar y graficar la línea límite.
Glosario
- línea límite
- La línea con ecuaciónAx+By=C que separa la región dondeAx+By>C de la región dondeAx+By<C.
- desigualdad lineal
- Una desigualdad que se puede escribir en una de las siguientes formas:
Ax+By>CAx+By≥CAx+By<CAx+By≤C
dondeA y noB son ambos cero.
- solución de una desigualdad lineal
- Un par ordenado(x,y) es una solución a una desigualdad lineal la desigualdad es cierta cuando sustituimos los valores dex yy.